绝对值专项训练
二、合作探究
4、数 3 对着数轴上一个点，这个点到原点的距离是（ ）， 所以 ┃3┃ = 数 —25 对着数轴上一个点，这个点到原点的距离是（ ），所以 ┃—25┃ =
5、按照上述思路：┃—1┃= ； ┃6┃ = ； ┃—┃ = ； ┃0┃ =
三、点拨升华
7、每一次求“绝对值”，先找到（想到）“对着的点”，再想“这个点到原点的距离”，再表示出来。 这个过程多少有一些 “麻烦”，再换个角度，寻求更简单的规律：
┃2┃= 2 ；┃4┃= 4 ； ┃—2┃= 2 ；┃—4┃= 4 ；┃—25┃= 25 ┃3┃= 3 ；┃6┃= 6 ；等 ┃—1┃= 1 ；┃—┃= ；等 总结：┃正数┃ = __________ ┃负数┃ = ____________ ┃0┃ = ________ 有了这条规律，就可以快速求“数的绝对值”：
┃23┃ = ；┃89┃= ； ┃—34┃= ；┃—207┃ = ；┃—2010┃= ┃—73┃ = ；┃┃= ； ┃—┃= ；┃0┃ = ；┃88┃= ┃21-
┃= ； ┃┃= ； ┃152┃= ； ┃8
13
-┃= ；
8、“数轴”的功劳：① 把无数个“有理数”很有秩序的摆放成“一行”！
② 利用“数轴”，可以对数“大小比较”；
③ 利用“数轴”来认识 —→ 绝对值！ （就是个“距离”）
四、分层训练
9、| +2 | = ____， | —12 | = ____ ，| 0 | =____ ，| —20. 8 | = _____ ，| + | =______ 10、一个正数的绝对值等于它本身； 一个负数的绝对值等于它的相反数； 0的绝对值是0 。
（1）当a 是正数时，┃a ┃=_____；（2）当a 是负数时，┃a ┃ =______；（3）当 a=0时，┃a ┃ =____
11、 1的倒数是 ， 1的相反数是 ， 1的绝对值是 ；
0的倒数 ， 0的相反数是 ， 0的绝对值是 ；
12、判断 ① 符号不同的两个数互为相反数 。 （ ）
② 互为相反数的两个数绝对值相等 。（ ）
13、0到原点的距离是_____，因此 | 0 | = ___ ；-2到原点的距离是___，因此||-=2____。
14、-
23的绝对值是________；23的绝对值是__________； 数 、 的绝对值都是13
。 15、┃43┃ = ；┃19┃= ；┃—54┃= ；┃—107┃ = ；┃—2011┃= 16、请把下列数填入相应的大括号里（将各数用逗号分开） ：
－36、 9 、 、 ＋ 、 0 、 100 、 －13 、 －261 、 ＋ 。
正数集合：{ ┅} ； 负数集合：{ ┅}
17、判断：
① 一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右 。 （ ） ② 一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远 。（ ）
二、专项强化练习 （一）. 判断
1. 有理数的绝对值一定大于0。（ ）
2. 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数必然是互为相反数。（ ）
3. 如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数必然大于任何负数。（ ）
4. 一个数的绝对值一定不小于它本身。（ ）
5. 任何有理数的绝对值都是正数。（ ）
6. 绝对值等于它本身的数只有零。（ ）
7. 绝对值大于2且小于5的整数只有两个。（ ）
8. 绝对值不大于3的整数有3，2，1，0。（ ） 1
10. -001.的相反数的绝对值是
1
100
。（ ） 11. 大于-4的整数有3个。（ ） 12. 小于-4的正整数有无穷多个。（ ） 13. -<-24。（ ） 14. -
>-
1101
100
。（ ） 15. 01>-。（ ）
16. 没有绝对值小于1的整数。（ ）
17. 绝对值大于3并且小于5的整数有2个。（ ） 18. 大于-1并且小于0的有理数有无穷多个。（ ） 19. 在数轴上，到原点的距离等于2的数是2。（ ） 20. 绝对值不大于2的自然数是0，1，2。（ ） 21. 绝对值等于本身的数只有0。（ ）
22. 两个数的相反数相等，那么这两个数一定相等。（ ） 23. 两个数的绝对值相等，那么这两个数一定相等。（ ） 24. --??
??
?>--??
??
?227237。（ ）
二. 填空题。
1. 数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的_________________，记作|a|。
2. -2到原点的距离是________________，因此||-=2_____________。
3. 0到原点的距离是______________，因此|0|=_____________。
4. |3|表示3或-3到原点的________________。
5. 绝对值等于它本身的数是_______________或_____________。
6. 绝对值等于它的相反数的是_____________。
7. 任何数的绝对值一定__________________0。
8. |_____|=2。
10. 绝对值小于4的所有负整数有________________。 11. 互为相反数的两个数的绝对值__________________。 12. -
23的绝对值是_______________，23的绝对值是_____________，______________的绝对值是13
。 13. 如果a 表示一个数，那么-a 表示__________________，|a|表示_____________。 14. a =-2，则|a|=_________________，-=a _____________。 15. 相反数等于-5的数是_______，倒数等于-
1
5
的数是__________，绝对值等于5的数是__________。 16. 如果||a a =，那么a 是__________________，若||a a =-，那么a 是_____________。 17. 在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数_____________。
18. 正数都______________零，零都_____________负数，任意一个正数都___________任意一个负数。 19. -2在原点的_______________侧，到原点的距离为_______________，-5在原点的____________侧，到原点的距离为____________，因此->-25。 20. 两个负数，________________小的反而大。 21. 如果一个数的绝对值是它本身，这个数是______。 22. 如果一个数的绝对值是它的相反数，这个数是_____。
23. 在有理数集合中，最小的正整数是_______________，最大的负整数是_____________。 24. 绝对值最小的有理数是_______________。
25. 相反数最小的负整数是________________，相反数最大的正整数是_______________。 26. -1的相反数是_______________，倒数是__________________，绝对值是__________。 27. 的相反数是__________________，倒数是___________________，绝对值是_____________。 28. 如果a 表示一个有理数，那么-a 表示a 的________________，|a|表示a 的___________。 29. 如||a =2，那么a=_______________。
30. ||-4是数轴上表示-4的点到_______________的距离。 31.绝对值等于它的相反数的数是 数；
32.绝对值最小的有理数是
；
2
1
的绝对值是 ；绝对值等于3
2
1
的数是 ，它们互为
数；
35.绝对值大于1且不大于3的负整数有 个，它们是
；
36.若a =a,则a 是
数；若a >a ，则a 是 数. 37.如果m =0,那么m=
;如果n =4,那么n=
.
38.如果01=-a ,那么a=
;如果,21=+a 那么a=
.
39.如果a=-7,b=-15,那么b a +=
;如果a=3,b=-4,则b -a =
.
40.若,023=++-y x 则x=
,y=
;
41.如果a=4,b=-3,c=-1,那么=--)(c b a
; 3a -
3
1
b -2
c =
.
