8.4.2-向量内积的直角坐标运算
8.4.2-向量内积的直角坐标运算
《数学》教案
（2014～2015 学年第一学期）
适用计算机专业
教学部计算机
班级14.2 14.3 14.4 14.5
教案首页
课题：8.4.2向量内积的直角坐标运算授课日期
授课班级14.2 ,14.3,
14.4 ,14.5 课时 2 授课地点教室
教学目标
能力（技能）目标知识目标
掌握直角坐标计算向量的内积
培养学生熟练运用公式解决问
题的能力
教学任务及案例
首先复习向量内积的定义、定义式以及内积的重要性质，然后学习用坐标进行向量内积运算及判断两向量垂直及夹角计算，并通过例题学习其应用，最后练习巩固.
向量内积的直角坐标计算公式
重点难点向量内积的直角坐标计算公式例3的解法
课
堂
检
测
项
目
P72课后习题8-9
参
考
资
料
教师教学用书
教学设计
步骤教学内容
教师活动
（方法
与手段）学生活动
时间
分配
告知（教学内容、目的）组织教学
复习检查：
1、说说向量内积的定义．.
2、默写向量内积的定义式和内
积的重要性质.
多媒体展示听讲
引入（任务项目）讲授新课：
（一）用直角坐标计算向量的内积
平面上取一个直角坐标系
]
,
;
[
2
1
e
e
O，设向量a，b的坐标分别是
)
,
(),
,
(
2
1
2
1
b
b
a
a。由于1
2
1
=
=e
e，
1
2
2
1
=
?
=
?e
e
e
e，因此：
)
(
)
(
2
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1
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2
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1
e
b
e
b
e
a
e
a
b
a+
?
+
=
?
2
2
2
2
1
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1
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2
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2
1
1
1
1
1
e
e
b
a
e
e
b
a
e
e
b
a
e
e
b
a+
+
+
=
2
2
2
2
2
1
1
1
e
b
a
e
b
a+
=
2
2
1
1
b
a
b
a+
=
即：
2
2
1
1
b
a
b
a
b
a+
=
?
用平面向量的直角坐标计算内积的
公式：两个向量的内积等于它们的横坐
标的乘积与纵坐标的乘积之和．
（二）向量内积的应用
（1）计算向量的长度：设a的直角坐
标为)
,
(
2
1
a
a，则
展示图片，
引导启发
思考
回答
操练
(掌握初步或基本能力) 演示案例完
成步骤
跟随练
习
深化
（加深对基本能力的体会）布置课堂练
习
自主讨
论完成
2
2
21a a a a a +=?=
（2）计算两点间距离：设在直角坐标系中，),,(),,(2211y x Q y x P 则：
212212)()(y y x x PQ -+-=． （3）已知两个非零向量a ，b 的直角坐标分别为
),(),,(2121b b a a ，则
11222222
1212cos ,+?<>=
=++a b a b a b a b a b a a b b ．
（4）判断两个向量是否垂直：设a ，b 的直角坐标分别为),(),,(2121b b a a ，则：
=??⊥b a b a 02211=+?b a b a ．
例3 已知A ，B 两个点的直角坐标分别是
（-2，5），（3，-4），求AB ． 解
:
1068125)54()]2(3[22=+=--+--=AB ．
例4 已知三角形ABC 的顶点A ，B ，C 的直角坐标分别是（2，-1），（4，1），（6，-3），证明：ABC 是等腰三角形．
证
明
：
2244)]1(1[)24(22=+=--+-=AB ，
52164)13()46(22=+=--+-=BC ，
52416)]1(3[)26(22=+=---+-=AC ，
因此|BC|=|AC|，从而三角形ABC 是等腰三角形．
例5 在平面直角坐标系中，判断下述每一对向量是否垂直：
(1) a=(0,-2),b=(-1,3) ， (2) c=(-1,3),d=(-3,-1)． 解
:
（
1
）
63)2()1(0≠-=?-+-?=?b a , 因此a 与b 不垂直．
高中数学-空间直角坐标系与空间向量典型例题
高中数学-空间直角坐标系与空间向量 一、建立空间直角坐标系的几种方法 构建原则： 遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。 作法： 充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系． 类型举例如下： （一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠ A 为直角，A B ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，D C ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦 值． 