1有限元法简介
1有限元法簡介
1.1有限單法的形成
在工程技術領域內，經常會遇到兩類典型的問題。其中的第一類問題，可以歸結為有限個已知單元體的組合。例如，材料力學中的連續梁、建築結構框架和桁架結構。我們把這類問題，稱為離散系統。如圖1-1所示平面桁架結構，是由6個承受軸向力的“杆單元”組成。儘管離散系統是可解的，但是求解圖1-2所示這類複雜的離散系統，要依靠電腦技術。
圖1-1 平面桁架系統
圖1-2 大型編鐘“中華和鐘”的振動分析及優化設計（曾攀教授）
第二類問題，通常可以建立它們應遵循的基本方程，即微分方程和相應的邊界條件。例如彈性力學問題，熱傳導問題，電磁場問題等。由於建立基本方程所研究的物件通常是無限小的單元，這類問題稱為連續系統。
圖1-3 V6引擎的局部
下面是熱傳導問題的控制方程與換熱邊界條件：
t
T
c
Q
z
T
z
y
T
y
x
T
x?
?
=
+
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
??
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ρ
λ
λ
λ（1- 1）初始溫度場也可以是不均勻的，但各點溫度值是已知的：
()
x,y,z
T
T
t
=
=
（1- 2）通常的熱邊界有三種，第三類邊界條件如下形式：
()
f
T-T
h
n
T
λ=
?
?
-（1- 3）
儘管我們已經建立了連續系統的基本方程，由於邊界條件的限制，通常只能得到少數簡單問題的精確解答。對於許多實際的工程問題，還無法給出精確的解答，例如，圖1-3所示V6引擎在工作中的溫度分佈。這為解決這個困難，工程師們和數學家們提出了許多近似方法。
在尋找連續系統求解方法的過程中，工程師和數學家從兩個不同的路線得到了相同的結果，即有限元法。有限元法的形成可以回顧到二十世紀50年代，來源於固體力學中矩陣結構法的發展和工程師對結構相似性的直覺判斷。從固體力學的角度來看，桁架結構等標準離散系統與人為地分割成有限個分區後的連續系統在結構上存在相似性。
1956年M..J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在紐約舉行的航空學會年會上介紹了一種新的計算方法，將矩陣位移法推廣到求解平面應力問題。他們把結構劃分成一個個三角形和矩形的“單元”，利用單元中近似位移函數，求得單元節點力與節點位移關係的單元剛度矩陣。
1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程雜誌上發表了一組能量原理和結構分析論文。
1960年，Clough在他的名為“The finite element in plane stress analysis”的論文中首次提出了有限元（finite element）這一術語。
數學家們則發展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，變分原理和加權餘量法。
在1963年前後，經過J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.H.Pian（卞學磺）等許多人的工作，認識到有限元法就是變分原理中Ritz近似法的一種變形，發展了用各種不同變分原理導出的有限元計算公式。
1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（張佑啟）發現只要能寫成變分形式的所有場問題，都可以用與固體力學有限元法的相同步驟求解。
1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加權餘量法特別是Galerkin法，導出標準的有限元過程來求解非結構問題。
我國的力學工作者為有限元方法的初期發展做出了許多貢獻，其中比較著名的有：陳伯屏（結構矩陣方法），錢令希（余能原理），錢偉長（廣義變分原理），胡海昌（廣義變分原理），馮康（有限單元法理論）。遺憾的是，從1966年開始的近十年期間，我國的研究工作受到阻礙。
1.2 有限元法的基本思路
有限元法的基本思路可以歸結為：將連續系統分割成有限個分區或單元，對每個單元提出一個近似解，再將所有單元按標準方法組合成一個與原有系統近似的系統。
下面用在自重作用下的等截面直杆來說明有限元法的思路。
等截面直杆在自重作用下的材料力學解答
圖1-4 受自重作用的等截面直杆
圖1-5 離散後的直杆
受自重作用的等截面直杆如圖所示，杆的長度為L ，截面積為A ，彈性模量為E ，單位長度的重量為q ，杆的內力為N 。試求：杆的位移分佈，杆的應變和應力。
)()(x L q x N -=
EA
dx
x L q EA dx x N x dL )()()(-=
=
?-==x x Lx EA q EA dx x N x u 0
2
)2()()(
（1- 4）
)(x L EA
q dx du x -==
ε )(x L A
q
E x x -==εσ
等截面直杆在自重作用下的有限元法解答
1）離散化
如圖1-5所示，將直杆劃分成n 個有限段，有限段之間通過一個鉸接點連接。稱兩段之間的連接點為結點，稱每個有限段為單元。
第i 個單元的長度為L i ，包含第i ，i+1個結點。
2）用單元節點位移表示單元內部位移
第i 個單元中的位移用所包含的結點位移來表示，
)()(1i i
i
i i x x L u u u x u --+
=+ （1- 5）
其中i u 為第i 結點的位移，i x 為第i 結點的座標。第i 個單元的應變為i ε，應力為i σ，內力為i N ：
i
i
i i L u u dx du -==
+1ε （1- 6）
i
i i i i L u u E E )
(1-=
=+εσ
（1- 7）
i
i i i i L u u EA A N )
(1-=
=+σ
（1- 8）
3）把外載荷集中到節點上
把第i 單元和第i+1單元重量的一半
2
)
(1++i i L L q ，集中到第i+1結點上。
圖1-6 集中單元重量
4）建立結點的力平衡方程
對於第i+1結點，由力的平衡方程可得：
2
)
(11+++=
-i i i i L L q N N
（1- 9）
令1
+=
i i
i L L λ，並將（1- 8）代入得：
221)11(2)1(i i
i i i i i L EA q u u u λλλ+=
-++-++ （1-10）
根據約束條件，01=u 。 對於第n+1個結點，
2
n
n qL N =
EA
qL u u n n n 221
=+-+
（1-11）
建立所有結點的力平衡方程，可以得到由n+1個方程構成的方程組，可解出n+1個未知的接點位移。
1.3 有限元法的計算步驟
有限元法的計算步驟歸納為以下三個基本步驟：網格劃分，單元分析，整體分析。
1.3.1網格劃分
