初三圆经典真题及答案详解
圆经典重难点真题
一.选择题(共10小题)
1.(2015?安顺)如右图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂
足为E,∠A=22.5°,OC=4,CD的长为()
A.2 B.4 C.4D.8
2.(2015?酒泉)△ABC为⊙O的内接三角形,若∠AOC=160°,
则∠ABC的度数是()
A.80°B.160°C.100°D.80°或100°
3.(2015?兰州)如右图,已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于
A、B两点,点C是劣弧OB上一点,则∠ACB=()
A.80°B.90°C.100°D.无法确定
4.(2015?包头)如右图,在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=4,将
△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE,点B经过的
路径为,则图中阴影部分的面积为()
A.πB.πC.πD.π
5.(2015?黄冈中学自主招生)如右图,直径为10的⊙A经过点C
(0,5)和点O(0,0),B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC
的正弦值为()
A.B.C.D.
6.(2015?黄冈中学自主招生)将沿弦BC折叠,交直径
AB于点D,若AD=4,DB=5,则BC的长是()
A.3 B.8 C. D.2
7.(2015?齐齐哈尔)如图,两个同心圆,大圆的半径为5,
小圆的半径为3,若大圆的弦AB与小圆有公共点,则弦AB的取值范围是()A.8≤AB≤10 B.8<AB≤10 C.4≤AB≤5 D.4<AB≤5
8.(2015?衢州)如右图,已知△ABC,AB=BC,以AB
为直径的圆交AC于点D,过点D的⊙O的切线交BC于
点E.若CD=5,CE=4,则⊙O的半径是()
A.3 B.4 C.D.
9.(2014?舟山)如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,
且CE=2,DE=8,则AB的长为()
A.2 B.4 C.6 D.8
10.(2015?海南)如右图,将⊙O沿弦AB折叠,圆弧恰好经过圆
心O,点P是优弧上一点,则∠APB的度数为()
A.45°B.30°C.75°D.60°
二.填空题(共5小题)
11.(2015?黔西南州)如右图,AB是⊙O的直径,CD为⊙O
的一条弦,CD⊥AB于点E,已知CD=4,AE=1,则⊙O的半径
为.
12.(2015?宿迁)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
若∠C=130°,则∠BOD=°.
13.(2015?南昌)如图,点A,B,C在⊙O上,CO的延长线交AB于点D,∠A=50°,∠B=30°,则∠ADC的度数为.
14.(2015?青岛)如图,圆内接四边形ABCD两组对边的延
长线分别相交于点E,F,且∠A=55°,
∠E=30°,则∠F=.
15.(2015?甘南州)如图,AB为⊙O的弦,⊙O的半径为5,
OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,且CD=1,则弦AB的长是.
三.解答题(共5小题)
16.(2015?永州)如图,已知△ABC内接于⊙O,且AB=AC,直径AD交BC于点
E,F是OE上的一点,使CF∥BD.
(1)求证:BE=CE;
(2)试判断四边形BFCD的形状,并说明理由;
(3)若BC=8,AD=10,求CD的长.
17.(2015?安徽)在⊙O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,
点Q在⊙O上,且OP⊥PQ.
(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长度;
(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.
18.(2015?滨州)如图,⊙O的直径AB的长为10,弦AC的长为5,∠ACB的平
分线交⊙O于点D.
(1)求的长.
(2)求弦BD的长.
19.(2015?丹东)如图,AB是⊙O的直径,=,连接ED、BD,延长AE交
BD的延长线于点M,过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C.
(1)若OA=CD=2,求阴影部分的面积;
(2)求证:DE=DM.
20.(2014?湖州)已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点
C,D(如图).
(1)求证:AC=BD;
(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆O到直线AB的距离为6,求AC的长.
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.(2015?安顺)如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠A=22.5°,OC=4,CD 的长为()
A.2 B.4 C.4D.8
【考点】垂径定理;等腰直角三角形;圆周角定理.
【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°,由于⊙O的直径AB垂直于弦CD,根据垂径定理得CE=DE,且可判断△OCE为等腰直角三角形,所以CE=OC=2,然后利用
CD=2CE进行计算.
【解答】解:∵∠A=22.5°,
∴∠BOC=2∠A=45°,
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD,
∴CE=DE,△OCE为等腰直角三角形,
∴CE=OC=2,
∴CD=2CE=4.
故选:C.
【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理.
2.(2015?酒泉)△ABC为⊙O的内接三角形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是()A.80°B.160°C.100°D.80°或100°
【考点】圆周角定理.
【分析】首先根据题意画出图形,由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数,又由圆的内接四边形的性质,即可求得∠ABC的度数.
【解答】解:如图,∵∠AOC=160°,
∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°,
∵∠ABC+∠AB′C=180°,
∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°.
∴∠ABC的度数是:80°或100°.
故选D.
【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质.此题难度不大,注意数形结合思想与分类讨论思想的应用,注意别漏解.
3.(2015?兰州)如图,已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点,点C是劣弧OB上一点,则∠ACB=()
A.80°B.90°C.100°D.无法确定
【考点】圆周角定理;坐标与图形性质.
【分析】由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角,根据圆周角定理,即可求得
∠ACB=∠AOB=90°.
【解答】解:∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角,
∴∠AOB=∠ACB,
∵∠AOB=90°,
∴∠ACB=90°.
故选B.
【点评】此题考查了圆周角定理.此题比较简单,解题的关键是观察图形,得到∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角.
4.(2015?包头)如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=4,将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE,点B经过的路径为,则图中阴影部分的面积为()
A.πB.πC.πD.π
【考点】扇形面积的计算;勾股定理的逆定理;旋转的性质.
【分析】根据AB=5,AC=3,BC=4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状,根据旋转的性质得到△AED的面积=△ABC的面积,得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积,根据扇形面积公式计算即可.
【解答】解:∵AB=5,AC=3,BC=4,
∴△ABC为直角三角形,
由题意得,△AED的面积=△ABC的面积,
由图形可知,阴影部分的面积=△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积,
∴阴影部分的面积=扇形ADB的面积==,
故选:A.
【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理,根据图形得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积是解题的关键.
5.(2015?黄冈中学自主招生)如图,直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0),B 是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC的正弦值为()
A.B.C.D.
【考点】圆周角定理;坐标与图形性质;锐角三角函数的定义.
【分析】首先连接AC,OA,由直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0),可得△OAC 是等边三角形,继而可求得∠OAC的度数,又由圆周角定理,即可求得∠OBC的度数,则可求得答案.
【解答】解:连接AC,OA,
∵点C(0,5)和点O(0,0),
∴OC=5,
∵直径为10,
∴AC=OA=5,
∴AC=OA=OC,
∴△OAC是等边三角形,
∴∠OAC=60°,
∴∠OBC=∠OAC=30°,
∴∠OBC的正弦值为:sin30°=.
故选A.
【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数的知识.此题难度不大,解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法.
6.(2015?黄冈中学自主招生)将沿弦BC折叠,交直径AB于点D,若AD=4,DB=5,则BC的长是()
A.3 B.8 C. D.2
【考点】圆周角定理;翻折变换(折叠问题);射影定理.
【专题】计算题.
【分析】若连接CD、AC,则根据同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弦相等,求得AC=CD;过C作AB的垂线,设垂足为E,则DE=AD,由此可求出BE的长,进而可在Rt△ABC
中,根据射影定理求出BC的长.