解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０）， ∴1(232)BC =--u u u u r ，，，(010)CD =-u u u r ，，． 设1BC u u u u r 与CD uuu r 所成的角为θ， 则11317 cos 17BC CD BC CD θ== u u u u r u u u r g u u u u r u u u r ． （二）利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于 C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB = ，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝ 3 π ．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值． 解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝ 2，∠BCC 1＝ 3 π，
空间向量的坐标运算练习
空间向量的坐标运算练 习 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
空间向量的坐标运算——1 1、已知向量b ,a 分别平行于x 、y 轴，则它们的坐标各有什么特点 答：a 的__________________________； b 的________________________________ 2、如果的横坐标为0，其它坐标都不为0，则与哪个坐标平面平行答：_________ 4、点P(2,-3,4)在xoy 面上的射影坐标是___________;在xoz 面上的射影坐标是 ___________; 在yoz 面上的射影坐标是___________ 5、点Q （－3，2，5）关于原点对称的点的坐 标是___________；关于xoz 面对称的点的坐标是__________________ 6、已知A （3，4，5），B （0，2，1），若 AB 5 2OC =，则C 点的坐标是______________ 7、写出与原点距离等于3的点所满足的条件________________________________ 8、已知A(2，0，0)，B(6，2，2)，C(4，0， 2) A ：2 D 3C 4B 6ππππ ：：： 9、如图，ABC-A 1B 1C 1是正三棱柱（即底面是正三角形，沿着垂直于底面的向量平移所得到的轨迹），若AB ＝2，AA 1＝4，R 是BB 1的中点，取AB 的中点为原点建立坐标系如图，写出下列向量的坐标： ______________= ______________=______________=A A'
(完整版)平面向量直角坐标运算习题.doc
向量的直角坐标运算练习题 1.已知 a=(4,5),b=(-2,2),下列运算错误的是( ) A.a+b=(2,7) B.a-b=(6,3) C.3a=(12,15) D.-2b=(4,4) 2. 已知向量 a=(x,2),b=(5,-4),若a∥b,则x=( ) 3. 已知向量 a=(1,2),b=(4,y), 若 a⊥b, 则 y= ( ) A.2 B.-2 C.3 D.-3 4. 已知向量 a=(-1,3),b=(1,2), 则
12. 若 a=(2,-4),b=(3,5), 则 a· b= ,(a+3b) ·(b-a)=. 13. 已知点 A(1,2),B(2,3),C(-2,5), 求证 : 14. 已知 a=(-2,5),b=(-1,7),实数x,y满足xa+yb=(-1,2),求x、y. 2
空间向量的坐标运算(人教A版)(含答案)
空间向量的坐标运算（人教A版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知点的坐标分别为与，则向量的相反向量的坐标是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 2.已知空间直角坐标系中且，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 3.若向量，，则向量的坐标是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 4.已知向量，，则=( ) A. B. C. D. 答案：C
解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 5.已知向量是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下的坐标为，那么向量在基底下的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的基本定理及其意义 6.已知为空间的一组单位正交基底，而是空间的另一组
基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的基本定理及其意义 7.已知三点不共线，点为平面外的一点，则下列条件中，能使得平面成立的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量 8.已知，，，若，，三向量共面，则实数=( ) A. B.