有限元法的基礎是用有限個單元體的集合來代替原有的連續體。因此首先要對彈性體進行必要的簡化，再將彈性體劃分為有限個單元組成的離散體。單元之間通過單元節點相連接。由單元、結點、結點連線構成的集合稱為網格。
通常把三維實體劃分成4面體或6面體單元的網格，平面問題劃分成三角形或四邊形單元的網格。
圖1-7四面體四節點單元
圖1-8 六面體8節點單元
圖1-9 三維實體的四面體單元劃分
圖1-10 三維實體的六面體單元劃分
圖1-11 三角形3節點單元
圖1-12 四邊形4節點單元
圖1-13 平面問題的三角形單元劃分
圖1-14 平面問題的四邊形單元劃分
1.3.2單元分析
對於彈性力學問題，單元分析，就是建立各個單元的節點位移和節點力之間的關係式。
由於將單元的節點位移作為基本變數，進行單元分析首先要為單元內部的位移確定一個近似運算式，然後計算單元的應變、應力，再建立單元中節點力與節點位移的關係式。
以平面問題的三角形3結點單元為例。如圖1-15所示，單元有三個結點I、J、M，每個結點有兩個位移u、v和兩個結點力U、V。
圖1-15 三角形3結點單元
單元的所有結點位移、結點力，可以表示為結點位移向量（vector）：
結點位移{}
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
=
m
m
j
j
i
i
e
v
u
v
u
v
u
δ結點力{}
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
=
m
m
j
j
i
i
e
V
U
V
U
V
U
F
單元的結點位移和結點力之間的關係用張量（tensor）來表示，
{}[]{}e
e
e K
Fδ
=（1-12）
1.3.3整體分析
對由各個單元組成的整體進行分析，建立節點外載荷與結點位移的關係，以解出結點位移，這個過程為整體分析。再以彈性力學的平面問題為例，如圖1-16所示，在邊界結點i
上受到集中力i
y
i
x
P
P,作用。結點i是三個單元的結合點，因此要把這三個單元在同一結點上的結點力彙集在一起建立平衡方程。
圖1-16 整體分析
i 結點的結點力： ∑=++e
e i i i i U U U U )()3()2()1(
∑=++e
e i i i i V V V V )()3()2()1(
i 結點的平衡方程：
?
?
???
=∑∑=i y e
e i
e i x e i
P V P U )()
( （1-13）
1.4有限元法的進展與應用
有限元法不僅能應用於結構分析，還能解決歸結為場問題的工程問題，從二十世紀六十年代中期以來，有限元法得到了巨大的發展，為工程設計和優化提供了有力的工具。
1.4.1演算法與有限元軟體
從二十世紀60年代中期以來，進行了大量的理論研究，不但拓展了有限元法的應用領域，還開發了許多通用或專用的有限元分析軟體。
理論研究的一個重要領域是計算方法的研究，主要有： 大型線性方程組的解法， 非線性問題的解法，
動力問題計算方法。
目前應用較多的通用有限元軟體如下表所列：
軟體名稱簡介
MSC/Nastran 著名結構分析程式，最初由NASA研製
MSC/Dytran 動力學分析程式
MSC/Marc 非線性分析軟體
ANSYS 通用結構分析軟體
ADINA 非線性分析軟體
ABAQUS 非線性分析軟體
另外還有許多針對某類問題的專用有限元軟體，例如金屬成形分析軟體Deform、Autoform，焊接與熱處理分析軟體SysWeld等。
1.4.2應用實例
有限元法已經成功地應用在以下一些領域：
固體力學，包括強度、穩定性、震動和瞬態問題的分析；
傳熱學；
電磁場；
流體力學。
轉向機構支架的強度分析（劉道勇，東風汽車工程研究院動，用MSC/Nastran 完成）
圖1-17 轉向機構支架的強度分析
金屬成形過程的分析（用Deform軟體完成）
分析金屬成形過程中的各種缺陷。
圖1-18 型材擠壓成形的分析。型材在擠壓成形的初期，容易產生形狀扭曲。
圖1-19 螺旋齒輪成形過程的分析
圖1-20 T形鍛件的成形分析
焊接殘餘應力分析（用Sysweld完成）
圖1-21 結構與焊縫佈置
圖1-22 焊接過程的溫度分佈與軸向殘餘應力
熱處理過程的分析
BMW曲軸的感應淬火（Induction quenching of crankshafts at BMW，用SysWeld軟體完成）在曲軸表面獲得壓應力，可以提高曲軸的疲勞壽命。
曲軸的有限元模型
有限元模型的局部
沿格線52的殘餘應力分佈，紅線為預測的軸向應力與徑向應力之差，黑點為實測值。
複雜形狀工件的組織轉變預測（石偉，用NSHT3D完成）
預測工件的組織分佈和機械性能
二分之一工件的有限元模型
淬火3.06 min 時的溫度分佈
淬火3.06 min 時的馬氏體分佈
參考文獻
S. I. Oh, W. T. Wu, K. Arimoto. Recent developments in process simulation for bulk forming processes. Journal of Materials Processing Technology III (2001) 2-9
郭和德編. 有限單元法概論，清華大學，1998
思考題：
1）什麼是有限元法？
2）簡述有限元法的基本思路。
有限元理论方法
关于有限元分析法及其应用举例 摘要：本文主要介绍有限元分析法，作为现代设计理论与方法的一种，已经在 众多领域普遍使用。介绍了它的起源和国内外发展现状。阐述了有限元法的基 本思想和设计方法。并从实际出发，例举了有限元法的一个简单应用———啤 酒瓶的应力分析和优化,表明了利用有限元分析法的众多优点。随着计算机的 发展，基于有限元分析方法的软件开发越来越多。本文也在其软件开发方面进 行阐述，并简单介绍了一下主流软件的发展情况和使用范围。并就这一领域的 未来发展趋势进行阐述。 关键词：有限元分析法软件啤酒瓶 Abstract：This thesis mainly introduces the finite element analysis, as a modern design theory and methods used widely in in most respects. And this paper introduces its origins and development in world. It also expounds the basic thinking and approach of FEM..Proceed from the actual situation,this text holds the a simple application of finite-element method———the analysis and optimized of an beer bottle and indicate the the numerous benefits of finite element analysis .As computers