高一数学复合函数例题
第一篇、复合函数问题
一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ?B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.
二、复合函数定义域问题：
（一）例题剖析：
(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域
例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。
解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1）
又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01< 解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ） 例 2. 若函数f x x ()= +11 ，则函数[]f f x ()的定义域为______________。 解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1 即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用 所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-??? 11() 即x x ≠-+≠-?????1 11 1，解得x x ≠-≠-12且 故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且 （2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域 例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。 解析：f x ()32-的定义域为[]-12，，即[]x ∈-12，，由此得[]3215-∈-x ， 所以f 的作用范围为[]-15，，又f 对x 作用，作用范围不变，所以[]x ∈-15， 即函数f x ()的定义域为[]-15， 例 4. 已知f x x x ()lg 2 2248-=-，则函数f x ()的定义域为______________。 解析：先求f 的作用范围，由f x x x ()lg 2 2248-=-，知x x 2 280-> 解得x 244->，f 的作用范围为()4，+∞，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x ∈+∞()4，，即f x ()的定义域为()4，+∞ （3）、已知[]f g x ()的定义域，求[]f h x ()的定义域 思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，f 的作用范围为E ，又f 对h x ()作用，作用范围不变，所以h x E ()∈，解得x F ∈，F 为[]f h x ()的定义域。 例 5. 若函数f x ()2的定义域为[]-11，，则f x (log )2的定义域为____________。 解析：f x ()2的定义域为[]-11，，即[]x ∈-11，，由此得21 22x ∈??????， f 的作用范围为122，????? ? 又f 对log 2x 作用，所以log 2122x ∈??????，，解得[]x ∈24， 即f x (log )2的定义域为[]24 ， 三、复合函数单调性问题 （1）引理证明 已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数. 证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21 因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =, )(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且 因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <， 故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数. （2）．复合函数单调性的判断 复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表： 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. （3）、复合函数)) y=的单调性判断步骤： f (x ( g ⅰ确定函数的定义域； ⅱ将复合函数分解成两个简单函数：) (x u=。 g (u f y=与)ⅲ分别确定分解成的两个函数的单调性； ⅳ若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数)) g y=为增函数；若两 f ( (x 个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数)) y=为减函数。 f ( g (x （4）例题演练 例1、 求函数)32(log 22 1--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域 130322-<>?>--x x x x 或 单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则 )32(log 121211--=x x y )32(log 22 2212--=x x y ---)32(121x x )32(22 2--x x =)2)((1212-+-x x x x ∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x ∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数1210<< ∴012<-y y 即 12y y < ∴y 在),3(+∞上是减函数 同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数 1、复合函数的概念 如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。 例如：函数是由复合而成立。 函数是由复合而成立。 a是中间变量。 2、复合函数单调性 由引例对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。 对任意， 当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。 ∵当a＞1时， ∵y=f（u）是上的递减函数∴ ∴ ∴是单调递减函数 类似地，当0＜a＜1时， 是单调递增函数 一般地，定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。 有以下四种情况： （1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数； （2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数； （3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数； （4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。 注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。 例1、讨论函数的单调性 （1）（2） 又是减函数 ∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。 ②x∈（-1，3） 令 ∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u是递减的。 ∵是增函数 ∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。 注意：要求定义域 2.1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次 当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数 时，0a ≥． n a =；当n a =；当n (0)|| (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．