【解答】解:连接CA、CD;
根据折叠的性质,知所对的圆周角等于∠CBD,
又∵所对的圆周角是∠CBA,
∵∠CBD=∠CBA,
∴AC=CD(相等的圆周角所对的弦相等);
∴△CAD是等腰三角形;
过C作CE⊥AB于E.
∵AD=4,则AE=DE=2;
∴BE=BD+DE=7;
在Rt△ACB中,CE⊥AB,根据射影定理,得:
BC2=BE?AB=7×9=63;
故BC=3.
故选A.
【点评】此题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及射影定理;能够根据圆周角定理来判断出△ACD是等腰三角形,是解答此题的关键.
7.(2015?齐齐哈尔)如图,两个同心圆,大圆的半径为5,小圆的半径为3,若大圆的弦AB与小圆有公共点,则弦AB的取值范围是()
A.8≤AB≤10 B.8<AB≤10 C.4≤AB≤5 D.4<AB≤5
【考点】直线与圆的位置关系;勾股定理;垂径定理.
【分析】此题可以首先计算出当AB与小圆相切的时候的弦长.连接过切点的半径和大圆的一条半径,根据勾股定理和垂径定理,得AB=8.若大圆的弦AB与小圆有公共点,即相切或相交,此时AB≥8;又因为大圆最长的弦是直径10,则8≤AB≤10.
【解答】解:当AB与小圆相切,
∵大圆半径为5,小圆的半径为3,
∴AB=2=8.
∵大圆的弦AB与小圆有公共点,即相切或相交,
∴8≤AB≤10.
故选:A.
【点评】本题综合考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理.此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长,再进一步分析有公共点时的弦长.
8.(2015?衢州)如图,已知△ABC,AB=BC,以AB为直径的圆交AC于点D,过点D的⊙O的切线交BC于点E.若CD=5,CE=4,则⊙O的半径是()
A.3 B.4 C.D.
【考点】切线的性质.
【专题】压轴题.
【分析】首先连接OD、BD,判断出OD∥BC,再根据DE是⊙O的切线,推得DE⊥OD,所以DE⊥BC;然后根据DE⊥BC,CD=5,CE=4,求出DE的长度是多少;最后判断出BD、AC的关系,根据勾股定理,求出BC的值是多少,再根据AB=BC,求出AB的值是多少,即可求出⊙O的半径是多少.
【解答】解:如图1,连接OD、BD,,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴BD⊥AC,
又∵AB=BC,
∴AD=CD,
又∵AO=OB,
∴OD是△ABC的中位线,
∴OD∥BC,
∵DE是⊙O的切线,
∴DE⊥OD,
∴DE⊥BC,
∵CD=5,CE=4,
∴DE=,
∵S△BCD=BD?CD÷2=BC?DE÷2,
∴5BD=3BC,
∴,
∵BD2+CD2=BC2,
∴,
解得BC=,
∵AB=BC,
∴AB=,
∴⊙O的半径是;
.
故选:D.
【点评】此题主要考查了切线的性质,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①圆的切线垂直于经过切点的半径.②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
9.(2014?舟山)如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8,则AB的长为()
A.2 B.4 C.6 D.8
【考点】垂径定理;勾股定理.
【专题】计算题.
【分析】根据CE=2,DE=8,得出半径为5,在直角三角形OBE中,由勾股定理得BE,根据垂径定理得出AB的长.
【解答】解:∵CE=2,DE=8,
∴OB=5,
∴OE=3,
∵AB⊥CD,
∴在△OBE中,得BE=4,
∴AB=2BE=8.
故选:D.
【点评】本题考查了勾股定理以及垂径定理,是基础知识要熟练掌握.
10.(2015?海南)如图,将⊙O沿弦AB折叠,圆弧恰好经过圆心O,点P是优弧上一点,则∠APB的度数为()
A.45°B.30°C.75°D.60°
【考点】圆周角定理;含30度角的直角三角形;翻折变换(折叠问题).
【专题】计算题;压轴题.
【分析】作半径OC⊥AB于D,连结OA、OB,如图,根据折叠的性质得OD=CD,则OD=OA,
根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OAD=30°,接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°,
然后根据圆周角定理计算∠APB的度数.
【解答】解:作半径OC⊥AB于D,连结OA、OB,如图,
∵将⊙O沿弦AB折叠,圆弧恰好经过圆心O,
∴OD=CD,
∴OD=OC=OA,
∴∠OAD=30°,
而OA=OB,
∴∠CBA=30°,
∴∠AOB=120°,
∴∠APB=∠AOB=60°.
故选D.
【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质.
二.填空题(共5小题)
11.(2015?黔西南州)如图,AB是⊙O的直径,CD为⊙O的一条弦,CD⊥AB于点E,
已知CD=4,AE=1,则⊙O的半径为.
【考点】垂径定理;勾股定理.
【分析】连接OC,由垂径定理得出CE=CD=2,设OC=OA=x,则OE=x﹣1,由勾股定理
得出CE2+OE2=OC2,得出方程,解方程即可.
【解答】解:连接OC,如图所示:
∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,
∴CE=CD=2,∠OEC=90°,
设OC=OA=x,则OE=x﹣1,
根据勾股定理得:CE2+OE2=OC2,
即22+(x﹣1)2=x2,
解得:x=;
故答案为:.
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、解方程;熟练掌握垂径定理,并能进行推理计算是解决问题的关键.
12.(2015?宿迁)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠C=130°,则∠BOD=100°.
【考点】圆周角定理;圆内接四边形的性质.
【专题】计算题.
【分析】先根据圆内接四边形的性质得到∠A=180°﹣∠C=50°,然后根据圆周角定理求
∠BOD.
【解答】解:∵∠A+∠C=180°,
∴∠A=180°﹣130°=50°,
∴∠BOD=2∠A=100°.
故答案为100.
【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了圆内接四边形的性质.
13.(2015?南昌)如图,点A,B,C在⊙O上,CO的延长线交AB于点D,∠A=50°,∠B=30°,则∠ADC的度数为110°.
【考点】圆周角定理.
【分析】根据圆周角定理求得∠BOC=100°,进而根据三角形的外角的性质求得∠BDC=70°,然后根据邻补角求得∠ADC的度数.
【解答】解:∵∠A=50°,
∴∠BOC=2∠A=100°,
∵∠B=30°,∠BOC=∠B+?BDC,
∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°,
∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°,
故答案为110°.
【点评】本题考查了圆心角和圆周角的关系及三角形外角的性质,圆心角和圆周角的关系是解题的关键.
14.(2015?青岛)如图,圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E,F,且∠A=55°,
∠E=30°,则∠F=40°.
【考点】圆内接四边形的性质;三角形内角和定理.
【专题】计算题.
【分析】先根据三角形外角性质计算出∠EBF=∠A+∠E=85°,再根据圆内接四边形的性质计算出∠BCD=180°﹣∠A=125°,然后再根据三角形外角性质求∠F.
【解答】解:∵∠A=55°,∠E=30°,
∴∠EBF=∠A+∠E=85°,
∵∠A+∠BCD=180°,
∴∠BCD=180°﹣55°=125°,
∵∠BCD=∠F+∠CBF,
∴∠F=125°﹣85°=40°.
故答案为40°.
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补;圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.也考查了三角形外角性质.
15.(2015?甘南州)如图,AB为⊙O的弦,⊙O的半径为5,OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,且CD=1,则弦AB的长是6.
【考点】垂径定理;勾股定理.
【专题】压轴题.
【分析】连接AO,得到直角三角形,再求出OD的长,就可以利用勾股定理求解.
【解答】解:连接AO,
∵半径是5,CD=1,
∴OD=5﹣1=4,
根据勾股定理,
AD===3,
∴AB=3×2=6,
因此弦AB的长是6.