mature and based on the finite element analysis of the software development is growing. This article introduces its application in the software development aspects as well, and briefly states the development and scope of the mainstream software. And it’s also prospect future development tendency in this area . Key: Finite Element Analysis Software Beer bottle 0 绪论 有限元法(Finite Element Method，FEM)，是计算力学中的一种重要的方法，它是20世纪50年代末60年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。有限元法最初应用在工程科学技术中，用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。对于过去用解析方法无法求解的问题和边界条件及结构形状都不规则的复杂问题，有限元法则是一种有效的分析方法。有限元法的基本思想是先将研究对象的连续求解区域离散为一组有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模拟成不同几何形状的求解小区域；
有限单元法第十章
复习题 10.8如何利用一个单元模型对K 非奇异性和s K 奇异性进行估计？为什么说仅是 估计？两种情况下，一个单元的模型有何区别？为什么？ 解：由于不可能事先规定单元数和自由度数，常采用如下公式： K 非奇异性b b s s e n d n d N +≥——○1 s K 奇异性s s n d j <或1s s j r n d =>——○2 e N 一个单元仅给予刚体运动约束后的自由度数。 j 在已形成部分网格的基础上再增加一个单元所增加的自由度数。 r 奇异性指标，r 越大表示s K 的奇异性越高。 ○1式不是K 非奇异性的必要条件，也不是充分条件；○2不是s K 奇异性的充分条件，因为具有不同网格和边界约束情况的实际系统的自由度数N 既可能小于， 也肯能大于○ 2式中的自由度数j 推算出的M j ?。 两种情况？ 10.9什么是用于Mindlin 板单元的假设剪切应变方法？如何选择它的取样点和插值函数？ 如同Timoshenko 梁情况，为避免剪切锁死，可以从分析造成锁死的根源出发，另行假设剪切应变场以代替原泛函中按应变和位移的几何关系得到的剪切应变场。
C型拉格朗日单元的方法构造，8,12 节点Serendipity单元可按Serendipity单元的方法构造。即分别按两个方向一维拉格朗日插值函数相乘的方法和变结点的方法构造。 练习题 10.5 同上题分析的四边固支的方板受均布载荷q 作用。板边长L，厚度t。由于对称取1/4进行分析，网格分别取2×2，4×4，6×6；L/t 分别取100，300，500；对4 节点，8 节点，9 节点的Mindlin 板单元是否发生剪切锁死情况进行检验并对结果进行分析。 解： 10.6 问题同题10.5，只是板的四边改为简支。 解：
有限元分析理论基础
有限元分析概念 有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件 有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。 有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。 线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。 线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。 非线性问题与线弹性问题的区别： 1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解； 2）非线性问题不能采用叠加原理； 3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。 有限元求解非线性问题可分为以下三类：
1）材料非线性问题 材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。 2）几何非线性问题 几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。 当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题。 3）非线性边界问题 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。
有限单元法读书报告
有限单元法读书报告 摘要：有限单元法以变分原理和加权余量法为基础，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。 关键词：有限单元法；插值函数；网格划分；实例分析 1 有限单元法概述 1.1 有限单元法的简介 有限单元法[1]是应用局部的近似解来建立整个定义域的解的一种方法。先把注意力集中在单个单元上，进行上述所谓的单元分析。基本前提是每一单元要尽可能小，以致其边界值在整个边界上的变化也是小的。这样，边界条件就能取某一在结点间插值的光滑函数来近似，在单元内也容易建立简单的近似解。因此，比起经典的近似法，有限元法具有明显的优越性。比如经典的Ritz法，要求选取一个函数来近似描述整个求解区域中的位移，并同时满足边界条件，这是相当困难的。而有限元法采用分块近似，只需对一个单元选择一个近似位移函数，且不必考虑位移边界条件，只须考虑单元之间位移的连续性即可。对于具有复杂几何形状或材料、荷载有突变的实际结构，不仅处理简单，而且合理适宜。 1.2 有限单元法的基本方法简介 有限单元法，是一种有效解决数学问题的解题方法。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中[2]，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函
有限元分析理论基础
