工程力学第六章答案 梁的变形

第五章 梁的变形

测试练习

判断改错题

梁上弯矩最大的截面 挠度也最大 弯矩为零的截面 转角亦为零 （ ）

两根几何尺寸、支承条件完全相同的静定梁，只要所受荷栽相同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关。 （ ）

悬臂梁受力如图所示，若 点上作用的集中力 在 段上作等效平移，则 截

面

的

转

角

及

挠

度

都

不

变

。

（ ）

图示均质等直杆（总重量为 ），放置在水平刚性平面上，若 端有一集中力 作用，使 部分被提起， 部分仍与刚性

上剪力和弯矩均为零。

（ ）

挠曲线近似微分方程不能用于求截面直梁的位移。 （ ）

等截面直梁在弯曲变形时，挠度曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。

（ ） 两简支梁的抗刚度 及跨长 均相同，受力如图所示，则两梁跨中截面的挠度

不

等

而

转

角

是相等的。

题 图

题

图

（ ）

简支梁在图示任意荷载作用下，截面 产生挠度和转角，若在跨中截面 又加上一个集中力偶 作用，则梁的截面 的挠度要改变，而转角不变。

一铸铁简支梁，在均布载荷作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时，梁同一截面的应力及变形均相同。 （ ）

图示变截面梁，当用积分法求挠曲线方程时，因弯矩方程有三个，则通常有 个积分常量。 （ ）

．填空题

挠曲线近似微分方程EI

x M x y )

()("

-

= 的近似性表现在 和 。 已知图示二梁的抗弯度 相同，若使二者自由端的挠度相等，则

=2

1

P P

。

题 图 题

图

题 图

题 图

题

应用叠加原理求梁的变形时应满足的条件是： 。 在梁的变形中挠度和转角之间的关系是 。

用积分法求图示的外伸梁（ 为拉杆）的挠曲线方程时，求解积分常量所用到的边界条件是 ，连续条件是 。

用积分法求图示外伸梁的挠曲线方程时，求解积分常量所用到边界条件是 ，连续条件是 。

图示结构为 次超静定梁。

纯弯曲梁段变形后的曲率与外力偶矩 的关系为 ，其变形曲线为 曲线。

两根 值相同、跨度之比为 ： 的简支梁，当承受相同的均布荷载 作用时，它们的挠度之比为 。

当梁上作用有均布荷载时，其挠曲线方程是 的 次方程。梁上作用有集中力时，挠曲线方程是 的 次方程。梁上作用有力偶矩时，挠曲线方程是 的 次方程。

图示外伸梁，若 段作用有均布荷载， 段上无荷载，则 段挠曲线方程是 的 次方程； 段挠曲线方程是 的 次方程。

题

图

题

图

题

图

减小梁变形的主要途径有： ， ， 。

已知梁的挠度曲线方程为)3(6)(2

x l EI

Px x y -=，则该梁的弯矩方程为 。

梁的变形中，挠度和截面弯矩 的关系是 挠度和截面剪力 的关系是 。

为使图示 段的挠曲线为一直线，则 。

要使图示简支梁的挠曲线的拐点位于距 端 处，则

。

图示静定梁，其 上无荷载作用，若已知 截面的挠度 则 截面的挠度 ， 截面的转角θ 。

．选择题

简支梁长为 ，跨度中点作用有集中力 ，则梁的最大挠度

（ 常量）

EI Pl 483 EI Pl 484 EI Pl 38455 EI

Pl 33

悬臂梁长为 ，梁上作用有均布荷载 ，则自由端截面的挠度为。

EI ql 64 EI ql 63 EI ql 84 EI

ql 83

题 图

题 图

题 图

两梁尺寸及材料均相同，而受力如图示，则两梁的 ． 弯矩相同，挠曲线形状不相同 ． 弯矩相同，挠曲线形状相同 ． 弯矩不相同，挠曲线形状不相同 ．

弯矩不相同，挠曲线形状相同

图示 、 两梁，长度、截面尺寸及约束均相同，图 梁的外力偶矩作用在 截面，图 梁的外力偶矩作用在 支座的右作侧，则两梁 段的内力和弯曲变形的比较是 。

。内力相同，变形不相同 ．内力及变形均相同 ．内力及变形均不相同

．内力不相同，变形相同

当用积分法求图示梁的挠度曲线方程时，在确定积分常量的四个条件中，除

θ

外，另两个条件是

。

．（ ）左 右，（θ ）左 （θ ）右 ．（ ）左 右， ． ， ． ，θ

图示简支梁在分布荷载 （ ） （ ）作用下，梁的挠度曲线方程为

??++-=,

)()(D Cx dxdx x M x EIy ，其中，积分常量

题

图

题

图

。

0,0==D C 0,

0≠=D C

0,0≠≠D C 0,0=≠D C

挠曲线方程中的积分常梁主要反映了

． 对近似微分方程误差的修正 ． 剪力对变形的影响 ． 约束条件对变形的影响 ．

梁的轴向位移对变形的影响

图示悬臂梁在 、 两截面上各承受一个力偶矩作用，两力偶矩大小相等，转向相反，使梁产生弯曲变形。 截面的变形为 。 ．0,0≠=θy 0,0=≠θy ．0,0≠≠θy 。0,0==θy