② 正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指 数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 指数函数练习 1．下列各式中成立的一项 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．4 343 3)(y x y x +=+ D ． 33 39= 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 复合函数问题 一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ?B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 二、复合函数定义域问题： (1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域 思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。 例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。 解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01< 1、复合函数的概念 如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g （x）]叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。 例如：函数是由复合而成立。 函数是由复合而成立。 a是中间变量。 2、复合函数单调性 由引例对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。 对任意， 当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。 ∵当a＞1时， ∵y=f（u）是上的递减函数∴ ∴ ∴是单调递减函数 类似地， 当0＜a＜1时， 是单调递增函数 一般地，定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。 有以下四种情况： （1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数； （2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数； （3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数； （4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。 注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。 例1、讨论函数的单调性 （1）（2） 又是减函数 ∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。 ②x∈（-1，3） 令 ∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u是递减的。 ∵是增函数 ∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。 注意：要求定义域 高考数学知识点：指数函数、函数奇偶性指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。 可以看到： （1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a 大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 （2）指数函数的值域为大于0的实数集合。 （3）函数图形都是下凹的。 （4）a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。 （5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y 轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 （6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。（7）函数总是通过（0，1）这点。 （8）显然指数函数无界。 奇偶性 注图：（1）为奇函数（2）为偶函数 1．定义 一般地，对于函数f(x) （1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 （2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 （3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。 （4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言 ②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。 （分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论） ③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义 2．奇偶函数图像的特征： 定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象 2[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b =+=++=++复合函数问题 一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ?B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 二 复合函数解析式 1、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法． 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ． 解：设b ax x f +=)()0(≠a ，则 ∴?? ?=+=3 42b ab a ， ∴??????=-===3 212b a b a 或 ． 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 ． 2、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域． 例2 已知221 )1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式． 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x ， 2)(2 -=∴x x f )2(≥x ． 3、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式．与配 凑法一样，要注意所换元的定义域的变化． 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ． 解：令1+= x t ，则1≥t ，2)1(-=t x ． x x x f 2)1(+=+， ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x ， x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x ． 4、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法． 例4已知：函数)(2 x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式． 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点． 