有限元分析概念 有限元法:把求解区域瞧作由许多小的在节点处相互连接的单元(子域)所构成,其模型给出基本方程的分片(子域)近似解,由于单元(子域)可以被分割成各种形状与大小不同的尺寸,所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性与复杂的边界条件 有限元模型:它就是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成,单元之间通过节点连接,并承受一定载荷。 有限元分析:就是利用数学近似的方法对真实物理系统(几何与载荷工况)进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素,即单元,就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。 线弹性有限元就是以理想弹性体为研究对象的,所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中,材料的应力与应变呈线性关系,满足广义胡克定律;应力与应变也就是线性关系,线弹性问题可归结为求解线性方程问题,所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法,也有助于降低有限元分析的时间。 线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。 非线性问题与线弹性问题的区别: 1)非线性问题的方程就是非线性的,一般需要迭代求解; 2)非线性问题不能采用叠加原理; 3)非线性问题不总有一致解,有时甚至没有解。 有限元求解非线性问题可分为以下三类:
1)材料非线性问题 材料的应力与应变就是非线性的,但应力与应变却很微小,此时应变与位移呈线性关系,这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系,所以,一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据,有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟,尽管这些模型总有她们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有:非线性弹性(包括分段线弹性)、弹塑性、粘塑性及蠕变等。 2)几何非线性问题 几何非线性问题就是由于位移之间存在非线性关系引起的。 当物体的位移较大时,应变与位移的关系就是非线性关系。研究这类问题一般都就是假定材料的应力与应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题,橡胶部件形成过程为大应变问题。 3)非线性边界问题 在加工、密封、撞击等问题中,接触与摩擦的作用不可忽视,接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题,如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等,当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。 有限元理论基础
有限元分析法英文简介
The finite element analysis Finite element method, the solving area is regarded as made up of many small in the node connected unit (a domain), the model gives the fundamental equation of sharding (sub-domain) approximation solution, due to the unit (a domain) can be divided into various shapes and sizes of different size, so it can well adapt to the complex geometry, complex material properties and complicated boundary conditions Finite element model: is it real system idealized mathematical abstractions. Is composed of some simple shapes of unit, unit connection through the node, and under a certain load. Finite element analysis: is the use of mathematical approximation method for real physical systems (geometry and loading conditions were simulated. And by using simple and interacting elements, namely unit, can use a limited number of unknown variables to approaching infinite unknown quantity of the real system. Linear elastic finite element method is a ideal elastic body as the research object, considering the deformation based on small deformation assumption of. In this kind of problem, the stress and strain of the material is linear relationship, meet the generalized hooke's law; Stress and strain is linear, linear elastic problem boils down to solving linear equations, so only need less computation time. If the efficient method of solving algebraic equations can also help reduce the duration of finite element analysis.
有限元概述
有限元 百科名片 有限元法（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后 再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。 目录 简介 1）物体离散化 2）单元特性分析 3）单元组集 4）求解未知节点位移 5）有限元的未来是多物理场耦合 编辑本段简介 英文：Finite Element 有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。 有限元法分析计算的思路和做法可归纳如下： 编辑本段1）物体离散化 将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定（一般情况单元划分越细则描述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大）。所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。 编辑本段2）单元特性分析 A、选择位移模式
