弹性力学-岩石力学删减版 2

弹性力学基本知识考试 一、

基本概念：

（1） 面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定 （2） 切应力互等定理：

作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。

（3） 弹性力学的基本假定：

连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。 圣维南原理；（提边界条件）

如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受到的影响可以忽略不计。

（4） 轴对称；

在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。 二、

平衡微分方程：

(1) 平面问题的平衡微分方程； 0

yx x x xy y

y f x y f x

y

τστσ??++=????+

+=??（记）

1、平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是平衡的。

2、平衡方程也反映了应力分量与体力（自重或惯性力）的关系。

x y xy u x v y v u x

y

εεγ?=??=???=

+??（记）

1、几何方程反映了位移和应变之间的关系。

2、当位移完全确定时，应变也确定；反之，当应变完全确定时，位移并不能确定。（刚体位移） 三、

物理方程；

（1） 平面应力的物理方程；

()

()()1121x x

y

y y

x xy xy

E E

E

εσμσ

εσ

μσμγτ=-=-+=

（记）

（2） 平面应变的物理方程；

()2

2111121x x

y y y

x xy xy

E E E

μμεσσμμμ

εσσμμγτ??-=- ?-????-=- ?-??

+= 四、

边界条件；

（1） 几何边界条件； 平面问题：

()()()()

s s

u u s v v v == 在u s 上；

（2） 应力边界条件； 平面问题：

()()

x

yx x

s

xy

y

y

s

l m f l m f σττ

σ

+=+=（记）

（3） 接触条件；

光滑接触：()()n n

σσ'= n 为接触面的法线方向 非光滑接触：

()()

()()n n n n

u u σσ'='= n 为接触面的法线方向

1．弹性力学，也称弹性理论，是固体力学学科的一个分支。

3基本任务：研究由于受外力、边界约束或温度改变等原因，在弹性体内部所产生的应力、

形变和位移及其分布情况等。.

6弹性力学研究问题，在弹性体内严格考虑静力学、几何学和物理学 三方面条件，在边界

上考虑边界条件，求解微分方程得出较精确的解答；.

7.弹性力学中的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、小变形假定。 8.几何方程反映的是形变分量与位移分量之间的关系。 9.物理方程反映的是应力分量与形变分量之间的关系。

10.平衡微分方程反映的是应力分量与体力分量之间的关系。

11当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。

12.边界条件表示在边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系式。它可以分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。

13．圣维南原理主要内容：如果把物体表面一小部分边界上作用的外力力系，变换为分布不同但静力等效的力系（主失量相同，对同一点的主矩也相同），那么只在作用边界近处的应力有显著的改变，而在距离外力作用点较远处，其影响可以忽略不计。 15.求解平面问题的两种基本方法：位移法、应力法。

17.逆解法步骤：(1)先假设一满足相容方程(2-25)的应力函数

（2）由式(2-24)，根据应力函数求得应力分量

（3）在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的弹性体，根据主

要边界上的面力边界条件(2-15)或次要边界上的积分边界条件, 分析这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决什么样的问题。（或者根据已知面力确定应力函数或应力分量表

达式中的待定系数

18.半逆解法步骤：(1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、受力特征和变形

的特点或已知的一些简单结论，如材料力学得到的初等结论，假设部分或全部应力分量的函数形式

(2)按式(2-24)，由应力推出应力函数f 的一般形式（含待定函数项）； (3)将应力函数f 代入相容方程进行校核，进而求得应力函数f 的具体表达形式；

(4)将应力函数f 代入式(2-24)，由应力函数求得应力分量

(5)根据边界条件确定未知函数中的待定系数；考察应力分量是否满足全部应力边界条件。如果都能满足，则所得出的解就是正确解，否则要重新假设应力分量，重复上述过程并进行求解。.

5.平面问题的应力边界条件为

1、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（ C ）求解这些微分方程，

以求得具体问题的应力、应变、位移。

A ．相容方程

B ．近似方法

C ．边界条件

D ．附加假定

2、根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用（ B ）的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计。

A ．几何上等效

B ．静力上等效

C ．平衡

D ．任意 3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程不完全相同，其比较关系为（ B ）。

)()()

()(s f m l s f m l y s y xy x s xy x =+=+σττσμ

μ

μμ

-?