图示简支梁受集中力作用，其最大挠度 发生在（ ）。 ．集中力作用处 。跨中截面 ．转角为零处 。转角最大处

两简支梁 及 均相同，作用荷载如图所示。跨中截面 分别产生挠度

和转角θ

则两梁 点的挠度及两梁 点的转角有

（ ）。 ．θ 相等， 不相等 。θ 不相等， 相等 ．θ 和 都不相等 。θ 和 都相等

题

图

题

图

题

图

．计算题

试画出图示各梁挠曲线的大致形状。

一简支梁承受图示分布荷载 （ 为已知），试求此梁的挠曲线方程（设 常量）。

已知图示梁的带积分常量的挠曲线方程为

)2

()2

(2412163)

2

1

0(12163)(22

22423222221111312121l x l

D x C l x q x ql x ql EIy x D x C x ql x ql x EIy ≤≤++-+-=≤≤++-=

试求方程中的积分常量。

试用叠加法求图示梁 点的挠度和转角。（ 常量）

外伸梁受图示荷载作用，试求 截面的挠度和 截面的转角。（ 常量。）

题 图

题 图

题 图

题 图

图

矩形截面梁 的抗弯刚度为 ，受力如图示。试问 端支座向上抬高Δ为多少时，梁的 截面的弯矩和 截面的弯矩绝对值相等。（材料的抗拉与抗压性能相同） 图示弯曲的钢板梁 ，截面为矩形，宽度为 ，高度为 ，钢板放在刚硬地面上时原有曲率半径为ρ，在两端受力 作用使其平直，则将有均布压力作用于刚硬地面

上。已知刚梁 （弹性模量），试求所需的 力及其在压平时梁内的最大正应力。

长度为 、抗弯刚度为 的悬臂梁 ，受均布荷载

作用而弯曲时，与半

径为 的刚性圆柱面接触，如图所示。试求当梁上某一段 与刚性圆柱面在 点接触（假设

点与梁左端 的距离为 ）时， 点的挠度。

单位长度重量为 、抗弯刚

度为 的矩形截面钢条，放置在水平刚性面上，刚条的一端伸出水平面一小段 ，如图所示。若伸出长度为 ，试求刚条翘起而不与

水平面接触的 段的长度 。

超静定梁如图所示， 段内作用有均布荷载 ，当 支座向下沉陷

EI

ql 964

=?时，试求梁的反力。

矩形截面悬臂梁如图所示，梁长为 ，在沿其截面高度 承受非均匀加热，设梁顶部温度改变为 ，底部温度改变为 ，且 。温度沿截面高度呈线形改变。材料的线膨胀系数为 ，弹性模量为 由于不均匀受热而使梁发生弯曲变形，当梁的悬臂