solidworkssimulation有限元法概述
SolidWorks Simulation概述 SolidWorks Simulation是一款基于有限元（即FEA数值）技术的设计分析软件，是SRAC 开发的工程分析软件产品之一。SRAC是DS SolidWorks@公司的子公司，成立于1982年，是将有限元分析带入微型电脑的先驱。1995年，SRAC开始与DS SolidWorks@公司合作开发了COSMOSWorks软件，从而进入了工程界主流有限元分析软件的市场，成为了DS SolidWorks@公司的金牌产品之一。同时，它作为嵌入式分析软件与SolidWorks无缝集成，迅速成为顶级销售产品。整合了SolidWorks CAD软件的COSMOS-Works软件在商业上取得了成功，并于2001年获得了Dassault Systemes（DS SolidWorks@母公司）的认可。2003年，SRAC公司与DS SolidWorks⑤公司合并。COSMOSWorks推出的2009版被重命名为Solid-Works Simulation。 SolidWorks是一款基于特征的参数化CAD系统软件。和许多最初在UNIX环境中开发，后来才向Windows系统开放的CAD系统不同，SolidWorks与SolidWorks Simulation茌一开始就是专为Windows操作系统开发的，所以相互整合是完全可行的。 SolidWorks Simulation有不同的程序包或应用软件以适应不同用户的需要。除了SolidWorks Simula-tionXpress程序包是SolidWorks的集成部分之外，所有的SolidWorks Simulation软件程序包都是插件式的。不同程序包的主要功能如下： ·SolidWorks SimulationXpress：能对带有简单载荷和支撑的零件进行静态分析。 ·SolidWorks Simulation：能对零件和装配体进行静力分析。 ·SolidWorks Simulation Professional：能进行零件和装配体的静态、热传导、扭曲、频率、跌落测试、优化和疲劳分析。 ·SolidWorks Simulation Premium：具有SolidWorks Simulation Professional的所有功能，外加非线性功能和动力学分析。 有限元分析概述 在数学术语中，FEA也称之为有限单元法，是一种求解关于场问题的一系列偏微分方程的数值方法。这种类型的问题涉及许多工程学科，如机械设计、声学、电磁学、岩土力学、流体动力学等。在机械工程中，有限元分析被广泛地应用在结构、振动和传热问题上。 FEA不是唯一的数值分析工具，在工程领域还有其他的数值方法，如有限差分法、边界元法和有限体积法。然而由于FEA的多功能性和高数值性能，它占据了绝大多数工程分析的软件市场，而其他方法则被归入小规模应用。使用FEA，通过不同方法理想化几何体，能够分析任何形状的模型，并得到预期的精度。当使用现代的商业软件，例如SolidWorks Simulation时，FEA理论、数值问题公式和求解方法对用户是完全透明的。 作为一个强有力的工程分析工具，FEA可以解决从简单到复杂的各种问题。一方面，设计工程师使用FEA在产品研发过程中分析设计改进，由于时间和可用的产品数据的限制，需要对所分析的模型作许多简化。另一方面，专家们使用FEA来解决一些非常深奥的问题，如车辆碰撞动力学、金属成形和生物结构分析。 不管项目多复杂或是应用领域多广，无论是结构、热传导或是声学分析，所有FEA的第一步总是相同的，都是从几何模型开始。在本课程中，即为SolidWorks的零件和装配件。我们给这些模型分配材料属性，定义载荷和约束，再使用数值近似方法，将模型离散化以便分析。 离散化过程也就是网格划分过程，即将几何体剖分成相对小且形状简单的实体，这些实体称为有限单元。单元称为“有限”的，是为了强调这样一个事实：它们不是无隈的小，而是与整个模型的尺寸相比之下适度的小。 当使用有限单元工作时，FEA求解器将把单个单元的简单解综合成对整个模型的近似解
有限单元法
《有限元法》复习题 一. 单选题 1.平面刚架单元坐标转换矩阵的阶数为（ ） A ．2?2 B ．2?4 C ．4?4 D ．6?6 2.图示的四根杆组成的平面刚架结构，用杆单元进行有限元分析，单元和节点的划分如图示，则总体刚度矩阵的大小为（ ） A.8?8阶矩阵 B.10?10阶矩阵 C.12?12阶矩阵 D.16?16阶矩阵 3.坐标转换矩阵可归类为（ ） A.正交矩阵 B.奇异矩阵 C.正定矩阵 D.对称矩阵 4.图示弹簧系统的总体刚度矩阵为（ ） A 111123 2224443400 0000k k k k k k k k k k k k k k -????-++-???? -+??-+?? B. 111122224443400 0000k k k k k k k k k k k k k -????-+-???? -+-??-+?? C. 111123 2322443 4 3400 00 k k k k k k k k k k k k k k k k -????-++--???? -+-??--+?? D. 111122322443 4 340 00 k k k k k k k k k k k k k k k -????-+--???? -+??--+?? 5.确定已知三角形单元的局部码为1(e),2(e),3(e)，对应总码依次为3，6，4，则其单元的刚度矩阵中的元素k 24应放在总体刚度矩阵的( )。 A.1行2列 B.3行12列 C.6行12列 D.3行6列 6.对一根只受轴向载荷的杆单元，k 12为负号的物理意义可理解为（ ） A.当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的载荷与其方向相同 B.当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的载荷与其方向相反 C.当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的位移与其方向相同 D.当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的位移与其方向相反 7.