韦达定理习题

一元二次方程根与系数的关系习题

1、如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根是1x 、2x ，那么21x x += ，

21x x ?= 。

2、已知1x 、2x 是方程04322=-+x x 的两个根，那么：21x x += ；

21x x ?= ；

11x x ；=+2221x x ；

=++)1)(1(21x x ；||21x x -= 。

3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是。

4、如果关于x 的一元二次方程022=++a x x 的一个根是1－2，那么另一个根是，a 的值为。

5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。

6、已知方程2x 2+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。

7、一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1，则q ∶p= 。

8、已知方程x 2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。

9、已知关于x 的一元二次方程(a 2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则

a = 。

10、已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2，且21x x +=－2，则m= ，21x x ? = 。

11、已知方程3x 2+x －1=0，要使方程两根的平方和为9

13，那么常数项应改

为。

12、已知二次项系数为1的一元二次方程，它的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为。

13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二

次方程为。(其中二次项系数为1)

14、已知关于x 的一元二次方程x 2－2(m －1)x+m 2=0。若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。

15、已知方程x 2+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。

16、已知关于x 的方程x 2－3x+k=0的两根立方和为0，则k=

17、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为1x 、2x ，且4

3x 1x 12

=+，则

m= 。

18、关于x 的方程2x 2－3x+m=0，当时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。

19、若方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同，则m= 。

20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x 2+3x －2=0两根的二倍，则所求的方程为。

21、一元二次方程2x 2－3x+1=0的两根与x 2－3x+2=0的两根之间的关系是。

22、已知方程5x 2+mx －10=0的一根是－5，求方程的另一根及m 的值。

23、已知2+3是x 2－4x+k=0的一根，求另一根和k 的值。

24、不解方程，判断下列方程根的符号，如果两根异号，试确定是正根还是负根的绝对值大?

362)2(,053)1(2

-=--

x x x

25、已知1x 和2x 是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

（1）321231x x x x + （2）

（3）22221)(x x - （4）21x x - （5）

x x x x +

（6）52212251x x x x +

26、求一个一元二次方程，使它的两个根是2+6和2－6。

27、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。

28、方程x 2+3x+m=0中的m 是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大2；(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17。

29、已知关于x 的方程2x 2－(m －1)x+m+1=0的两根满足关系式1||21=-x x ，求m 的值及两个根。

30、α、β是关于x 的方程4x 2－4mx+m 2+4m=0的两个实根，并且满足

100

91)1)(1(=

---βα，求m 的值。

31、已知一元二次方程8x 2－(2m+1)x+m －7=0，根据下列条件，分别求出m 的值： (1)两根互为倒数； (2)两根互为相反数； (3)有一根为零； (4)有一根为1； (5)两根的平方和为64

1。

32、已知方程x2+mx+4=0和x2－(m－2)x－16=0有一个相同的根，求m的值及这个相同的根。

33、已知关于x的二次方程x2－2(a－2)x+a2－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a的值。

34、已知方程x2+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和

等于29，求b、c的值。

35、设：3a2－6a－11=0，3b2－6b－11=0且a≠b，求a4－b4的值。

36、已知一元二次方程(2k －3)x 2+4kx+2k －5=0，且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求：当k 取何整数时，方程有两个整数根。

37、已知：α、β是关于x 的方程x 2+(m －2)x+1=0的两根，求(1+m α+α2)(1+m β+β2)的值。

38、已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0的两根，x 1+1、x 2+1是关于x 的方程x 2+qx+p=0的两根，求常数p 、q 的值。

39、已知1x 、2x 是关于x 的方程x 2+m 2x+n=0的两个实数根；1y 、2y 是关于y 的方

程y 2+5my+7=0的两个实数根，且1

y x -=2,2

y x -=2，求m 、n 的值。

40、关于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实根，x2+2(a+m)x+2a－

m2+6m－4=0有大于0且小于2的根。求a的整数值。

41、关于x的一元二次方程3x2－(4m2－1)x+m(m+2)=0的两实根之和等于两个实根

的倒数和，求m的值。

42、已知：α、β是关于x的二次方程：(m－2)x2+2(m－4)x+m－4=0的两个不等实根。

(1)若m为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；

(2)若α2+β2=6时，求m的值。

43、已知关于x的方程mx2－nx+2=0两根相等，方程x2－4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。