高一数学 指数函数平移问题 ⑴y =12+x 与y =22+x . ⑵y =12-x 与y =22-x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x ＋a )的图象;向右平移a 个单位得到f (x －a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )＋a 的图象;向下平移a 个单位得到f (x )－a 的图象. 指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 12x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3，∴值域是≤＜．0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 （1）4 12 -=x y ； （2）|| 2()3 x y =； （3）12 41 ++=+x x y ； 【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A ．a ＜b ＜1＜c ＜d B ．a ＜b ＜1＜d ＜c C ． b ＜a ＜1＜d ＜c D ．c ＜d ＜1＜a ＜b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 及时演练 指数函数① ② 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ). 【例3】比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 358945 12--() 复合函数练习题 1、 已知函数)x (f 的定义域为]1,0[，求函数)x (f 2的定义域（ ）。 析：由已知，]1,1[]1,1[],1,0[2--∈∈。所以所求定义域为故x x 2、 已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-，求)x (f 的定义域（ ） 析：]5,1[)(],5,1[23],1,1[的定义域为从而的范围为那么的范围为由已知x f x x -- 3、 已知函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-，求|)1x 2(|f -的定义域（ ）。 析：)23,1()1,21(),2,1(12)12(),2,1()()2(?-∈∈--+x x x f x f x f 解得的定义域应满足则求的定义域为的定义域可知由 4、设()x x x f -+=22lg ，则?? ? ??+??? ??x f x f 22的定义域为（ ） A. ()()4,00,4Y - B. ()()4,11,4Y -- C. ()()2,11,2Y -- D. ()()4,22,4Y -- 析：?? ???????--∈>-<<<-<<-<<<<->-+>-+B ),4,1()1,4(,1144,222222-.22,0)2)(2(022选综上或解得那么由题意应有得，即由已知，x x x x x x x x x x x 5．函数y ＝2 1log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（ ） A ．（－∞，1） B ．（2，＋∞） C ．（－∞，23） D ．（2 3，＋∞） 析：本题考查复合函数的单调性，根据同增异减。 B ),2(,2 32312 10).,2()1,(,02322为增函数，所以选择上在的定义域内，在函数，其对称轴为区间。内函数为函数的增的减区间，只需要求内求为底，故为减函数。则由于外函数是以得定义域为应先求定义域，即对于对数型复合函数，+∞=+-=<<+∞?-∞>+-t y x x x t y x x 6．找出下列函数的单调区间. （1）)1(232>=++-a a y x x ； 解析：此题为指数型复合函数，考查同增异减。 复合函数的定义域 讲解内容： 复合函数的定义域求法 讲解步骤： 第一步：函数概念及其定义域 函数的概念：设是,A B 非空数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合B 的函数，记作：(),y f x x A =∈。其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值. 第二步：复合函数的定义 一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. 例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22 (())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+ 问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。） 第三步：介绍复合函数的定义域求法 例1. 已知()f x 的定义域为](3,5-，求函数(32)f x -的定义域； 解：由题意得 35x -<≤ 3325x ∴-<-≤ 137x -<≤ 1 7 33x ∴-<≤ 所以函数(32)f x -的定义域为17,33? ?- ??? . 练1.已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。 解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即 ???≤≤->-+?≤+<13023202320222 x x x x x x x x x ，或 定义 由函数)(u f y =和)(x g u =所构成的函数)]([x g f y =称为复合函数，其中)(u f y =通常称为外层函数，)(x g u =称为内层函数。 求上述复合函数)]([x g f y =的单调区间，我们一般可以按照下面这几个步骤来进行： （1） 写出构成原复合函数的外层函数)(u f y =和内层函数)(x g u =； （2） 求外层函数)(u f y =的单调区间（包括增区间和减区间）B A 、等； （3） 令内层函数A x g u ∈=)(，求出x 的取值范围M ； （4） 若集合M 是内层函数)(x g u =的一个单调区间，则M 便是原复合函数 )]([x g f y =的一个单调区间； 若M 不是内层函数)(x g u =的一个单调区间，则需把M 划分成内层函数)(x g u =的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数)]([x g f y =的单调区间； （5） 根据复合函数“同增异减”的复合原则，分别指出原复合函数)]([x g f y =在集合M 或这些单调子区间的增减性； （6） 令内层函数B x g u ∈=)(，同理，重复上述（3）、（4）、（5）步骤。若外层函数)(u f y =还有更多的单调区间C 、D ，则同步骤（6）类似，不断地重复上述步骤。 （7） 设单调函数)(x f y =为外层函数，)(x g y =为内层函数 （8） (1) 若)(x f y =增，)(x g y =增，则))((x g f y =增. （9） (2) 若)(x f y =增，)(x g y =减，则))((x g f y =减. （10） (3) 若)(x f y =减，)(x g y =减，则))((x g f y =增. （11） (4) 若)(x f y =减，)(x g y =增，则))((x g f y =减. （12） 结论：同曾异减 （13） 例1. 求函数222)(-+=x x x f 的单调区间. （14） 解题过程： （15） 外层函数：t y 2= （16） 内层函数：22-+=x x t （17） 内层函数的单调增区间：],2 1[+∞-∈x （18） 内层函数的单调减区间：2 1,[--∞∈x （19） 由于外层函数为增函数 （20） 所以，复合函数的增区间为：],2 1[+∞-∈x （21） 复合函数的减区间为： 2 1,[--∞∈x （22） 求函数)23(log 221x x y --=的单调区间. （23） 解 原函数是由外层函数u y 2 1log =和内层函数223x x u --=复合而成的； （24） 易知),0(+∞是外层函数u y 2 1log =的单调减区间； （25） 令0232>--=x x u ，解得x 的取值范围为)1,3(-； （26） 解题过程： 第一篇、复合函数问题 一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ?B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析： (1)、已知 f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域 思路：设函数 f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范 围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。 