-?

112

E E 填空

A ．平衡方程、几何方程、物理方程完全相同

B ．平衡方程、几何方程相同，物理方程不同

C ．平衡方程、物理方程相同，几何方程不同

D ．平衡方程相同，物理方程、几何方程不同

在研究方法方面：材力考虑有限体ΔV 的平衡，结果是近似的；弹力考虑微分体dV 的平，

结果比较精确。

1、弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。 2. 圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。

应力符号的规定为： 正面正向、负面负向为正，反之为负 。

弹性力学中，正面是指 外法向方向沿坐标轴正向 的面，负面是指 外法向方向沿坐标轴负向 的面 。

（8分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有哪些特征？ 答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为：

平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行于xy 平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量

x σ,y σ,xy

τ存在，且仅为x,y 的函数。

平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于xy 平面，外力沿z 轴无变化，只有平面应变分量

x ε,y ε,xy γ存在，且仅为x,y 的函数。

（8分）常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数Φ求解，应力函数

Φ必须满足哪些条件？ 答：（1）相容方程：04

=Φ?

（2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，

σ

s s =）：

()()()

上在στστσs s f l m f m l y s xy y x s yx x =??

??

?=+=+

（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。 问答题(36)

1．弹性力学的研究方法是在弹性区域内部，考虑静力学、几何学和物理学方面建立三套方程，即 方程、 方程以及 方程；在弹性体的边界上，还要建立边界条件，即 边界条件和 边界条件。

2．弹性力学基本假定包括 假定、 假定、 假定、 假定和 假定。

1．平衡微分 几何 物理 应力 位移

2．连续 均匀 各向同性 完全弹性 小变形

2. 所谓“完全弹性体”是指 B 。

A. 材料应力应变关系满足胡克定律。

B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关。

C. 本构关系为非线性弹性关系。

D. 应力应变关系满足线性弹性关系。 4．弹性力学的基本未知量没有 C 。

A. 应变分量。

B. 位移分量。

C. 面力分量。

D. 应力分量。

5．下列关于圣维南原理的正确叙述是 D 。

A. 边界等效力系替换不影响弹性体内部的应力分布。

B. 等效力系替换将不影响弹性体的变形。

C. 圣维南原理说明弹性体的作用载荷可以任意平移。

D. 等效力系替换主要影响载荷作用区附近的应

力分布，对于远离边界的弹性体内部的影响比较小。

一、计算题（共15分）

如图所示的三角形截面水坝，其左侧作用着比重为γ的液体，右侧为自由表面。试写出以应力分量表示的边界条件。

解：在平面应力边界条件下，应力须满足

x yx x

xy y y

l m f l m f σττσ?+=??

+=?? （1） (5)

在x ytg β=表面处，cos l β=， (1)

sin m β=-； (1)

0x f =， ....................................(1) 0y f = (1)

代入公式（1），得

cos sin 0

cos sin 0x yx xy

y σβτβτβσβ-=??

-=? ....................................(1) 在x ytg α=-处，cos l α=-， (1)

sin m α=-； (1)

cos x f y γα

=， (1)

sin y f y γα= (1)

代入公式（1），得

cos sin cos cos sin sin x yx xy

y y y σαταγα

τασαγα--=??

--=? (1)

四、计算题（共10分）

试考虑下面平面问题的应变分量有否可能存在，若存在，需满足什么条件？ x Axy ε=，3

y By ε=，2

xy C D y γ=-；

解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即

2

2

2

22

y xy x y

x

x y

εγε???+

=

???? (4)

将各分量分别代入，得 22

x y

ε??=0， ………………………………(2) 2

2

y x

ε??=0， ………………………………(2) 2xy x y

γ???=0 (2)