43.绝对值等于的数是________；若|a|=5，则a______； 44.若|-b|= ，则b=_____
45.绝对值小于3的整数有____个；
46.绝对值大于2又不大于5的整数有_____。 47.若|x-3|=3-x ，则x 的取值范围是_____ 48. 若a ，b 互为相反数，则|a |-|b |=______． 49. 若a 为整数，|a |<，则a 可能的取值为_______．
50. 在数轴上与表示3的点的距离等于4的点表示的数是_______． 51. 若|x ＋2|＋|y -3|=0，则x =___，y =_____．
52. 若一个数的绝对值是它的相反数，则这个数是_______．
53. 数轴上离开原点5个单位的数是_________，它们互为_________． 54. 绝对值大于2并且小于5的整数分别是________________． 55. 绝对值大于1而小于4的整数是__________．
56. 与原点的距离为5个单位长度的点有____个，它们分别表示有理数_____和_____． 57. |-9||=______，-|-5|=______．
58. _____的相反数是它本身，______的绝对值是它本身． 58. 若||x =3，则x =_________；若||x =0，则x =__________． 59. ︱－3︳=____．
60. 5与-9的绝对值的和是_____．
写出来．
1，2，3，5，8，___，____，____．
62. 已知|a |=3，|b |=7，且ab ＜0，那么a -b =______．
63．-2的绝对值是_______，的绝对值是________，0的绝对值是_______． 64．│-│=________，-││=________，│-（-2）│=_______．
65．绝对值是+3．1的数是_________，绝对值小于2的整数是_________． 66．若│x │=5，则x=________，若│x-3│=0，则x=_________． 67．若│x │=│-7│，则x=_______，若│x-7│=2，则x=_________． 68．││=_______．
69．如图所示，数轴上有两个点A ，B 分别表示有理数a ，b ，根据图形填空． a______b ，│a │_______│b │，│a-b │=_________，│b-a │=________． 70．│-a │=-a 成立的条件是________．
71．7=x ，则______=x ； 7=-x ，则______=x ． 72．如果3>a ，则______3=-a ，______3=-a ． 73．（2002·河南）│-9│-5=_________． 74．（2002·山西）│-2│的相反数是________． 75．（2003·镇江）-的绝对值是________． 76．（2003·无锡）-2的绝对值是_________． 77. 绝对值等于2的数是
78.绝对值等于它本身的有理数是 ，绝对值等于它的相反数的数是 79.│x │=│－3│,则x= ，若│a │=5,则a= 的相反数与－7的绝对值的和是
81.│a －2│+│b －3│+│c －4│=0,则a+2b+3c=
82..一个正数的绝对值是_____,一个负数的绝对值是_____,____的绝对值是0. 83.数轴上距离原点3个单位的点表示的数是_________.
84.最大的负整数是_______，最小的正整数是_______，绝对值最小的数是______. 85.绝对值是的数有______个，它们是_______.
87.一个数的绝对值是2004，并且表示这个数的点在原点的左侧，则这个数为______. 88.绝对值小于3的整数为______，绝对值大于且小于的负整数为_________. 89.符号是“–”号，绝对值是7的数是______. 90.8
1
-
的符号是______.绝对值是______. 91.绝对值是4的数有______个, 它们是______. 92.绝对值不大于3的负正数是______. 93.如果2-=-x ，则x =______.
94.若01=-+b a ，则a =_______,b =______.
95.一个数a 在数轴上对应的点在原点的左边，且5.3=a ，则a =______. 96.用不等号“>”或“<”号填空：
97.如果一个数的绝对值不大于它本身，那么它一定是_____数. 98. 5.1-的相反数是 ，倒数是 。
99. 绝对值小于3的负整数有 个，整数有 个。
109.当a ＜0时，｜a ｜＝_______；
110.绝对值小于4的整数有_______；
112.倒数和绝对值都等于它本身的数是__________； 113.－2
3
2
的相反数是______，倒数是______，绝对值是_____； 114.绝对值小于10的整数有个____，其中最小的一个是________； 115.若|a |＝|b |，则a 和b 的关系为__________．
116．两个负数比较，绝对值大的 ，绝对值小的 。 117．若5=x ，则=x ，若4-=x ，则=x 。 118．如021=-+-b a ，则=b
a 。
119．已知3=a ，5=b ，b a >，则=+b a 。 120．绝对值大于而小于的负整数有 。 121．互为相反数的两个数的绝对值_____．
122．一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越_____． 123．－
3
2
的绝对值是_____． 124．绝对值最小的数是_____．
125．绝对值等于5的数是_____，它们互为_____． 126．若b ＜0且a=|b|，则a 与b 的关系是______．
127．一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和一定_____0（填“＞”或“＜”）． 128．如果|a|＞a ，那么a 是_____． 129．绝对值大于小于的所有负整数为_____． 130．将下列各数由小到大排列顺序是_____． －
32，51，|－2
1
|，0，|－| 131．如果－|a|=|a|，那么a=_____．
132．已知|a|+|b|+|c|=0，则a=_____，b=_____，c=_____． 133．比较大小（填写“＞”或“＜”号） 134．将有理数--+-
-321
3
1，，，||按从小到大的顺序排列，并用“<”号连接应当是________________。 134. 比较大小：用“>”、“＝”或“<”填空:
（3）-（3．6）______-│3．6│； （4）+|- |________-|- |． （5）52-
______5
3
-; （6）0________1.0--; （7）1.2-______2.2--; （8）15.11+-______14.1-
（9）－53_____|－21| （10）|－51
|_____0 （11）|－56|_____|－34| （12）－79_____－5
6
（13）-
-355
3
； （14）--1111.； （15）--02525..； （16）---+||
||33
（17）-3
-4
（18）-（-4）
-5-
（19）-65
-7
6 （20）-π
（21）
2323-
； （22）--
232
3； （23）--+23
23
； （24）--?? ???
+2323
。
136.计算：
8-= _______ 5.4+=______ 2
1
3
-= ______ －7-=______ │－3
2
1
│= ； │－│= │－（+）│= |－2|×（－2）=_____ |－2
1
|×=_____
|－21|－2
1
=_____ －3－|－|=_____
|+2|= _______ |-101|= _______ |-2
15
|= _______ ||= _______
|+|= _______ |-2|= _______ |+101|= _______ |2
15
|= _______
||= _______ ||= _______
三. 选择题
1. 一个有理数的绝对值是（ ） A. 正数
B. 负数
C. 非正数
D. 非负数
2. -a 可以是（ ） A. 负数
B. 正数
C. 0
D. 任何有理数
3. 下列各式中正确的是（ ）
A. |.||.|-<-01001
B. -
<131
5
C.