题 图

题 图 题 图

题

图

题

图 图

端施加偶矩 时，能使梁展直。问应施加多大的外力偶矩

悬臂梁 和 的自由端处用拉杆 相连 受力如图所示 若 梁和 梁的抗弯刚度 相等，试求在下列两种情况下 点的挠度 当 杆为刚性杆 即 时； 当 杆长为2l ，2l

EI

EI 时。

与 两梁铰接于 ，如图所示。已知两梁的抗弯度相等，

，试求 点的约束力。

悬臂梁和简支梁材料和截面均相同。已知 及未受力前 梁 点与 梁中点之间的间隙Δ（垂直距离），如图所示，当受 力后 梁在 点的挠度大于Δ，试求各梁的支座反力。

具有初始挠度的 梁如图所示，梁的 和 均为已知。当梁上作用有三角形分布荷载时（ 已知），梁便呈直线形状。试求梁的初始挠曲线方程。

题

图

题

图

试根据对称性求图示梁的挠曲线方程。 常量

两端固定的等截面梁，梁上作用一外力偶矩 ，如图所示。欲使在固定端 的反力偶矩 为零，则力偶矩 应作用在梁上何位置？（即 ？）

测试练习解答 ．

判断改错题

×。挠度和转角不仅与弯矩有关，而且与边界位移条件也有关，例如，当悬

臂梁自由端作用有集中力 时，自由端的 ，但挠度和转角都是最大值。

×。凡弹性变形均与材料的弹性模量值有关。

√。外力在研究的梁段以外，用等效力系代替不影响研究段的内力及变形。

×。在 截面上弯矩为零而剪力不为力零。

×。可以用于变截面梁，只是分母中的 不同。

×。根据

,)()("1

EI x M x y =

±=ρ

可知曲率ρ

1

最大值应在 最大的截面处（ 常量时）。

√。若将 分解成正对称和反对称两组，就可明显看出，在正对称的 作用

下 点有挠度，转角等于零。

×。在 截面加上一力偶矩后 截面的挠度不变，而转角改变。

×。应力不同，变形相同。因为变形只与 有关，而 形截面无论 是 还

是，其惯性矩 是相等的。而应力不仅与 有关而且还与 （上下边缘到中性轴的

距

题

图

题 图

题

图 题

解

图

离）有关， 这种方法的最大拉应力比 这种方法的最大拉应力要大。

×弯矩方程式有三个，但积分时要分成四段，因截面改变处要分段。 ．填空题

忽略剪力 的影响；1)(1'

≈+y

。因33231)2(3a a P EI a P =，所以8)2(3

3

21==a

a P P 小变形及材料为线弹性 )()('

x x y θ= ;,0,

0BD B A l y l x y x ?====

A

A A A

B A y y y y ))(,)()(;

0,

02121====θθ

二次

EI

M

±

=ρ

1

；圆弧线 ： 。因

16/1384)2(5/384)(54

4=EI

l q EI l q ； ； ；

合理安排受力，减小 ；减小 ；加大

)()(x l P x M -= EI

x Q x y EI

x M x y )

()(;)

()('''"

-

=-= a y y B C 2/2

1

= ．选择题

计算题

梁的挠曲线方程为

（ ） 求分布荷载的合力 ?==t

Kl dx x q P 03

3

)(

求合力作用点到点的距离：l P x dx x q d t

4

3)(0

=?=

? （ ） 求反力：443,1243

3Kl P R Kl P R B A ==== （ ） 列4

3)(3x

Kx x R x M A ?-

?= （ ） 代入EI

x M y )

("

-=中并积分，由边界条件确定0,905=-=D Kl C 所以 )45(360)(5523l x x l EI

Kx

x y --=

（ ）边界条件：

,0,011'1===θy x 解出01=C

,0,011==y x ，解出01=D

（ ）连续光滑条件：

,)()(,22'1'21C C y y l x x ==

=解出 02=C ,)()(,

2

2121C C y y l

x x ===，解出02=D

（ ）只有 作用时，EI

ql y EI ql q B q B 8)(,6)(4

3==θ （ ）只有 作用时

2

2)2(3)2(2)()()(,

2)2())(232

l

EI l P EI l P l y y EI

l P P C P C P B P C P B ?

+=?+===θθθ

（ ）然后两者叠加：

EI ql P B q B B 247)()(3

=

+=θθθ

EI ql y P B q B B 4811)()(4

=

+=θθ

（ ）只有2

02

1ql M =

作用时，

())(2

)(,)(3)(00

00↑?=?=l

y EI l M M B M

C M A θθ

（ ）只有 作用时，

q A 1

()(2=θ

EI

l q l

EI l ql y q C 8)2(23)81()(4

2+??=

（ ）叠加：

)

(3845)()(,

487)()(4

3

00↑=+==+=EI

ql

y y y EI

ql q C M C C q A M A A θθθ （ ）将 约束解除，用反力 代替。 （ ）由 、 两截面的弯拒绝对值相等可列方程l R l P l R B B -=221，解出)(3

↑=P R B （ ）在 和3

P

R B =

作用下，求 点的挠度。 )(1443]22)2(3)2([3

32

3负号表示向上EI

Pl EI l R l EI l P EI l P B -=-

?+=?

这是一个求变形和应力的综合题。

（ ） 求压力 ：依题意，当两端加上力 后使其平直且在 面上产生均布压力 ，

因此可以将其简化为两端铰支的简支梁，其反力均为 ， 面上的均布压力

l

P q 2=

。 （ ） 简支梁在均布压力 作用下中点的挠度等于δ，

δ=EI

ql 38454

，解出3

)(516l

h Eb P δ=

δδ2max max 2max 524,81l

Eh

W M ql M z ===

当 时， 梁上没有外力，梁轴线平直， 端曲率为零。当荷载 由

增加，到 时，梁 端的弯矩为2

02

1l q -

， 端曲率

r A 11=ρ，即有 202

2,

21)(1rl

EI

q EI

l

q EI x M r =

=-=得

当0q q ≥ 时，梁上某一段 与刚性面接触， 点端曲率为

,)(21

1

)(12

EI

x l q r x -==ρ

解得 qr

EI

l x 2-

= 点的挠度包括三部分，即 321)()()(B B B B y y y y ++=

① 为 点的挠度2

21)2(212)(qr

EI l r r x y B -==

② 为 点的转角引起 点的挠度qr

EI

qr EI l r y B 2)