【点评】解答此题不仅要用到垂径定理,还要作出辅助线AO,这是解题的关键.
三.解答题(共5小题)
16.(2015?永州)如图,已知△ABC内接于⊙O,且AB=AC,直径AD交BC于点E,F
是OE上的一点,使CF∥BD.
(1)求证:BE=CE;
(2)试判断四边形BFCD的形状,并说明理由;
(3)若BC=8,AD=10,求CD的长.
【考点】垂径定理;勾股定理;菱形的判定.
【分析】(1)证明△ABD≌△ACD,得到∠BAD=∠CAD,根据等腰三角形的性质即可证明;(2)菱形,证明△BFE≌△CDE,得到BF=DC,可知四边形BFCD是平行四边形,易证BD=CD,可证明结论;
(3)设DE=x,则根据CE2=DE?AE列方程求出DE,再用勾股定理求出CD.
【解答】(1)证明:∵AD是直径,
∴∠ABD=∠ACD=90°,
在Rt△ABD和Rt△ACD中,
,
∴Rt△ABD≌Rt△ACD,
∴∠BAD=∠CAD,
∵AB=AC,
∴BE=CE;
(2)四边形BFCD是菱形.
证明:∵AD是直径,AB=AC,
∴AD⊥BC,BE=CE,
∵CF∥BD,
∴∠FCE=∠DBE,
在△BED和△CEF中
,
∴△BED≌△CEF,
∴CF=BD,
∴四边形BFCD是平行四边形,
∵∠BAD=∠CAD,
∴BD=CD,
∴四边形BFCD是菱形;
(3)解:∵AD是直径,AD⊥BC,BE=CE,
∴CE2=DE?AE,
设DE=x,
∵BC=8,AD=10,
∴42=x(10﹣x),
解得:x=2或x=8(舍去)
在Rt△CED中,
CD===2.
【点评】本题主要考查了圆的有关性质:垂径定理、圆周角定理,三角形全等的判定与性质,菱形的判定与性质,勾股定理,三角形相似的判定与性质,熟悉圆的有关性质是解决问题的关键.
17.(2015?安徽)在⊙O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在⊙O上,且OP⊥PQ.
(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长度;
(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.
【考点】圆周角定理;勾股定理;解直角三角形.
【专题】计算题.
【分析】(1)连结OQ,如图1,由PQ∥AB,OP⊥PQ得到OP⊥AB,在Rt△OBP中,利用正切定义可计算出OP=3tan30°=,然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ=;
(2)连结OQ,如图2,在Rt△OPQ中,根据勾股定理得到PQ=,则当OP的长
最小时,PQ的长最大,根据垂线段最短得到OP⊥BC,则OP=OB=,所以PQ长的最大
值=.
【解答】解:(1)连结OQ,如图1,
∵PQ∥AB,OP⊥PQ,
∴OP⊥AB,
在Rt△OBP中,∵tan∠B=,
∴OP=3tan30°=,
在Rt△OPQ中,∵OP=,OQ=3,
∴PQ==;
(2)连结OQ,如图2,
在Rt△OPQ中,PQ==,
当OP的长最小时,PQ的长最大,
此时OP⊥BC,则OP=OB=,
∴PQ长的最大值为=.
【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了勾股定理和解直角三角形.
18.(2015?滨州)如图,⊙O的直径AB的长为10,弦AC的长为5,∠ACB的平分线交⊙O于点D.
(1)求的长.
(2)求弦BD的长.
【考点】圆周角定理;含30度角的直角三角形;等腰直角三角形;弧长的计算.
【分析】(1)首先根据AB是⊙O的直径,可得∠ACB=∠ADB=90°,然后在Rt△ABC中,求出∠BAC的度数,即可求出∠BOC的度数;最后根据弧长公式,求出的长即可.
(2)首先根据CD平分∠ACB,可得∠ACD=∠BCD;然后根据圆周角定理,可得
∠AOD=∠BOD,所以AD=BD,∠ABD=∠BAD=45°;最后在Rt△ABD中,求出弦BD的长是多少即可.
【解答】解:(1)如图,连接OC,OD,,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°,
在Rt△ABC中,
∵,
∴∠BAC=60°,
∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°,
∴的长=.
(2)∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD,
∴∠AOD=∠BOD,
∴AD=BD,
∴∠ABD=∠BAD=45°,
在Rt△ABD中,
BD=AB×sin45°=10×.
【点评】(1)此题主要考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半,要熟练掌握.
(2)此题还考查了含30度角的直角三角形,以及等腰直角三角形的性质和应用,要熟练掌握.
(3)此题还考查了弧长的求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①弧长公式:
l=(弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为R).②在弧长的计算公式中,n是表示1°的圆心角的倍数,n和180都不要带单位.
19.(2015?丹东)如图,AB是⊙O的直径,=,连接ED、BD,延长AE交BD的延
长线于点M,过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C.
(1)若OA=CD=2,求阴影部分的面积;
(2)求证:DE=DM.
【考点】切线的性质;扇形面积的计算.
【专题】证明题.
【分析】(1)连接OD,根据已知和切线的性质证明△OCD为等腰直角三角形,得到
∠DOC=45°,根据S阴影=S△OCD﹣S扇OBD计算即可;
(2)连接AD,根据弦、弧之间的关系证明DB=DE,证明△AMD≌△ABD,得到DM=BD,得到答案.
【解答】(1)解:如图,连接OD,
∵CD是⊙O切线,
∴OD⊥CD,
∵OA=CD=2,OA=OD,
∴OD=CD=2,
∴△OCD为等腰直角三角形,
∴∠DOC=∠C=45°,
∴S阴影=S△OCD﹣S扇OBD=﹣=4﹣π;
(2)证明:如图,连接AD,
∵AB是⊙O直径,
∴∠ADB=∠ADM=90°,
又∵=,
∴ED=BD,∠MAD=∠BAD,
在△AMD和△ABD中,
,
∴△AMD≌△ABD,
∴DM=BD,
∴DE=DM.
【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算,掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键,注意辅助线的作法.
20.(2014?湖州)已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图).
(1)求证:AC=BD;
(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆O到直线AB的距离为6,求AC的长.
【考点】垂径定理;勾股定理.
【专题】几何综合题.
【分析】(1)过O作OE⊥AB,根据垂径定理得到AE=BE,CE=DE,从而得到AC=BD;(2)由(1)可知,OE⊥AB且OE⊥CD,连接OC,OA,再根据勾股定理求出CE及AE 的长,根据AC=AE﹣CE即可得出结论.
【解答】(1)证明:过O作OE⊥AB于点E,
则CE=DE,AE=BE,
∴BE﹣DE=AE﹣CE,即AC=BD;
(2)解:由(1)可知,OE⊥AB且OE⊥CD,连接OC,OA,
∴OE=6,
∴CE===2,AE===8,
∴AC=AE﹣CE=8﹣2.
