工程力学-组合变形

10 组合变形

1、斜弯曲，弯扭，拉（压）弯，偏心拉伸（压缩）等组合变形的概念；

2、危险截面和危险点的确定,中性轴的确定；

如双向偏心拉伸, 中性轴方程为

p p

o o

22

y z

z y

1z y0

i i

++?=

3、危险点的应力计算，强度计算，变形计算、。

4、截面核心。

10.1、定性分析图10.1 示结构中各构件将发生哪些基本变形?

图10.1

[解]（a）AD杆时压缩、弯曲组合变形，BC杆是压缩、弯曲组合变形；AC杆不发生变形。（b）AB杆是压弯组合变形，BC杆是弯曲变形。

（c）AB是压缩弯曲组合变形，BC是压弯组合变形。

解题范例

（d）CD是弯曲变形，BD发生压缩变形，AB发生弯伸变形，BC发生拉弯组合变形。

10.2分析图10.2中各杆的受力和变形情况。

图10.2

[解] (a)力可分解成水平和竖直方向的分力,为压弯变形。

(b)所受外力偶矩作用,产生弯曲变形。

(c)该杆受竖向集中荷载,产生弯曲变形.

(d)该杆受水平集中荷载,偏心受压,产生压缩和弯曲变形。

(e)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:弯曲。

(f)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:压弯组合。

(g)AB段:斜弯曲，BC段:弯纽扭合。

10.3分析图10.3 示构件中(AB、BC和CD) 各段将发生哪些变形?

图10.3

[解] AB 段发生弯曲变形，BC 段发生弯曲、扭转变形；CD 段发生拉伸、双向弯曲变形。 10.4一悬臂滑车架如图 10.4 所示，杆AB 为18号工字钢（截面面积30.6cm 2，Wz=185cm 3），其长度为l =2.6m 。试求当荷载F=25kN 作用在AB 的中点处时，杆内的最大正应力。设工字钢的自重可略去不计。

B

l /2

F 20kN 300C

D

A

l

图 10.4

[解] 取AB 为研究对象，对A 点取矩可得NBCY F 12.5kN = 则 32

25

=

=NBCX NAB F F 分别作出AB 的轴力图和弯矩图:

kN

l

l /2

32

25

Fl

l

B

l /2

F

20kN

300

C

D

A

F NBC

F NBCY

NBCX

kN.m

轴力作用时截面正应力均匀分布，

A

F

N

=

σ（压）

弯矩作用时截面正应力三角形分布，

Wz

M

=

σ（下拉上压）

可知D截面处上边缘压应力最大,叠加可得最大正应力94.9MPa（压

10.5如图10.5 所示,截面为16a 号槽钢的简支梁,跨长L=4.2m, 受集度为q 的均布荷载作用,q=2KN/m。梁放在

?=20

o的斜面上,试确定梁危险截面上A 点和B 点处的弯曲正应力。

图10.5

[解] 双向弯曲梁,在梁跨中点处的截面是危险截面,该截面上的弯矩、

m

kN

ql

M

Z

?

=

=15

.4

cos

8

12

max

α

m

kM

ql

M

y

?

=

=5.1

sin

8

12

max

α

从型钢规格中查得16A号钢的抗弯截面模量

cm

b

cm

z

cm

I

cm

W

Z

Z

3.6

08

.1

3.

73

108

4

3

=

=

=

=

离中和轴最远的点是危险点:

A点:

()

ymax0

Zmax

cmax

Z y

M 6.3z

M

145.22MPa

W I

?-

σ=+=

B点: MPa

I

z

M

W

M

y

y

Z

y

t

.5.

60

max

max

max

=

?

+

=

σ

10.1矩形截面木檩条,跨度L=4m,荷载及截面尺寸如图10.6所示,木材为杉木,弯曲容许应力

[σ]=12MPa,E=9×103MPa容许挠度为L/200, 试验算穰条的强度和刚度。

习题解析

图 10.6

[解] ⑴首先进行强度的校核：先将q 分解成为两个分量

X q =716N/m ，z q =1430N/m,

二者对应最大弯矩分别为

max x M =1432N ·m, max z M =2860 N ·m ，

代入强度条件公式得

max x M ／x W +max z M ／Z W =1053.MPa ＜[]σ=12MPa

故强度条件满足.