无论A 、B 、C 、D 取何值，都满足形变协调条件。

A 试卷

1、 基本概念解释（24分，6小题） （1） 弹性力学的基本假定 （2） 平面应变问题 （3） 平面应力问题 （4） 圣维南原理 （5） 逆解法

2、 简单题（40分，4题） (1) 列出图示全部边界条件。

(2) 求出下列应力函数的应力分量，并考察该应力函数是否满足相容方程 A ： )43(22

2243

y h y x h

F +=

Φ

B ：)2

(10

)13

4

(4

3

32

3

32h

y h

y qy h

y h

y qx -

+

--=

Φ

(3) 根据圣维南原理，比较图示中OA 边的面力是否等效，b h >>。

3、 综合题（36分）

（1） 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用（如图），体力不计，h l >>，试

用应力函数3

3

2Dxy Cy

By Axy +++=Φ求解应力分量。

（2） 矩形截面的长柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布正应力q ，试求应力分量，体力

不计。

A 试卷 （答案）

1、 基本概念解释

（1） 连续性，完全弹性，均匀性，各向同性，位移和形变是微小的。 （2） 0=z ε，0=zx γ，0=zy

γ

，只存在平面应变分量x ε，y ε，xy

γ

，且不沿z 方向变

化，仅为x ，y 的函数。

（3） 0=z

σ

，0=zx τ，0=zy

τ

，只存在平面应力分量x

σ

，y σ，xy

τ

，且不沿z 方向

变化，仅为x ，y 的函数。

（4） 如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，那么，

近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。

（5） 先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数Φ；并求得应力分量；然后再根据应

力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决的问题。

（6） 在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值。

2、 简单题

(1) A ：0)(2/==b x x σ，q b x xy ==2/)(τ；0)(2/=-=b x x σ，q b x xy 2)(2/-=-=τ；

?

-==2

/2

/00)(b b y y dx σ，

?

-==2

/2

/00)(b b y yx dx τ，

?

-==2

/2

/00)(b b y y xdx σ；0)(==h y u ，

0)(==h y v

B ：0)(2/=-=h y y σ，q h y yx

2)(2/=-=τ

；q h y y -==2/)(σ，0

)(2/==h y yx

τ

；

?

-==2

/2

/00)(h h x x dy σ，

?

-==2

/2

/00)(h h x xy dy τ，

?

-=-=2

/2

/0)(h h x x M ydy σ；0)(==l x u ，

0)(==l x v

(2) A ： )43(22

2243

y h y x h

F +=

Φ

B ：)2

(10

)13

4

(4

3

32

3

32

h

y h

y qy h

y h

y qx -

+

--=Φ

(3)

?

--=-

=-

2

/2

/2

3)2

3(b b F qb dx q x b

q ，?

-=

=-

2

/2

/2

12

)2

3(

b b qb M xdx q x b

q

3、 综合题 （1） Dxy Cy B x

662++=σ

，0=y

σ

，2

3Dy A xy --=τ

??

??????

?=-=-==??

????

???

???=+-=-==+

??????????=-=-==???-=-=-=±=0220042

20430

)()()(0)(3

2

32

2/2/02/2/02/2/02/D h

M C h F B A Dh A M Ch F Bh Dh

A dy M ydy F dy s s

h h x xy h h x x h h s x x h y xy τσστ

3

12h

My h

F s x -

-

=σ，0=y

σ

，0=xy

τ

（2） )()(2

)()(2

x h y x g y x f x f x

++=

Φ?=σ

由相容方程可得 2

3

45

2

32

32

6

10

)()(2Kx

Hx

x B x A Gx Fx

Ex y D Cx Bx

Ax y

++-

-

++++++=

Φ

K

Hx Bx

Ax F Ex y B Ax y

y

2622)26()26(2

2

32

++--+++=

σ

D Cx Bx

Ax

x

+++=2

3

σ

)23()23(2

2

G Fx Ex C Bx Ax y xy ++-++-=τ

??

?

?

??

???

-=-+-=++-=??????

??????

?

????????

???