求证：方程x2－(k+n)x+(k－m)=0一定有实数根。

44、关于x 的方程2

1mx 2x +

-=0，其中m 、n 分别是一个等腰三角形的腰长和底

边长。

(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；

(2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。

45、已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+p 2=0有两个实根x 1和x 2(x 1≠x 2)，在数轴上，表示x 2的点在表示x 1的点的右边，且相距p+1，求p 的值。

46、已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x 的方程x 2+(α+1)x+β2=0与x 2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根，求a 、b 、c 的关系式。

47、如果关于x 的实系数一元二次方程x 2+2(m+3)x+m 2+3=0有两个实数根α、β，

那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少?

48、已知关于x 的方程2x 2+5x=m 的一个根是－2，求它的另一个根及m 的值。

49、已知关于x 的方程3x 2－1=tx 的一个根是－2，求它的另一个根及t 的值。

50、设x 1，x 2是方程3x 2－2x －2=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

(1)(x 1－4)(x 2－4)； (2)x 13x 24+x 14x 23； (3)????

????? ??

12213131x x x x ； (4)x 13+x 23。

51、设x 1，x 2是方程2x 2－4x+1=0的两个根，求｜x 1－x 2｜的值。

52、已知方程x 2+mx+12=0的两实根是x 1和x 2，方程x 2－mx+n=0的两实根是x 1+7和x 2+7，求m 和n 的值。

53、已知两数之和为－7，两数之积为12，求这两个数。

54、已知方程2x 2－3x －3=0的两个根分别为a ，b ，利用根与系数的关系，求一个

一元二次方程，使它的两个根分别是： (1)a+1.b+1 (2)b

a a

b 2,2

55、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm ，面积为

7cm 2，求这个直角三

角形斜边的长。

56、在解方程x 2+px+q=0时，小张看错了p ，解得方程的根为1与－3；小王看错了q ，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么?

57、已知x 1，x 2是方程2x 2+3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

(1))32)(32(21--x x ；

(2)3

21231x x x x +。

58、已知a 2=1－a ，b 2=1－b ，且a ≠b ，求(a －1)(b －1)的值。

59、已知m 2+m －4=0，04112=-+n

，m ，n 为实数，且n

m 1

≠，则

m 1+

= 。

60、.设x 1，x 2是方程2x 2－2x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

(1)(x 12+2)(x 22+2)； (2)(2x 1+1)(2x 2+1)； (3)(x 1－x 2)2。

61、.已知m ，n 是一元二次方程x 2－2x －5=0的两个实数根，求2m 2+3n 2+2m 的值。

62、已知方程x 2+5x －7=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程的两个根的负倒数。

63、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之比为2∶1，求证：

2b2=9ac。

64、.已知关于x的一元二次方程x2+mx+12=0的两根之差为11，求m的值。

65、已知关于y的方程y2－2ay－2a－4=0。(1)证明：不论a取何值，这个方程总

有两个不相等的实数根；(2)a为何值时，方程的两根之差的平方等于16?

66、已知一元二次方程x2－10x+21+a=0。(1)当a为何值时，方程有一正、一负两

个根?(2)此方程会有两个负根吗?为什么?

67、已知关于x的方程x2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角

形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。

68、已知方程x2+ax+b=0的两根为x1，x2，且4x1+x2=0，又知根的判别式 =25，求a，b 的值。

69、已知一元二次方程8y2－(m+1)y+m－5=0。(1)m为何值时，方程的一个根为

零?(2)m为何值时，方程的两个根互为相反数?(3)证明：不存在实数m，使方程的两个相互为倒数。

70、当m 为何值时，方程3x 2+2x+m －8=0：(1)有两个大于－2的根?(2)有一个根大

于－2，另一个根小于－2?