⑵ 再进行刚度的核算：与X q 相应的挠度X f =

43845l EI q Z

x

=14.9mm

与z q 相应的挠 度z f =

43845l EI q x

z

=14.mm

max f =z x f f +=20.51mm<[L ／200]=20mm (容许挠度)

可以认为刚度满足要求。

10.2 由木材制成的矩形截面悬臂梁 ,在梁的水平对称面内受到力 P 1=1.6kN 的作用,在铅直对称面内受到力 P 2=0.8 kN 作用(如图 10.7 所示)。已知:b=90mm ，h=180mm,E=1.0 × 104MPa 。试求梁的横截面上的最大正应力及其作用点的位置 ,并求梁的最大挠度。如果截面为圆形,d=13Omm, 试求梁的横截面上的最大正应力。

图 10.7

[解] P1,P2单独作用在梁上时,所引起的最大弯矩

m kN l P M y ?=?=?=2.36.121

m kN P M Z ?=?=?=8.08.0112

都在梁固定端 ,截面上 1、2两点是危险点.

MPa W M W M Z

Z

y

y 82.14max =+

=

σ(1点为拉应力,2点为压应力) 梁的最大挠度在自由端,其值为 mm EI

l P l EI l P EI l P f y 5.148522)2(3)3(3

2

2232==?+=

mm EI

l P f z 3933

1===

所以最大挠度为 mm f f f z y 03.3922max =+=

如果截面为圆形: 332

D W W Z y π

=

=

MPa W

M M W M

Z y 3.15max 2max 2max =+==σ(发生在固定端截面上)

10.3试分别求出图10.8 示不等截面及等截面杆内的最大正应力,并作比较(图中尺寸单位为 mm) 。

图10.8

[解] (a)

轴力N=P=350kN

m

kN

e

P

M?

=

?

=

?

=5.

14

05

.0

350

MPa

A

P

h

b

P

A

N

W

M

Z

67

.

11

6

1

50

2

max

=

+

?

=

+

=

σ

(b)MPa

A

P

A

N

75

.8

=

=

=

σ.

10.4一伞形水塔,受力如图10.9, 其中P为满水时的重力,Q为地震时引起的水平载荷,立柱的外径D=2m, 壁厚t=0.5m, 如材料的许用应力[σ]=8MPa，试校核其强度。

图10.9

[解] 水塔为压弯组合编形,由轴向压力P引起的压应力

A

P

p

=

σ

由Q

引起的正应力

W

M Q max

max =

σ (最大值在固定端) []33max max

2423M P 180010300104017.068MPa A W D d d 1D 14D 32D ???σ=+=+=>σ=????ππ????

--???? ? ?????????????

所以,不满足强度条件.

10.5起重机受力如图10.10,P 1=3OkN, P 2=22OkN, P 3=6OkN,

它们的作用线离立柱中心线的距离分别为1.Om ,1.2m 和 1.6m, 如立柱为实心钢柱,材料许用应力[σ]=16OMPa, 试设计其底部 A --A 处的直径。

图10.10

[解] 该杆为压弯组合变形,设底部A-A 处直径D ，柱底部所受的压应力有两部分

33

12312

2P P P 302206010394.9101A d d 4

++++??σ===π（） 柱底部最大弯矩

max 112233M P l P l P l 468kN m

=+-=?

由此弯矩产生的最大压力

33

max 233

M 46810324769.410W d d

??σ===?π 柱底部所受的压应力 []12160MPa σ+σ≤σ=

由于21σσ,若只考虑弯矩的作用解得

d=31cm

取 d=40cm

10.6 上题中,若立柱为空心钢管,内外径之比 d/D=0.9, 试设计 A-A 处的直径。 [解] 此题为压弯组合变形，将立柱在A-A 处截开，合压力

123F P P P 3022060310kN =++=++=

底部面积

222D d )A 0.15D 4

π-==（

弯矩 Z 123M P 10P 1.2P 1.63010220 1.260 1.6468kN m =?+?-?=?+?-?=?

33344

Z D D 0.3439D W 110.9323232πππ=-α=?-=

（）（）3Z Z c 23Z M 32M F F []16.10A W 0.15D 0.3439D

σ=

+=+≤σ=?π 解得

D 43cm,d 0.9D 38cm ≈==

可取 D 45cm,

d 38cm ==

10.7 三角形构架 ABC, 受力如图 10.11 。水平杆AB 由 18 号工字钢制成 , 试求 AB 杆的最大应力。如产生力 P 的小车能在 AB 杆上移动,则又如何?

图 10.11

[解] AB 杆产生压缩与弯曲组合变形

kN P N BC 15030

sin 5.125

.10

=??=

荷载移动到中点时弯矩最大,其值为 m kN N M BC ?=??=1255.130sin 0

max

MPa A

N

W M Z D c 92.717max =+=

σ (截面的上边缘为压应力) 10.8上题中,若工字钢材料的许用应力[σ]=10O0MPa,试选择 AB 杆的截面尺寸。 [解] 接上题[]σσ≤+=

Z D D c W M A N max , []

3125cm M

W D Z =≥σ 选16号普通工字钢,2

3

1.26,141cm A cm W Z ==

强度校核: cmax a 936.3MP σ=<[

]σ 即选16号普通工字钢,2

3

1.26,141cm A cm W Z ==.