2345<- D. ->+1912
4. 当a b a b =-=+23，时，||||等于（ ） A. -1
B. 5
C. 1
D. -5
5. 已知||x =0，那么x 等于（ ） A. 正数 B. 负数 C. 零
D. 任意实数
6. 一个数的绝对值等于它的相反数，这个数不会是（ ） A. 负整数 B. 负分数 C. 0
D. 自然数
7. 如果a 表示一个有理数，那么下面说法正确的是（ ） A. -a 是负数 B. ||a 一定是正数
8. 如果a 、b 表示的是有理数，并且||||a b +=0，那么（ ） A. a 、b 互为相反数 B. a=b=0
C. a 和b 符号相反
D. a 、b 的值不存在 9. 下面的结论中不对的是（ ）
A. 零是非负数
B. 零是整数
C. 零的相反数是零
D. 零的倒数是零 10. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 绝对值等于3的数是-3
B. 绝对值小于113
的整数是1和-1 C. 绝对值最小的有理数是1 D. 3的绝对值是3 11. 下列判断中，正确的是（ ） A.
12002的相反数是2002 B. 1
2002的相反数是-2002 C.
12002的相反数是-12002 D. 1
2002
的相反数是-12002
12. 绝对值为4的实数是（ ）
A. ±4
B. 4
C. －4
D. 2
13. 2005-的绝对值是
Ａ．2005-
Ｂ．1
2005
-
Ｃ．
1
2005
Ｄ．2005
14. 下列四组有理数的大小比较正确的是（ ） A. -
>-1213
B. -->-+||||11
C.
1213
<
D. -
>-1213
15. 有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
b a 0 c
A. b a c >>
B. b a c >->
C. a c b >>
D. ||b a c >->-
16一个数的绝对值是正数,则这个数是( ) A.不等于零的有理数;
B.正数;
C.任意有理数;
D.非负数.
18下列各式中,正确的是( )
16->0;
B. 2.02.0->;
74>-7
5
D..06<-
19若a
a =1,则a( )
A.是正数或负数;
B.是正数;
C.是有理数;
D.是正整数.
20如果a -=-a,那么( ) 一定是负数;
一定非负数; C.a 一定是正数;
a 不能是零.
22下列各式的结论,成立的是( ) A.若m =n ,则m=n B.若m>n,则m >n C.若m >n ,则m>n
D.若m
23．绝对值不大于的整数有……………………………………………………〖 〗 A ．11个
B ．12个
C ．22个
D ．23个
24．下列各式中，等号不成立的是（ ）
A ．│-4│=4
B ．-│4│=-│-4│；
C ．│-4│=│4│
D ．-│-4│=4 25．下列说法错误的是（ ）
A ．一个正数的绝对值一定是正数；
B ．任何数的绝对值都是正数
C ．一个负数的绝对值一定是正数；
D ．任何数的绝对值都不是负数 26．绝对值大于-3而不大于3的整数的个数有（ ）
27．若a ，b 是有理数，那么下列结论一定正确的是（ ） A ．若ab ，则│a │>│b │ C ．若a=b ，则│a │=│b │； D ．若a ≠b ，则│a │≠│b │ 28．若│a │=4，│b │=9，则│a+b │的值是（ ） A ．13 B ．5 C ．13或5 D ．以上都不是
29.－
6
1
的绝对值是（ ） 30.—6 B 、－61 C 、6
1
D 、6
31.－│－43
│的相反数是（ ）
A 、43
B 、－43
C 、34
D 、－3
4
32.绝对值最小的有理数的倒数是（ ） A 、1 B 、－1 C 、0 D 、不存在 33.在有理数中，绝对值等于它本身的数有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、无数多个 34.│－3│的相反数是（ ） A 、3 B 、－3 C 、
31 D 、－3
1
35.下列各数中，互为相反数的是（ ）
A 、│－
32│和－32 B 、│－23│和－32
C 、│－32│和23
D 、│－32│和3
2
36.下列说法错误的是（ ）
A 、一个正数的绝对值一定是正数
B 、一个负数的绝对值一定是正数
C 、任何数的绝对值都不是负数
D 、任何数的绝对值 一定是正数 37.│a │= －a,a 一定是（ ）
A 、正数
B 、负数
C 、非正数
D 、非负数 38.下列说法正确的是（ ）
A 、两个有理数不相等，那么这两个数的绝对值也一定不相等
B 、任何一个数的相反数与这个数一定不相等
D 、两个数的绝对值相等，且符号相反，那么这两个数是互为相反数。 39.－│a │= －，则a 是（ ）
A 、
B 、－3.2
C 、±
D 、以上都不对 40.任何一个有理数的绝对值是（ ）
A .正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数 41.在有理数中，绝对值等于它本身的数有（ ）个.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 无数多个个 42. a 是有理数，－a 表示（ ）
A. 正数
B. 负数
C. 正数或0
D. 负数或0 43.当x =
x -时，则x 一定是（ ）.
A. 负数
B. 正数
C. 负数或0
D. 0 44.若a =b ，则a 与b 的关系是（ ）.
A. a =b
B. a =－b
C. a =b 或a =－b D .以上答案都不对 45.下列各组中互为相反数的是（ ） A 、–2与21-
B 、2-和2
C 、–与2-
D 、2
1
-与21-
46.若a 是有理数，则a 一定（ ）
A 、是正数
B 、不是正数
C 、是负数
D 、不是负数 47.如果a 是负有理数，则下列各式中成立的是（ ） A 、a a -< B 、a a = C 、a a ≤ D 、a
a 1
>
48.质检员抽查某种零件的质量，超过规定长度的记为正数，短于规定长度的记为负数，检查结果如下：第一个为豪米，第二个为–毫米，第三个为–毫米，第四个为毫米，则质量最差的零件是（ ） A 、第一个 B 、第二个 C 、第三个 D 、第四个 49.下列说法中正确的是（ ）
A 、绝对值小于2的数有三个
B 、绝对值是2的数有两个
C 、绝对值是–2的数有一个
D 、任何数的绝对值都是正数 50.如果a a -=，那么（ ）
A 、–a 一定是负数
B 、–a 一定是非负数
C 、a 一定是正数
D 、a 不能是0
51.
