对数函数总结

二、新授内容：

定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b

=，那么数 b 叫做 以

a 为底 N 的对数，记作

b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数

例如：

1642= ? 216log 4= ; 100102=?2100log 10=

242

1= ?2

12log 4=

; 01.0102

=-?201.0log 10-= 探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）

⑵01log =a ，1log =a a

∵对任意 0>a 且 1≠a , 都有 10

=a ∴01log =a 同样易知： 1log =a a ⑶对数恒等式

如果把 N a b

= 中的 b 写成 N a log , 则有 N a

N

a =log

⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做为了简便,N 的常用对数

N 10log 简记作lgN

例如：5log 10简记作lg5 ; 5.3log 10简记作lg3.5.

⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简记作lnN

例如：3log e 简记作ln3 ; 10log e 简记作ln10

（6）底数的取值范围),1()1,0(+∞Y ；真数的取值范围,0(+∞

三、讲解范例：咯log

例1将下列指数式写成对数式：（课本第87页） （1）4

5=625 （2）6

2-=

641 （3）a

3=27 (4) m ）（3

1=5.73 例2 将下列对数式写成指数式：

（1）416log 2

1-=； （2）2log 128=7；

（3）lg0.01=-2； （4）ln10=2.303

例3计算： ⑴27log 9，⑵81log 43，⑶()()

32log 32-+，⑷625log 345

二、新授内容：

积、商、幂的对数运算法则：

如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有：

)

()()

(3R)M(n nlog M log 2N log M log N

M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+=

三、讲授范例： 例1 计算

（1）5log 25， （2）4.0log 1， （3）2log （74×52）， （4）lg 5100 例2 用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：

log )2(;

(1)log z

xy a

a 例3计算： (1)lg14-2lg

37+lg7-lg18 (2)9lg 243lg (3)2

.1lg 10

lg 38lg 27lg -+

四、课堂练习：

1.求下列各式的值：

（１）2log ６－2log ３ （２）lg ５＋lg ２

（３）5log ３＋5

log 3

1

（４）3log ５－3log １５ 2. 用lg ｘ，lg ｙ，lg ｚ表示下列各式：

(1) lg （xyz ）； （２）lg z xy 2； （３）z

xy 3lg ； （４）z y x

2lg

二、新授内容：

1.对数换底公式：

a

N

N m m a log log log =

( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0)

证明：设 a log N = x , 则 x

a = N

两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x

m log log log log =?=

从而得：a N x m m log log =

∴ a

N m m a log log =

2.两个常用的推论:

①1log log =?a b b a ， 1log log log =??a c b c b a

② b m

n

b a n

a m log log =（ a,

b > 0且均不为1）三、讲解范例：

例1 已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56

例2计算：①3

log 12.05

- ② 2

1

94log 2log 3log -?例3设),0(,,+∞∈z y x 且z

y

x

643== 1? 求证

z

y x 1211=+ ； 2? 比较z y x 6,4,3的大小 例4已知a log x=a log c+b ，求x

四、课堂练习：

①已知 18log 9 = a , b

18 = 5 , 用 a, b 表示36log 45 ②若8log 3 = p , 3log 5 = q , 求 lg 5 1．证明：

b x

x

a a

b a log 1log log +=

2．已知λ====n a a a b b b n log log log 2121ΛΛ 求证：λ=)(log 2121n a a a b b b n ΛΛ 二、新授内容： 1．对数函数的定义：

函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数；它是指数函数x

a y = )10(≠>a a 且的反函数对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为,(+∞-∞

2．对数函数的图象

由于对数函数x y a log =与指数函数x a y =互为反函数，所以x y a log =的图象与x

a

y =的图象关于直线x y =对称x

a y =的图象关于x y =对称的曲线，就可以得到x y a log =的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质

4

3

2

1

-1-2

-3

-6

-4

-2

246

01

1

A

4

3

2

1

-1-2

-3

-2

246

1

1

3．对数函数的性质

由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质见P87 表

a>1

0

图 象

32.5

21.51

0.5-0.5

-1-1.5-2-2.5

-1

1

23456780

1

1

32.5

2

1.5

1

0.5

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

-1

1

2345678

1

1

性 质

定义域：（0，+∞） 值域：R

过点（1，0），即当x=1时，y=0 )1,0(∈x 时 0y

)1,0(∈x 时 0>y ),1(+∞∈x 时0

在（0，+∞）上是增函数

在（0，+∞）上是减函数

三、讲解范例：

例1（课本第94页）求下列函数的定义域：

（1）2

log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=

例2求下列函数的反函数

①121-??