10.9 图 10.12 示钻床,受力 P=15kN,铸铁立柱的许用应力[σ]=35MPa, 试计算立柱所需的直径 d 。

图 10.12

[解] 为拉弯组合变形,只考虑弯矩的作用解得

[]σσ≤=

Z

t W M

max

[][]

3

31017.0m e

P M W Z -?=?=

≥

σσ 或3

31017.032

-?=d π

解得

d 12cm ≥

取 d=14cm

代入验算: max

t max

z

M

P

28.95MPa35MPa

A W

σ=+=<

10.10砖砌烟囱,高H=30m, 自重Q=200OkN, 受水平风力q=2kN/m 作用,如图10.13所示。如烟囱底部截面的外径D=3m 时,内径d=2m, 求烟囱底部截面上的最大压应力。

图10.13

[解]由自重引起的压应力大小为:

Q

0.509MPa

A

σ==?

烟囱底部截面上的弯距大小为

m

N

ql

M?

?

=

=5

2

max

10

0.9

2

1

max

max

M

Q

0.92MPa

A W

σ=+=

10.11如图10.14所示某厂房柱子,受到吊车竖直轮压力P=22OKN, 屋架传给柱顶的水平力Q=8KN,以及风载荷q=1kN/m 的作用,P 力的作用线离底部柱的中心线的距离e=0.4m, 柱子底部截面尺寸为1m×0.3m, 试计算柱底部的危险点的应力。

图 10.14

[解] 分析知, 危险截面在底部, 危险点在右侧边缘.力的作用分为三部分,P 的作用

)(

1A

P

W Pe c +-=σ(右侧边缘受压) Q 作用下：

W

l

Q t ?=

2σ (右侧边缘受拉) 在均布荷载的作用：

3t q l l /2

W

??σ=-

(右侧边缘受压) 危险点的应力为：

max 1c 2t 3t σ=σ+σ+σ

10.11如图 10.15, 功率 N=8.8kW 的电动机轴以转速n=80Or/min 旋转着,胶带传动轮的直径 D=250mm, 胶带轮重力 G=70ON 。轴可看成长度L =120mm 的悬臂梁,其许用应力[σ]=100MPa 。试按最大切应力理论求直径d 。

图10.15

[解] 转子在水轮机部分产生的外力偶矩

m N n N M k

n ??=?

=310105.055.9 ()n D

2T T M 2

-?=

可解得: T=840N

轴所受荷载分解x,y 两个方向,其值为

o

y p G 3T sin 452481.64N =+?=

0y p 3Tcos451781.64N ==

二者合力

危险载的处最大弯矩

max M pL 0.366kN m ==?

由些弯矩产生的最大正压力

max

max z M W σ=

轴产生弯扭变形,由扭矩M 产生的最大切应力

t n

max p P M M W W τ=

=

用最大切应力理论:

2

2r3max max 4σ=σ+τ

代入后得

22t

z 2

2

3

t

z M M []

M M d W 32+≤σ+π=

≥

可解得 d=157mm.

10.21 如图10.16,电动机带动一胶带轮轴,轴直径 d=40mrn, 胶带轮直径D=30Omm, 轮重 G=6OON 。若电动机功率 N=14KW, 转速n=980r/min, 胶带紧边与松边拉力之比T/t=2, 轴的 [σ]=12OMPa 。试按最大切应力理论校核轴的强度。

图10.16

22718.02x y p p p N =

+=y

3.05kN

[解] 电动机所产生的扭距为 k n N M 9.55n

=?

=136.43N ·m =(T-t)D/2

令拉紧边拉力T,则松边拉力t=T/2,于是可解得

T=1819N,t=909N

危险截面处最大弯距

()max 11

M PL 181********.8665.6N m 44

==++?=? max

max a z

M 105.98MP W σ=

= 最大扭转切应力

n

max p

M 52.99MPa W τ=

=, 代入第三强度理论公式得

[]224149.88MPa

120MPa σ+τ=σ=

不符合要求.