平面桁架中，节点3处铅直方向位移为已知，若用置大数法引入支承条件，则应将总体刚度矩阵中的（ ） A.第3行和第3列上的所有元素换为大数A B.第6行第6列上的对角线元素乘以大数A C.第3行和第3列上的所有元素换为零 D.第6行和第6列上的所有元素换为零 8.在任何一个单元内（ ） A.只有节点符合位移模式 B.只有边界点符合位移模式 C.只有边界点和节点符合位移模式 D.单元内任意点均符合位移模式 9.平面应力问题中(Z 轴与该平面垂直)，所有非零应力分量均位于（ ） A.XY 平面内 B.XZ 平面内 C.YZ 平面内 D.XYZ 空间内 12.刚架杆单元与平面三角形单元（ ） A.单元刚度矩阵阶数不同 B.局部坐标系的维数不同 C.无任何不同 D.节点截荷和位移分量数不同 13.图示平面结构的总体刚度矩阵［Ｋ］和竖带矩阵［K *］的元素总数分别是（ ） A.400和200 B.400和160 C.484和200 D.484和160 14.在有限元分析中，划分单元时，在应力变化大的区域应该（ ） A.单元数量应多一些，单元尺寸小一些 B.单元数量应少一些，单元尺寸大一些 C.单元数量应多一些，单元尺寸大一些 D.单元尺寸和数量随便确定 15.在平面应力问题中，沿板厚方向（ ） A.应变为零，但应力不为零 B.应力为零，但应变不为零 C.应变、应力都为零 D.应变、应力都不为零 16.若把平面应力问题的单元刚度矩阵改为平面应变问题的单元刚度矩阵只需将（ ） A. E 换成E/(1-μ2)，μ换成μ/(1-μ2) B. E 换成E/(1-μ2)，μ换成μ/(1-μ) C. E 换成E/(1-μ)，μ换成μ/(1-μ2) D. E 换成E/(1-μ)，μ换成μ/(1-μ) 17.图示三角形单元非节点载荷的节点等效载荷为（ ） A.F yi =-100KN F yj =-50KN F yk =0 B. F yi =-80KN F yj =-70KN F yk =0 C. F yi =-70KN F yj =-80KN F yk =0
有限元方法理论及其应用
1 课程论文：弹性力学有限元位移法原理（30分） 撰写一篇论文，对有限元位移法的原理作一般性概括和论述。要求论文论及但不限于下列内容：1）弹性力学有限元位移法的基本思想和数学、力学基础；2）有限元法求解的原理和过程，推导计算列式；对基本概念和矩阵符号进行解释和讨论；3）等参单元的概念、原理和应用。 1.1 对一维杆单元有限元形式的理解 我对此提出了几点疑问： 1)为什么边界条件u1=0，就要划去刚度矩阵[K]中对应的行列再解方程？ 2)为什么刚度矩阵[K]会奇异？ 3)为什么平衡方程本身是矛盾的，而加上边界条件u1=0之后就能解出一 个唯一的近似解？ 4)为什么刚度矩阵[K]是对称的？ 下面我谈谈自己的理解:节点平衡方程是在u1不定的前提下，假设单元内位移都是线性变化推导出来的，由此u1相当于一个不确定的定值约束，再加上中间两个节点的连续性要求，系统实际上只有三个独立的自由度（广义坐标）。 对于第一个问题，其实刚度矩阵[K]中的元素不是一成不变的，相反它是伴随边界条件动态变化的。当u1=0时由刚度矩阵的推导过程可以知道，刚度矩阵的第一行和第一列都会变为0，所以此时第一行和第一列对于求解方程是没有作用的。 对于第二个问题，由于系统自由度（广义坐标）只有三个，而我们的方程却列出
了四个，显然
这四个方程不可能线性无关，所以刚度矩阵奇异。 对于第三个问题，首先我们应该明确方程区别于等式，虽然左右两边都是用“=”连接，但是方程只在特殊条件下取得定解。由于平衡方程是在没有约束的条件下推导出来的，显然它不可能满足等式要求。宏观上看，系统在没有外部约束，而又施加有外力，显然系统会产生加速度而绝不会平衡。所以平衡方程本身是矛盾的。而加上边界条件之后，不但满足了平衡的前提，还改变了矩阵的结构和性质，所以有解。但是，由于我们提前假设了位移线性变化，相当于人为对单元施加了额外约束，让位移按照我们假设的规律变化，所以得到的解是过刚的近似解。但对于方程本身而言是精确解。 对于第四个问题，其力学的作用机理类似于作用力与反作用力，由于刚度矩阵不表征方向，所以其大小是相等的。 1.2 有限元法的思想 有限元法是求解连续介质力学问题的数值方法，更一般意义是一种分析结构问题和连续场数学物理问题的数值方法。 有限元法的基本思想是离散化和分片插值。 即把连续的几何机构离散成有限个单元，并在每一个单元中设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相连接的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未知量并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律，再建立用于求解节点未知量的有限元方程组，从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中的有限自由度问题。 求解得到节点值后就可以通过设定的插值函数确定单元上以至个集合体上的场函数。对每个单元，选取适当的插值函数，使得该函数在子域内部、在子域分界面上以及子域与外界面上都满足一定的条件。单元组合体在已知外载荷作用下处于平衡状态时，列出一系列以节点、位移为未知量的线性方程组，利用计算机解出节点位移后，再用弹性力学的有关公式，计算出各单元的应力、应变，当各单元小到一定程度，那么它就代表连续体各处的真实情况。
有限单元法原理与应用(第三版)
122123 60 组建 周年60组建 周年 主要完成人：朱伯芳 受奖单位：水电中心/结构材料所 【创新性】 全面系统地阐述了有限单元法的基本原理及其在土木、水利工程问题中的应用，包括弹性力学平面问题和空间问题、薄板、薄壳、厚板、厚壳、弹性稳定、塑性力学、大位移、断裂、动力反应、徐变、岩土力学、极限分析、混凝土和钢筋混凝土、流体力学、渗流分析、热传导、工程反分析、仿真分析、网格自动生成、误差估计及自适应技术等。本书取材实用、由浅入深、先易后难，便于自学；对于实际工程中有用的计算方法力求讲述清楚并给出具体计算公式，便于应用；对有限元法的工程应用，注意工程的物理特性，要求采用的概化假定、计算参数和计算荷载等尽量接近实际，注重计算方法精度的适应性等，并重视有限元计算结果与实际观测资料相验证。【影响力】 我国最早的有限元专著之一，为在我国推广有限元法发挥了重要作用；本书共出版三版，第一版于1976年8月，第二版于1998年10月，第三版于2009 年6月；曾作为多所高校的有限元课程教材使 用；英文版已由清华大学出版社和美国Wiley 出版社联合出版；中国科学技术信息研究所编著的《中国高被引指数分析》（2011版）中，本书列为国内水利工程领域高被引图书第2名。 