人教版初一数学培优竞赛讲炼教程：数学符号
人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程
（6） 数学符号
【知识精读】
数学符号是表达数学语言的特殊文字。每一个符号都有确定的意义，即当我们把它规定为某种意义后，就不再表示其他意义。
数学符号一般可分为：
1, 元素符号：通常用小写字母表示数，用大写字母表示点，用⊙和△表示园和三角形等。
2, 关系符号：如等号，不等号，相似∽，全等≌，平行∥，垂直⊥等。
3, 运算符号：如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。
4, 逻辑符号：略
5, 约定符号和辅助符号：例如我们约定正整数a 和b 中，如果a 除以b 的商的整数部份记
作Z （b a ），而它的余数记作R （b a
）， 那么
Z （310）＝3，R （310）＝1；又如设 x 表示不大于x 的最大整数，那么
2.5＝5，
2.5 ＝－6，
32＝0， 3 ＝－3。正确使用符号的关健是明确它所表示的意义（即定义）
对题设中临时约定的符号，一定要扣紧定义，由简到繁，由浅入深，由具体到抽象，逐步加深理解。
在解题过程中为了简明表述，需要临时引用辅助符号时，必须先作出明确的定义，所用符号不要与常规符号混淆。
【分类解析】
例1设 Z 表示不大于Z 的最大整数，＜n>为正整数n 除以3的余数 计算：
①〔4.07〕＋〔－73
2
〕－〈13;〉＋〈2020〉②〈〔14.7〕〉＋〔234
〕。
解：①原式＝4＋（－3）－1＋0＝0
②原式＝＜14＞＋〔21
〕＝2＋0＝2
例2①求20202020的个位数
②说明20202020－20202020能被10整除的理由
解：设N （x ）表示整数x 的个位数，
N （20202020）＝N （74×497）＝N （74）＝1
①
②∵N （20202020）－N （20202020）＝N （74×497＋1）－N （34×497＋3）
＝N （71）－N （33）＝7－7＝0
∴20202020－20202020能被10整除
由于引入辅助符号，解答问题显得简要明瞭。
例3.定义一种符号★的运算规则为：a ★b=2a+b
试计算：①5★3 ②（1★7）★4
解：①5★3＝2×5＋3＝13
②（2×1＋7）★4＝9★4＝2×9＋4＝22
设a ※b=a(ab+7), 求等式3※x=2※(-8)中的x
例4解：由题设可知：
等式3※x=2※(-8)就是3（3x ＋7）＝2〔2×（－8）＋7〕
∴9x+21=－18
∴x=－43
1【实战模拟】
1，设Q ＜x >表示有理数x 的整数部分，那么Q ＜2.15＞＝ Q ＜－12.3>= Q<－0.03＞＝ Q ＜51＞＝
2，设｛n ｝表示不小于n 的最小整数，那么｛4.3｝＝ ｛－2.3｝＝
｛－2｝＝ ｛－0.3｝＋｛0.3｝＝
3，设〔m 〕表示不大于m 的最大整数
①若m=2 则〔m 〕= ② 若n= －3.5则〔n 〕= ③若－1＜Y ＜0则〔Y 〕＝ ④若7≤b<8 则〔b 〕＝
⑤若〔x 〕=4 则＿＿≤x ＜＿＿ ⑥若 n ≤C ①R （33）＋R （52）＝ ②Z （33）＋Z （2）＝③n(20202020)= 5，设n ！表示自然数由1到n 的連乘积 例如5！＝1×2×3×4×5＝120 计算：①120÷3! ②)! 35(!3! 5 6，设=2211 b a b a = a 1b 2－a 2b 1计算：①21 43＝ ②11 01 ＝ 7，定义一种符号＃的运算法则为a ＃b=b a b a 22 那么3＃2＝ ②2＃3＝ ① ③（1＃2）＃3 ＝ ④（－3）＃（1＃0）＝8，a,b 都是正整数，设a ⊕b 表示从a 起b 个連续正整数的和。 例如2⊕3＝2＋3＋4 5⊕4＝5＋6＋7＋8 己知 X ⊕5＝2020 求X 设［x ］表示不大于x 数的最大整数且 x ＝x －［x ］9.求 －＋ 设［a ］表示不大于数a 的最大整数， 10.例如［2］＝1，［－2］＝－2 那么 ［3x+1］＝2x-21 的所有的根的和是＿＿ 练习6 1. 2，－2，0，0 2. 5,-2,-2,1 3. ①－2 ②－4 ③－1 ④7 ⑤4 4. 7,4,1,8 5. 20,10 6. –2,-28. 7.①，②，③，④399 9. 9. 1 10. －2 最新(人教版)七年级数学上册培优辅导讲义 第1讲与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（） A．－18% B．－8% C．＋2% D．＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A．－5吨B．＋5吨C．－3吨D．＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___ 【例２】在－错误!，π，0，0.033 . 3这四个数中有理数的个数（ ) A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数 ?? ? ? ? ?? ? ?? ?? ?? ? 正整数正有理数 正分数 负整数 负有理数 负份数 ； （2）按整数、分数分类，有理数?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? 正整数 整数0 负整数 正分数 分数 负分数 ；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝ 3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－错误!是分数，0.033 . 3是 无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C．【变式题组】 01．在7，0，15，－错误!，－301，31.25，－错误!，100，1，－3 001 中，负分数为，整数 为，正整数 . 02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－错误!