71、已知1

x ，2

x 是一元二次方程x 2+n x m +=0的两个实数根，且

212221=+++x x x x ，

2222

，求m 和n 的值。

韦达定理的运用

一元二次方程跟与系数关系（韦达定理）的应用一教材分析本节教学内容为“韦达定理的应用”，此内容是学生学习“一元二次方的根与系数的关系”中解决一些简单问题的重要方法。韦达定理联系了方程根与系数的关系，是学生在解决应用问题中的重要工具，具有广泛的应用价值，根据教材内容，由学生已知的认知结构及原由的知识水平，制定如下教学目标: 二教学目标 1、巩固上一节学习的韦达定理，并熟练掌握韦达定理的应用。 2、提高学生综合应用能力三教学重难点重点:运用韦达定理解决方程中的问题难点:如何运用韦达定理四教学过程 (一 ) 回顾旧知，探索新知上节课我们学习了韦达定理，我们回忆一下什么是韦达定理? 如果)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x 那么a c x x a b x x =?- =+2121, {老师:由韦达定理我们可知，韦达定理表示方程的根与系数的关系，如果在方程中遇到需要求解根的情况，我们是否能用韦达定理来解决呢?今天我们将来探讨这个问题。) (二) 举例分析例已知方程0652 =-+kx x 的一根是2，求它的另一根及k 的值。请同学们分析解题方法: 思路:应用解方程的方法，带入法解法一:把X=2代入方程求的K=-7 把K=-7代入方程:06752 =--x x 运用求根公式公式解得5 3,221- ==∴x x 提问:同学们还有没有其它方法呢? 启发学生，我们已知方程一根，求另一根，我们否能用韦达定理建立一个关系，求解方程。

解法二:设方程的两根为21,x x ，则21,2x x =是未知数用韦达定理建立关系式 5 3 ,5622 2-=∴-=x x 7 ,5 3 ,27 ,5 2212-=-==∴-=∴-=+k x x k k x 对比分析，第二种方法更加简单总结:在解方程的根时，利用韦达定理会使求解过程更为简单，且不用解方程，直接求某些代数式的值例2 不解方程，求一元二次方程2x 2＋3x －1＝0两根的（1）平方和；（2）倒数和方法小结: (1)运用韦达定理求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用2121,x x x x ?+的代数式表示。 (2)格式、步骤要求规范: ①将方程的两根设为。 ②求出2121,x x x x ?+的值。 ③将所求代数式用2121,x x x x ?+的代数式表示。 ④ 将2121,x x x x ?+的值代人并求值。三综合运用巩固新知 1、求一个一元二次方程，使它的两根分别是解： 2、设 2 1,x x 是方程03422 =-+x x 的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。

韦达定理经典例题复习课程

一元二次方程根与系数的关系培优训练例1．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。例2．已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。（1）是否存在实数k ，使23)2)(2(2121- =--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。（2）求使 21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。例3.已知关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根。求证：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根为，若，则 .

例4.在等腰三角形ABC 中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b和c是关于x的方程的两个实数根，求△ABC的周长．例5．在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么? 例6．已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。

练习：1.先阅读下列第(1)题的解法，再解答第(2)题． (1)若α、β是方程x2-3x-5=0的两个实数根，求α2+2β2-3β的值；解：∵α、β是方程x2-3x-5=0的两个实根， ∴α2-3α-5=0，β2-3β-5=0，且α+β=3． ∴α2=3α+5，β2=3β+5 ∴α2+2β2-3β=3α+5+2(3β+5)-3β=3α+3β+15=3(α+β)+15=24． (2)已知x 1、x 2 是方程x2+x-7=0的两个实数根，不解方程求的值． 2.已知关于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β，若ｓ＝1 α ＋ 1 β ，求ｓ的取值范围。 3．如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少? 4．已知关于x的方程x2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。

初三上学期一元二次方程-韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案

韦达定理（根与系数的关系) 韦达定理:对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠,如果方程有两个实数根12,x x ,那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明:定理成立的条件0?≥ 练习题一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ,2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = ． 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x ＋2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ,2x ,那么1x +2x ＝ ,1x 2x ＝． 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m ＝ ;如果两根互为倒数，那么n ＝ . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和-４,那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程(二次项系数为1）是 . 7、以13+,13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . ９、以23+和23-为根的一元二次方程是 . １0、若两数和为4,两数积为3,则这两数分别为 . １1、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ,2x ,那么2212x x += ． 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ,m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数,则k ＝ ,若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3,那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .

一元二次方程的解法与韦达定理练习题

一元二次方程的解法与韦达定理【知识提要】1.一元二次方程你知道有哪些常用解法 2.还记得如何用配方法解方程吗配方时需要注意些什么 3.韦达定理是什么你能推导吗使用韦达定理的前提条件是什么【典型例题】例1 （1）一元二次方程的一般形式是____ ___.其解为1x =_ ______,2x =__ _____. （2）将方程x x 2)1(2=+化成一般形式为___ _______.其二次项是__________，一次项是__________，常数项是_________. — 例2 用配方法解下列方程 (1)0152=-+x x (2)01422=+-x x (3)0364 12=+-x x 例3 用公式法解下列各方程 (1)01252=-+x x (2)061362=++y y (3)7962=++x x ! 例4 用因式分解法解下列方程 (1)022=+x x (2)22)12()1(-=+x x (3)4122=+-x x 例5 用适当方法解方程：《 (1)x x 322=+ (2)232+=x x (3)02)3(2 =-+y (4) )2(3)2)(1(2+=++x x x x （5）)3(215)3(2 +-=+x x （6）01242=-+x x （7）0)12(532=++x x {

根与系数关系式一、填空题与选择题： 1、一元二次方程0132=--x x 与032=--x x 的所有实数根的和等于____. 2、已知关于x 的方程0142=-+-k x x 的两根之差等于6，那么=k ______ 3、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（） A 、、3 C 、6 D 、9 ， 4、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程048142=+-x x 的一根, 则这个三角形的周长为 ( ) 或19 二、解答题： 5、设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）)3)(3(21--x x ；（2）2221)1()1(+++x x - （3）)31)(31(1221x x x x ++ 6、已知关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比它们的积大21，求m 的值. 《

韦达定理公式介绍及典型例题

?韦达定理公式介绍及典型例题 ?韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。 ?这里讲一元二次方程两根之间的关系。 ?一元二次方程ａＸ+bX+C=0﹙a０﹚中，两根Ｘ1，X2有如下关系：X1+X２=-b/a，X1Ｘ2=ｃ／a ?【定理内容】一元二次方程ａｘ＾2+bx＋c=0(ａ0 且△=ｂ^2－４ａc0)中,设两个根为x1，x2 则 ?X1+X２＝ -b/ａ ?X1Ｘ2＝c/a 1/Ｘ1+1/X２=X1+X2／X1X２ ?用韦达定理判断方程的根一元二次方程ａx+bｘ＋c＝０ (a0)中, 若b-4aｃ0则方程没有实数根若ｂ－4aｃ=0 则方程有两个相等的实数根 ?若b-4ac0 则方程有两个不相等的实数根【定理拓展】 ?(1)若两根互为相反数，则b=0 （2)若两根互为倒数，则a=c ?(３)若一根为0,则c=0 (4）若一根为１,则ａ+b+c=0 ?(5)若一根为-1,则a-b+c＝0 ?(6)若a、c异号,方程一定有两个实数根

【例题】已知p＋q=１98，求方程x^２+pｘ+q=0的整数根.(94祖冲之杯数学邀请赛试题）解:设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1ｘ2.由韦达定理，得?x1+ｘ2=－p,ｘ１x２=q. 于是ｘ1ｘ2-(x1+x2）=ｐ＋q=1９8, ?即ｘ1x2-x1－x２＋1=199. ?运用提取公因式法(x１-１)（ｘ2-1)=199. 注意到（x１-１)、（x２－1)均为整数， ?解得ｘ１＝2,x2=20０;x１=-198，x２=0．

(完整版)集合练习题及答案-经典

集合期末复习题12.26 姓名班级________________ 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是（） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有个（） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是（） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=-的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是（） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=}{ 12x x <<，B=}{ x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是（） A }{ 2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{ 2a a ≤ 9、满足条件M U }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是（） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有（） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={} 22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={}5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|20x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人.