21
的倒数的绝对值是（ ） A. 21 B. 2
1
- C. 2 D. 2-
52. 若2.3-=-a ，则a 是（ ）
A. 3.2
B. 2.3-
C. 2.3±
D. 0或 53. 若a a -=，则a 满足的条件是（ ）
A. 0≥a
B. 0≤a
C. 0>a
D. 0 1 21=- x ，则x 为（ ） A. 21或2 1 - B. 1或1- C. 0 D. 1或0 55. 已知3=a ，4=b ，那么b a +的值为（ ） A. 7 B. 7- C. 1±或7± D. 7或1 56．下面的两个数互为相反数的是 （ ） A ．2 1 - 和 B ． 3 1 和－ C ．－和4 1 2 D ．5和－(－5) 57．下列判断中错误的是 （ ） A ．一个正数的绝对值一定是正数 B ．一个负数的绝对值一定是正数 C ．任何有理数的绝对值都不是负数 D ．任何有理数的绝对值都是正数 58．下列说法中正确的是 （ ） A ．相反数等于本身的数只有零 B ．绝对值等于本身的数只有零 C ．零没有相反数也没有倒数 D ．零没有绝对值 59．零是 （ ） A ．最小的正整数 B ．最小的整数 C ．最小的有理数 D ．绝对值最小的数 60．一个数的相反数是最大负整数，它是 （ ） A ．1 B ．－1 C ．0 D ．0或1 61．如果2|53|=-x ，则x 等于 （ ） A ．1 B ． 51 C ．0或1 D ．1或 5 1 62．若a a -=，则数a 在数轴上对应的点应为（ ） A 原点的右侧 B 原点的左侧 C 原点或原点的右侧 D 原点或原点的左侧 63．在有理数3-，21- ，10-，4--，?? ? ??--32，()[]5---中，负数共有（ ） A 2个 B 3个 C 4个 D 5个 64．下面大小关系中，错误的是（ ） A 001.0-> B 83375.0- >- C 8765< D 7 5 65-<- 65．若m 是整数，且3≤m ，那么m 的所有值的和是（ ） A 3 B 6 C 0 D 12 66．如果甲数的绝对值大于乙数的绝对值，那么（ ） A 甲数必定大于乙数 B 甲数必定小于乙数 C 甲、乙两数一定异号 D 甲、乙两数的大小，要根据具体值确定 67．任何一个有理数的绝对值一定（ ） A ．大于0 B ．小于0 C ．不大于0 D ．不小于0 68．若a ＞0，b ＜0，且|a|＜|b|，则a+b 一定是（ ） A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．非正数 69．下列说法正确的是（ ） A ．一个有理数的绝对值一定大于它本身 B ．只有正数的绝对值等于它本身 C ．负数的绝对值是它的相反数 D ．一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数 70．下列结论正确的是（ ） A ．若|x|=|y|，则x=－y B ．若x=－y ，则|x|=|y| C ．若|a|＜|b|，则a ＜b D ．若a ＜b ，则|a|＜|b| 四. 解答 1. 化简 （1）--|.|285； （2）+-||12； （3）--?? ?? ?312； （4）+--(||)5。 2. 计算 （1）|||.|-?362； （2）|||.|-+-5249； （3）11638 --； （4）- ÷2314 3 。 (5) 7.27.27.2---+ (6) 13616--++- ??2211 3. （1）在数轴上表示出02312 ，，，；-- （2）将1中各数用“<”连接起来； （3）将1中各数的相反数用“<”连接起来； （4）将1中各数的绝对值用“<”连接起来。 4. 比较每对数的大小。 （1）- -372 7 和； （2）- -3 11 0272和.； （3）- -235 8 和； （4）- -5710 13 和。 5. 化简下列各数，并把结果用“>”按从大到小的顺序连接起来。 （1）--?? ? ? ?23； （2）-+?? ???45； （3）()++100； （4）+-?? ? ? ?423； （5）()++002.； （6）--(.)31416； （7）-+(.)705； （8）()--1999。 6. 写出所有绝对值不大于4的负整数，并在数轴上表示出来。 7. 比较下列两组数的大小。 （1）---?? ???2 34 223与； （2）- -6778 和。 8. 如图所示的两个圈分别表示负数集和整数集，请将下列各数填在相应的圈里： -----4 1301613452423 ，，，，，，， 负数集 整数集 9. 下表记录了某星期内股市的升跌情况，阅读并完成下表。 10. 把下列各数在数轴上表示出来，并用“<”把各数连接起来。 ------?? ? ??2 12 442120，，，，|||| 11.把每题中的三个数用“<”号按从小到大的顺序连接起来： （1）,01.0-,-2 1 ; （2）-532,-531,-52 1 . 12.说出符合下列条件的字母a 所表示的有理数各是什么数 (1)0>a ; (2)a a -=- (3)a>-a; (4).a a -≥- 13. 比较下列每对数的大小： 32与52, 2与36-, 61-与112, 73-与5 2-, 14.试比较2a 和3a 的大小. 【生活实际运用】 16.少年科技组制成一台单项功能计算器,对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算,其运算的过程是:输入第一个整数x 1,只显示不运算;接着输入x 2后则显示21x x 的结果,以后每输入一个整数都进行与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算.现小明将1到1991这1991个整数随意地一个一个地输入,全部输完后显示结果的最大值是多少 17．如图所示，数轴上有四点A ，B ，C ，D 分别表示有理数a ，b ，c ，d ，?用“<”分别表示a ，b ，c ，d ，│a │，│b │，-│c │，-│d │． 18．已知a>0，b<0，且│b │>│a │，在数轴上画出a ，b 的大致位置，并将a ，b ，-a ，?│b │用“>”连接起来． 19．有两上点，它们到原点的距离分别是2和3，问这两点之间的距离是多少?说明理由． 20．若a ，b 互为相反数，c 和d 互为倒数，m 的绝对值是2，求 -cd+2│m │的值． 21．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，若m=│a+b │-│b-1│-│a-c │-?│1-c │，则100m 的值是多少 22.某汽车配件厂生产一批圆批的橡胶垫，从中抽取6件进行检验，?比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数记作负数，检查记录如下： 1 2 3 4 5 6 + + 0 （1）找出哪些零件的质量相对来讲好一些，怎样用学过的绝对值知识来说明这些零件的质量好； （2）若规定与标准直径相差不大于0．2毫米为合格产品，则6件产品中有几件不合格产品． 23.设有理数在数轴上对应点如图所示，化简│b-a │+│a+c │+│c-b │． b c a 10一、选择题 1.下列说法中正确的个数是( ) (1)一个正数的绝对值是它本身;(2)一个非正数的绝对值是它的相反数;(3)?两个负数比较,绝对值大的反而小;(4)一个非正数的绝对值是它本身. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.若-│a │=- 3.2,则a 是( ) A.3.2 B.-3.2 C.±3.2 D.以上都不对 3.若│a │=8,│b │=5,且a+b>0,那么a-b 的值是( ) A.3或13 B.13或-13 C.3或-3 D.-3或-13 4.一个数的绝对值等于它的相反数的数一定是( ) A.负数 B.正数 C.负数或零 D.正数或零 5.a<0时,化简 ||3a a a 结果为( ) A.23 B.0 C.-1 D.-2a 二、填空题 6.绝对值小于5而不小于2的所有整数有_________. 7.绝对值和相反数都等于它本身的数是_________. 8.已知│a-2│+(b-3)2+│c-4│=0,则3a+2b-c=_________. 9.比较下列各对数的大小(用“)”或“〈”填空〉 (1)-35_______-23;(2)-116_______-1.167;(3)-(-19)______-|-110 |. 10.有理数a,b,c 在数轴上的位置如图所示: 试化简:│a+b │-│b-1│-│a-c │-│1-c │=___________. 三、解答题 11.计算 (1)│-6.25│+│+2.7│; (2)|-8 13|-|-323|+|-20| 12.比较下列各组数的大小:(1)-112与-43 (2)-13 与-0.3; 13.已知│a-3│+│-b+5│+│c-2│=0,计算2a+b+c 的值. 绝对值 绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。 