，错误!，－错误!，0.1，－5.32，123， 2.333 【例３】（宁夏）有一列数为－1，错误!，－错误!，错误!，－错误!，错误!，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是 奥数培训之趣味数学 生活中的数学： 1、诗仙李白豪放豁达，有斗酒诗百篇的美名，为唐代“饮中八仙”之一， 民间流传李白买酒歌谣，是一道有趣的数学问题：李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一抖，三遇店和花，喝完壶中酒。试问：酒壶中原有多少酒？ 解：设酒壶中原有酒x 斗，“三遇店和花”意思是李白三遇店，同时也三见花。 第一次见店又见花后，酒有：12-x ； 第二次见店又见花后，酒有：1-122）（ -x ； 第三次见店又见花后，喝完壶中酒，所以 依题意，得 ()[]0111222=---x 解方程，得 87= x 答：酒壶中原有酒8 7斗。 2、有甲乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍。”乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，我们的羊数就一样了”，求两个牧童各有多少只羊。 解：设甲有x 只羊，乙有y 只羊。依题意，得 ()? ??+=--=+11121y x y x 解方程组，得? ??==57y x 所以甲牧童有羊7只，乙牧童有5只。 3、一片牧场上的草长得一样快，已知60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完．那么，若在120天里将草吃完，则需要（ ）头牛 A 、16 B 、18 C 、20 D 、22 分析：设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c ，根据60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完，列方程组，用其中一个未知数表示另一个未知数即可求解。 解：设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c 。 根据题意，得 ???==???+=?+=?b c b a a c b a c b 120010606030242460解得， 则若在120天里将草吃完，则需要牛的头数是20120120=+b a c 。故选C 。 4、杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A ．一样多． B ．多了． C ．少了． D ．多少都可能． 解：设杯中原有水量为a ，依题意可得， 第二天杯中水量为a ×(1－10%)=0.9a ； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a ； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为199.01.19.01.19.0<=?=??a a 。 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C ． 5、 甲杯中盛有2m 毫升红墨水，乙杯中盛有m 毫升蓝墨水，从甲杯倒出a 毫升到乙杯里（0＜a ＜m ），搅匀后，又从乙杯倒出a 毫升到甲杯里，则这时( )。 A ．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少． B ．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多． C ．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同． D ．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定． 解：从甲杯倒出a 毫升红墨水到乙杯中以后： 乙杯中含红墨水的比例是a m a +， 乙杯中含蓝墨水的比例是 a m m +， 再从乙杯倒出a 毫升混合墨水到甲杯中以后： 乙杯中含有的红墨水的数量是毫升a m ma a m a a a +=+?- ① 第一讲 数系扩张--有理数(一） 一、【典型例题解析】: 1、若|||||| 0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少? 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ) A ．相反数 B.倒数 Ｃ.绝对值 D.平方 ３、已知两数a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,x 的绝对值是2,求 220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置,如下图所示,那么||||a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2(3)|2|0a b -+-=,求b a 的值是( ) A.2 B.3 C.9 D ．6 ６、 有３个有理数a,b,c,两两不等,那么 ,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ ７、 设三个互不相等的有理数,既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示 为０，b a , b 的形式,求20062007a b +。 8、 三个有理数,,a b c 的积为负数,和为正数,且 ||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数,且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 三、课堂备用练习题。 