【点评】本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
初三圆经典练习题
圆的概念和性质例2.已知,如图,CD是直径,? = ∠84 EOD,AE交⊙O于B,且AB=OC,求∠A的度数。 例3 ⊙O平面内一点P和⊙O上一点的距离最小为3cm。例4 在半径为5cm的圆中,弦AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm 例6.已知:⊙O的半径0A=1,弦AB、AC的长分别为3 ,2 【考点速练】 1.下列命题中,正确的是() A.三点确定一个圆B.任何一个三角形有且仅有一个外接圆 C.任何一个四边形都有一个外接圆 D.等腰三角形的外心一定在它的外部 2.如果一个三角形的外心在它的一边上,那么这个三角形一定是() A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.钝角三角形 3.圆的内接三角形的个数为()A.1个B.2 C.3个D.无数个 4.三角形的外接圆的个数为()A.1个B.2 C.3个D.无数个 5.下列说法中,正确的个数为() ①任意一点可以确定一个圆;②任意两点可以确定一个圆;③任意三点可以确定一个圆;④经过任一点可以作圆;⑤经过任意两点一定有圆. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( ) A.圆的外部(包括边界); B.圆的内部(不包括边界); C.圆; D.圆的内部(包括边界) 7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( ) A.等于6cm B.等于12cm; C.小于6cm D.大于12cm 8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.如图,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条 11.如图,已知在ABC ?中,? = ∠90 A,A为圆心,AC长为半径画弧交CB的延长线于点D,求CD的长. 12、如图,有一圆弧开桥拱,拱的跨度AB= 13、△ABC中,AB=AC=10,BC=12 14、如图,点P是半径为5的⊙O内一点,且OP=3,在过点P 条数为__。 1、在半径为2的圆中,弦长等于的弦的弦心距为 ____ B P A O
初三数学圆经典例题
一.圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1: 圆的对称性:圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2: 确定圆的条件;圆心和半径 ①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小; ②不在同一条直线上的三点确定一个圆; 考点3: 弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆,优弧、劣弧三种。 (请务必注意区分等弧,等弦,等圆的概念) 弓形:弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高:弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 (请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形,对应两个弓高) 固定的已经不能再固定的方法: 求弦心距,弦长,弓高,半径时通常要做弦心距,并连接圆心和弦的一个端点,得到直角三角形。如下图: 考点4: 三角形的外接圆: 锐角三角形的外心在,直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。 考点5 点和圆的位置关系设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,
则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d >r ;②点在圆上?d=r ;③点在圆? d <r ; 【典型例题】 例1 在⊿ABC 中,∠ACB =90°,AC =2,BC =4,CM 是AB 边上的中线,以点C 为圆心,以5为半径作圆,试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系,并说明你的理由。 例2.已知,如图,CD 是直径,?=∠84EOD ,AE 交⊙O 于B ,且AB=OC ,求∠A 的度数。 例3 ⊙O 平面一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ,最大为8cm ,则这圆的半径是_________cm 。 例4 在半径为5cm 的圆中,弦AB ∥CD ,AB=6cm ,CD=8cm ,则AB 和CD 的距离是多少? 例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ,已知AE=6cm ,EB=2cm, 30=∠CEA , 求CD 的长. 例6.已知:⊙O 的半径0A=1,弦AB 、AC 的长分别为3,2,求BAC ∠的度数. A B D C O · E
初三圆的典型例题
圆典型例题精选 【例题1】如图所示,AB 是圆O 的一条弦,OD AB ⊥,垂足为C ,交圆O 于点D ,点E 在圆O 上.(1)若52AOD ∠=,求DEB ∠的度数; (2)若3OC =,5OA =,求AB 的长. 【例题2】如图,线段AB 经过圆心O ,交圆O 于点A,C ,点D 在圆O 上,连接AD ,BD , ∠A=∠B=30度.BD 是圆O 的切线吗?请说明理由. 【例题3】已知AB 为⊙O 的直径,CD 是弦,且AB ⊥CD 于点E .连接AC 、OC 、BC . (1)请说明:∠ACO=∠BCD . (2)若EB=8cm ,CD=24cm ,求⊙O 的直径. 【例题4】如图,梯形ABCD 内接于⊙O , BC ∥AD ,AC 与BD 相交于点E ,在不添加 任何辅助线的情况下: (1) 图中共有几对全等三角形,请把它们一一写出来,并选择其中 一对全等三角形进行证明. (2) 若BD 平分∠ADC ,请找出图中与△ABE 相似的所有三角形 (全等三角形除外). 【例题5】如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=5,BC=12,⊙O 的半径为3. (1)若圆心O 与C 重合时,⊙O 与AB 有怎样的位置关系? (2)若点O 沿线段CA 移动,当OC 等于多少时,⊙O 与AB 相切? E B D C A O 第 1 题图 图9 E D B A O C
【例题6】推理运算:如图,AB 为圆○直径,CD 为弦,且CD AB ⊥,垂足为H .OCD ∠的平分线CE 交圆○于E ,连结OE . (1)请说明:E 为弧ADB 的中点; (2)如果圆○的半径为1,3CD =,①求O 到弦AC 的距离;②填空:此时圆周上存在 个点到直线AC 的距离为 12 . 【例题7】已知:如图,在△ABC 中,AB=AC ,以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ,与AC ?交于点E ,请说明:△DEC 为等腰三角形. 【例题8】如图,已知⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 为直径,若PA ⊥AB ,PO 过AC 的中点M .试说明:PC 是⊙O 的切线. 【例题9】已知:如图,AB 是⊙O 的切线,切点为A ,OB 交⊙O 于C 且C 为OB 中点,过C 点的弦CD 使∠ACD =45°,弧AD 的长为2 2 π, 求弦AD 、AC 的长. 【例题10】如图所示,ABC △是直角三角形,90ABC ∠=,以AB 为直径的圆○交AC 于点 E ,点D 是BC 边的中点,连结DE . (1)请说明:DE 与圆○相切; (2)若圆O 的半径为3,3DE =,求AE . A B O C P M 图4 A B C D ·O 45° A B D E O C H B D C E A O
新初中数学圆的经典测试题含答案