例1. 设函数 f u ()的定义域为（0，1） ，则函数f x (ln )的定义域为_____________。 解析：函数 f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01< 指 数函数 2.1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次 当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数 时，0a ≥． n a =；当n a =；当n (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．② 正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指 数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 2.1指数函数练习 1．下列各式中成立的一项 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．4 3433)(y x y x +=+ D ． 33 39= 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 2 (2) 【例3】比较大小: 高一数学指数函数平移问题 x 1 x 2 x 1 x 2 ⑴y=2 与 y=2 . ⑵y =2 与 y =2 f(x)的图象 向左平移a 个单位得到f(x + a)的图象；向右平移a 个单位得到f(x — a)的图象； 向上平移a 个单位得到f(x) + a 的图象；向下平移a 个单位得到f(x) — a 的图象. 指数函数?经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域： 1 (1)y = 3厂 (2)y = ..2x 2 1 (3)y = .3 3x 1 解 (1)定义域为x € R 且x 丰2 .值域y > 0且沪 1 . ⑵由2x+ 2 — 1 >0,得定义域｛x|x >— 2｝，值域为y 》0. ⑶由 3— 3x-1 > 0,得定义域是｛x|x < 2｝，: 0< 3 — 3x — 1 v 3,二值域是 0 < y V 3 . 及时演练 求下列函数的定义域与值域 (1) y (2) y (|)|x|； 【例2】指数函数y = ax , y = b x , y = c x , y = d x 的图像如图2. 6 — 2所示, 则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A . a v b v 1 v c v d C . b v a v 1 v d v c B . a v b v 1 v d v c D . c v d v 1 v a v b 选(c)，在x 轴上任取一点(x , 0)，则得 b v a v 1 v d v c . J y y=c E r 匪.6-2 及时演练 指数函数①' ②「J —」 满足不等式1’ 一」；「-,则它们的图象是(). (1) 2、3 2、5 4、8 8、 9 16的大小关系是: (2)0.6 3 复合函数的导数 求分段函数的导数 例 求函数?????=≠=0 ,00,1sin )(2x x x x x f 的导数 分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1sin 2，可以按各种求导法同求它的导数． 解：当0=x 时，01sin lim 1sin lim )0()(lim )0(0200===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当0≠x 时，x x x x x x x x x x x x x x x f 1cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为)(lim )0(0 x f f x →='． 指出函数的复合关系 例 指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。 分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程． 解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,32 2+-===x x v v u y u ； 指数与指数函数 【考纲要求】 1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质 2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集； 3.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域； 4.掌握指数函数图象： 5.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、整数指数幂的概念及运算性质 (1)整数指数幂的概念 () ()),0(1010*Z*n a a a a a Z n a a a a n n a n n ∈≠=≠=∈???=- 个 (2)运算法则 ①n m n m a a a +=?； ②()mn n m a a =； ③()0≠>=-a n m a a a n m n m ，； ④()m m m b a ab =. 指数与指数函数 图象与性质 指数运算 性 质 指数函数的 图 像 与 指 数 的 概 念 考点二、根式的概念和运算法则 (1)n 次方根的定义： 若x n =y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根. 要点诠释： n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ； n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为 0=. (2)根式的意义与运算法则 y y n n =)( ???=) (||)(,为偶数为奇数n a n a a n n 考点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且m n 为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1 n a = m m n a ==-1m n m n a a = 考点四、有理数指数幂的运算性质 ()Q b a ∈>>βα,00，， (1);a a a αβαβ+?= (2)();a a αβαβ= (3)();ab a b ααα= 当a>0，p 为无理数时，a p 是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释： (1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； (2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-； (3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-. 考点五、指数函数 (1)定义： 复合函数问题 一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为 A, u=g(x)的值域为B,若A 二B ,则y 关于x 函数的y=f [ g(x)]叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 二复合函数解析式 1待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法 例 1 设 f (x)是一次函数，且 f [ f (x)] = 4x ? 