一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)专题训练(有答案)--

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：（1）定理成立的条件0?≥ （2）注意公式重12b x x a +=-的负号与b 的符号的区别已知x1，x2是方程2x 2-x-5=0的两个根考点：根与系数的关系．专题：应用题．分析：利用根与系数的关系，分别求得x1+x2，x1/x2的值，整体代入所求的代数式即可．解：∵x1，x2是方程2x 2-x-5=0的两个根 ∴x1+x2=-b/a=12，x1×x2=c/a=-5/2 本题考查了一元二次方程根与系数的关系．要掌握根与系数的关系式：x1+x2=-b/a ，x1×x2=c/a ．（1）计算对称式的值例一若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．（2）定性判断字母系数的取值范围

例二一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k 的取值范围。例三已知关于x 的方程221(1)104 x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．例四已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2 x x x x --=-成立若存在，求出k 的值；若

韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案

1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：定理成立的条件0?≥ 练习题一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += . 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是，m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .

初中数学竞赛：韦达定理(附练习题及答案)

初中数学竞赛：韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。【例题求解】【例1】已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为。思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么 b a a b +的值为( ) A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2 思路点拨：可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧： (1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。【例3】已知关于x 的方程：04)2(2 2 =---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。 (2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x 。思路点拨：对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手。【例4】设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值。

充分条件与必要条件·典型例题

充分条件与必要条件·典型例题能力素养例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x 1＋x2＝－5，则p是q的 [ ] A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析利用韦达定理转换．解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根， ∴x1，x2的值分不为1，－6， ∴x1＋x2＝1－6＝－5．因此选A．讲明：判定命题为假命题能够通过举反例．例2 p是q的充要条件的是 [ ] A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解分析逐个验证命题是否等价．

解对A．p：x＞1，q：x＜1，因此，p是q的既不充分也不必要条件；对B．p q但q p，p是q的充分非必要条件；对C．p q且q p，p是q的必要非充分条件； D p q q p p q p q D ??? 对．且，即，是的充要条件．选．讲明：当a＝0时，ax＝0有许多个解．例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的 [ ] A．充分条件B．必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析通过B、C作为桥梁联系A、D．解∵A是B的充分条件，∴A B① ∵D是C成立的必要条件，∴C D② ? ∵是成立的充要条件，∴③ C B C B 由①③得A C④ 由②④得A D． ∴D是A成立的必要条件．选B．讲明：要注意利用推出符号的传递性．例4 设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的 [ ] A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2021年韦达定理经典例题

一元二次方程根与系数的关系培优训练欧阳光明（2021.03.07）例1．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的 m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。例2．已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。（1）是否存在实数k ，使23)2)(2(2121-=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。（2）求使21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。例3.已知关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根。求证：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根为，若，则 . 例4.在等腰三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a=3，b 和c 是关于x 的方程的两个实数根，求△ABC 的周长．

例5．在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么? 例6．已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。练习：1.先阅读下列第(1)题的解法，再解答第(2)题． (1)若α、β是方程x2-3x-5=0的两个实数根，求α2+2β2-3β的值；解：∵α、β是方程x2-3x-5=0的两个实根， ∴α2-3α-5=0，β2-3β-5=0，且α+β=3． ∴α2=3α+5，β2=3β+5 ∴α2+2β2-3β=3α+5+2(3β+5)- 3β=3α+3β+15=3(α+β)+15=24． (2)已知x1、x2是方程x2+x-7=0的两个实数根，不解方程求的值． 2.已知关于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β，若ｓ＝1 α ＋ 1 β ，求ｓ的取值范围。 3．如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少? 4．已知关于x的方程x2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。

韦达定理练习

韦达定理练习 1、已知关于x的一元二次方程x+x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 5、已知x 1、x2是方程x+6x+3=0的两个实数根，则 6、如果关于x的一元二次方程x﹣6x+c=0没有实根，那么c 的取值范围是 _________ 、 7、已知关于x的一元二次方程x+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值是 8、方程x﹣2x﹣1=0的两个实数根分别为x1，x2，则= _________ 、 9、已知α，β是一元二次方程x﹣4x﹣3=0的两实数根，则代数式= _________ 、 10、已知x=2是方程x+mx﹣2=0的一个解，则方程的另一个解为 11、用指定的方法解方程 22﹣25=0 x+4x﹣5=0 [1**********]的值等于 ﹣10+25=04）2x﹣7x+3=0 12、+3+2=0 13、已知关于x的一元二次方程x+2x+m=0、