新初中数学圆的经典测试题含答案 一、选择题 1.中国科学技术馆有“圆与非圆”展品,涉及了“等宽曲线”的知识.因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的,所以圆是“等宽曲线”.除了例以外,还有一些几何图形也是“等宽曲线”,如勒洛只角形(图1),它是分别以等边三角形的征个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间画一段圆弧.三段圆弧围成的曲边三角形.图2是等宽的勒洛三角形和圆. 下列说法中错误的是( ) A .勒洛三角形是轴对称图形 B .图1中,点A 到?BC 上任意一点的距离都相等 C .图2中,勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都相等 D .图2中,勒洛三角形的周长与圆的周长相等 【答案】C 【解析】 【分析】 根据轴对称形的定义,可以找到一条直线是的图像左右对着完全重合,则为轴对称图形.鲁列斯曲边三角形有三条对称轴. 鲁列斯曲边三角形可以看成是3个圆心角为60°,半径为DE 的扇形的重叠,根据其特点可以进行判断选项的正误. 【详解】 鲁列斯曲边三角形有三条对称轴,就是等边三角形的各边中线所在的直线,故正确; 点A 到?BC 上任意一点的距离都是DE ,故正确; 勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都不相等,1O 到顶点的距离是到边的中点的距离的2倍,故错误; 鲁列斯曲边三角形的周长=3×60180DE DE ππ?=? ,圆的周长=22 DE DE ππ?=? ,故说法正确. 故选C. 【点睛】 主要考察轴对称图形,弧长的求法即对于新概念的理解. 2.如图,在ABC ?中,90ABC ∠=?,6AB =,点P 是AB 边上的一个动点,以BP 为
(完整)初三数学有关圆的经典例题
初三数学 有关圆的经典例题 1. 在半径为的⊙中,弦、的长分别为和,求∠的度数。132O AB AC BAC 分析:根据题意,需要自己画出图形进行解答,在画图时要注意AB 与AC 有不同的位置关系。 解:由题意画图,分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论, 当AB 、AC 在圆心O 的异侧时,如下图所示, 过O 作OD ⊥AB 于D ,过O 作OE ⊥AC 于E , ∵,,∴,AB AC AD AE = == = 32322 2 ∵,∴∠,OA OAD AD OA == =132 cos cos ∠OAE AE OA = = 22 ∴∠OAD=30°,∠OAE=45°,故∠BAC=75°, 当AB 、AC 在圆心O 同侧时,如下图所示, 同理可知∠OAD=30°,∠OAE=45°, ∴∠BAC=15° 点拨:本题易出现只画出一种情况,而出现漏解的错误。 例2. 如图:△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上,⊙O 的半径为R ,⊙O 与AC 交于D , 如果点既是的中点,又是边的中点,D AB AC ? (1)求证:△ABC 是直角三角形; ()22 求的值AD BC 分 析 : ()1由为的中点,联想到垂径定理的推论,连结交于,D AB OD AB F ? 则AF=FB ,OD ⊥AB ,可证DF 是△ABC 的中位线;
(2)延长DO 交⊙O 于E ,连接AE ,由于∠DAE=90°,DE ⊥AB ,∴△ADF ∽△,可得·,而,,故可求DAE AD DF DE DF BC DE R AD BC 2 2 122=== 解:(1)证明,作直径DE 交AB 于F ,交圆于E ∵为的中点,∴⊥,D AB AB DE AF FB ? = 又∵AD=DC ∴∥,DF BC DF BC = 12 ∴AB ⊥BC ,∴△ABC 是直角三角形。 (2)解:连结AE ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90° 而AB ⊥DE ,∴△ADF ∽△EDA ∴ ,即·AD DE DF AD AD DE DF ==2 ∵,DE R DF BC ==21 2 ∴·,故AD BC R AD BC R 2 2 == 例3. 如图,在⊙O 中,AB=2CD ,那么( ) A A B CD B AB CD ..?>? ?22 C AB CD D AB CD ..?=??? 22与的大小关系不确定 分析:要比较与的大小,可以用下面两种思路进行:AB CD ?? 2 ()112 把的一半作出来,然后比较与的大小。AB AB CD ?? ? ()222把作出来,变成一段弧,然后比较与的大小。CD CD AB ??? 解:解法(一),如图,过圆心O 作半径OF ⊥AB ,垂足为E ,
九年级上册圆经典题型汇编
九年级上册圆经典题汇总 1、(2013泰安)如图,已知AB是⊙O的直径,AD切⊙O于点A,点C是 的中点,则下列结论不成立的是() A.OC∥AE B.EC=BC C.∠DAE=∠ABE D.AC⊥OE 2、(2013?黔西南州)如图所示,线段AB是⊙O上一点,∠CDB=20°,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E,则∠E等于()
3、(2013?毕节地区)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点O为BC的中点,以O为圆心作⊙O交BC于点M、N,⊙O与AB、AC相切,切点分别为D、E,则⊙O的半径和∠MND的度数分别为() A.2,22.5°B.3,30°C.3,22.5°D.2,30° 4. (2013台湾、17)如图,圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切,且DE 与圆O相切于E点.若圆O的半径为5,且AB=11,则DE的长度为何?() A.5 B.6 C. D. 5、(2013?苏州)如图,AB切⊙O于点B,OA=2,∠OAB=30°,弦BC∥OA,劣弧
的弧长为.(结果保留π) 6、(2013?天津)如图,PA、PB分别切⊙O于点A、B,若∠P=70°,则∠C 的大小为(度). 7、(2013年广东省9分、24)如题24图,⊙O是Rt△ABC的外接 圆,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5, BE⊥DC交DC的延长线于点E. (1)求证:∠BCA=∠BAD; (2)求DE的长; (3)求证:BE是⊙O的切线. 8. (2013?湖州)如图,已知P是⊙O外一点,PO交圆O于点C,OC=CP=2,弦AB⊥OC,劣弧AB的度数为120°,连接PB. (1)求BC的长; (2)求证:PB是⊙O的切线.
初三圆经典例题新
有关圆的经典例题 1. 在半径为的⊙中,弦、的长分别为和,求∠的度数。 132O AB AC BAC 解:由题意画图,分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论, 当AB 、AC 在圆心O 的异侧时,如下图所示, 过O 作OD ⊥AB 于D ,过O 作OE ⊥AC 于E , ∵,,∴,AB AC AD AE === =323222 ∵,∴∠,OA OAD AD OA == =132cos cos ∠OAE AE OA ==22 ∴∠OAD=30°,∠OAE=45°,故∠BAC=75°, 当AB 、AC 在圆心O 同侧时,如下图所示, 同理可知∠OAD=30°,∠OAE=45°, ∴∠BAC=15° 例2. 如图:△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上,⊙O 的半径为R ,⊙O 与AC 交于D , 如果点既是的中点,又是边的中点,D AB AC ? (1)求证:△ABC 是直角三角形; ()22 求的值AD BC 解:(1)证明,作直径DE 交AB 于F ,交圆于 E ∵为的中点,∴⊥,D AB AB DE A F FB ? = 又∵AD=DC ∴∥,DF BC DF BC =1 2 ∴AB ⊥BC ,∴△ABC 是直角三角形。 (2)解:连结AE ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90° 而AB ⊥DE ,∴△ADF ∽△EDA ∴ ,即·AD DE DF AD AD DE DF ==2∵,DE R DF BC ==21 2
∴·,故AD BC R AD BC R 2 2 == 例3. 如图,在⊙O 中,AB=2CD ,那么( ) A A B CD B AB CD ..?>??22 C AB CD D AB CD ..?=??? 22与的大小关系不确定 解:解法(一),如图,过圆心O 作半径OF ⊥AB ,垂足为E , 则AF FB AB ?=?=?12 AE EB AB ==1 2 ∵,∴AB CD AE CD AB === 21 2 ∵AF FB AF FB ?=? =,∴ 在△AFB 中,有AF+FB>AB ∴,∴,∴,∴22 22AF AB AF AB AF CD AF CD >>>?>? ∴AB CD ?>?2 ∴选A 。 解法(二),如图,作弦DE=CD ,连结CE 则DE CD CE ?=?=?12 在△CDE 中,有CD+DE>CE ∴2CD>CE ∵AB=2CD ,∴AB>CE ∴,∴AB CE AB CD ?>??>? 2∴选A 。 例4. 如图,四边形内接于半径为的⊙,已知,ABCD 2O AB BC AD == =1 4 1 求CD 的长。 解:延长AB 、DC 交于E 点,连结BD ∵AB BC AD == =1 4 1