1、计算:１+２-3－4+５+6-７－８+…+2005＋２00６ 2、计算：1×2+2×3+３×4+…+n(n+1) 3、计算:59173365129 132******** +++++ - ４、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=,求,a b 的所有可能值。5、若三个有理数,,a b c 满足 ||||||1a b c a b c ++=,求||abc abc 人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程 （10）二元一次方程组解的讨论 【知识精读】 1． 二元一次方程组???=+=+222 111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当2 12121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） ② 当2 12121c c b b a a ≠=时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） ③ 当 2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ??? ????--=--=12212 11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。 3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3） 【分类解析】 例1. 选择一组a,c 值使方程组???=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解 解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解 解比例得a=10, c=14。 ② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。 解得a=10, c ≠14。 ③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解， 即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。 例2. a 取什么值时，方程组? ??=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 解：把a 作为已知数，解这个方程组 七年级数学（下）培优竞赛试题 1、已知直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠1：∠3=3：1， ∠2=20度，求∠DOE 的度数。 2、如图所示,O 为直线AB 上一点,∠AOC=1 3 ∠BOC,OC 是∠AOD 的平分线。 ①求∠COD 的度数； ②判断OD 与AB 的位置关系，并说明理由。 3、如图，两直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，如果∠AOC ：∠AOD=7：11， ①求∠COE ； ②若OF ⊥OE ，∠AOC=70°，求∠COF 。 4、如图⑺，在直角 ABC 中，∠C ＝90°，DE ⊥AC 于E,交AB 于D . ①指出当BC 、DE 被AB 所截时，∠3的同位角、内错角和同旁内角. ②试说明∠1＝∠2＝∠3的理由.（提示：三角形内角和是1800） 5、如图是一个3×3的正方形，则图中∠1＋∠2＋∠3＋…＋∠9= 。 6,（安徽中考）如图，已知AB ∥DE ，∠ABC= 80 ，∠CDE= 1400 ，则∠BCD= . 3 21O F E D C B A O D C B A A B C D O E F 6 3 2 １ 9 8 7 5 4 7、如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ， （1）若∠A=60°。求∠Q （2）若∠A=100°、120°，∠Q 又是多少？ （3）由（1）、（2）你发现了什么规律？当∠A 的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？ （提示：三解形的内角和等于180°） 8、如图所示，AB ⊥EF 于G ，CD ⊥EF 于H ，GP 平分∠EGB ，HQ 平分∠CHF ，试找出图中有哪些平行线，并说明理由． 9，（北大）如图所示，图（1）是某城市古建筑群中一座古 塔底部的建筑平面图，请你利用学过的知识设计测量古塔外墙底部的∠ABC 大小的方案，并说明理由，（注：图（2）、图（3）备用） （1） （2） （3） 10、已知点B 在直线AC 上，AB=8cm ，AC=18cm ，P. Q 分别是AB. AC 的中点,则PQ 为多少cm? （自己构造图） A B C D E F G H P Q 专题24 相交线与平行线 阅读与思考 在同一平面内，两条不同直线有两种位置关系：相交或平行. 当两条直线相交或两条直线分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，善于从相交线中识别出以上不同名称的角是解相关问题的基础，把握对顶角有公共顶点，而同位角、内错角、同旁内角没有公共顶点且有一条边在截线上，这是识图的关键． 两直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据． 1．平行线的判定 (1)同位角相等、内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行； (2)平行于同一直线的两条直线平行； (3)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行． 2．平行线的性质 (1)过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行； (2)两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补； (3)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直. 