?

??=x

y ②3)21(12+=+x y )0(

四、练习：

1.画出函数y=3log x 及y=x 3

1log 的图象，并且说明这两个函数的

相同性质和不同性质.

2.求下列函数的定义域：

（1）y=3log (1-x) (2)y=x

2log 1

(3)y=x

311

log 7

- x y 3log )4(=

二、新授内容：

例1比较下列各组数中两个值的大小：

⑴5.8log ,4.3log 22； ⑵7.2log ,8.1log 3.03.0； ⑶)1,0(9.5log ,1.5log ≠>a a a a

例3比较下列各组中两个值的大小：

⑴6log ,7log 76； ⑵.0log ,log 23π

例4 求下列函数的定义域、值域： ⑴4

121

2

-

=

--x

y ⑵)52(log 2

2++=x x y ⑶)54(log 2

3

1++-=x x y ⑷)(log 2x x y a --=

10(<

1．比较2log 0.7与3

1log 0.8两值大小

2．已知下列不等式，比较正数m 、n 的大小：

（1）3log m ＜3log n (2) 3.0log m ＞3.0log n (3) a log m ＜a log n(0＜a ＜1) (4) a log m ＞a log n(a ＞1)

二、新授内容：

例1 ⑴证明函数)1(log )(2

2+=x x f 在),0(+∞上是增函数

⑵函数)1(log )(2

2+=x x f 在)0,(-∞上是减函数还是增函数？ 例2 求函数)32(log 2

2

1--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明

三、练习：

1.求y=3.0log (2

x -2x)的单调递减区间

2.求函数y=2log (2

x -4x)的单调递增区间

3.已知y=a log (2-x

a )在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 练习（1）证明函数y=2

1log (2

x +1)在（0，+∞）上是减函数；

（2）判断函数y=2

1log （2

x +1)在（-∞,0）上是增减性.

概念是数学理论的基础、概念性强是中学数学中函数理论的一个显著特征，集合，函数三要素（对应法则、定义域、值域）；反函数；函数的单调性，最大（小）值等是函数有关概念的重要内容.本章学习的内容中数学概念较多，正确地理解数学概念在于准确把握概念的本质特征.

1.映射的定义，就明确如下几点

（1）映射f:A →B 说的是两个集合A 与B 间的一种对应，两个集合是有序.

（2）映射必须是“多对一”或“一对一”的对应，即允许集合A 中不同元素在集合B 中有相同的象，但不要求B 中的元素在A 中都有原象，有原象也不要求惟一，象集可以是B 的真子集.

（3）映射所涉及两个集合A 、B(均非空)，可以是数集，也可以是点集或其他类元素构成的集合.

2.函数的概念

在映射的基础上理解函数概念，应明确：

（1）函数是一种特殊的对应，它要求是两个集合必须是非空数集；函数y=f(x)是“y 是x 的函数”这句话的数学表示，其中x 是自变量，y 是自变量x 的函数，f 是表示对应法则，它可以是一个解析式，也可以是表格或图象，也有的只能用文字语言叙述. （2）函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.

（3）确定函数定义域是函数这部分所涉及的重要问题之一，应会求各种函数的定义域，若为实际问题还应注意实际问题有意义. 3.函数的单调性

函数的单调性是函数重要概念之一，应明确：

（1）它是一个区间概念，即函数的单调性是针对定义域内的区间而言的，谈到函数的单调性必须指明区间（可以是定义域，也可以是定义域内某个区间），例如函数y=x

1

在（-∞,0）上是减函数，在（0，+∞）上也是减函数，但决不能讲函数y=

x

1

是减函数. （2）用函数单调性定义来确定函数在某区间是增函数还是减函数的一般方法步骤是：取值作差化积定号.