当m=3时，判断方程的根的情况；当m=﹣3时，求方程的根、 14、当实数k为何值时，关于x的方程x﹣4x+3﹣k=0有两个相等的实数根？并求出这两个相等的实数根、 15、阅读材料：如果x1，x2是一元二次方程ax+bx+c=0的两根，那么有x1+x2=﹣，x1x2=、这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例x1，x2是方程x+6x﹣3=0的两根，求222222x1+x2的值、解法可以这样：∵x1+x2=6，x1x2=﹣3则x1+x2=﹣2x1x2﹣2×= 42、请你根据以上解法解答下题：已知x1，x2是方程x﹣4x+2=0的两根，求：的值； 222222222的值、 16、已知x1，x2是方程3x+2x﹣1=0的两根，求x1+x2的值、 17、已知关于x的一元二次方程x+kx﹣1=0，求证：方程有两个不相等的实数根；设方程的两根分别为x1，x2，且满足x1+x2=x1?x2，求k的值、 18、已知x 1、x2是一元二次方程2x﹣2x+1﹣3m=0的两个实数根，且x

韦达定理精华练习题

一、韦达定理如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x ，那么a c x x a b x x =?- =+2121, 二、练习 1、若方程2x +(2 a －2)x －3=0的两根是1和－3，则实数a = __________ 2、设21,x x 是方程22x －6x ＋3＝0的两根，则2221x x +的值是（）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3 3、不解方程，求一元二次方程2x 2＋3x －1＝0两根的（1）平方和；（2）倒数和。 4、设21,x x 是方程03422 =-+x x 的两根，利用根及系数的关系，求下列各式的值。 (1) ()()1121++x x (2) ()221x x - (3) 2 112x x x x + 5、求一个一元二次方程，使它的两根分别是25,310- 。 6、以方程2x ＋2x －3＝0的两个根的和及积为两根的一元二次方程是（）（A ） 2y +5y －6 = 0 （B ）2y +5y ＋6 = 0 （C ）2y －5y ＋6 = 0 （D ）2y －5y －6 = 0 7、已知方程0652=-+kx x 的一根是2，求它的另一根及k 的值。 8、已知关于x 的方程102x －(m+3)x + m －7= 0 ①若有一个根为0，则m=_________ ，这时，方程的另一个根是_________ ； ②若两根之和为53- ，则m=_________ ，这时方程的两个根分别为_____，_____。 8、已知方程032=+-m x x 的两根差的平方是17，求m 的值。 9、已知关于x 的二次方程x 2－2(a －2)x+a 2－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a 的值。 10、如果α和β是方程2x2+3x －1=0的两个根，利用根及系数关系，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别等于βα1+ 和αβ1+。巩固练习：

韦达定理经典习题

韦达定理经典习题一．选择题（共16小题） 1．若方程x2﹣（m2﹣4）x+m=0的两个根互为相反数，则m等于（） A．﹣2B．2C．±2D．4 2．若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为1，则另一个根为（） A．﹣4B．2C．4D．﹣3 3．设a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（） A．2014B．2015C．2016D．2017 4．一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（） A．有两个正根 B．有两个负根 C．有一正根一负根且正根绝对值大 D．有一正根一负根且负根绝对值大 5．已知m、n是方程x2+3x﹣2=0的两个实数根，则m2+4m+n+2mn的值为（） A．1B．3C．﹣5D．﹣9 6．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（）A．4，﹣2B．﹣4，﹣2C．4，2D．﹣4，2 7．一元二次方程x2+x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+=（） A．B．1C．D． 8．关于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的两实根之和大于﹣4，则k的取值范围是（） A．k＞﹣1B．k＜0C．﹣1＜k＜0D．﹣1≤k＜ 9.已知a、b是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根，那么+的值为（） A．B．C．﹣D．﹣ 10.已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（） A．x2﹣7x+12=0B．x2+7x+12=0C．x2+7x﹣12=0D．x2﹣7x﹣12=0 11.设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（） A．2014B．2015C．2012D．2013 二．填空题（共30小题） 12．已知：一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为． 13．一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是． 14．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2=． 15．一元二次方程x2+mx+2m=0的两个实根分别为x1，x2，若x1+x2=1，则x1x2=． 16.已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为． 17.已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为． 18.已知关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是．19．方程x2﹣3x+1=0中的两根分别为a、b，则代数式a2﹣4a﹣b的值为．