熟悉以下基本图形： 例题与求解 【例1】 (1) 如图①，AB ∥DE ，∠ABC ＝0 80，∠CDE ＝0 140，则∠BCD ＝__________. （安徽省中考试题） (2) 如图②，已知直线AB ∥CD ，∠C ＝0 115，∠A ＝0 25，则∠E ＝___________. （浙江省杭州市中考试题） 图② A 解题思路：作平行线，运用内错角、同旁内角的特征进行求解. 【例2】如图，平行直线AB ，CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有( )． A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对 （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图进行分解入手． C D B 例2题图 例3题图 【例3】 如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，AC //ED ，CE 是∠ACB 的平分线，求证：∠EDF ＝∠BDF . （天津市竞赛试题） 解题思路：综合运用垂直定义、角平分线、平行线的判定与性质，由于图形复杂，因此，证明前注意分解图形． 【例4】 如图，已知AB ∥CD ，∠EAF ＝ 41∠EAB ，∠FCF ＝41∠ECD .求证：∠AFC ＝4 3 ∠AEC . （湖北省武汉市竞赛试题） D E C A B 图1 第一讲数系扩张--有理数（一） 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成（互质）。 4、性质：①顺序性（可比较大小）； ②四则运算的封闭性（0不作除数）； ③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ①②非负性 ③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。 ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若的值等于多少？ 2．如果是大于1的有理数，那么一定小于它的（） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求的值。 4、如果在数轴上表示、两上实数点的位置，如下图所示，那么 化简的结果等于（ A. B. C.0 D. 5、已知，求的值是（） A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么中有几个负数？ 7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式式，又可表示为0，，的形式，求。 8、三个有理数的积为负数，和为正数，且则的值是多少？ 9、若为整数，且，试求的值。 三、课堂备用练习题。 1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006 2、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) 3、计算： 4、已知为非负整数，且满足，求的所有可能值。 5、若三个有理数满足，求的值。 第二讲数系扩张--有理数（二） 一、【能力训练点】： 1、绝对值的几何意义 ①表示数对应的点到原点的距离。 ②表示数、对应的两点间的距离。 2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。 二、【典型例题解析】： 1、（1）若，化简 （2）若，化简 2、设，且，试化简 3、、是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ （1）（2） （3）（4）若则 （5）若，则（6）若，则 4、若，求的取值范围。 5、不相等的有理数在数轴上的对应点分别为A、B、C，如果，那么B点在A、C的什 专题07 整式的加减 阅读与思考 整式的加减涉及许多概念，准确地把握这些概念并注意它们的区别与联系是解决有关问题的基础，概括起来就是要掌握好以下两点： 1．透彻理解“三式”和“四数”的概念 “三式”指的是单项式、多项式、整式；“四数”指的是单项式的系数、次数和多项式的系数、次数． 2．熟练掌握“两种排列”和“三个法则” “两种排列”指的是把一个多项式按某一字母的升幂或降幂排列，“三个法则”指的是去括号法则、添括号法则及合并同类项法则． 物以类聚，人以群分．我们把整式中那些所含字母相同、并且相同字母的次数也相同的单项式作为一类——称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类项．这样，使得整式大为简化，整式的加减实质就是合并同类项． 例题与求解 [例1]如果代数式ax5＋bx3＋cx－5，当x＝－2时的值是7，那么当x＝7时，该式的值是______． (江苏省竞赛试题) 解题思路：解题的困难在于变元个数多，将x两个值代入，从寻找两个多项式的联系入手． [例2]已知－1＜b＜0，0＜a＜1，那么在代数式a－b，a＋b，a＋b2，a2＋b中，对于任意a，b对应的代数式的值最大的是( ) A．a＋b B．a－b C．a＋b2D．a2＋b (“希望杯”初赛试题) 解题思路：采用赋值法，令a＝1 2 ，b＝－ 1 2 ，计算四个式子的值，从中找出值最大的 式子． [例3]已知x＝2，y＝－4时，代数式ax2＋1 2 by＋5＝1997，求当x＝－4，y＝－ 1 2 时， 代数式3ax－24by3＋4986的值． (北京市“迎春杯”竞赛试题) 解题思路：一般的想法是先求出a，b的值，这是不可能的．解本例的关键是：将给定的x，y值分别代入对应的代数式，寻找已知与待求式子之间的联系，整体代入求值．[例4]已知关于x的二次多项式a(x3－x2＋3x)＋b(2x2＋x)＋x3－5．