C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量 9.已知空间三点的坐标为，，，若三点共线，则=( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
人教版高中数学必修42.4.2 平面向量数量积的坐标表示、夹角
1．a ＝(－4,3)，b ＝(5,6)，则3|a |2－4a·b 等于( ) A ．23 B ．57 C ．63 D ．83 解析：选D.∵|a |＝(－4)2＋32＝5，a·b ＝－4×5＋3×6＝－2，∴3|a |2－4a·b ＝3×52－4×(－2)＝83.故选D. 2．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为( ) A.13 B.135 C.655 D.65 解析：选C.|a |cos θ＝ a · b |b |＝－8＋2165＝655. 3．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A ．－17 B.17 C ．－16 D.16 解析：选A.向量λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)，因为两个向量垂直，故有(－3λ －1,2λ)·(－1,2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得：λ＝－17 ，故选A. 4．(2012·高考重庆卷)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 解析：选B.由a ⊥c 得2x ＋1×(－4)＝0，所以x ＝2；由b ∥c 得1×(－4)＝2y ，所以y ＝－2.从而a ＝(2,1)，b ＝(1，－2) ∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝ 32＋(－1)2＝10. 5．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8 D ．8 2 解析：选D.易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c |＝ 82＋(－8)2＝8 2. 6．设向量a 与b 的夹角为θ，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1，－1)，则cos θ＝________.
《空间向量运算的坐标表示》说课稿
《空间向量运算的坐标表示》——说课稿 各位评委、老师：大家好！ 今天我说课的内容是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，我将从教材分析、教学目标、学生情况、教法学法分析、教学过程、教学效果及反思六个方面来介绍： 一、教材分析 （一）地位和作用 本节课内容选自人教数学选修2-1第三章，这节课是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识内容，是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广，是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，是以后学习“立体几何中的向量方法”等内容的基础。它将数与形紧密地结合起来。这节课学完后，如把几何体放入空间直角坐标系中来研究，几何体上的点就有了坐标表示，一些题目如两点间距离、异面直线成的角等就可借助于空间向量来解答，所以，这节课对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到了很重要的作用。 （二）目标的确定及分析 根据新课标和我对教材的理解，结合学生实际水平，从知识与技能；过程和方法；情感态度价值观三个层面出发，我将本课的目标定位以下三个：（1）知识与技能：通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示，并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题。（2）过程与方法：①通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比，使学生掌握空间向量运算的坐标表示，渗透类比的数学方法；②会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题，体会向量方法在研究空间图形中的作用，培养学生的空间想象能力和几何直观能力。（3）情感态度价值观：通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动，培养学生主人翁意识、集体主义精神。 （三）重难点的确定及分析 本节课的重点是：空间向量运算的坐标表示，应用向量法求两条异面直线所
平面向量内积的坐标运算
课 题：平面向量数量积的坐标表示 教学目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式 ⑶能用所学知识解决有关综合问题 教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a 与b ，作＝a ，OB ＝b ，则∠A ＯB ＝θ（０≤θ≤ π）叫a 与b 的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是 θ，则数量|a ||b |c os θ叫a 与b 的数量积，记作a ?b ，即有a ?b = |a ||b |c os θ， （０≤θ≤π）.并规定0 与任何向量的数量积为0 3．向量的数量积的几何意义： 数量积a ?b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |c os θ的乘积 4．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量 1?e ?a = a ?e =|a |c os θ；2?a ⊥b ? a ?b = 0 3?当a 与b 同向时，a ?b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ?b = -|a ||b | 特别的a ?a = |a |2或a a a ?=||