有限单元法原理与应用（第三版） 著作类成果 【Innovation】 This book expounds, in an all-round and systematic manner, the basic theory of the finite element method and its application to civil engineering and hydraulic engineering , including plane and space problems of elasticity, thin plate, thin shell, thick plate, thick shell, elastic stability, plasticity, large displacement, fracture, dynamic response, creep, rock and soil mechanics, limit analysis, concrete and reinforced concrete, fluid mechanics, seepage analysis, heat conduction, back analysis in engineering, simulated analysis, automatic generation of meshes, error estimation and adaptive technique. This book is learner-friendly because it contains practical content and expounds knowledge step by step and from easy to difficult; and is also easy to use because it strives to clarify the computing methods usable in actual engineering and gives corresponding formulas. Regarding the engineering application of the finite element method, it pays attention to the physical characteristics of projects, requires adopted conceptualized assumption, calculation parameter and calculation load be close enough to reality and accuracy of calculation methods be adaptive, and stresses the verification between the calculation result of the finite element method and actual observational data. 【Influence】 Amongst the earliest finite element books in China, this book plays an important role in generalizing the finite element method in China. It has registered three editions, with the first edition published in August, 1976, the second edition in October, 1998 and the third edition in June, 2009. It served as a finite element textbook of many colleges and universities; and its English version has been published jointly by Tsinghua University Press and the U.S.-based Wiley & Sons, Inc. This book ranks second amongst the highly-cited books of hydraulic engineering in China, according to the Analysis Report of Chinese Highly Cited Paper 2011 of the Institute of Scientific and Technical Information of China (ISTIC) Main Contributor : Zhu Bofang Award-winning Unit : Research Center for Sustainable Hydropower/Department of Structures and Materials THE FINITE ELEMENT METHOD THEORY AND APPLICATIONS(EDITION III)
有限元法的概述
有限元法的概述 有限元方法(Finite Element Method)是力学，数学物理学，计算方法，计算机技术等多种学科综合发展和结合的产物。在人类研究自然界的三大科学研究方法(理论分析，科学试验，科学计算)中，对于大多数新型领域，由于科学理论和科学实践的局限性，科学计算成为一种最重要的研究手段。在大多数工程研究领域，有限元方法是进行科学计算的重要方法之一;利用有限元方法几乎可以对任意复杂的工程结构进行分析，获取结构的各种机械性能信息，对工程结构进行评判，对工程事故进行分析。有限元法在设计过程中有极为关键的作用。 人们对各种力学问题进行分析求解，其方法归结起来可以分为解析法(Analytical Method)和数值法(Numeric Method).如果给定一个问题，通过一定的推导可以用具体的表达式来获得问题的解答，这样的求解方法就称为解析法。但是由于实际结构物的复杂性，除了少数极其简单的问题外，绝大多数科学研究和工程计算问题用解析法求解式极其困难的。因此，数值法求解便成为了一种不可替代的广泛应用的方法，并取得了不断的发展，如有限元法，有限差分法，边界元方法等都是属于数值求解方法。其中有限元法式 20 世纪中期伴随着计算机技术的发展而迅速发展起来的一种数值分析方法，它的数学逻辑严谨，物理概念清晰，应用非常广泛，能活灵活现处理和求解各种复杂的问题。有限元方法采用矩阵式来表达基本公式，便于计算机编程，这些优点赋予了它强大的生命力。 有限元方法的实质是将复杂的连续体划分成为有限多个简单的单元体，化无限自由度问题为优先自由度问题，将连续场函数的(偏)微分方程的求解问题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题。用有限元方法分析工程结构的问题时，将一个理想体离散化后，如何保证其数值的收敛性和稳定性是有限元理论讨论的主要内容之一，而