当x＝2时的值为－17，求当x＝－2时，该多项式的值． (北京市“迎春杯”竞赛试题) 解题思路：解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概念挖掘隐含的关于a，b的等式． [例5]一条公交线路上起点到终点有8个站．一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人．问从前6站上车而在终点下车的乘客有多少人？ 此文档下载后即可编辑 初一数学培优专题讲义一 有理数及其运算 一、 有理数的基本概念梳理与强化： （一）几个小知识点的梳理与强化：小知识点是常考的考点，也是易错点。理清小知识点，减少失误 1.字母可以表示任意有理数，不能说a 一定是正数，-a 也不一定是负数 2.相反数等于本身的数是 ；平方等于本身的数是 ；立方 等于本身的数是 ；倒数等于本身的数是 。 3.互为相反数的两个数的绝对值相等。若|－x |=|2 1-|，则x =______； 若|x |=|－4|，则x =____； 若-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿；若-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿ 4.互为相反数的两个数的平方相等。如果 ，那么a=____；若 x 2=(－2)2，则x =_______. 5.注意乘方中括号的作用。（－2）3的底数是_______，结果是_______； －32的底数是_______，结果是_______；n 为正整数，则（－1）2n =_ __, (－1) 2n +1=_ __。计算： （1） = ； （2） = ； （3） = ；（4） = （5） = 6.a 的相反数是 ；a+b 的相反数是 ；a-b 的相反数 是 ；-a+b-c 的相反数是 ； 变式训练：若a ＜b ，则∣a-b ∣= ，-∣a-b ∣= （二）突破绝对值的化简： 7.绝对值即距离，则0≥a 8.绝对值的代数定义用式子可表示为：（体现分类讨论的思想） （a ＞0） |a| = （a ＝0 ） （a ＜0 ） 9.绝对值的非负性： 162=a （1）若|a|＝0，则a ； （2）若|a|＝a ，则a ； （3）若|a|＝—a ，则a ； （4） ， 则______||=a a ；（5）0 2020-2021学年人教版数学初一讲练 （培优和竞赛二合一） （10）二元一次方程组解的讨论 【知识精读】 二元一次方程组 222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： 1．当21212 1c c b b a a 时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效）①当21212 1c c b b a a 时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的）②当2121b b a a （即a 1b 2－a 2b 1 "`0）时，方程组有唯一的解：③ 1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元2．一次方程整数解的求法进行。 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待3．定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3） 【分类解析】 例1. 选择一组a,c 值使方程组 c y ax y x 275有无数多解， ②无解， ③有唯一的解 ①解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解 解比例得a=10, c=14。 当 5∶a ＝1∶2"`7∶c 时，方程组无解。 ②解得a=10, c"`14。 ③当 5∶a"`1∶2时，方程组有唯一的解， 即当a"`10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。 例2. a 取什么值时，方程组 3135y x a y x 的解是正数？解：把a 作为已知数，解这个方程组 得 23152331a y a x ∵ 00y x ∴ 023*******a a 解不等式组得 531331a a 解集是63 11051 a 答：当a 的取值为631105 1 a 时，原方程组的解是正数。例3. m 取何整数值时，方程组 1442y x my x 的解x 和y 都是整数？解：把m 作为已知数，解方程组得 82881m y m x ∵x 是整数，∴m －8取8的约数±1，±2，±4，±8。∵y 是整数，∴m －8取2的约数±1，±2。 取它们的公共部分，m －8＝±1，±2。 解得 m=9，7，10，6。 经检验m=9，7，10，6时，方程组的解都是整数。 例4（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？ 解：设桃，李，榄橄分别买x, y, z 粒,依题意得 )2(1007143)1(100z y x z y x 由（1）得x= 100－y －z (3) 把（3）代入（2），整理得 y=－200+3z －7z 设k z 7(k 为整数) 得z=7k, y=－200+20k, x=300－27k 第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____ 【例２】在－227 ，π，0.033. 3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0 ??????????????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数?????????????????正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926… 是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227 是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ． 