2(1)(2-=

③ 为 段当作悬臂梁在 作用下 点的挠度 2

432)(8)(qr EI

x l EL q y B =-=

④ 以上三种挠度叠加，即为点 的挠度)(212l qr

EI

r y B -=

由于 段平直，所以 点的弯矩、转角及挠度均等于零。 点和 点与刚性平面接触，简化为铰支座，则 端简化为外伸臂梁。在该梁上作用有均布荷载 自重 但要满足0=B θ的条件，如图（ ）所示。求θ 时，可取 为简支梁，而 上的均布力向 点平移得一集中力 和一力偶矩2

02

1qa M =，如图（ ）所示。根据θ 的条件求解 ，即

06)21(2)()(230

=?-=+=EI

b qa EI qb M B q B B θθθ 解出 a b 2=

这是一个在外力作用及有支座位移下的一次超静定问题。将 约束解除，用

约束力 代替，成为基本结构。变形协调条件是EI

ql y C 964

-=?=（向上）。

在 和 共同作用下求出EI

l R EI ql y C C 2434834

-= ，并将其代入变形协调方程，解出)(121↑=

ql R C ，然后根据平衡方程求出 、 即 ).(8

5

),(2411↓=↓=ql R ql R B A ，

。 梁在不均匀温度的变化下，发生弯曲和伸长变形，由于 ，所以轴线以上伸长少，而轴线以下伸长大，使梁发生凸向下的弯曲变形， 点有向上的挠度，设为 Δ 。在梁的自由端上作用力偶矩 后，能使变形展直， 点又回到原水平位置，设 作用下 点的挠度为0)(M B ?。由 Δ 0)(M B ?，变形条件可以解出 值

。

其中EI l M h l t t a M B t B 2)(,2)()(202120=?-=?，代入变形条件中解得h

EI

t t a M )(120-=。

（ ）当杆 的 时，杆不变形，将 杆切短，用 代替其约束，取基本结构。变形协调条件为 ↓ ，解出

EI

Pl EI l R y y P

R BC B C BC

9653,32533====则 。 （ ）当2l

EA

EA = 时，杆 有伸长变形，同样将 杆切段，用 代替，取基本结构。这时的变形协调条件为 EI

l R EA l R l l y y BC BC BC BC B C 22,3=

?

=??+= ，解出 EI

Pl y P R C BC

33625,5653

==。

这是一个二次超静定问题。若不计杆的轴向变形，则结构无水平约束力，将该问题简化为 铰只有一个垂直约束力为未知数的结构。在 铰处切断，用约束力 代替，取出基本结构，并根据 点的变形协调条件建立补充方程

???

? ????+?+?=?-?=2223234)(,3484)(2

344

4EI P EI P EI R y EI

R EI q y B BC

B B AB

B 代入变形协调方程求出

因为 梁点的挠度大于Δ，因此在 作用下 梁与 梁共同受力，成了一次超静定问题。若将两梁拆开，约束反力 分别作用在梁上，则成为基本结构。变形协调方程为?+=CD B AB B y y )()( 将 EI

Rl y EI l R P y CD B AB

B 48)(,3)()(3

3=-= ，

代入变形协调方程解出?-=

317481716l

EI

P R ，并由平衡条件求个梁的约束反力， .)(,,2

l R P M R P R R

R R A A D C -=-==

= （ ）将 端的约束反力用 、 表示；

（ ）列出弯矩方程302061

21)(x q l

x q x R M x M A A +-+= （ ）代入挠曲线近似微分方程并积分；

根据 端的位移边界条件求出

根据 端的边界条件，即 时， （即 ）； 时， 解出 l q R l q M A A 0205

2

,151=-

= ； 最后的出初始挠度曲线方程 )584(12032232

0x lx x l l lEI

x q y +-+--

= 。 结构为对称，而外力 为反对称。若将结构取出一半（如取左边一半），则成为 端为固定端、 端为铰支座的单跨超静定梁。在 截面上作用有力偶矩

2

M ， 段的长度为

2

l

。只要解出 梁的挠度方程即可， 段的挠度曲线与 段组成反对称的挠度曲线，

)2(41)(3

020x l

M x M EI x y --

= 若不计梁 的轴向变形，这是一个二超静定问题。将 固定端解除用约束

反力 、 代替，并由 点的θ 、 的变形条件建立两个补充方程，并令 ，求出3

l

x =

。