=-=====

==-=??????????????????=======???-=-=-=-=-===)236(534622320

100002

23020)(0)(0)(0

)(0)(0)()(23

332

3333

2/2

/02/2/02/2/02/2/2/2/b q x b q y x

b q x b q xy b q q x b q x b

q K b

q H G F

E q D b q C B b

q A xdx dx dx q xy y x

b b y y b b y yx b b y y b x xy b x x b x xy b x x τσσστστστσ

《岩体力学基础》习题

一、绪论

一、解释下例名词术语

岩体力学：是研究岩体在各种力场作用下变形与破坏规律的理论及其实际的科学，是一应用型基础学科。

1、岩块：岩块是指不含显著结构面的岩石块体，是构成岩体的最小岩石单元体。这一定义的显著一词是个比较模糊的说法，一般来说，能将岩体切割开来的分界面叫显著结构面，而包含在岩石块体内的结合比较牢固的面如微层面、微裂隙等都属于不显著的结构面。在国内外，有些学者把岩块称为结构体、岩石材料及完整岩石等等。

4、结构面：其是指地质历史发展过程中，在岩体内形成的具有一定的延伸方向和长度、厚度相对较小的地质面或带。它包括物质分异面和不连续面，如层面、不整合、节理面、断层、片理面等，国内外一些文献中又称为不连续面或节理。

5、节理密度：反映结构发育的密集程度，常用线密度、间距等指标表示。 7、节理粗糙度系数JRC ：用纵刻面仪测出用以表征结构面粗糙程度的参数；

8、节理壁抗压强度JCS ：用施密特锤方法用来衡量节理壁抗压能力的参数；

10、岩体：岩体是指在地质历史过程中形成的，由岩石单元体和结构面网络组成的，具有一定的结构并赋存于一定的天然应力状态和地下水等地质环境中的地质体，国内外一些文献中也有称为岩石的。

11、结构体：岩体中被结构面切割围限的岩石块体。

13、岩体完整性系数K v ：其是指岩体纵波速度和岩块纵波速度之比的平方，用公式表示：2

)(

rp

mp V V V K

14、岩石质量指标RQD ：大于10cm 的岩心累计长度与钻孔进尺长度之比的百分数。

(7) 怎样用软化系数评价岩体的软化？

答；研究表明：岩石的软化性取决于岩石的矿物组成与空隙性，当岩石中含有较多的亲水性和可溶性矿物，且含大开空隙较多时，岩石的软化性较强，软化系数较小，如粘土岩，泥质胶结的砂岩，砾岩和泥灰岩等岩石，软化性较强，软化系数一般为0.4~0.6，甚至更低。岩石的软化系数都小于1.0，说明岩石都有不同程度的软化性，一般认为：化系数中KR>0.75时，岩石的软化性弱，同时也说明岩石的抗冻性和抗风化能力强，而KR<0.75的岩石则是软化性较强和工程地质性质较差的岩石。

(8) 按岩体力学的观点，岩体具有什么样的力学特征？ 答：非均质、非连续、各向异性和非线弹性；

(12) 怎样确定节理粗糙度系数JRC ？

答：在实际工作中，可用结构面纵剖面仪测出所研究结构面的粗糙剖面，然后与标准剖面进行对比，即可求得结构面的粗糙系数JRC ；

3、岩石的水理性质：岩石在水溶液作用下表现出来的性质，称为水理性质，主要有吸水性，软化

性，抗冻性及渗透性等。

4、岩石的密度：岩石密度是指单位体积内岩石的质量，单位为g/cm 3

。

14、岩石的软化系数：岩石浸水饱和后强度降低的性质，称为软化性，用软化系数KR 表示，KR 定义为岩石试件的饱和抗压强度与干抗压强度的比值；

16、岩石的透水性：在一定的水力梯度或压力差作用下，岩石能被水透过的性质，称为透水性。 17、岩石的渗透系数：渗透系数是表征岩石透水性的重要指标，其在数值上等于水力梯度为1时的渗透流速。

1、岩石的强度：岩石在达到破坏前所能承受的最大应力；

2、岩石的抗压强度：在单向压缩条件下，岩块能承受的最大压应力，也叫单轴极限抗压强度；

3、峰值强度：岩石完全破坏时的应力值；即试件承载力达到最大时的应力值； 5、岩石的抗拉强度：岩石试件在单向拉伸时能承受的最大拉应力；

6、岩石的抗剪强度：在剪切荷载作用下，岩块抵抗剪切破坏的最大剪应力；

7、巴西试验：为了测定岩石抗拉强度而进行的劈裂试验；

8、劈裂破坏试验：用圆柱体或立方体试件，横置于压力机的承压板上，且在试件上、下承压面上各放一根垫条，然后以一定的加荷速率加压，直到试件破坏从而测出岩石抗拉强度的试验；