4?c os θ =| |||b a b a ? ；5?|a ?b | ≤ |a ||b | 5． 平面向量数量积的运算律 交换律：a ? b = b ? a 数乘结合律：(λa )?b =λ(a ?b ) = a ?(λb ) 分配律：(a + b )?c = a ?c + b ?c 二、讲解新课： ⒈平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = ，试用a 和b 的坐标表示b a ? 设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么 j y i x a 11+=，j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=?2211221221j y y j i y x j i y x i x x +?+?+= 又1=?i i ，1=?j j ，0=?=?i j j i 所以b a ?2121y y x x += 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 即b a ?2121y y x x += 2.平面内两点间的距离公式 （1）设),(y x a = ，则222||y x a += 或 ||a = （2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-= (平面内两点间的距离公式) 3.向量垂直的判定 设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a ⊥ ?02121=+y y x x
3.1.4空间向量的直角坐标运算 【 2014年】
3.1.4空间向量的直角坐标运算（课前预习案） 班级：___ 姓名：______ 一、新知导学 1、空间向量的直角坐标运算律： （1）若123(,,)a a a a =，(,,)123b b b b =，则 a b += ， a b -= ， a λ= ， a b ?= ， //a b ? a b ⊥? ． （2）若(,,)111A x y z ，222(,,)B x y z ，则AB = ． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的______的坐标减去_________的坐标 2、模长公式： 若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则||a a a = ?= ，||b b b =?= ． 3、夹角公式：2cos ||||a b a b a b a ??== ?+ 4、两点间的距离公式： 若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2 ||(AB AB x ==， 或,A B d =
;,,i j k ??，求下列向量的坐标：）346a i j k =+- （）2 323 b i j k =--+ 若(2,1,3),(5,3,2)a b =-=-，则a +b =____________,32a b -=___________, a b ?=_____，(2)(3)a b a b +?-=______________1）(0,0,4),(0,0,7) （2）（（3，4，0），（0，0，6） （2）（-2，1，，-5，7） 已知(1,1,1),(1,0,1)a b =--=-，则______,a =,a b <>=____________3.1.4 空间向量的直角坐标运算（课堂探究案）一、空间向量的直角坐标 向量(,,a a a a =二、向量的坐标运算 已知(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)a b c ===，,2p a b q a b c =-=+-，求： ,p q ，p q ?。
空间向量的基本运算
第六节 空间向量 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有 和 的量叫做向量。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线 或 ，那么这些向量也叫做共 线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ， 使a ＝ 。 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一 内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是 的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y ，使 。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使 。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个 的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使zk yi xi OA ++=，有序实数组 (,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作
空间向量的坐标运算
空间向量的坐标运算 第一课时空间直角坐标系 教学目标： ㈠知识目标： ⒈空间直角坐标系； ⒉空间向量的坐标表示； ⒊空间向量的坐标运算； ⒋平行向量、垂直向量坐标之间的关系； 5.中点公式。 ㈡能力目标： ⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标； ⒉掌握空间向量坐标运算的规律； 3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； 4.会用中点坐标公式解决有关问题。 教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算 教学难点：向量坐标的确定 教学方法：讨论法． 教具准备：多媒体投影． 教学过程： 复习回顾 空间向量基本定理 探索研究 1、空间右手直角坐标系的概念 ⑴单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示。 ⑵空间直角坐标系O－xyz 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O 为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个直角坐标系O－xyz，点O叫做原点，向量i,j,k叫做坐标向 量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz平面，zOx平面。 ⑶空间直角坐标系的画法作空间直角坐标系O－xyz 时，一般使∠xOy＝135°(或45°),∠yOz＝90°。 注：在空间直角坐标系O－xyz中，让右手拇指指向x轴 的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正 方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 ⑷空间向量的坐标表示给定一空间直角坐标系和向