3，求 f (x). 解：设 f (x)二 ax b (a = 0)，则f [ f (x)] = af (x) b = a(ax b) b = a 2x ab b 二 f(x)=2x+1 或 f(x) = —2x + 3 . 2、 配凑法：已知复合函数 f[g(x)]的表达式，求f (x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配 成g(x)的运算形式时，常用配凑法 .但要注意所求函数 f (x)的定义域不是原复合函数的 定义域，而是g(x)的值域. 1 2 1 例2已知f(x ) = x 2 2 (x 0)，求f (x)的解析式. x x 1 1 2 1 2 解： f(x )=(x )2 -2, x 2, . f(x) = x 2-2 (x_2). x x x 3、 换元法：已知复合函数 f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求 f(x)的解析式.与配 凑法一样，要注意所换元的定义域的变化. 例 3 已知 f (.X ? 1) = x ? 2、.. x ，求 f (x T). 解：令 t ? 1,则 t -1 , x =(t -1)2 . :f ( 一 x 1) =x 2 ..X , ■ f(t) =(t 一1)2 2(t 一1) =t 2 -1, .f(x)=x 2-1 (x -1), ■ f(x 1) = (x 1)2 -1 = x 2 2x (x _ 0). 4、 代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法 例4已知：函数 目仝 x 与y =g(x)的图象关于点(-2,3)对称，求g(x)的解析式. 解：设M(x,y)为y = g(x)上任一点，且 M (x ,y )为M (x, y)关于点(-2,3)的对称点. r 2 . a =4 ab +b =3 2=2 b=1 a =-2 第一篇、复合函数问题 一、复合函数定义: 设y=f(u)的定义域为A,u=g(x)的值域为B ，若A ?Ｂ， 则y 关于ｘ函数的y=ｆ[ｇ（ｘ）]叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 二、复合函数定义域问题: (一）例题剖析: (1)、已知 f x ()的定义域,求[]f g x ()的定义域 思路：设函数 f x ()的定义域为D,即x D ∈,所以f 的作用范围为D ，又ｆ对g x ()作用，作用范围 不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈,Ｅ为[]f g x ()的定义域。 例1. 设函数 f u ()的定义域为（0，１)，则函数f x (ln )的定义域为_______＿＿_＿__。 解析:函数 f u ()的定义域为(０，1）即u ∈()01，,所以f 的作用范围为（0,1) 又ｆ对ｌｎx 作用，作用范围不变,所以01< 指数函数、对数函数测试题 一、选择题(本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有 一个选项是符合题意的) 1、已知集合M=｛x|x ＜3｝N=｛x|1log 2＞x ｝则M ∩N 为 A. φ B.｛x|0＜x ＜3｝ C.｛x|1＜x ＜3｝ D.｛x|2＜x ＜3｝ 2A.4) 3、若A.a ＞b a 4两点， 则a ，b A.a=2，2 5、函数f(x) e -x +2 6、设函数f(x)=x a log ( a ＞0且a ≠1)且f(9)=2，则f -1(29log )等于 A. 24 B. 2 C.2 2 D. 29log 7、若函数f(x)=a 2log log 32++x x b （a ，b ∈R ）,f( 20091)=4，则f(2009)= A.-4 B.2 C.0 D.-2 8、下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是 A.y=-x 2log (x ＞0) B. y=x 2+x (x ∈R) C.y=3x (x ∈R) D.y=x 3(x ∈R) 9、若f(x)=(2a-1)x 是增函数，则a 的取值范围为 A.a ＜21 B.21＜a ＜1 C. a ＞1 D. a ≥1 10、若f(x)=|x| (x ∈R)，则下列函数说法正确的是 为奇函数 B.f(x)奇偶性无法确定 为非奇非偶 D.f(x)是偶函数 11、f(x)定义域D=｛x ∈z|0≤x ≤3｝，且f(x)=-2x 2+6x 的值域为A.[029] B. [29,+∞] C. [-∞，+29] D.[0，4] 12、已知函数{2 2_)(++=x x x f 则不等式f(x)≥x 2的解集为 A.[-1，1] B.[-2，2] C.[-2，1] D.[-1，2] 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题 中横线上) 13、设a=0.32，b=20.3，c=22log 试比较a 、b 、c 的大小关系 (用 “＜”连接) 1415、1_2x y =的定义域为 . 16、若f(x)=｛x x 3log 2｛0 0 x x ≤则f[f(9 1)]= . 内容 编辑 链式法则（英文chain rule）是微积分中的求导法则，用以求一个复合函数的导数。所谓的复合函数，是指以一个函数作为另一个函数的自变量。如设f(x)=3x，g(x)=x+3，g(f(x))就是一个复合函数，并且g′(f(x))=3 链式法则(chain rule) 若h(x)=f(g(x)) 则h'(x)=f'(g(x))g'(x) 链式法则用文字描述，就是“由两个函数凑起来的复合函数，其导数等于里边函数代入外边函数的值之导数，乘以里边函数的导数。 2证明 编辑 证法一：先证明个引理 f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0) 证明：设f(x)在x0可导，令H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f'(x0),x=x0 因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0) 所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f(x)=H(x0) 所以f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0) 引理证毕。 设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0) 证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0) 又由u=φ(x)在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0) 于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0) 因为φ，G在x0连续，H在u0=φ(x0)连续，因此H(φ(x))G(x)在x0连续，再由引理的充分性可知F(x)在x0可导，且 F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0) 证法二：y=f(u)在点u可导，u=g(x)在点x可导，则复合函数y=f(g(x))在点x0可导，且dy/dx=(dy/du)*(du/dx) 证明：因为y=f(u)在u可导，则lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0) 当Δu≠0，用Δu乘等式两边得，Δy=f'(u)Δu+αΔu 但当Δu=0时，Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。 又因为Δx≠0,用Δx除以等式两边，且求Δx->0的极限，得 dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx 又g(x)在x处连续(因为它可导),故当Δx->0时，有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0 则lim(Δx->0)α=0(完整版)高一数学复合函数讲解
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