绝对值的定义及性质 绝对值 简单的绝对值方程 化简绝对值式，分类讨论（零点分段法） 绝对值几何意义的使用 绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 绝对值的性质： （1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a ＞0） （2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a ＜0) （3） 若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0； （4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ， 且|a|≥-a ； （5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义） （6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=| |||b a （b ≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2 ； （8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b| [例1] （1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？ （2） 若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ） A.a ＜0，b ＜0 B.a ＞0，b ＜0 C.a ＜0，b ＞0 D.ab ＜0 （3） 下列各组判断中，正确的是（ ） A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞b C. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2 （4） 设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？ 分析： （1） 结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个 （2） 答案C 不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。 （3） 选择D 。 （4） 根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9 [巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？ <分析>：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。 [巩固] 有理数a 与b 满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（ ） A.a ＞b B.a=b C.a 绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。 一、根据题设条件 例1 设化简的结果是（）。 （A）（B）（C）（D） 思路分析由可知可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去． 解 ∴应选（B）． 归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路． 二、借助数轴 例2 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（）． （A）（B）（C）（D） 思路分析由数轴上容易看出，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍． 解原式 ∴应选（C）． 归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清： 1．零点的左边都是负数，右边都是正数． 2．右边点表示的数总大于左边点表示的数． 3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了． 三、采用零点分段讨论法 例3 化简 思路分析本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于的正负不能确定，由于x是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论． 解令得零点：； 令得零点：， 把数轴上的数分为三个部分（如图） ①当时, ∴原式 ②当时，， ∴原式 ③当时，， ∴原式 ∴ 归纳点评虽然的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是： 1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）． 2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定． 3．在各区段内分别考察问题． 4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案． 误区点拨千万不要想当然地把等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，以免得出错误的结果． 练习： 请用文本例1介绍的方法解答l、2题 1．已知a、b、c、d满足且，那么 2．若，则有（）。 （A）（B）（C）（D） 请用本文例2介绍的方法解答3、4题 3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子化简结果为（）． 绝对值综合练习题一 1、有理数的绝对值一定是（） 2、绝对值等于它本身的数有（）个 3、下列说法正确的是（） A、—|a|一定是负数 B只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C、若|a|=|b|，则a与b互为相反数 D、若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 4.（） A、a>|b| B、a|b| D、|a|<|b| 5、相反数等于-5的数是______,绝对值等于5的数是________。 6、-4的倒数的相反数是______。 7、绝对值小于2的整数有________。 8、若|-x|=2，则x=____；若|x－3|=0，则x=______；若|x－3|=1，则x=_______。 9、实数a_______。 10、已知|a|+|b|=9，且|a|=2，求b的值。 11、已知|a|=3,|b|=2,|c|=1,且a A ．11个 B ．12个 C ．22个 D ．23个 15、│a │= －a,a 一定是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、非正数 D 、非负数 16、有理数m ，n 在数轴上的位置如图， 17、若|x-1| =0， 则x=__________，若|1-x |=1，则x=_______． 18、如果，则，． 19、已知│x+y+3│=0, 求│x+y │的值。 20、│a －2│+│b －3│+│c －4│=0,则a+2b+3c= 21、如果a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，x 的绝对值是1， 求代数式x b a ++x 2+cd 的值。 22、已知│a │=3，│b │=5，a 与b 异号，求│a －b │的值。 23.如果 a,b 互为相反数,那么a + b = ,2a + 2b = . 24. a+5的相反数是3,那么, a = . 25．如果a 和 b 表示有理数,在什么条件下, a +b 和a －b 互为相反数? 26、若X 的相反数是—5，则X=______;若—X 的相反数是—3.7，则X=_______ 27、若一个数的倒数是1.2，则这个数的相反数是________,绝对值是________ 28、若—a=1,则a=____; 若—a=—2，则a=_______;如果—a=a,那么a=_______ 29、已知|X —4|+|Y+2|=0，求2X —|Y|的值。 30.若)5(--=-x ，则=x ________，42=-x ，则=x ________ 巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题 【例1】求 y=｜x+3｜+｜x+2｜+｜x+1｜+｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜的最小值，并指出y为最小值时，x的值为多少 初一引进绝对值的概念，但多数学生对绝对值的问题只是浅尝辄止。绝对值有两个方面的意义，一个是代数意义，另一个几何意义，但一般教学往往侧重于代数意义而忽略了其几何意义。 绝对值的代数意义：｜a｜=a, (a≥0)；｜a｜=－a, (a＜0)。 绝对值的几何意义：｜a｜是数轴上表示数a的点到原点的距离。 众所周知，如果数轴上有两点A,B，它们表示的数分别为a, b（a≤b)，则A,B之间的距离：｜AB｜=｜a-b｜（如图1）。 设点X在数轴上表示的点为x,则｜x-a｜+｜x-b｜表示点X到点A和点B的距离之和：｜XA｜+｜XB｜， 由图2可以看出，如果X在A，B两点之间，那么｜XA｜+｜XB｜可以取到最小值｜AB｜，即：当a≤x≤b时，｜x-a｜+｜x-b｜取最小值｜a-b｜； 同样，设点C在数轴上表示的点为c，（a≤b≤c)，则｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜表示点X到点A、点B和点C的距离之和：｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜， 由图3可以看出，如果X落在B点，那么｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜可以取到最小值｜AC｜，即：当x=b时，｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜取最小值｜a-c｜。 一般说来，设f(x)=｜x-a?｜+｜x-a?