初三圆的经典例题
有关圆的经典例题 1. 在半径为的⊙中,弦、的长分别为和,求∠的度数。132O AB AC BAC 分析:根据题意,需要自己画出图形进行解答,在画图时要注意A B与AC 有不同的位置关系。 解:由题意画图,分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论, 当AB 、AC在圆心O 的异侧时,如下图所示, 过O作OD ⊥AB 于D,过O 作OE ⊥AC 于E , ∵,,∴,AB AC AD AE = == =323222 ∵,∴∠,OA OAD AD OA ===13 2 cos cos ∠OAE AE OA ==2 2 ∴∠OAD=30°,∠OA E=45°,故∠BA C=75°, 当A B、A C在圆心O同侧时,如下图所示, 同理可知∠OAD=30°,∠OAE=45°, ∴∠BA C=15° 点拨:本题易出现只画出一种情况,而出现漏解的错误。 例2. 如图:△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上,⊙O 的半径为R ,⊙O 与AC 交于D, 如果点既是的中点,又是边的中点,D AB AC ? (1)求证:△ABC 是直角三角形;
()22 求的值AD BC 分析:()1由为的中点,联想到垂径定理的推论,连结交于,D AB OD AB F ? 则AF=FB,OD ⊥AB ,可证DF 是△A BC的中位线; (2)延长DO 交⊙O 于E,连接A E,由于∠DA E=90°,D E⊥AB ,∴△ADF ∽△,可得·,而,,故可求DAE AD DF DE DF BC DE R AD BC 2 2 122=== 解:(1)证明,作直径DE 交AB 于F,交圆于E ∵为的中点,∴⊥,D AB AB DE AF FB ? = 又∵AD=DC ∴∥,DF BC DF BC = 12 ∴AB ⊥BC ,∴△ABC 是直角三角形。 (2)解:连结AE ∵DE 是⊙O的直径 ∴∠DAE=90° 而AB ⊥DE ,∴△ADF ∽△E DA ∴ ,即·AD DE DF AD AD DE DF ==2 ∵,DE R DF BC ==21 2 ∴·,故AD BC R AD BC R 2 2== 例3. 如图,在⊙O 中,AB =2CD ,那么( ) A A B CD B AB CD ..?>?? 22 C AB CD D AB CD ..?=??? 22与的大小关系不确定 分析:要比较与的大小,可以用下面两种思路进行:AB CD ?? 2 ()112 把的一半作出来,然后比较与的大小。AB AB CD ?? ? ()222把作出来,变成一段弧,然后比较与的大小。CD CD AB ??? 解:解法(一),如图,过圆心O 作半径OF ⊥AB ,垂足为E, 则AF FB AB ?=?=? 12
(完整word)初三圆的典型例题.docx
圆典型例题精选 【例题 1 】如图所示, AB 是圆 O 的一条弦, OD AB ,垂足为 C ,交圆 O 于点 D ,点 E 在 圆 O 上.(1)若 AOD 52o ,求 DEB 的度数; E ( 2 )若 OC 3 , OA 5 ,求 AB 的长. O AC B D 【例题 2 】如图,线段 第 1 题图 AB 经过圆心 O ,交圆 O 于点 A,C ,点 D 在圆 O 上,连接 AD , BD , ∠ A= ∠ B=30 度. BD 是圆 O 的切线吗?请说明理由. 【例题 3 】已知 AB 为 ⊙ O 的直径, CD 是弦,且 AB ⊥ CD 于点 E .连接 AC 、 OC 、 BC . A ( 1 )请说明: ∠ ACO= ∠ BCD . ( 2 )若 EB=8cm , CD=24cm ,求 ⊙ O 的直径. O E C D B 【例题 4 】如图,梯形 ABCD 内接于 ⊙ O , BC ∥ AD , AC 与 BD 相交于点图E 9 ,在不添加任何辅助线的情况下: (1) 图中共有几对全等三角形,请把它们一一写出来,并选择其中 一对全等三角形进行证明. (2) 若 BD 平分 ∠ ADC ,请找出图中与 △ ABE 相似的所有三角形 (全等三角形除外) . 【例题 5 】如图,在 Rt △ ABC 中, ∠ C=90°, AC=5 ,BC=12 , ⊙ O 的半径为 3. ( 1 )若圆心 O 与 C 重合时, ⊙O 与 AB 有怎样的位置关系? ( 2 )若点 O 沿线段 CA 移动,当 OC 等于多少时, ⊙ O 与 AB 相切?
初三数学圆经典例题
.圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1:圆的对称性:圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2: 确定圆的条件;圆心和半径①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;②不在同一条直线上的三点确定一个圆; 考点3:弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的 弦。 弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距。弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆,优弧、劣弧三种。(请务必注意区分等弧,等弦,等圆的概念)弓形:弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高:弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 (请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形,对应两个弓高)固定的已经不能再固定的方法: 求弦心距,弦长,弓高,半径时通常要做弦心距,并连接圆心和弦的一个端点,得到直角三角形。如下图: 考点4: 三角形的外接圆:
例 2 .已知,如图, CD 是直径, EOD 84 ,AE 交⊙ O 于 B ,且 AB=OC ,求∠ A 的度数。 例 3 ⊙O 平面内一点 P 和⊙O 上一点的距离最小为 ________ cm 。 例 4 在半径为 5cm 的圆中,弦 AB ∥CD ,AB=6cm , CD=8cm ,则 AB 和 CD 的距离是多 少? 例 5 如图 , ⊙ O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E ,已知 AE=6cm , EB=2cm, CEA 30 , 求 CD 的长. 例 6. 已知:⊙ O 的半径 0A=1,弦 AB 、 AC 的长分别为 2, 3 ,求 BAC 的度数. 锐角三角形的外心在 ,直角三角形的外心在 , 钝角三角形的外心在 考点 5 点和圆的位置关系 设圆的半径为 r ,点到圆心的距离为 d , 则点与圆的位置关系有三种。 ① 点在圆外 d > r ;②点在圆上 d=r ;③点在圆内 d 有关圆的经典例题 1.在半径为的⊙中,弦、的长分别为和,求∠的度数。132O AB AC BAC 分析:根据题意,需要自己画出图形进行解答,在画图时要注意AB 与AC 有不同的位置关系。 解:由题意画图,分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论, 当AB 、AC 在圆心O 的异侧时,如下图所示, 过O 作OD ⊥AB 于D ,过O 作OE ⊥AC 于E , ∴∠OAD=30°,∠OAE=45°,故∠BAC=75°, 当AB 、AC 在圆心O 同侧时,如下图所示, 同理可知∠OAD=30°,∠OAE=45°, ∴∠BAC=15° 点拨:本题易出现只画出一种情况,而出现漏解的错误。 例2.如图:△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上,⊙O 的半径为R ,⊙O 与AC 交于D , (1)求证:△ABC 是直角三角形; 分析:()1由为的中点,联想到垂径定理的推论,连结交于,D AB OD AB F ? 则AF=FB ,OD ⊥AB ,可证DF 是△ABC 的中位线; (2)延长DO 交⊙O 于E ,连接AE ,由于∠DAE=90°,DE ⊥AB ,∴△ADF 解:(1)证明,作直径DE 交AB 于F ,交圆于E 又∵AD=DC ∴AB ⊥BC ,∴△ABC 是直角三角形。 (2)解:连结AE ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90° 而AB ⊥DE ,∴△ADF ∽△EDA 例3.