1有限元法简介
1有限元法简介 1.1有限单法的形成 在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。其中的第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。我们把这类问题，称为离散系统。如图1-1所示平面桁架结构，是由6个承受轴向力的“杆单元”组成。尽管离散系统是可解的，但是求解图1-2所示这类复杂的离散系统，要依靠计算机技术。 图1-1 平面桁架系统
图1-2 大型编钟“中华和钟”的振动分析及优化设计（曾攀教授） 第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称为连续系统。 图1-3 V6引擎的局部 下面是热传导问题的控制方程与换热边界条件： t T c Q z T z y T y x T x ??=+??? ??????+??? ? ??????+??? ??????ρλλλ （1- 1） 初始温度场也可以是不均匀的，但各点温度值是已知的： () 00 x,y,z T T t == （1- 2） 通常的热边界有三种，第三类边界条件如下形式： ()f T-T h n T λ=??- （1- 3） 尽管我们已经建立了连续系统的基本方程，由于边界条件的限制，通常只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答，例如，图1-3所示V6引擎在工作中的温度分布。这为解决这个困难，工程师们和数学家们提出了许多近似方法。 在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的结果，即有限元法。有限元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离散系统与人为地分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。 1956年M..J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp 在纽约举行的航空学会年会上介
最新整理有限单元法参考答案知识讲解
有限单元试题参考答案 一、问答题（50分） 1.（5分）有限单元位移法求解弹性力学问题的基本步骤有哪些？ 1）选择适当的单元类型将弹性体离散化 2）建立单元体的位移插值函数 3）推导单元刚度矩阵 4）将单元刚度矩阵组装成整体刚度矩阵 5）代入边界条件和求解 2.（5分）有限元法在单元划分的时候应注意哪些问题？ 1）集中载荷的作用点、分布载荷的突变点和约束的支撑点都应取为结点 2）在应力变化激烈的区域，单元划分得细一些，其它应力平缓的区域划分得粗一些 3）为了避免在计算中产生过大的误差，单元的长细比最好不要大于2 3.（5分）有限元法中建立位移函数一般有广义坐标法和插值函数法，我们经常用插值函数的哪些性质来直接建立位移函数？ 1）形函数与位移插值函数是相同次数的多项式 2）形函数N i 在结点i 处等于1，在其它结点上的值等于0 3）在单元任意一点，三个形函数之和为1 4.（10分）在有限元法中，单元刚度矩阵和整体刚度矩阵具有哪些性质？ 1）单元刚度矩阵每一列元素表示一组平衡力系，对于平面问题每列元素之和为零 2）单元刚度矩阵对角线元素总为正 3）单元刚度矩阵为对称矩阵 4）单元刚度矩阵为奇异矩阵 整体刚度矩阵前三条性质和单元刚度矩阵一样。另外： 1） 整体刚度矩阵为奇异矩阵，排除刚体位移后为正定矩阵 2）整体刚度矩阵是带状矩阵 5.（5分）什么是等参数单元？它与三角形单元和矩形单元相比有哪些优势？ 1）在建立局部坐标系下的形状规则的标准单元与整体坐标系下形状复杂的实际单元之间的变换时，如果坐标变换函数中的形函数及插值结点与描述单元位移函数的形函数及插值结点完全相同，则这种变换我们成为等参数变换，当中的实际单元单元称为等参数单元。（其它描述意思一样也可） 2）三角形单元和矩形单元不能适应复杂的曲线边界，等参数单元可以。 6.（10分）平面三角形单元与轴对称问题的三角形截面单元的不同之处在哪里？轴对称问题三角形截面单元刚度方程的推导当中，为了简化计算和消除在对称轴上r=0引起的麻烦，可怎样处理？ 1）平面三角形单元的三个应力分量xy y x τσσ和三个应变分量
1有限元分析基础教学大纲
《有限元分析基础》教学大纲 学时数：32，其中理论授课24学时，实验（上机）8学时；学分：2； 适用专业：机械工程及其自动化、机械设计制造及其自动化、机械电子工程。 一、课程的性质、目的和任务 1、性质：本课程是机械设计制造及自动化、材料成型及制造工程专业等相关专业的专业选 修课。 2、目的：通过课堂教学与上机实践，使学生了解有限元分析方法的基本理论；掌握工程及 设备结构的受力与变形分析，以及软件ANSYS的基本使用方法；提高工程结构分析、计算 与设计，以及解决实际问题的能力。 3、任务：在课堂教学中，主要以材料特性及其结构为对象，介绍固体力学的有限单元分析 方法的基本理论和边值问题的近似计算及其应用方法。在讲授的同时配以相应的理论计算及 工程应用软件ANSYS的应用实例，是学生加深对基本理论和分析方法的理解；在上机实践 中，以课堂理论为基础，介绍大型工程软件ANSYS的基本构成及使用方法，使学生了解和 掌握有限单元法的基本编程与分析方法，培养学生对机电工程及设备结构受力与变形研究的 计算机分析技能。最终提高学生工程结构分析、设计与解决实际问题的能力。 二、教学的基本要求 本课程的先修课程是高等数学、线性代数、工程力学等。通过课堂教学和上机实践，应使学生学习与掌握如下内容： （1）学习有限元基本理论与基本分析方法，掌握有限元分析的具体过程、步骤和方法。 （2）了解力学方程、轴对称问题、平面问题的有限元法，掌握位移与变形的基本求解方法。（3）掌握应用有限元软件ANSYS解决工程实际问题的基本方法和技能。 （4）为以后从事本专机械设计与装备制造、工程结构分析和机电工程等相关专业课程打下 坚实的基础。 三、教学内容 第1章有限单元法简介 1 数值模拟方法简介；2有限单元法的一般原理； 3 有限单元法的数学基础； 4 有限元分析的基本步骤； 5 有限元分析的工程应用。 第2章ANSYS的建模与分析方法 1 应用有限元软件建模与分析的步骤； 2 ANSYS软件简介； 3 ANSYS结构分析的操作流程； 4 ANSYS软件的宏命令与参数化建模； 5 ANSYS的几何建模。 第3章弹性力学平面问题的有限单元法 1 弹性力学平面问题简介； 2 单元位移函数； 3 单元载荷移置； 4 单元刚度矩阵； 5 单元刚度矩阵的性质与物理意义； 6 整体分析； 7 约束条件的处理。 第4章弹性力学平面问题的分析 1 带中心圆孔方板的应力分析； 2 坝体的应力分析； 3 ｈ方法结构分析； 4 ｐ方法结构分析； 5 ANSYS的ｐ方法结构分析； 6 用动画方式显示计算结果。 第5章等参单元