10.22 卷扬机轴为圆形截面,直径d=30mm, 其它尺寸如图 10.17示。许用应力[σ]=80MPa, 试求最大许可起重载荷P 。

[解] 支反力2/P R R B A == 设C 点在轴与轮交点处,外力距

2

/D P T R T T C A ?=?=

l

图 10.17

轴跨中为危险截面:

P D P T M p

pl M C t 09.02/2.04

1

max =?==== max max z M W σ=

轴产生弯扭变形,由扭矩M 产生的最大切应力

t n

max p P

M M W W τ=

=, P Z

W 2W = 根据第三强度理论可得

MPa 80422≤+τσ

将数值代入可得,P ≤945.5N

10.23一起重螺旋的载荷和尺寸如图 10.18 所示。己知起重载荷 W=40×10 3N ,载荷的偏心距 e=5mm 。若起重时推力P=32ON, 力臂l =500mm, 起重最大高度 h=30Omm, 螺纹根部直径d=40mm, 螺杆的 [σ]=10OMPa, 试用最大切应力理论校螺杆强度。提示:校核时不计螺纹影响,螺杆可近似看作d=40mm 的等截面圆杆。

[解] 螺杆弯、压、扭组合变形,危险截面处的弯距

m N e W M ?==200'max

MPa A

W W M 64.6385.3179.31'

max =+=+=σ（压力）

危险截面处的扭距

m N Pl M n ?==160

MPa W M p

n

73.12max ==

τ 用最大扭转切应力理论进行校核:

=+224τσ68.54MPa<[]MPa 100=σ

满足要求.

10.24图10.19 示钢制圈轴上有两个齿轮,齿轮C 上作用着铅直切线力P1=5kN, 齿轮D上作用着水平切线力P2=lOkN 。若[σ]=100MPa, 齿轮C 直径dc=30Omm, 齿轮D直径

d D =150mm 。试用第四强度理论求轴的直径。

图10.19

[解] 支座反力11

B A

P150P450

R,R

600600

==

t

P

M

W

τ=

22

z max ymax

z y

Z

M M

W W

+

σ==

22

zmax ymax

M M M

=+

由第四强度理论:

[]σ

τ

σ

σ≤

+

=

+

=

Z

n

r W

M

M2

2

2

2

4

75

.0

3

[]σ

2

275

.0

n

Z

M

M

W

+

≥

上式中的m

kN

d

P

M c

n

?

=

?

=75

.0

2

1

m

kN

M

y

?

=125

.1

max

Z

M0.19kN m,M 1.14kN m

=?=?

22

36

1.140.750.75

d13.1210

32

-

π+?

≥=?

解得d51.1mm

≥

10.25如图10.20 所示电动机功率N=6kW, 转速n=1430r/min, 胶带水平张力T=1kN, 电动机轴和电

枢重G=94N,单边磁拉力P b=60ON(铅直平面), 轴材料为30号钢,[σ]=74MPa 。试按第三强度理论校核轴的强度。

图10.20

[解] 计算简图如10.21示,由分析得,外力矩

3

k

N610

T9.559.5540N m

n1430

?

=?=?=?

剪应力为：()()

33

p

T

40D/164016/3.140.0289.26MPa

W

τ==π=??=

C截面有：

3

z

M5732

26.5MPa

W 3.140.028

?

σ===

?

图10.21

按第三强度理论

2222

a

426.449.332.25MP74MPa

σ+τ=+?=≤

10.26有一术质拉杆如图10.22 所示,截面原为边长a的正方形,拉力P与杆轴重合。后因使用

上的需要,在杆的某一段范围内开一a/2

宽的切口。试求m-m

截面上的最大拉应力。这个最大拉应力是截面削弱以前的拉应力值的几倍。

图10.22

[解] 未削弱之前,拉应力为

2

a

P

A

P

=

=

σ

削弱之后竖向下力P产生的弯矩

4

a

P

M?

=

由P引起的拉应力

2

'

2

a

P

=

σ

由弯矩引起的最大拉应力

2

2

''

6

2

6

1

4

a

P

a

a

a

P

W

M

Z

=

?

?

?

?

?

?

=

=

σ

所以

)

(8

8

max

2

"

'

max

倍

=

=

+

=

σ

σ

σ

σ

σ

a

P

10.27受拉构件形状如图10.23 所示,已知截面尺才为40mm×5mm, 通过轴线的拉力P=12kN。现拉杆开有切口,如不计应力集中影响,当材料的[σ]=10OMPa时,试确定切口的容许最大深度,并绘出切口截面的应力变化图。

图 10.23

[解] 设槽深为x

t max 'Z

P M A W σ=

+ '2Z M Px /2A (h x)b b

W (h x)6

==-?=

- 由[]σσ≤ 得 3

102.5-?≤x m

10.28 一圆截面直杆受偏心拉力作用,其偏心距 e=20mm, 杆的直径为 70mm, 容许拉应力 [σ]=120MPa, 试求此杆容许承受的偏心拉力。

[解] 分析有

[]P e P

W A

σ?+≤ 即：

()

()

63

2

0.02120101/320.071/40.07?+

≤??P P ππ

计算可得偏心拉力为：P=140.5kN.