韦达定理中考真题精练

★中考真题精练 1．（2014·玉林）、是关于的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数使成立？则正确的结论是（A） A．时成立B．时成立 C．或2时成立D．不存在 2．（2014·呼和浩特）已知函数的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程的两根、判断正确的是（C） A．，B．， C．，D．与的符号都不能确定 3．（2015·泸州）设、是一元二次方程的两实数根，则的值为27． 4．（2015·江西）已知一元二次方程的两根是m，n，则= 25． 5．（2014·德州）方程的两个实数根、满足，则k的值为1． 6．（2014·济宁）若一元二次方程的两个根分别是与，则= 4 ． 7．已知关于x的一元二次方程．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若、是原方程的两根，且，求m的值．（1）证明：△== =．无论m取何值，，即． ∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．（2）由韦达定理，得，， ∴= =，而， ∴，即， ∴或． 8．已知关于x的方程有两个实数根、．（1）求k的取值范围；（2）若，求k的值．解：（1）由已知，得，即，∴．（2）∵，∴，∴．而，， ∴，即， ∴或．而，∴． 9．请阅读下列材料：问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y，则，∴．

把代入已知方程，得，化简，得．故所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为己知方程根的相反数，则所求方程为：；（2）己知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的倒数．解：（1）设所求方程的根为y，则，∴．把代入已知方程，得，∴所求方程为；（2）设所求方程的根为y，则（）， ∴（）把代入方程，得，∴．若，有，∴方程有一个根为0，不符合题意，∴． ∴所求方程为（）． 10．（2014?孝感）已知关于x的方程有两个不相等的实数根、．（1）求k的取值范围；（2）试说明，；（3）若抛物线与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且，求k的值．解：（1）由题意，得，即，解得．（2）∵，∴，而，∴，．（3）由题意，不妨设A（，0），B（，0）． ∴OA+OB=，． ∵，∴，解得或．而，∴．

九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第三讲韦达定理及其应用(含答案)

第三讲韦达定理及其应用趣题引路】韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣：常利用业余时间钻研数学.韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代生之父”历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提岀了一个45次的方程向各国数学家挑战.国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得岀一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）?消息传开，数学界为之震惊.同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达左理，你能利用韦达泄理解决下而的问题吗？已知：①0+2“一1=0,②夕一2沪一1=0日1 一c/HO.求（严a 的值。解析由①知1 + 2丄一丄=0? a cr 即（丄尸+2丄一1 = 0,③a a 由②知（护）2一2沪一1=0,④ 由韦达泄理，得丄+ Z/=2丄，=一1 , a a ...严=［（* +町+ 乡「（2-1 严 62为一元二次方程2 -21-1 =0的两根。点评本题的关键是构造一元二次方程X2-2A-1=0,利用韦达立理求解，难点是将①变形成③，易错点是忽视条件1 一ab2 #0,而把“，一夕看作方程/+加一1 =0的两根来求解. 知识延伸】例1已知关于x的二次方程2x2+av-2z/+l= 0的两个实根的平方和为7丄，求“的值. 4 解析设方程的两实根为小，也，根据韦达泄理，有一2“ +1 于是，Xj24-A22=（X14-X2）2-2.￥I%2

解一元二次方程练习试题(韦达定理)

解一元二次方程练习题(配方法) 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x －）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x －）2 2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2 -ax+1可变为（2x-b ）2 的形式，则ab=_______． 4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2 =b 的形式为______，?所以方程的根为_______． 5．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x 配方，得（） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（） A ．2．-2．．9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 10．用配方法解下列方程：（1）3x 2-5x=2．（2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4） 4 1 x 2 -x-4=0 7、01842=+--x x 8、0222=-+n mx x 9、()00222>=--m m mx x 11.用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。