9、倾斜板剪切试验：将立方体试件，置于倾斜板剪切夹具中，然后在压力机上加压直至试件沿预定的剪切面破坏从而求出岩石抗剪强度的一种试验方法；

10、点荷载试验：将试件放在点荷载仪中的球面压头间，然后通过油泵加压至试件破坏，利用破坏时的荷载大小可计算求得岩块的最大拉应力的一种试验方法；

16、端部效应：试件试验时端面条件对岩块强度的影响，其产生原因一般认为是由于试件端面与压力机板间的磨擦作用，改变了试件内部的应力分布和破坏方式，进而影响岩块的强度；

17、直剪试验：将试件放在直剪仪上，试验时，先在试件上施加法向压力，然后在水平方向逐级施加水平剪力，直到试件破坏从而求得试件抗剪强度的试验方法；

(1) 在岩石的单轴压缩试验中，试件的高径比、尺寸、加载速率怎样影响岩石的强度？

答：一般说来，高径比越大，岩石的强度越低；试件尺寸越大，岩石强度越低；加荷速率越大，岩石的强度越大；

(2) 请描述岩石单轴抗压强度试验的制样、试验、资料整理的过程和计算方法。

答：试件用圆柱形或立方柱形，试件的断面尺寸，圆柱形试件尺寸直径D=5cm ，也有采用7mm ，立方体柱状试件，采用5cm ×5cm 或7cm ×7cm 的断面，试件的高度h 应满足下列要求：

圆柱形试件： h=(2~2.5)D D 为试件的横断在直径；

立方柱形试件：h=(2~2.5)

A A 为试件的横断面面积：

试件两端应当平整光滑，为此可用石膏将它磨光，有时也可用混有碎粘土的液体硫磺进行磨光，试验时以每秒0.5~0.8Mpa 的加荷速率加荷，直到试件破坏，最后用公

R c =P/A 计算抗压强度；

式中：R c :岩石单轴抗压强度；P:岩石试件破坏时的荷载；A ：试件的横断面面积； (3) 请描述岩石单轴抗拉强度劈裂法试验的制样、试验、资料整理的过程和计算方法。

答：试件中常用圆柱体或立方体形状，试验时沿着圆柱体的直径方向施加集中荷载，试件受力后可能沿着受力方向的直径裂开，试验资料的整理可按弹性力学来解，根据弹性力学公式可知，这时沿着垂直方向产生几乎均匀的水平向的拉应力，这些应力的平均值为：σx =DL

P

π2 ① 而在试样的水平向直

径平面内，产生最大的压应力为（在圆柱形的中心处）：σx =

DL

P

π6 ② 可以看出，圆柱形试样的压应

力只有拉应力的三倍，但岩石的抗压强度往往是抗拉强度的10倍，这就说明岩石试样在这种条件下总

是受拉破坏而不是受压破坏，所以吸需在①式中用P max 代替P 即得抗拉强度R t =DL

P πmax

2，试样为立方体

时，R t =

2

max

2a

P π；

(4) 请描述岩石点荷载试验的制样、试验、资料整理的过程和计算方法。

答：以一段长度为直径1~1.4倍的圆柱状岩蕊，在其中部对称的两点上施加点荷载至破坏，破坏方式是岩蕊通常沿纵截面，有时沿横截面被劈裂，也可以沿岩蕊的轴向在中心线上两点施加荷载使岩蕊劈裂，单轴抗拉和抗压强度计划处公式如下：

单轴抗拉强度计算公式：S t =K ×I s =K

2

D

P

单轴抗压强度计算公式：S c =(22.8~23.7)I S(50)

(5) 请描述岩石倾斜板剪切试验的制样、试验、资料整理的过程和计算方法。

答：试件尺寸为10cm ×10cm ×5cm ，最大的有达30cm ×30cm ×30cm 的，试验时采用多个试件，在楔形剪切仪上进行试验，分别以不同的角度进行，对应于一个角度得出一组σ和тf 值；