｜+｜x-a?｜+???+｜x-a n｜， 其中a?≤a?≤…≤a n，那么： 当n为偶数时，f min(x)=f(a)，其中a n/2≤a≤a n/2+1； 且f(a)=(a n-a1)+(a n-1-a2)+???+(a n/2+1-a n/2) =(a n+a n-1+??? a n/2+1)-(a1+a2+???+a n/2) 当n为奇数时，f min(x)=f(a（n+1）/2)； 且f(a)=(a n-a1)+(a n-1-a2)+???+【a(n+1）/2+1-a(n+1）/2-1】 =【a n+a n-1+??? a(n+1）/2+1】-【a1+a2+???+ a(n+1）/2-1】 v1.0可编辑可修改 绝对值难题解析 绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数 学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值 符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉 绝对值符号的方法大致有三种类型。 一、根据题设条件 例 1设化简的结果是（）。 （A）（B）（C）（D） 思路分析由可知可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号 待合并整理后再用同样方法化去． 解 ∴应选（ B）． 归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路． 二、借助数轴 例 2实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（）． （A）（B）（C）（D） 思路分析由数轴上容易看出，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍． 解原式 ∴应选（ C）． 归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清： 1．零点的左边都是负数，右边都是正数． 2．右边点表示的数总大于左边点表示的数． 3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了． 三、采用零点分段讨论法 例3化简 思路分析本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可 采用零点分段讨论法，本例的难点在于的正负不能确定，由于x 是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论． 解令得零点：； 令得零点：， 把数轴上的数分为三个部分（如图） ①当时, ∴原式 ②当时，， ∴原式 ③当时，， ∴原式 ∴ 归纳点评虽然的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是： 1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）． 2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个 绝对值符号内的部分的正负能够确定． 3．在各区段内分别考察问题． 4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案． 误区点拨千万不要想当然地把等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，以免得出错误的结果． 练习： 请用文本例 1 介绍的方法解答 l 、2 题 初一数学 绝对值综合练习题 1、有理数的绝对值一定是（ ） A 、正数 B 、整数 C 、正数或零 D 、自然数 2、绝对值等于它本身的数有（ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、无数个 3、下列说法正确的是（ ） A 、—|a|一定是负数 B 只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C 、若|a|=|b|，则a 与b 互为相反数 D 、若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 4、比较21、31、41 的大小，结果正确的是（ ） A 、21＜31＜41 B 、21＜41＜31 C 、41＜21＜31 D 、31＜21＜41 5、（ ） A 、a>|b| B 、a|b| D 、|a|<|b| 6、判断。 （1）若|a|=|b|，则a=b 。 （2）若a 为任意有理数，则|a|=a 。 （3）如果甲数的绝对值大于乙数的绝对值，那么甲数一定大于乙数（ ） （4）|3 1_|和31_互为相反数。（ ） 7、相反数等于-5的数是______,绝对值等于5的数是________。 8、-4的倒数的相反数是______。 9、绝对值小于∏的整数有________。 10、若|-x|=2，则x=____；若|x －3|=0，则x=______；若|x －3|=1，则x=_______。 11、实数的大小关系是_______。 12、比较下列各组有理数的大小。 （1）-0.6 ○-60 （2）-3.8○-3.9 （3）0○|-2| （4）43-○5 4- 13、已知|a|+|b|=9，且|a|=2，求b 的值。 14、已知|a|=3,|b|=2,|c|=1,且a 二、合作探究 4、数 3 对着数轴上一个点，这个点到原点的距离是（），所以┃3┃= 数—25 对着数轴上一个点，这个点到原点的距离是（），所以┃—25┃ = 5、按照上述思路：┃—1┃= ；┃6┃ = ；┃—┃ = ；┃0┃ = 三、点拨升华 7、每一次求“绝对值”，先找到（想到）“对着的点”，再想“这个点到原点的距离”，再表示出来。 这个过程多少有一些“麻烦”，再换个角度，寻求更简单的规律：┃2┃= 2 ；┃4┃= 4 ；┃—2┃= 2 ；┃—4┃= 4 ；┃—25┃= 25 ┃3┃= 3 ；┃6┃= 6 ；等┃—1┃= 1 ；┃—┃= ；等总结：┃正数┃ = __________ ┃负数┃ = ____________ ┃0┃ = ________ 有了这条规律，就可以快速求“数的绝对值”： ┃23┃ = ；┃89┃= ； ┃—34┃= ；┃—207┃ = ；┃—2010┃= ┃—73┃ = ；┃┃= ； ┃—┃= ；┃0┃ = ；┃88┃= ┃2 1 - ┃= ； ┃┃= ； ┃152┃= ； ┃8 13 -┃= ； 8、“数轴”的功劳：① 把无数个“有理数”很有秩序的摆放成“一行”！ ② 利用“数轴”，可以对数“大小比较”； ③ 利用“数轴”来认识 —→ 绝对值！ （就是个“距 离”） 四、分层训练 9、| +2 | = ____， | —12 | = ____ ，| 0 | =____ ，| —20. 8 | = _____ ，| + | =______ 10、一个正数的绝对值等于它本身； 一个负数的绝对值等于它的相反数； 0的绝对值是0 。 （1）当a 是正数时，┃a ┃=_____；（2）当a 是负数时，┃a ┃ =______；（3）当 a=0时，┃a ┃ =____ 【知识梳理】 １、什么叫绝对值? 在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．例如+5的绝对值等于 5，记作|＋5|=5；-3的绝对值等于3，记作|-３|=３． 拓展：︱x －２︱表示的是点ｘ到点2的距离。 例:(1）｜x|=5，求x 的值． (2）|x －3｜＝５,求x 的值. 2、绝对值的特点有哪些？ （1)一个正数的绝对值是它本身；例如,|４|=４ , |+7.1| ＝ 7.1 (2）一个负数的绝对值是它的相反数；例如,｜-2|＝2,|－5.２｜＝5．2 （３)0的绝对值是0． 容易看出，两个互为相反数的数的绝对值相等.如|-５|＝|+5｜=5． 绝对值的性质： ① 对任何有理数a,都有|a ｜≥0 ②若|a|=0，则|a ｜＝０，反之亦然 ③若|ａ|=b ，则a=±b ④对任何有理数a,都有｜a|=｜-ａ| 何一个有理数的绝对值都是非负数,即|a ≥|0， (0)|0 (0) (0)a a a a a a >??==??- 绝对值最值问题 绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离。数a的绝对值记作a 几个绝对值和的最小值问题：奇点偶段（含端点） 1、（1）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB． 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点， 如图甲，AB＝OB＝|b|＝|a﹣b|； 当A、B两点都不在原点时， 1如图乙，点A、B都在原点的右边， AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|； ②如图丙，点A、B都在原点的左边， AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|； ③如图丁，点A、B在原点的两边 AB＝OA+OB＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|． 