向量的直角坐标运算设a=(a 1,a 2,a 3),b=(b 1,b 2,b 3)，则a+b=(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3) a －b=(a 1－ b 1,a 2－b 2,a 3－b 3)λa=(λa 1,λa 2,λa 3) a ?b=a 1 b 1+a 2b 2+a 2b 2 a//b a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R)a ⊥b a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2)，则 AB ＝OB －OA ＝(x 2－x 1,y 2－y 1,z 2－z 1) 量a ，且设i,j,k 为坐标向量（如图），由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a 1,a 2,a 3）叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，可简记作a ＝（a 1,a 2,a 3）。 在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量OA ，若 ,k z j y i x OA ++=则有序数组(x,y,z)叫做点A 在 此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x,y,z)，其中x 叫做A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。 ⑸空间任一点P 的坐标的确定 过P 分别作三个与坐标平面平行的平面（或垂面），分别交坐标轴于A 、B 、C 三点，|x|=|OA|,|y|=|OB|,|z|=|OC|,当OA 与i 方向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理可确定y 、z （如图） 例1已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别是BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标。 分析：要求点E 的坐标，过点E 与x 轴、y 轴垂直的平面已存在，只要过E 作平面垂直于z 轴交E ‘ 点，此时|x|＝|,|DA |y|＝|,|DC |z|＝||'DE ，当DA 的方向与x 轴正向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理确定y 、z 的符号，这样可求得点E 的坐标。 解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)， A 1(2,0,2)， B 1(2,2,2)， C 1(0,2,2)，, D 1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0) 2、向量的直角坐标运算 注：3 32 21 1i 321321b a b a b a b //a 1,2,3),0(i b ),b ,b ,(b b ),a ,a ,(a a = = ? =≠==则若
向量的直角坐标运算练习
练习一 选择题： 1.已知＝(3，－1)，＝(－1，2)，则－3－2的坐标是( ). (A)(7，1) (B)(－7，－1) (C)(－7，1) (D)(7，－1) 2.已知(－5，3)、(1，4)、则的坐标是( ). (A)(－4，7) (B)(6，－1) (C)(6，1) (D)(－6，－1) 3.已知(－3，4)、(6，9)，则的坐标是( ). (A)(9，1) (B)(－9，－5) (C)(3，13) (D)(－27，24) 4.已知点(，－2)与点(0，－14)的距离等于13，则为( ). (A)5 (B) －5 (C)5或－5 (D)0 5.已知(－3，5)，(7，－4)，则线段中点坐标是( ). (A) (B) (C)(4，1) (D)(－4，1) 6.将(3，4)按向量＝(1，2)平移，得到对应点的坐标是( ). (A)(4，6) (B)(2，2) (C)(4，2) (D)(2，6) 7.线段的中点是(－1，2)，点的坐标是(2，5)，那么点的坐标是( ). (A)(0，1) (B)(－4，－1) (C)(4，1) (D)(－4，1) 8.一个向量将点(2，－1)平移到(－2，1)，那么它将点(－2，1)平移到( ). (A)(2，－1) (B)(－2，1) (C)(6，－3) (D)(－6，3) 填空题： 9.已知.的坐标分别为(2，4)和(－2，1)，则的坐标为______. 10.已知(6，2).(－2，4)，则||＝______.
11.已知点(－8，3).(5，－3)，则： (1)点关于直线＝对称点的坐标为______； (2)点关于坐标原点对称点的坐标是______； (3)点关于点的中心对称点的坐标是______. 12.在平移变换下，点(4，－2)，变为点(3，0)，则平移向量是______. 解答题： 13.已知点(－2，－3)、(1，6)，并且、是线段的三等分点，求点和的坐标. 14.已知：(2，－3)、(－1，－1)、(－1，－3)求证：△是直角三角形. 15.把函数的图象平移向量＝(－2，1)到，求对应的函数表达式. 提示和解答： 1.B . 2.C. 3.B. 4.C. 5.A. 6.A. 7.B. 8.D. 9.(－4, －3) . 10.. 11.(1)(3, －8)；(2)( －5,3)；(3)(18, －9). 12.(－1,2) . 13.(－1,0)、(0,3). 14.∵ . ∴△为直角三角形 15.. 练习二
高考试题分类考点空间直角坐标系空间向量及其运算
高考试题分类考点空间直角坐标系空间向量及其运算