σ=A P （cos α+sin α）

тf =

A

P (sin α-fcos α)绘制тf-σ曲线，当σ变化范围圈套时，тf -σ为一条曲线，但当σ〈10 Mpa

时可视为直线，可求出c 和Ф值；

三、 计算题

(1) 在劈裂法测定岩石单轴抗拉强度的试验中，采用的立方体岩石试件的边长为5cm ，一组平行试

验得到的破坏荷载分别为16.7、17.2、17.0kPa ，试求其抗拉强度。

解：由公式σt =

2

2a

p t

π得

σt1=

2

)

105(10

7.1623

???π=4.25Mpa ；

σt2=

2

)

105(10

2.1723

???π=4.38Mpa ； σt3=

2

)

105(10

0.1723

???π=4.33Mpa ；

则所求抗拉强度：σt =3

33

.438.425.4++=4.32Mpa ；

解：因为K=0.96，P t 、D 为上表数据，由公式σt =K I s =K

2

D

p t 代入上述数据依次得：

σt =0.83、0.99、1.07、1.01、0.77、0.87、1.04、0.91； 求平均值有σt =0.94Mpa ；

(3) 试导出倾斜板法抗剪强度试验的计算公式。

解：

如上图所示：根据平衡条件有： Σx=0

τ-p sin α/A -p f cos α/A =0 τ=p (sin α- f cos α)/A Σy=0

σ-p cos α-p f sin α=0 σ=p (cos α+ f sin α)

式中：P 为压力机的总垂直力；

σ为作用在试件剪切面上的法向总压力； τ为作用在试件剪切面上的切向总剪力；

f 为压力机整板下面的滚珠的磨擦系数； α为剪切面与水平面所成的角度； 则倾斜板法抗剪强度试验的计算公式为: σ=

A P （cos α+ f sin α） τf =

A

P （ sin α- f cos α）

(4) 倾斜板法抗剪强度试验中，已知倾斜板的倾角α分别为30o、40o、50o、和60o，如果据经验估计岩石的力学参数c=15kPa ，υ=31o，试估计各级破坏荷载值。(f =0.01)