韦达定理(常见经典题型)

一元二次方程知识网络结构图 1．方程中只含有个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，这样的方程叫做一元二次方程。通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。 2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的的平方，而另一边是一个时，可以根据的意义，通过开平方法求出这个方程的解。（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02 ≠=++a o c bx ax 的一般步骤是： ①化二次项系数为，即方程两边同时除以二次项系数； ②移项，使方程左边为项和项，右边为项； ③配方，即方程两边都加上的平方； ④化原方程为2 ()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用法求出方程的解。如果n ＜0，则原方程。（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________ （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：一元二次定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一解法直接开平方法因式分解法配方法公式法 22 240404b ac b ac b ac ?-??-???-?? ＞方程有两个不相等的实数根＝方程有两个相等的实数根＜方程无实数根应用一元二次方程解决实际问题?? ? 步骤实际问题的答案

①将方程的右边化为； ②将方程的左边化成两个的乘积； ③令每个因式都等于，得到两个方程； ④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。 3、韦达定理一、一元二次方程的基本概念及解法 1、已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0有一个根是－a(a≠0)，则a －b 的值为 A ．－１ B ．0 C ．1 D ．2 2、程时。、当方程为一元二次方程时；、当方程为一元一次方的取值范围。满足下列条件时，当方程21m 05)3()3(1 =+-++-x m x m m 3、一元二次方程x （x －2）=2－x 的根是（） A ．－1 B ．2 C ．1和2 D ．－1和2 二一元二次方程根的判别式 4、关于x 的方程2210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是( )． A ．k 为任何实数．方程都没有实数根 B ，k 为任何实数．方程都有两个不相等的实数根 C ．k 为任何实数．方程都有两个相等的实数根 D ．根据k 的取值不同．方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种 5、已知关于x 的一元二次方程（a ﹣l ）x 2﹣2x+l ＝0有两个不相等的实

一元二次方程韦达定理根与系数的关系测试答案

精心整理韦达定理与根与系数的关系练习题一、填空题 1、关于x 的方程0322=+-m x x ，当时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。 2345、设6721x ?＝． 8910111213、已知关于x 的一元二次方程01)1()1(22=++--x a x a 两根互为倒数，则=a 。 14、已知关于x 的一元二次方程0)1(222=+--m x m x 。若方程的两根互为倒数，则=m ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则=m 。 15、一元二次方程)0(02≠=++p r qx px 的两根为0和－1，则=q p :。 16、已知方程0132=-+x x ，要使方程两根的平方和为9 13，那么常数项应改为。

17、已知方程0242=-+m x x 的一个根α比另一个根β小4，则=α；=β；=m 。 18、已知关于x 的方程032=+-k x x 的两根立方和为0，则=k 19、已知关于x 的方程0)1(232=-+-m mx x 的两根为1x 、2x ，且4 31121-=+x x ，则=m 。 20、若方程042=+-m x x 与022=--m x x 有一个根相同，则=m 。 21、一元二次方程01322=+-x x 的两根与0232=+-x x 的两根之间的关系是。 22 2324(2512、设34、5222 =x ，56、设：011632=--a a ，011632=--b b 且b a ≠，求b a -的值。 7、已知：βα、是关于x 的二次方程：04)4(2)2(2=-+-+-m x m x m 的两个不等实根。 (1)若m 为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；(2)若622=+βα时，求m 的值。 8、已知关于x 的二次方程012=-+mx x 的一个根是12-，求另一个根及m 的值． 9、已知方程01052=-+mx x 的一根是－5，求方程的另一根及m 的值。

韦达定理专项练习

韦达定理专项练习韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：定理成立的条件0?≥ 记住下面公式：专项练习题一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .

7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += . 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是，m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 . 二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值: （1）2212x x += ；（2）2 111x x += ；（3）=-221)(x x = ；（4）)1)(1(21++x x = . 三、选择题： 1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（）（A ）0 （B ）正数（C ）－8 （D ）－4 2、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++12 21221x x x x （） (A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －3 3、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（） (A )－31 (B) 3 1 (C )3 (D) －3 4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（）（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x （C ） 0322=--x x （D ）0322=++x x 5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（）