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考点37 空间直角坐标系、空间向量及其运算 一、解答题 1.（2012·北京高考理科·Ｔ16）如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD,如图 2. （1） 求证：A 1C ⊥平面BCDE ； （2） 若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小； （3） 线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由. 【解题指南】（1）利用线面垂直的判定定理证明；（2）（3）找出三个垂直关系， 建系，利用向量法求解. 【解析】（1）//,,DE BC AC BC DE AC ⊥∴⊥Q ，1,DE A D DE CD ∴⊥⊥， 111 ,,A D CD D DE ACD DE AC =∴⊥∴⊥Q I 面 又11,,AC CD CD DE D AC BCDE ⊥=∴⊥Q I 面. （2）由（1）可知，1,,CB CD AC 两两互相垂直，分别以它们为x 轴、y 轴、z 轴 建立空间直角坐标系，则1(0,0,23)A ,(0,1,3),(0,1,3),(1,2,0),M CM BE ==-u u u u r u u u r 1(3,0,23)A B =-u u u r ，设平面1A BE 的法向量为1111(,,)n x y z =u r ， 由 1111111203230n BE x y n A B x z ??=-+=???=-=??u r u u u r u r u u u r ，令11x =，得113(1,,)22 n =u r ， A B C D E C B E D A M 图图
空间向量及其运算练习题
空间向量及其运算练习题 一、选择题 1、在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是 ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ） A.0 B.1 C.2 D.3 2、点（2，3，4）关于xoz 平面的对称点为（ ） A 、（2，3，-4） B 、（-2，3，4） C 、（2，-3，4） D 、（-2，-3，4） 3、在空间直角坐标系中，设z 为任意实数，相应的点(3,1,)P z 的集合确定的图形为 （ ）A ．点 B ．直线 C ．圆 D ．平面 4、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ， A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ） A ．c b a ++- 21 21 B ． c b a ++21 21 C ．c b a +-2 1 21 D ．c b a +--2 1 21 5、在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OC O B OA OM --=2 B ．O C OB OA OM 2 1 3151++= C ．=++MC MB MA 0 D ．=+++OC OB OA OM 0 5、已知平行六面体''' ' ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，' 5AA =，0 90BAD ∠=， ''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于 （ ） A ．85 B ．85 C ．52 D ．50 图
最新空间向量运算的坐标表示练习题
课时作业(十七) [学业水平层次] 一、选择题 1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2) D ．(2,1，－3) 【解析】 b ＝a －(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)． 【答案】 A 2．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |的值为( ) A.534 B.532 C.532 D.132 【解析】 ∵AB 的中点M ? ? ???2，32，3，∴CM →＝? ????2，12，3，故|CM | ＝|CM → |＝ 22＋? ?? ??122＋32＝532. 【答案】 C 3．(2014·德州高二检测)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(k,1)，若a ＋2b 与a －b 平行，则k 的值是( ) A ．－6 B ．－23 C.2 3 D ．14 【解析】 由题意得a ＋2b ＝(2＋2k,5)，且a －b ＝(2－k,2)，又因为a ＋2b 和a －b 平行，则2(2＋2k )－5(2－k )＝0，解得k ＝2 3.
【答案】 C 4. (2014·河南省开封高中月考)如图3-1-32，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E ，F 分别是面A 1B 1C 1D 1、面BCC 1B 1的中心，则E ，F 两点间的距离为( ) 图3-1-32 A ．1 B.52 C.62 D.32 【解析】 以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 E (1,1，2)， F ? ???? 2，1，22，所以|EF |＝ (1－2)2 ＋(1－1)2 ＋? ??? ?2－222 ＝6 2，故选C. 【答案】 C 二、填空题 5．(2014·青岛高二检测)已知点A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，O (0,0,0)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为________． 【解析】 设OQ →＝λOP →＝(λ，λ，2λ)，故Q (λ，λ，2λ)，故QA → ＝
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(教、学案)