如图,在⊙O 中,AB=2CD ,那么() 分析:要比较与的大小,可以用下面两种思路进行:AB CD ??2 解:解法(一),如图,过圆心O 作半径OF ⊥AB ,垂足为E , ∵AF FB AF FB ?=?=,∴ 在△AFB 中,有AF+FB>AB ∴选A 。 解法(二),如图,作弦DE=CD ,连结CE 在△CDE 中,有CD+DE>CE ∴2CD>CE ∵AB=2CD ,∴AB>CE ∴选A 。 例4.如图,四边形内接于半径为的⊙,已知,ABCD 2O AB BC AD ===141 求CD 的长。 分析:连结BD ,由AB=BC ,可得DB 平分∠ADC ,延长AB 、DC 交于E ,易得△EBC ∽△EDA ,又可判定AD 是⊙O 的直径,得∠ABD=90°,可证得△ABD ≌△EBD ,得DE=AD ,利用△EBC ∽△EDA ,可先求出CE 的长。 解:延长AB 、DC 交于E 点,连结BD ∵⊙O 的半径为2,∴AD 是⊙O 的直径 ∴∠ABD=∠EBD=90°,又∵BD=BD ∴△ABD ≌△EBD ,∴AB=BE=1,AD=DE=4 ∵四边形ABCD 内接于⊙O , ∴∠EBC=∠EDA ,∠ECB=∠EAD 例5.如图,、分别是⊙的直径和弦,为劣弧上一点,⊥AB AC O D AC DE AB ? 于H ,交⊙O 于点E ,交AC 于点F ,P 为ED 的延长线上一点。 初三数学有关圆的经典例题 1. 分析:根据题意,需要自己画出图形进行解答,在画图时要注意AB与AC有不同的位置关系。 解:由题意画图,分AB、AC在圆心O的同侧、异侧两种情况 讨论, 当AB、AC在圆心O的异侧时,如下图所示, 过O作OD⊥AB于D,过O作OE⊥AC于E, ∴∠OAD=30°,∠OAE=45°,故∠BAC=75°, 当AB、AC在圆心O同侧时,如下图所示, 同理可知∠OAD=30°,∠OAE=45°, ∴∠BAC=15° 点拨:本题易出现只画出一种情况,而出现漏解的错误。 例2. 如图:△ABC的顶点A、B在⊙O上,⊙O的半径为R,⊙O与AC交于D, (1)求证:△ABC是直角三角形; 分析: 则AF=FB,OD⊥AB,可证DF是△ABC的中位线; (2)延长DO交⊙O于E,连接AE,由于∠DAE=90°,DE⊥AB,∴△ADF 解:(1)证明,作直径DE交AB于F,交圆于E 又∵AD=DC ∴AB⊥BC,∴△ABC是直角三角形。 (2)解:连结AE ∵DE是⊙O的直径 ∴∠DAE=90° 而AB⊥DE,∴△ADF∽△EDA 例3. 如图,在⊙O中,AB=2CD,那么() 分析: 解:解法(一),如图,过圆心O作半径OF⊥AB,垂足为E, ∵ 在△AFB中,有AF+FB>AB ∴选A。 解法(二),如图,作弦DE=CD,连结CE 在△CDE中,有CD+DE>CE ∴2CD>CE ∵AB=2CD,∴AB>CE ∴选A。 例 4. 求CD的长。 分析:连结BD,由AB=BC,可得DB平分∠ADC,延长 AB、DC交于E,易得△EBC∽△EDA,又可判定AD是⊙O 的直径,得∠ABD=90°,可证得△ABD≌△EBD,得DE=AD,利用△EBC∽△EDA,可先求出CE的长。 解:延长AB、DC交于E点,连结BD 有关圆的经典例题 1. 在半径为 1的⊙ O 中,弦 AB 、AC 的长分别为 3和 2,求∠ BAC 的度数。 2. 如图:△ ABC 的顶点 A 、B 在⊙ O 上,⊙ O 的半径为 R ,⊙O 与AC 交于 D , 如果点 D 既是 AB 的中点,又是 AC 边的中点, ( 1)求证:△ ABC 是直角三角形; (2)求 AD 的值 BC 4. 如图,四边形 ABCD 内接于半径为 2的⊙ O ,已知 AB BC 1 长。 5. 如图, AB 、 AC 分别是⊙ O 的直径和弦, D 为劣 3. 如图,在⊙ O 中, AB=2CD ,那么( ) A. AB 2CD B. AB 2CD D. AB 与2CD 的大小关系不确定 C. AB 2CD AD 1, 求 CD 的 弧 于H,交⊙O 于点E,交AC 于点F,P为ED 的延长线上一点。 1)当△ PCF 满足什么条件时,PC与⊙O 相切,为什么? (2)当点D在劣弧AC 的什么位置时,才能使AD2DE· DF ,为什么? 1 6. 如图,四边形ABCD 是矩形(AB 1BC),以BC为直径作半圆O,过点 2 D 作半圆的切线交AB 于E,切点为F,若AE:BE=2 :1,求tan∠ AD E 的值。 分析:要求tan∠ADE ,在Rt△AED 中,若能求出AE 、AD ,根据正切的定义就可以得到。 ED=EF+FD ,而EF=EB ,FD=CD ,结合矩形的性质,可以得到ED 和AE 的关系,进一步可求出AE:AD 。 解:∵四边形ABCD 为矩形,∴ BC⊥AB,BC⊥ DC ∴AB 、DC切⊙ O于点 B 和点C, ∵DE 切⊙O于F,∴ DF=DC ,EF=EB,即DE=DC+EB , 又∵AE:EB=2:1,设BE=x ,则AE=2x ,DC=AB=3x , DE=DC+EB=4x , 在Rt△ AED 中,AE=2x ,DE=4x, ∴ AD 2 3x AE 2x 3 则tan ∠ ADE AD 2 3x 3 点拨:本题中,通过观察图形,两条切线有公共点,根据切线长定理,得到相等线段。 例7. 已知⊙ O1 与⊙ O2相交于A、B 两点,且点O2在⊙ O1上, (1)如下图,AD 是⊙ O2的直径,连结DB 并延长交⊙ O1于C,求证CO2⊥ AD ; 1 / 3 圆典型例题精选 【例题1】如图所示,AB 是圆O 的一条弦,OD AB ⊥,垂足为C ,交圆O 于点D ,点E 在圆O 上.(1)若52AOD ∠=o ,求DEB ∠的度数; (2)若3OC =,5OA =,求AB 的长. 【例题2】如图,线段AB 经过圆心O ,交圆O 于点A,C ,点D 在圆O 上,连接AD ,BD , ∠A=∠B=30度.BD 是圆O 的切线吗?请说明理由. 【例题3】已知AB 为⊙O 的直径,CD 是弦,且AB ⊥CD 于点E .连接AC 、OC 、BC . (1)请说明:∠ACO=∠BCD . (2)若EB=8cm ,CD=24cm ,求⊙O 的直径. 【例题4】如图,梯形ABCD 内接于⊙O , BC ∥AD ,AC 与BD E 任何辅助线的情况下: (1) 图中共有几对全等三角形,请把它们一一写出来,并选择其中 一对全等三角形进行证明. (2) 若BD 平分∠ADC ,请找出图中与△ABE 相似的所有三角形 (全等三角形除外). 【例题5】如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=5,BC=12,⊙O 的半径为3. (1)若圆心O 与C 重合时,⊙O 与AB 有怎样的位置关系? (2)若点O 沿线段CA 移动,当OC 等于多少时,⊙O 与AB 相切? E B D C A O 第 1 题图 图9 E D B O C 2 / 3 【例题6】推理运算:如图,AB 为圆○直径,CD 为弦,且CD AB ⊥,垂足为H .OCD ∠的平分线CE 交圆○于E ,连结OE . (1)请说明:E 为弧ADB 的中点; (2)如果圆○的半径为1,3CD =,①求O 到弦AC 的距离;②填空:此时圆周上存在 个点到直线AC 的距离为 12 . 【例题7】已知:如图,在△ABC 中,AB=AC ,以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ,与AC?交于点E ,请说明:△DEC 为等腰三角形. 【例题8】如图,已知⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 为直径,若PA ⊥AB ,PO 过AC 的中点M .试说明:PC 是⊙O 的切线. 【例题9】已知:如图,AB 是⊙O 的切线,切点为A ,OB 交⊙O 于C 且C 为OB 中点,过C 点的弦CD 使∠ACD =45°,弧AD 的长为2 2 π, 求弦AD 、AC 的长. 【例题10】如图所示,ABC △是直角三角形,90ABC ∠=o ,以AB 为直径的圆○交AC 于点 E ,点D 是BC 边的中点,连结DE . (1)请说明:DE 与圆○相切; (2)若圆O 的半径为3,3DE =,求AE . A B O C P M 图4 A B C D ·O 45° A B D E O C H C E A O 九年级数学第二十四章圆测试题(A ) 一、选择题(每小题3分,共33分) 1.(2005·资阳)若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ,最小距离为b (a>b ),则此圆的半径为( ) A . 2b a + B .2b a - C .2 2b a b a -+或 D .b a b a -+或 2.(2005·浙江)如图24—A —1,⊙O 的直径为10,圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3,则弦 AB 的长是( ) A .4 B .6 C .7 D .8 3.