【变式题组】 初中数学竞赛专题1——整数的基本性质 1.（1，2）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#选择题） 【标准答案】1#0#1#4#A 三人中每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别是47，61，60，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是 ( ) A. 28 B. 27 C. 26 D. 25 【分析】设三个人的年龄分别为X1，X2，X3，根据题意，则 +X2+2X3=47×2 ① X X2+X3+2X1=61×2 ② X3+X1+2X2=60×2 ③ 由①+②+③得X1+X2+X3=84，分别代入①②③得X1=38，X2=36，X3=10. 所以X1-X3=28. 【答案】A 【技巧】设未知数列方程（组）来解应用题是常用的方法. 2.（2，3）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#选择题） 【标准答案】2#0#1#4#B 三角形的三边长a、b、c都是整数，且[a，b，c]=60，（a，b) =4，(b，c)=3则a+b+c的最小值是 ( ) {注：[a，b，c]表示a、b、c的最小公倍数，（a，b）表示a，b的最大公约数} A．30 B．31 C．32 D. 33 【分析】因为（a，b）=4，所以a，b都是4的倍数.因为(b，c)=3，所以b，c都是3的倍数.从而a=4a1，b=12b1，c=3c1，a1、b1、c1都是正整数；又因为[a，b，c]=60，所以a，b，c中至少有一个被5整除，即a1、b1、c1中至少有一个被5整除.因为abc三个数的系数中，c的系数最小为3，所以只有当a1、b1 取最小时，三个数之和才最小，那么当a1= b1=1，c1=5时，a+b+c=4+1+15=31最小. 【答案】B 【技巧】根据最大公约数和最小公倍数的性质，用解析式表示未知数. 【易错点】若不注意三角形三边的关系（两边之和大于第三边）就容易出错. 专题二 整式的乘除 一、知识点： 1. 同底数幂的乘法 同底数幂的乘法公式: __________________(m,n 都是整数) 2．幂的乘方与积的乘方 1）幂的乘方公式： ___________________(m,n 都是整数) 2）积的乘方公式：____________________（n 为正整数） 3. 同底数幂的除法 1）同底数幂的除法公式:___________________ (a ≠0,m 、n 都是正数,且m>n). 2）任何不等于0的数的0次幂等于1,即___________________,如1100=,(-2.50=1),则00无意义. 3）任何不等于0的数的-p 次幂(p 是正整数),等于这个数的p 的次幂的倒数,即___________________ ( a ≠0,p 是正整数), 而0-1,0-3都是无意义的。 4. 整式的乘法 1）单项式与单项式相乘 2）单项式与多项式相乘 3）多项式与多项式相乘 二、基础练习： 1.计算 (-3)2n+1+3×(-3)2n 结果正确的是( ) A. 32n+2 B. -32n+2 C. 0 D. 1 2.若16n m n a a a ++= ，且21m n -= ，则n m 的值为（ ） A.1 B. 2 C.3 D.4 3.-a n 与(-a)n 的关系是( ) A. 相等 B. 互为相反数 C. 当n 为奇数时,它们相等; 当n 为偶数时,它们互为相反数 D. 当n 为奇数时,它们互为相反数; 当n 为偶数时,它们相等 4.若（x －3）（x+4）=x 2+px+q,那么p 、q 的值是( ) A.p=1,q=－12 B.p=－1,q=12 C.p=7,q=12 D.p=7,q=－12 5.a 4+(1－a)(1+a)(1+a 2)的计算结果是( ) A.-1 B.1 C.2a 4-1 D.1-2a 4 6.若0＜y ＜1，那么代数式y(1-y)(1+y)的值一定是( ) A ．正的 B ．非负 C ．负的 D ．正、负不能唯一确定． 7.如果b 2m ＜b m (m 为自然数)，那么b 的值是( ) A ．b ＞0 B ．b ＜0 C ．0＜b ＜1 D ．b ≠1． 8.下列运算中错误的是( ) A ．-(-3a n b)4=-81a 4n b 4 B ．(a n+1b n )4=a 4n+4b 4n ； C ．(-2a n )2·(3a 2)3=-54a 2n+6 D ．(3x n+1-2x n )·5x=15x n+2-10x n+1. 9.t 2-(t+1)(t-5)的计算结果正确的是( ) A ．-4t-5 B ．4t+5 C ．t 2-4t+5 D ．t 2+4t-5． 初中几何学霸内部秘籍系列1（学而思培优 竞赛） 模型 1 ：角平分线上的点向两边作垂线 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B。 结论：PB=PA。 模型证明： ∵OP平分∠MON， ∴∠AOP=∠BOP； 又 PA⊥OM ，PB⊥ON， ∴∠OAP=∠OBP=90°； OP=OP； ∴RT△OAP≌RT△OBP, ∴PB=PA。 模型分析 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型， 为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的 突破口。 模型实例 （1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点 D 到直线 AB 的距离是_____； （2）如图②，∠1=∠2，∠3=∠4。 求证：AP 平分∠BAC。 解析：（1）由角平分线模型知，D到AB的距离等于DC=2 （2）如图分别做AB、BC、AC三边的高，由题意易得三边高相等， ∴AP 平分∠BAC 模型练习 1．