解：已知α分别为30o、40o、50o、和60o，c=15kPa ，υ=31o，f =0.01，

τf =σtg Ф+c ① σ=A P （cos α+ f sin α） ② τf =

A

P （ sin α- f cos α） ③

由公式①②③，代入上述数据，计算得： （

A

P ）30=-61.5 pa 、（

A

P ）40=87.7kpa 、（

A

P ）30=40.7kpa 、（

A

P ）30=27.0Kpa

(5) 试导出σt 、σc 、c 、υ的相互关系。 解：如图：

1111t 把②代入①式化简得：σt φ

φsin 1cos 2+=c

③

ΔAO 2D ≌ΔAOC 得：

c

r 2=

1

211csc φ?++c r r AO

2

112

csc csc 1r r r r ++=

φφ ∵ r 1=σt

/2 r 2=σc /2

)1(csc )1(csc +=-φσφσt c ④

把④代入③得： φ

φσsin 1cos 2-=c

c

(7) 某岩石的单轴抗压强度为164.5MPa ，υ=35.2°，如果在侧压力σ3=40.8MPa 下作三轴试验，请估计破坏时的轴向荷载是多少？

解：已知如图所示：

ΔAOC ≌ΔABC 得：c

r 1=

AF

AC

即：

c

r 1=

φ

φcsc 1?+?c r ctg c 因为：r 1=82.25 MPa ，υ=35.2°，

所以求得：c=42.64 MPa 所以：AO= φctg c ?=60.45 MPa

ΔABC ≌ΔADE 得：2

1r r =AE

AC =2

18.40r AO r ctg c +++?φ

解得：r 2=137.76 MPa

所以σ1=40.8+2×137.76=316.32 MPa (8)岩石抗压强度是它的抗拉强度的多少倍？ 解：由上述题(5)知：σt φ

φsin 1cos 2+=c

φ

φσsin 1cos 2-=c

c

故

φφφ

φφ

φ

σσsin 1sin 1sin 1cos 2sin 1cos 2-+=

+-=

c

c

t

c 根据此式点绘的图如下：

五、岩石的变形特征 一、 解释下例名词术语

1、刚性压力机：用伺服系统来获得试件全过程曲线的压力机；

2、全过程曲线：反映单轴压缩岩石试件在破裂前后全过程的应力应变关系的曲线；

3、初始模量：应力—应变曲线在原点处的切线斜率；

4、切线模量：应力—应变曲线直线段的斜率；

5、割线模量：从应力—应变曲线的原点到初始裂点连线的斜率；

6、泊松比：是指在单轴压缩条件下，横向应变与轴向应变之比，即μ=

l

d

εε-；

7、弹性滞后：多数岩石的大部分弹性变形在卸荷后能很快恢复，而小部分（约10%~20%）须经过一段时间才能恢复，这种现象称为弹性滞后；

8、塑性滞环：岩石在循环荷载条件下，每次加荷，卸荷曲线都不重合，且围成一环形面积，即塑性滞环；

12、疲劳强度：岩块在高于弹性极限的某一应力下反复加载、卸载时将导致试件进一步的变形，发生破坏时的应力低于单轴抗压强度，这一应力称为疲劳强度；

13、岩石的流变性：岩石的变形和应力受时间因素的影响，在外部条件不变的情况下，岩石的变形或应力随时间而变化的现象叫流变；

14、蠕变：岩石在恒定的荷载作用下，变形随时间逐渐增大的性质；

15、松驰：岩石在长期的应力作用下，强度渐渐变小的性质称之为松弛；

16、初始蠕变：在本阶段内，蠕变曲线呈下凹型，特点是应变最初随时间增大较快，但其应变率随时迅速递减到B 点达到最小值；

17、等速蠕变：本阶段内，曲线呈近似直线，即应变随时间近似等速增加，直到C 点；

18、加速蠕变：本阶段蠕变加速发展直到岩石破坏；

19、长期强度：把出现加速蠕变的最低应力值称为长期强度；

20、力学介质模型：用已知边与变形关系的简单元件来描述固体物质在受力条件下的变形特征；用于模拟某种物质的力学性质而用其它具有相似性质的材料建立的模型；

（Ⅱ）弹性变形至微破裂稳定发展阶段AC ），据其变形机理又可细分弹性变形阶段（AB 段）和微破裂稳定发展阶段（BC 段），弹性变形阶段不仅变形随应力成比例增加，而且在很大程度上表现为可恢复的弹性变形，B 点的应力可称为弹性极限。微破裂稳定发展阶段的变形主要表现为塑性变形，试件内开始出现新的微破裂，并随应力增强而逐渐发展，当荷载保持不变时，微破裂也停止发展，这一阶段的上界应力（C 点应力）称为屈服极限；

（Ⅲ）非稳定破裂发展阶段（CD ）；由于破裂过程中造成的应力集中效应显著，即使外荷载保持不变，破裂仍会不断发展，并在某些薄弱部位首先破坏，应力重新分布，其结果又引起次薄弱部位的破坏，

依次进行下去直到试件完全破坏；

（Ⅳ）破坏后阶段（D 点以后阶段）：岩块承载力达到峰值后，其内部结构完全破坏，但试件仍基本保持整体状，到本阶段，裂隙快速发展，交叉且相互联合并形成宏观断裂面，此后，岩块变形主要表现为沿宏观断裂面的块体滑移，试件承载力随变形增大迅速下降，但并不降到零，说明破裂的岩石仍有一定的承载能力；

(3) 简述岩石单轴压缩变形试验的试验方法、过程、和资料整理。

答：试样大多采用圆柱形，一般要求试样的直径为5cm ，高度为10cm ，两端磨平光滑，在侧面粘贴电阻丝片，以便观测变形，用压力机对试样加压，在任何轴向压力下都测量试样的轴向应变和侧向应变，设试样的长度为 l ，直径为d ，试样在荷p 作用下轴向缩短Δl ，侧向膨胀Δd ，则试样的轴向应变为：εy =

l

l ?，以及侧向应变为：εx =

d

d ?，试样面积为A ，则σ=

A

p ，根据数据绘制应力-应变曲线；

(4) 简述三轴条件下岩石的变形特征。

答：首先，破坏前岩块的应变随围压增大而增加，另外：随围压增大，岩块的塑性也不断增大，且似等速增加，直到C 点；

（Ⅲ）加速蠕变阶段（CD 段）：至本阶段蠕变加速发展至岩块破坏（D 点）； (6)