（3）由函数单调性的定义知，当自变量由小到大，函数值也由小到大，则为增函数，反之，为减函数；由函数图象的走向十分直观反映函数变化趋势，当函数的图象（曲线）从左到右是逐渐上升的，它是增函数，反之为减函数. 4.反函数

反函数是函数部分重要概念之一，应明确：

（1）对于任意一个函数y=f(x)不一定有反函数，如果有反函数，那么原函数y=f(x)与它的反函数是互为反函数. （2）原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域，在求反函数时，应先确定原函数的值域.

（3）求反函数的步骤是“一解”“二换”.所谓一解，即是首先由给出原函数的解析式y=f(x)，反解出用y 表示x 的式子x=f 1

-(y)；二换，即是将x=f

1

-(y)中的x,y 两个字母互

换，解到y=f 1

-(x)即为所求的反函数（即先解后换）.当然，在同一直角坐标系中，函数y=f(x)

与x=f

1

-(y)是表示同一图象，y=f(x)与y=f 1

-(x)的图象关于直线y=x 对称.

（4）一般的偶函数不存在反函数，奇函数不一定存在反函数. （5）原函数与其反函数在其对称区间上的单调性是一致的. 5．方法总结

⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.

⑵.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.

⑶.反函数的求法：递解x,互换x 、y ，注明反函数的定义域(即原函数的值域). ⑷.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.

⑸.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.

⑹.单调性的判定法：①设x 1,x 2是所研究区间内任两个自变量，且x 1＜x 2；②判定f(x 1)与f(x 2)的大小；③作差比较或作商比较.

⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.

⑻.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象. ⑼.函数的应用举例(实际问题的解法). 解决应用问题的一般程序是：

①审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；

②建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型. ③求模：求解数学模型，得到数学结论.

④还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义. 四、二次函数的基础知识及运用：

二次函数虽然是初中内容，但由于应用广泛性，且是解决许多数学问题的基础，在高考中属于重点考查的内容.在高考试题中常有直接考查二次函数的题目，而且还有一定的难度.题型有选择题、填空题，也有解答题，近几年解答题常围绕二次函数并结合二次方程、二次不等式（简称：“三个二”）来设置，而且往往是压轴题，因此，作为重点知识，有必要再次研究二次函数，以掌握并加深对这一部分知识理解，对于二次函数的定义、图象和性质及二次函数的最值，在理解的基础上，并加强记忆和运用. 高考对二次函数的考查主要从以下几方面： 1.二次函数解析式的三种表示方法： （1）y=ax 2

+bx+c(a ≠0)叫做标准式；

（2）y=a(x+a

b 2)2+a b a

c 442

,叫做顶点式；

（3）y=a(x-x 1)(x-x 2),叫做二根式；（这里指的是：当Δ＞0时，即抛物线与x 轴有两个交点（x 1,0）和(x 2,0)时的解析式形式）.

注意：以上三种形式突出了解析式的特点，运用时要有选择性. 2.二次函数的定义、二次函数y=ax 2

+bx+c(a ≠0)的图象与性质：

(1)顶点是（-a b 2,a b ac 442-），对称轴是x=-a

b

2.

(2)当a ＞0时图象开口方向向上，分别在单调区间（-∞,-

a b 2]上是减函数；在［-a

b

2,+∞)上是增函数，其最小值为ymin=a

b a

c 442

-.

当a ＜0时，图象开口方向向下，分别在单调区间（-∞,-

a b 2]上是增函数；在［-a

b

2,+∞)上是减函数，其最大值为ymax=a

b a

c 442

-.

(3)抛物线与x 轴的关系：（即ax 2+bx+c=0(a ≠0)的解）.