如图，在四边形 ABCD 中，BC>AB，AD=DC，BD 平分∠ABC。 求证：∠BAD+∠BCD=180°。 证明：如图延长BA， 过D作DE、DF垂直BA延长线、BC于E、F两点， ∵BD 平分∠ABC ∴DE=DF, 又AD=DC ∴RT△DEA≌RT△DFC ∴∠DAE=∠BCD ∴∠BAD+∠BCD=180° 2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线 CP 与内角∠ABC 的平分线 BP 交于点 P，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。 初一数学基础知识讲义 第一讲和绝对值有关的问题 一、知识结构框图： 数 二、绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。 也可以写成： () () () ||0 a a a a a a ? ?? =? ? - ?? 当为正数 当为0 当为负数 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。 三、典型例题 例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b 解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++ 的值（ C ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示： 所以 分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。 例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。 解：设甲数为x ，乙数为y 由题意得：y x 3=， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧： 若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧： 若x 、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x 、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ D ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个 分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程a a -=的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D 。 例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()()()() 1111 112220072007ab a b a b a b ++++++++++L 0)()(=--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x 人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程 （ 13）经验归纳法 【知识精读】 1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。 通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如 ①由 ( － 1)2＝ 1 ，（－ 1 ）3＝－ 1 ，（－ 1 ）4＝ 1 ，……， 归纳出－ 1 的奇次幂是－ 1，而－ 1 的偶次幂是 1 。 ②由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 × 10 ）， 三位数从 100 到 999 共900个（9×102）， 四位数有9×103＝9000个（9×103）， ………… 归纳出n 位数共有9×10n-1 (个) 由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42…… ③ 推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。 可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。 2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进 行足夠次数的试验。 由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明） 【分类解析】 平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？ 例1 解：两条直线只有一个交点， 1 2 第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2 3 第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3 第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4 ……… 第n条直线和前n－1条直线都相交，增加了n－1个交点 由此断定n 条直线两两相交，最多有交点1＋2＋3＋……n－1（个）， 这里n≥2，其和可表示为［1+（n+1）］×21 n , 即2)1 ( n n 个交点。 例2．符号n！表示正整数从1到n的連乘积，读作n的阶乘。例如 5！＝1×2×3×4×5。试比较3n与（n+1）！的大小（n 是正整数） 解：当n ＝1时，3n＝3, （n＋1）！＝1×2＝2 当n ＝2时，3n＝9， （n＋1）！＝1×2×3＝6 当n ＝3时，3n＝27, （n＋1）！＝1×2×3×4＝24 当n ＝4时，3n＝81, （n＋1）！