2. 4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 一、教材分析 本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。它把向量的数 量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。 二．教学目标 1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式。能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题。 2．（1）通出问题，把问题的求解与探究贯穿整堂课，学生在自主探究中发现了结论（2）通过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比，教给了学生类比联想的记忆方法。 3．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神、 三、教学重点难点 重点：平面向量数量积的坐标表示. 难点：向量数量积的坐标表示的应用. 四、学情分析 此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用 长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工 具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。因此，本节 内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。所以，本节课采取 以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。因此结合中学生的认知结构特点和学生实 际。我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积 的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式。能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、 经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的 模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。 五、教学方法 1．实验法：多媒体、实物投影仪。 2．学案导学：见后面的学案。 3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习。 六、课前准备 1．学生的学习准备：预习学案。 2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
平面向量数量积的坐标表示模夹角
平面向量数量积的坐标表示模夹角 教学目标 1．掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点) 2．会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题．(难点) 3．分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点) [基础·初探] 教材整理平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 阅读教材P106“探究”以下至P107例6以上内容，完成下列问题．1．平面向量数量积的坐标表示： 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 2.向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a| 3．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB →＝ 4．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与b夹角为θ，则 cos θ＝ a·b |a|·|b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21x22＋y22 . 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0度．()
(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．( ) (3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．( ) 解：(1)×.因为当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 的夹角也可能为180°. (2)√.由向量数量积定义可知正确． (3)×.因为两向量的夹角有可能为180°. 【答案】 (1)× (2)√ (3)× [小组合作型] 平面向量数量积的坐标运算 (1)(2016·安溪高一检测)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，x )， 且a·b ＝－1，则x 的值等于( ) A ．1 2 B ．－12 C ．32 D ．－32 (2)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，2)，则a·b ＝________，a ·(a －b )＝________. (3)已知a ＝(2，－1)，b ＝(3，2)，若存在向量c ，满足a·c ＝2，b ·c ＝5，则向量c ＝________. 根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解． 解：(1)因为a ＝(1，2)，b ＝(2，x )，
空间向量的直角坐标及其运算
课 题：9 6 空间向量的直角坐标及其运算 (一) 教学目的： ⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标； ⒉掌握空间向量坐标运算的规律； 3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； 4.会用中点坐标公式解决有关问题 教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算 教学难点：空间向量的坐标的确定及运算 内容分析： 本节有两个知识点：向量和点的直角坐标及向量的坐标运算、夹角和距离公式这一小节，我们在直角坐标系下，使向量运算完全坐标化去掉基底，使空间一个向量对应一个三维数组，这样使向量运算更加方便在上一小节已学习向量运算的基础上，把向量运算完全坐标化，对学生已不会感到抽象和困难在第2个知识点中，我们给出空间解析几何两个最基本的公式：夹角和距离公式在这个知识点中，作为向量坐标计算的例题，还顺便证明了直线与平面垂直的“性质定理”通过解一些立体几何的应用题，就可为学生今后进一步学习空间解析几何、高维向量和矩阵打下基础 要求学生理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算，掌握两点的距离公式垂直于平面的性质定理 教学过程： 一、复习引入： 平面向量的坐标表示 分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本 定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得j y i x a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐 标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，0,0(0= 2．