ⅰ.当Δ＞0时，抛物线与x 轴有两个交点（x 1,0）和(x 2,0)其中横坐标为

x 1、2 =a

ac

b b 242-±-;

ⅱ.当Δ=0时，抛物线与x 轴切于一点，坐标为（-a

b

2,0）; ⅲ.当Δ＜0时，抛物线与x 轴没有交点. （4）函数值的正负号

当Δ＜0时，x ∈R 时，y 与a 同号. 当Δ=0时，x ∈R 且x ≠-

a

b

2时，y 与a 同号. 当Δ＞0时，设x 1

以上涉及的是二次函数的定义、图象和性质等基础知识，特别是对函数值的符号，奇偶性，在指定区间上的最值等进行了引伸，应结合图象理解和运用. 3.二次函数在指定区间上的最值；

4.运用二次函数的知识解决某些数学问题与实际问题. 五、指数函数与对数函数的图像和性质：

指数函数)10(≠>=a a a y x

且的图象和性质 a>1

0

图 象

6

54321

-1

-4-2

2460

1

6

5

4

3

2

1

-1

-4-2

246

1

对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的性质：

六、把握数形结合的特征和方法

本章函数中，重点讨论的指数函数、对数函数，都是以定义、性质、图象作为主要的内容，性质和图象相互联系、相互转化，有关函数性质的很多结论是在观察图象的基础上，通过概括，归纳得出的，并借助于函数图象所具有的直观性强的优点形成记忆，在分析和解决与函数有关的问题中，也常常是函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，相互为用.

函数图象可直观、生动地反映函数的某些性质，因此在研究函数性质时，应密切结合函数图象的特征，对应研究函数的性质.

七、认识函数思想的实质，强化应用意识

函数是用以描述客观世界中量的存在关系的数学概念，函数思想的实质是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系、解决各种问题.

纵观近几年的高考试题，考查函数的思想方法已放在一个突出的位置上，特别是近三年加大了应用题的考查力度，选用的题目都要应用函数的思想、知识、方法才能解答的，因此在函数的学习中，一定要认识函数思想的实质，一定要强化应用意识. 八、讲解范例：

例1已知函数)(x f 的定义域是［0，1］，则函数)(2

x f 的定义域是________. 例2已知函数)(x f = 21x - (-1≤x ≤0),则)5.0(1

-f =________.

九、课堂练习：

1.已知映射f:M →N,使集合N 中的元素y=x 2与集合M 中的元素x 对应，要使映射f:M →N 是一一映射，那么M ，N 可以是（ ）

A.M=R ，N=R

B.M=R,N={y|y ≥0}

C.M={x|x ≥0},N=R

D.M={x|x ≥0},N={y|y ≥0} 2.求下列函数的定义域： （1）y=34+x ; （2）y=

2

1

++x x ; (3)y=

431

++-++x x x ； (4)y=

2561x

x -- 3.设f(x)=2211x x -+,求证（1）f(-x)=f(x);(2)f(x

1

)=-f(x).

1.指出下列函数的单调区间，并说明在单调区间上函数是增函数还是减函数： （1）f(x)=-x 2+x-6; (2)f(x)=-x ; (3)f(x)=

2

2x -; (4)f(x)=-x 3

+1 二、例题分析：

例1若函数f(x)=x 2+bx+c 对任意实数x 都有f(2+x)=f(2-x)，那么（ ） A.f(2)＜f(1)＜f(4) B.f(1)＜f(2)＜f(4) C.f(2)＜f(4)＜f(1) D.f(4)＜f(2)＜f(1)

（1）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(a-x)成立，则x=a 是函数f(x)的对称轴

（2）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(b-x)成立，则x=

2

b

a +是f(x)的对称轴. 例2求f(x)=x 2

-2ax+2在［2，4］上的最大值和最小值.

例3已知f(x)=|lgx|,且0＜a ＜b ＜c,若f(b)＜f(a)＜f(c),则下列一定成立的是（ ）

A.a ＜1,b ＜1,且c ＞1

B.0＜a ＜1,b ＞1且c ＞1

C.b ＞1,c ＞1

D. c ＞1且

c 1＜a ＜1,a ＜b ＜a

1 例4函数f(x)=x 2

-bx+c ，满足对于任何x ∈R 都有f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3,则f(b x

)与f(c x

)的大小关系是（ ）

A.f(b x

)≤f(c x

) B.f(b x

)≥f(c x

) C.f(b x

)＜f(c x

) D.f(b x

)＞f(c x

) 三、课堂练习：

已知f(x)=x 2-4x-4,x ∈［t,t+1］(t ∈R)，求f(x)的最小值φ（t ）的解析式.