＝1×2×3×4×5＝120 当n ＝5时，3n＝243, （n＋1）！＝6！＝720 …… 猜想其结论是：当n＝1，2，3时，3n＞（n＋1）！，当n>3时3n＜（n＋1）！。 第一讲 数系扩张--有理数（一） 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0) ||(0) a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。 ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若||||||0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 220062007 ()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6 6、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么 ,,a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为 0，b a ，b 的形式，求20062007a b +。 培优辅导 反证法和构造法 一、选择题: 1．若假设“整数a,b,c 中恰有一个偶数”不成立，则有（ ） A 、a,b,c 都是奇数 B 、a,b,c 都是偶数 C 、a,b,c 中至少有两个偶数 D 、a,b,c 都是奇数或至少有两个偶数 2．已知△ABC 的周长为18，c b a 、、三边的关系为c b a ≤≤,则( ) A 、a <6 B 、a >6 C 、a >7 D 、6≤a 3．A 、B 、C 、D 、E 、F 、六个足球队单循环赛，已知A 、B 、C 、D 、E 五个队已经分别比赛了5、4、3、2、1场，则还未与B 队比赛的球队是（ ） A 、C 队 B 、D 队 C 、E 队 D 、F 队 4．设等式在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不同的 实数，则 的值是( ) A 、3 B 、 31 C 、2 D 、3 5 5．关于x 的一元二次方程2a x 2 -2x-3a-2=0的一根大于1，另一根小于1，则a 的取值范围 是 （ ） A 、a ＞0或a ＜-4． B 、a ＜-4． C 、a ＞0． D 、－4＜a ＜0． 二、填空题 6．用反证法证明：“三角形中最多有一个角是直角或钝角。”时，第一步应反设: ________________________________________________. 7．不查表可求得=?5.22cot _________. 8．321-+-++x x x 的最小值是______________. 9．若28,142 2=++=++x xy y y xy x ，则=+y x _________. 10．已知))((4)2a c b a c b --=-（且0≠a ,则a c b +=______________. 三、解答题 初一数学培优专题讲义一有理数及其运算 一、 有理数的基本概念梳理与强化： （一）几个小知识点的梳理与强化：小知识点是常考的考点，也是易错点。理清小知识点，减少失误 1.字母可以表示任意有理数，不能说a 一定是正数，-a 也不一定是负数 2.相反数等于本身的数是；平方等于本身的数是；立方等于本身的数是；倒数等于本身的数是。 3.互为相反数的两个数的绝对值相等。若|－x |=|2 1-|，则x =______；若|x |=|－4|，则x =____； 若-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿；若-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿ 4.互为相反数的两个数的平方相等。如果 ，那么a=____；若x 2=(－2)2，则x =_______. 5.注意乘方中括号的作用。（－2）3的底数是_______，结果是_______；－32的底数是_______，结果 是_______；n 为正整数，则（－1）2n =___,(－1)2n +1=___。计算： （1） =；（2） =；（3） =；（4） =（5）= 6.a 的相反数是；a+b 的相反数是；a-b 的相反数是；-a+b-c 的相反数是； 变式训练：若a ＜b ，则∣a-b ∣=，-∣a-b ∣= （二）突破绝对值的化简： 7.绝对值即距离，则0≥a 8.绝对值的代数定义用式子可表示为：（体现分类讨论的思想） （a ＞0） |a| = （a ＝0） （a ＜0） 9.绝对值的非负性： （1）若|a|＝0，则a ；（2）若|a|＝a ，则a ；（3）若|a|＝—a ，则a ； （4）， 则______||=a a ；（5）0最新(人教版)七年级数学上册培优辅导讲义
七年级数学培优竞赛教案
初一数学资料培优汇总(精华)
人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程：二元一次方程组解的讨论
(完整版)七年级数学(下)培优试题
七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线
学而思初一数学资料培优汇总(精华) (1)
初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题07 整式的加减
初一数学培优专题讲义一 有理数及其运算(完整资料).doc
2020-2021学年数学初一培优和竞赛讲练-10-二元一次方程组解的讨论
学而思七年级数学培优讲义word版(全年级章节培优-绝对经典)精品资料
初中培优竞赛含详细解析 第1讲 整数的基本性质
最新初一数学培优竞赛专题2--整式的乘除
初中几何学霸内部秘籍系列1(学而思培优竞赛)
(完整版)初一数学培优专题讲义
人教版初一数学培优竞赛讲炼教程：经验归纳法
初一数学资料培优汇总(精华)
初中数学竞赛培优辅导反证法和构造法(含答案)
初一数学培优专题讲义一--有理数及其运算