平面向量的坐标运算 若),(11y x a = ，),(22y x b = ， 则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，,(y x a λλλ= 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --= 3．a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0 4平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = ，试用a 和b 的坐标表示b a ? 设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么 j y i x a 11+=，j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=?2211221221j y y j i y x j i y x i x x +?+?+= 又1=?i i ，1=?j j ，0=?=?i j j i 所以b a ?2121y y x x += 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 5.平面内两点间的距离公式 （1）设),(y x a = ，则222||y x a += 或||a = （2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么 221221)()(||y y x x a -+-= (平面内两点间的距离公式) 6.向量垂直的判定 设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a ⊥ ?02121=+y y x x 7.两向量夹角的余弦（πθ≤≤0） cos ＜a ,b ＞= co s θ=||||b a b a ?? 8．空间向量的基本定理：若{,,}a b c 是空间的一个基底，p 是空间任意一向量，存在唯一的实数 组,,x y z 使p xa yb zc =++ ． 二、讲解新课： 1 空间直角坐标系： （1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1， 这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；
(完整版)平面向量直角坐标运算习题
1 向量的直角坐标运算练习题 1.已知a=(4,5),b=(-2,2), 下列运算错误的是 A.a+b=(2,7) B.a-b=(6,3) 2.已知向量 a=(x,2),b=(5,-4), 若 a // b,则 x= A - 氏二 CA D — 2 3 4 3 5.已知三点 A(0,1),B(2,0),C(3,7), 则 D 旦 4 (L1) 2 2，则下列结论中正确的是 () A.|a|=|b| B.a ? b= - C.a // b D.a-b 与 b 垂直 10.若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x), 满足条件(8a-b ) ? c=30, 则x 等于() C.3a=(12,15) D.-2b=(4,4) A.6 B.5 C.4 D.3 11.已知 a=(-4,2),b=(5,1), 求 a+2b= ,a-3b= A-? 5 3.已知向量 H- C-- D.- 5 2 2 a=(1,2),b=(4,y). 若a 丄b,贝U y= A.2 B.-2 C.3 D.-3 4.已知向量 a=(-1,3),b=(1,2). 贝 U
高一数学优质课比赛 平面向量数量积的坐标表示教案
平面向量数量积的坐标表示 一、本教学设计主要思考的几个问题： 1、 教材的地位和作用是什么？ 2、 学生在学习中会遇到什么困难？ 3、 如何根据新课程理念，设计教学过程？ 4、 如何结合教学内容，指导学生学法、发挥评价作用、发展学生能力？ 二、教材分析： 1、 向量是近代数学中最重要的概念之一； 2、 向量的几何形式与代数形式的“双重身份”以及它的一套优良的运算系统使它成为“重要工具” 和“桥梁”； 3、 数量积的坐标表示为解决“形”中的长度、角度等问题带来了方便； 4、 有助于理解和掌握 数形结合的思想方法； 5、 为学习物理等其他学科解决实际问题作准备； 三、教学目标分析： ⒈知识目标：(1)掌握数量积和模的坐标； (2)掌握两向量垂直的充要条件(等价条件)、夹角公式． ⒉能力目标：(1)领悟数形结合的思想方法； (2)培养学生自主学习及提出、分析、解决问题的能力． ⒊情感目标：体验探索的乐趣认识世间事物的联系与转化． 四、教学的重点、难点分析： 重点：数量积坐标表示的推理过程． 难点：公式的建立与应用． 五、学生分析： 知识上：学习过向量加减法坐标运算和数量积定义性质运算等； 方法上：研究过向量加减法坐标运算的推理过程； 思维上：由经验型抽象思维逐渐过渡理论性严谨抽象思维； 能力上：主动迁移、主动重组整合的能力较弱. 六、教学方法和教学手段分析： 1、建构主义学习理论认为：学生的认知结构是通过同化和顺化而不断发展，学习不是对教师所授予的 知识被动接受，而是一个以学生已有的知识和经验为基础的主动的建构过程。学生真正获得知识的消化，是把新的学习内容正确纳入已有的认知结构，使其成为整个认知结构的有机组成部分，所以在教学中，以向量为载体，按照“直观感知----操作确认-----思辩论证”的认识过程展开。通过创设良好的问题情境，不断引导学生观察、实验、思考、探索，通过自己的亲身实践，充分发挥学生学习的主动性，培养学生的自主、合作、探索能力。同时采用电脑课件的教学手段，加强直观性和启发性，提高课堂效益； 2、 运用“导学探究式” 教学方法； 3、 本节课的基调定为，自主探索、民主开放、合作交流、师生对话、分层评价； 4、多媒体信息技术教学手段整合教学过程. 七、学法指导： 1、根据本节课特点及学生的认知心理，把重点放在如何让学生“会学习”这一方面，学生在教师营 造的“可探索”环境里，积极参与、生动活泼地获取知识、善于观察类比、掌握规律、主动发现、积极探索质疑，从而培养学生观察能力、想象能力、探索思维能力，设计转化、分析问题及解决问题的能力； 2、 紧紧围绕数形结合这条主线； 认知主体