三、计算题

(1) 试导出体积应变计算式：εv =εa -2ε

c

解：如上图所示得：

V=πc 2

a/4

V /=π×(c+Δc)2

×(a+Δa)/4 则εv =

V

/

V -V =

a/4a)/4

(a c)(c -a/4c 2

2

2c πππ?+??+

=

a

a ?+c

c ?2+

c

a a c ????2+22

c

c ?+

2

2

ac

a c ???

由于

c

a a c ????2、

2

2

c

c ?、

2

2

ac

a c ???相对很小可忽略不计，所以

εv =

a

a

?+

c c

?2=εa -2 εc

(2) 岩石变形实验数据如下，a. 作应力应变曲线(εa 、εc 、εv )；b. 求初始模量、切线模量、50%

σc

v a c

得：ε

v `

=250、175、200、260、330、712、713

则初始模量：E i =i

i εσ=

188

16=0.085

切线模量： E t =

1212εεσσ--=

740

9306277--=

190

15=0.079

割线模量： E s =50

50εσ=

930

77=0.083

泊松比：μ=

a

c

εε-=

39

.99048.319-=-0.32

2、破坏判据(强度准则)：用以表征岩石破坏条件的应力状态与岩石强度参数间的函数关系，称为破坏判据；

3、脆性破坏：即岩石在荷载作用下没有显著觉察的变化就突然破坏的破坏形式；

4、塑性破坏：岩石在破坏之前的变形很大，且没有明显的破坏荷载，表现出显著的塑性变形，流动或挤出，这种破坏称为塑性破坏；

5、张性破坏：岩石在拉应力的作用下，内部连接被破坏，出现了与荷载方向平行的断裂；

6、剪切破坏：岩石在荷载作用下，当剪应力大于该面上的抗剪强度时，岩石发生的破坏称为剪切破坏；

7、流动破坏：通常各种塑性很好的岩石，在荷载作用下，产生巨大的塑性变形或称之为流动，而破坏的形式；

8、莫尔强度理论：指材料在极限状态下，剪切面上的剪应力就达到了随法向应力和材料性质而定的极限值；

10、格里菲斯强度理论：实际的固体在结构构造上既不是绝对均匀的，也不是绝对连续的，其内部包含有大量的微裂纹和微孔洞，这种固体在外力作用下，即使作用的平均应力不大，但由于微裂纹或微孔洞边缘上的应力集中，很可能在边缘局部产生很大的拉应力，当这种拉应力达到或超过强度时，微裂纹便开始扩展，当许多这种的微裂纹扩展、迁就、联合时，最后使固体沿某一个或若干个平面或曲面形成宏观破裂；

二、 计算题

(1) 导出莫尔–库伦强度准则。

解：设岩石内任一点的剪应力为τ，剪切强度为τf ，由于：?στtg c +=，对于平面问题，如已知岩石内一点的两个主应力σ

1

和σ

3，

利用莫尔圆可以表示岩石内任一点的应力状态为：

ασσσσσ2c o s 2

2

3

13

1-+

+=

，ασστ2sin 2

3

1-=

。

将上式代入?στtg c +=得：

()[]

()

ααα?ασσ2cos 12sin 2cos 12sin 231+--++=

tg tg c

在破坏面上，0

902-=α?，所以可推得莫尔–库伦强度准则为：?

σσσσ?cctg 2sin 313

1++-≤

；

或 ()

?

?σ?σs i n 1s i n 1c o s 231-++≤

c

(3) 对岩石试样作卸载试验，已知C=12kPa ，υ=36o，当σ1=200MPa 时，按莫尔–库伦判据，

卸载达到破坏的最大围压σ3是多少？

解：按莫尔–库论判据：()

?

?σ?σsin 1sin 1cos 231-++=c ，

C=12kPa ，υ=36o，σ1=200MPa 。

代入上式得σ3=51.91MPa 。