综上，数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|． （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的 距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是； ②数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是，如果|AB| ＝2，那么x＝； ③当代数式|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的取值范围是． ④当代数式|x﹣1|+|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的值是． ⑤当代数式|x﹣5|﹣|x+2|取最大值时，相应的x的取值范围是． 2、在数轴上，点A，B分别表示数a，b，则线段AB的长表示为|a﹣b|，例如：在数轴上，点A表示5．点B表示2，则线段AB的长表示为|5﹣2|＝3：回答下列问题： （1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是： （2）若AB＝8，|b|＝3|a|，求a，b的值． （3）若数轴上的任意一点P表示的数是x，且|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为4，若a＝3，求b 的值． 绝对值专题训练及答案1．如果|a|=﹣a，那么a的取值范围是（） A ．a＞0 B ． a＜0 C ． a≤0 D ． a≥0 2．如果a是负数，那么﹣a、2a、a+|a|、这四个数中，负数的个数（） A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 3．计算：|﹣4|=（） A ．0 B ． ﹣4 C ． D ． 4 4．若x的相反数是3，|y|=5，则x+y的值为（） A ．﹣8 B ． 2 C ． 8或﹣2 D ． ﹣8或2 5．下列说法中正确的是（） A．有理数的绝对值是正数B．正数负数统称有理数 C．整数分数统称有理数D．a的绝对值等于a 6．如图，数轴的单位长度为1，如果点A、C表示的数的绝对值相等，则点B表示的数是（） A ．1 B ． 0 C ． ﹣1 D ． ﹣2 7．在数轴上距﹣2有3个单位长度的点所表示的数是（） A ．﹣5 B ． 1 C ． ﹣1 D ． ﹣5或1 8．在﹣（﹣2），﹣|﹣7|，﹣|+3|，，中，负数有（） A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 9．如图，数轴上的点A所表示的是实数a，则点A到原点的距离是（） A ．a B ． ﹣a C ． ±a D ． ﹣|a| 10．已知a、b、c大小如图所示，则的值为（） A ．1 B ． ﹣1 C ． ±1 D ． 11．a，b在数轴位置如图所示，则|a|与|b|关系是（） A ．|a|＞|b| B ． |a|≥|b| C ． |a|＜|b| D ． |a|≤|b| 12．已知|a|=﹣a、|b|=b、|a|＞|b|＞0，则下列正确的图形是（） A ．B ． C ． D ． 13．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|+|a+b|． 14．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c﹣b|+|a﹣c|+|b﹣a| 15．a为有理数，下列判断正确的是（） A ．﹣a一定是负数B ． |a|一定是正数C ． |a|一定不是负数D ． ﹣|a|一定是负数 16．若ab＜0，且a＞b，则a，|a﹣b|，b的大小关系为（） A ．a＞|a﹣b|＞b B ． a＞b＞|a﹣b| C ． |a﹣b|＞a＞b D ． |a﹣b|＞b＞a 17．若|a|=8，|b|=5，a+b＞0，那么a﹣b的值是（） A ．3或13 B ． 13或﹣13 C ． 3或﹣3 D ． ﹣3或13 18．下列说法正确的是（） A．﹣|a|一定是负数 B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C．若|a|=|b|，则a与b互为相反数 D．若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数19．一个数的绝对值一定是（） A ．正数B ． 负数C ． 非负数D ． 非正数 20．若ab＞0，则++的值为（） A ．3 B ． ﹣1 C ． ±1或±3 D ． 3或﹣1 21．已知：a＞0，b＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（） A ．1﹣b＞﹣b＞1+a＞a B ． 1+a＞a＞1﹣b＞﹣b C ． 1+a＞1﹣b＞a＞﹣b D ． 1﹣b＞1+a＞﹣b＞a 22．若|﹣x|=﹣x，则x是（） A ．正数B ． 负数C ． 非正数D ． 非负数 23．若|a|＞﹣a，则a的取值范围是（） A a＞0 B a≥0 C a＜0 D自然数 1、下列各式中，正确的是（ ） A. -∣-16∣＞0 B. ∣0.2∣＞∣0.2∣ C. - 74＞- 75 D.∣-6∣＜0 2、在-0.1，-21，1，2 1这四个数中，最小的一个数是（ ） A. -0.1 B. - 21 C. 1 D. 21 3. 一个有理数的绝对值是（ ） A ．正数 B ．负数 C ．非正数 D ．非负数 4. 如果一个有理数的绝对值是正数，那么这个数必定（ ） A ．是正数 B ．不是0 C ．是负数 D ．以上答案都不对 5. 在数轴上距原点的距离是3个单位长度的点表示的数是（ ） A ．3 B ．-3 C ．3或-3 D ．0 6. 下列说法中正确的是（ ） A ．有理数的绝对值一定是正数 B ．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 C ．如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身 D ．如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数 7. 对于数轴上的点所表示的两个数，下列说法中不正确的是（ ） A ．若规定向右为正方向，则右边的数总是大于左边的数 B ．两个负数，较大的数离原点近 C ．小的有理数，离原点近 D ．绝对值越大的数，离原点越远 8. 在数轴上点P 表示的数是2，那么在同一数轴上与点P 相距5个单位的点表示的数是（ ） A ．3 B ．-3 C ．7 D ．-3或7 9. 下列结论正确的是（ ） A ．-a 一定是负数 B ．-|a |一定是非正数 C ．|a |一定是正数 D ．-|a |一定是负数 10. 绝对值最小的数（ ） A ．不存在 B ．0 C ．1 D ．-1 11. 下列说法正确的是（ ） A ．|5|=-|-5| B ．任何有理数的绝对值都是正数 C ．|-7|=-(-7) D ．0是绝对值最大的有理数 例１求下列各数得绝对值: (1)-38; （２)０、15； (3)a(ａ<０)；（4)3b(ｂ＞0）； (5）a－2(ａ＜2）；（6)a－ｂ。 分析:欲求一个数得绝对值，关键就是确定绝对值符号内得这个数就是正数还就是负数，然后根据绝对值得代数定义去掉绝对值符号,(6）题没有给出a与ｂ得大小关系，所以要进行分类讨论. 解:（１）｜－3８｜=38;（2）｜＋0、15|=0、１5； (3）∵a<0，∴｜a｜=-a; (4）∵b＞０,∴３b＞0,｜3b｜＝3b; (5)∵a＜2,∴ａ－2<0,｜a-2|＝—(a-2）＝2-ａ; 说明:分类讨论就是数学中得重要思想方法之一,当绝对值符号内得数(用含字母得式子表示时)无法判断其正、负时,要化去绝对值符号,一般都要进行分类讨论。 例２判断下列各式就是否正确(正确入“T”，错误入“Ｆ”）: (1）｜－a｜=｜a｜；( ） （2）—｜a|=｜－a｜；（） （４）若｜a|=|b|，则a=b; （) （５)若a=b，则|a|=｜ｂ|；(） （６)若｜a|＞｜b｜，则a〉b;（） (7）若a〉ｂ，则｜a｜＞｜b｜;（） （8)若ａ＞b，则|ｂ—a|=a—b. (） 分析：判断上述各小题正确与否得依据就是绝对值得定义，所以思维应集中到用绝对值得定义来判断每一个结论得正确性.判数（或证明)一个结论就是错误得,只要能举出反例即可.如第（2)小题中取a＝1,则－｜a|＝－｜1｜＝-1,而｜—a｜＝｜—１｜=1,所以—｜a｜≠|-a|。同理，在第(６)小题中取a=—1，ｂ＝0，在第（4)、(7)小题中取ａ＝５,b＝-５等，都可以充分说明结论就是错误得。要证明一个结论正确，须写出证明过程.如第（３）小题就是正确得．证明步骤如下： 此题证明得依据就是利用|a|得定义，化去绝对值符号即可.对于证明第（1）、(5)、(8）小题要注意字母取零得情况。 解：其中第(2)、（4)、(6)、(7）小题不正确,（１）、(3）、(5）、(8）小题就是正确得。 说明：判断一个结论就是正确得与证明它就是正确得就是相同得思维过程，只就是在证明时需要写明道理与依据,步骤都要较为严格、规范.而判断一个结论就是错误得,可依据概念、性质等知识,用推理得方法来否定这个结论,也可以用举反例得方法，后者有时更为简便。 例3判断对错.（对得入“Ｔ”，错得入“F”) (1）如果一个数得相反数就是它本身，那么这个数就是０。 （) （２)如果一个数得倒数就是它本身,那么这个数就是1与0． （） (3)如果一个数得绝对值就是它本身,那么这个数就是0或1。 ( ） （４)如果说“一个数得绝对值就是负数”，那么这句话就是错得. ( ） （5）如果一个数得绝对值就是它得相反数,那么这个数就是负数. 绝对值大全（零点分段法、化简、最值） 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后,其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 １利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |＝(0)(0)x x x x ≥?? -????≤?；｜ x ｜>c (0) 0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>?? ?≠=??∈c (c >０)来解,如｜ax b +|>c (c >０）可为ax b +＞c 或ax b +<-c ;|ax b +| 相反数与绝对值专项练习 一、选择题：(1)a的相反数是( ) (A)-a (B)1 a (C)- 1 a (D)a-1 (2)一个数的相反数小于原数，这个数是( ) (A)正数 (B)负数 (C)零 (D)正分数 (3)一个数在数轴上所对应的点向右移到5个单位长度后，得到它的相反数的对应点，则这个数是( ) (A)-2 (B)2 (C)2.5 (D)-2.5 (4)一个数在数轴上的对应点与它的相反数在数轴上的对应点的距离为0.5单位长，则这个数是( ) (A)0.5或-0.5 (B)0.25或-0.25 (C)0.5或-0.25 (D)-0.5或0.25 二、填空题 (1)一个数的倒数是它本身，这个数是________；一个数的相反数是它本身，这个数是__________； (2)-5的相反数是______，-3的倒数的相反数是____________ 。 (3)10 3 的相反数是________， 11 32 ?? - ? ?? 的相反数是_______，(a-2)的相反数是______； 三、判断题： (1)符号相反的数叫相反数；（） (2)数轴上原点两旁的数是相反数；（） (3)-(-3)的相反数是3；（） (4)-a一定是负数；（） (5)若两个数之和为0，则这两个数互为相反数；（） (6)若两个数互为相数，则这两个数一定是一个正数一个负数。（） 1．下列各数：2，0.5,2 3 ,-2,1.5,- 1 2 ,- 3 2 ,互为相反数的有哪几对？ 2．化简下列各数的符号：(1)-(-17 3 )； (2)-(+ 23 3 )； (3)+(+3)； (4)-[-(+9)] 。3．数轴上A点表示 +7，B、C两点所表示的数是相反数，且C点与A点的距离为 2，求B点和C点各对应什么数？ 4．若a>0>b,且数轴上表示a的点A与原点距离大于表示b的点B 与原点的距离，试把a,-a,b,-b这四个数从小到大排列起来。 5．一个正数的相反数小于它的倒数的相反数，在数轴上，这个数对应的点在什么位置？ 6．如果a,b表示有理数，在什么条件下，a+b和a-b互为相反数？a+b与a-b的积为2？ 练习二(A级) 一、选择题： 1．已知a≠b，a=-5,|a|=|b|,则b等于( )(A)+5 (B)-5 (C)0 (D)+5或-5 2．一个数在数轴上对应的点到原点的距离为m，则这个数的绝对值为( ) (A)-m (B)m (C)±m (D)2m 3．绝地值相等的两个数在数轴上对应的两点距离为8，则这两个数为( ) (A)+8或- 8 (B)+4或-4 (C)-4或+8 (D)-8或+4 4．下面说法： <1>互为相反数的两数的绝对值相等；<2>一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；<3>若|m|>m,则m<0；<4>若|a|>|b|,则a>b,正确的有( ) A<1><2><3> B<1><2<4> C<1><3><4> D<2><3><4> 5．一个数等于它的相反数的绝对值，则这个数是( ) A)正数和零 B)负数或零 C)一切正数 D)所有负数6．已知|a|>a,|b|>b,且|a|>|b|,则( ) A)a>b (B)a|π|>|-3.3| B 10 3 ->|-3.3|>|π| C|π|> 10 3 ->|-3.3| D 10 3 ->|π|>|-3.3| 8．若|a|>-a,则( ) (A)a>0 (B)a<0 (C)a<-1 (D)1 2016上海初一数学绝对值难题解析 绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。 绝对值有两个意义： （1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。 即|a|＝a（当a≥0）, |a|＝－a （当a＜0） （2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。 灵活应用绝对值的基本性质： （1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0) （4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|； 思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？ |a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？ 常用解题方法： （1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况） （2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。 （3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。 例题解析： 第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用 1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左侧，请化简下列式子： （1）|a－b|－|c－b| 解：∵a＜0，b＞0 ∴a－b＜0 c＜0，b＞0 ∴c－b＜0 故，原式＝（b－a）－(b－c) ＝c－a （2）|a－c|－|a＋c| 解：∵a＜0，c＜0 ∴a－c要分类讨论，a＋c＜0 当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a 当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c 2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。 解：∵x＜－1 ∴x－2＜0 原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x 3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。 解：∵3＜a＜4 ∴a－3＞0，a－6＜0 原式＝（a－3）－(a－6) ＝3 4、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？ 答：当a－b≥0时，a≥b，|a－b|＝a－b，由已知|a－b|＝a＋b，得a－b＝a＋b， 解得b＝0，这时a≥0； 【例题1】：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？ 分析：先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的过程 可令x+11=0，x-12=0，x+13=0 得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值） 1）当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12 2）当x=-13时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40 3）当-13 1、据探测，月球表面白天垂直照射的地方温度高达127℃，而夜晚温度可降低到 零下183℃．根据以上数据推算，在月球上昼夜温差有℃ 2、甲、乙两人在一条笔直的公路上，同时从A地出发，记向右为正，甲走了+48m，乙走了—32m，则此时甲、乙之间的距离是 m 3、比较大小：－－（填“＞”、“＜”或“=”） 4、大于－2而小于3的非负整数是 5、从正有理数集合中去掉正分数集合，得到集合． 6、一个体的每个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．根据图?中该体三种状态所显示的数据，可推出“？”处的数字是多少？ 7、绝对值不小于3又不大于5的所有整数之和为__________ 8、写出一个值，使你写出的值为 . 9、在数轴上到-2所表示的点的距离为3个单位长度的点表示的数是 . 10、如果m＞0，n＜0，m＜|n|，那么m、n、﹣m、﹣n的大小关系是． 11、下表是我市某一天在不同时段测得的气温情况：则这一天气温的极差是℃． 时间0：00 4：00 8：00 12：00 16：00 20：00 气温 18℃17℃19℃26℃27℃22℃ 12、已知A，B两点之间的距离是5 cm，C是线段AB上的任意一点，则AC中点与BC中点间距离是． 13、绝对值大于2，且小于4的整数有_______． 14、若│a—4│+│b+5│=0，则a—b= 15、数轴上表示数和表示的两点之间的距离是__________。 二、简答题 16、某同学春节期间将自己的压岁钱800元，存入银行．十一放假取出350元买了礼物去看爷爷，母亲节时他又取出100元给妈妈买了礼物，则存上存入、支出情况显示为( ) A．+800，+350，﹣100 B．+800，+350，+100 C．+800，﹣350，﹣100 D．﹣800，﹣350，+100 17、右面是一个体纸盒的展开图，请把－10，7，10，－2，－7，2分别填入六个形，使得按虚线折成体后，相对面上的两数互为相反数。(4分)绝对值练习题(含答案)1
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