已知点O 为△ABC 的外心,若∠A=80°,则∠BOC 的度数为( ) A .40° B .80° C .160° D .120° 4.如图24—A —2,△ABC 内接于⊙O ,若∠A=40°,则∠OBC 的度数为( ) A .20° B .40° C .50° D .70° 5.如图24—A —3,小明同学设计了一个测量圆直径的工具,标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起,并使它们保持垂直,在测直径时,把O 点靠在圆周上,读得刻度OE=8个单位,OF=6个单位,则圆的直径为( ) A .12个单位 B .10个单位 C .1个单位 D .15个单位 6.如图24—A —4,AB 为⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,若∠B=60°,则∠A 等于( ) A .80° B .50° C .40° D .30° 7.如图24—A —5,P 为⊙O 外一点,PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ,CD 切⊙O 于点E ,分别交PA 、PB 于点C 、D ,若PA=5,则△PCD 的周长为( ) A .5 B .7 C .8 D .10 8.若粮仓顶部是圆锥形,且这个圆锥的底面直径为4m ,母线长为3m ,为防雨需在粮仓顶部铺上油毡,则这块油毡的面积是( ) A .2 6m B .2 6m π C .2 12m D .2 12m π 9.如图24—A —6,两个同心圆,大圆的弦AB 与小圆相切于点P ,大圆的弦CD 经过点P ,且CD=13,PC=4,则两圆组成的圆环的面积是( ) A .16π B .36π C .52π D .81π 10.已知在△ABC 中,AB=AC=13,BC=10,那么△ABC 的内切圆的半径为( ) A .310 B .5 12 C .2 D . 3 图24—A — 5 图24—A — 6 图24—A — 1 图24—A — 2 图24—A — 3 图24—A —4 圆的概念和性质 例2.已知,如图,CD 是直径,?=∠84EOD ,AE 交⊙O 于B ,且AB=OC ,求∠A 的度数。 例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ,最大为8cm ,则这圆的半径是_________cm 。 例4 在半径为5cm 的圆中,弦AB ∥CD ,AB=6cm ,CD=8cm ,则AB 和CD 的距离是多少? 例6.已知:⊙O 的半径0A=1,弦AB 、AC 的长分别为3,2,求BAC ∠的度数. 【考点速练】 1.下列命题中,正确的是( ) A .三点确定一个圆 B .任何一个三角形有且仅有一个外接圆 C .任何一个四边形都有一个外接圆 D .等腰三角形的外心一定在它的外部 2.如果一个三角形的外心在它的一边上,那么这个三角形一定是( ) A .等腰三角形B .直角三角形 C .等边三角形 D .钝角三角形 3.圆的内接三角形的个数为( ) A .1个 B .2 C .3个 D .无数个 4.三角形的外接圆的个数为( ) A .1个 B .2 C .3个 D .无数个 5.下列说法中,正确的个数为( ) ①任意一点可以确定一个圆;②任意两点可以确定一个圆;③任意三点可以确定一个圆;④经过任一点可以作圆;⑤经过任意两点一定有圆. A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( ) A.圆的外部(包括边界); B.圆的内部(不包括边界); C.圆; D.圆的内部(包括边界) 7.已知⊙O 的半径为6cm,P 为线段OA 的中点,若点P 在⊙O 上,则OA 的长( ) A.等于6cm B.等于12cm ; C.小于6cm D.大于12cm 8.如图,⊙O 的直径为10cm,弦AB 为8cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数, 则满足条件的点P 有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.如图,A 是半径为5的⊙O 内一点,且OA=3,过点A 且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条 圆 目录 圆的定义及相关概念 垂经定理及其推论 圆周角与圆心角 圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 圆内接四边形 会用切线, 能证切线 切线长定理 三角形的内切圆 了解弦切角与圆幂定理(选学) 圆与圆的位置关系 圆的有关计算 一.圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1: 圆的对称性:圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2: 确定圆的条件;圆心和半径 ①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小; ②不在同一条直线上的三点确定一个圆; 考点3: 弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆,优弧、劣弧三种。 (请务必注意区分等弧,等弦,等圆的概念) 弓形:弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高:弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 (请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形,对应两个弓高) 固定的已经不能再固定的方法: 求弦心距,弦长,弓高,半径时通常要做弦心距,并连接圆心和弦的一个端点,得到 直角三角形。如下图: 考点4: 三角形的外接圆: 锐角三角形的外心在,直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。 考点5 点和圆的位置关系设圆的半径为r,点到圆心的距离为d, 则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d>r;②点在圆上?d=r;③点在圆内? d<r; 【典型例题】 例1 在⊿ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=4,CM是AB边上的中线,以点C为圆心,以5为半径作圆,试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系,并说明你的理由。 例2.已知,如图,CD是直径,? = ∠84 EOD,AE交⊙O于B,且AB=OC,求∠A的度数。 M A B C D O E B C 有关圆的经典例题 1. 在半径为的⊙中,弦、的长分别为和,求∠的度数。132O AB AC BAC 2. 如图:△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上,⊙O 的半径为R ,⊙O 与AC 交于D , 如果点既是的中点,又是边的中点,D AB AC ? (1)求证:△ABC 是直角三角形; ()22 求的值AD BC 3. 如图,在⊙O 中,AB=2CD ,那么( ) A A B CD B AB CD ..?>??22 C AB CD D AB CD ..?=? ?? 22与的大小关系不确定 4. 如图,四边形内接于半径为的⊙,已知,ABCD 2O AB BC AD == =1 4 1求CD 的 长。 5. 如图,、分别是⊙的直径和弦,为劣弧上一点,⊥AB AC O D AC DE AB ? 于H ,交⊙O 于点E ,交AC 于点F ,P 为ED 的延长线上一点。 (1)当△PCF 满足什么条件时,PC 与⊙O 相切,为什么? ()22当点在劣弧的什么位置时,才能使·,为什么?D AC AD DE DF ? = 6. 如图,四边形是矩形,以为直径作半圆,过点ABCD ()AB BC BC O > 1 2 D 作半圆的切线交AB 于 E ,切点为 F ,若AE :BE=2:1,求tan ∠ADE 的值。 分析:要求tan ∠ADE ,在Rt △AED 中,若能求出AE 、AD ,根据正切的定义就可以得到。ED=EF+FD ,而EF=EB ,FD=CD ,结合矩形的性质,可以得到ED 和AE 的关系,进一步可求出AE :AD 。 解:∵四边形ABCD 为矩形,∴BC ⊥AB ,BC ⊥DC ∴AB 、DC 切⊙O 于点B 和点C , ∵DE 切⊙O 于F ,∴DF=DC ,EF=EB ,即DE=DC+EB , 又∵AE :EB=2:1,设BE=x ,则AE=2x ,DC=AB=3x , DE=DC+EB=4x , 在Rt △AED 中,AE=2x ,DE=4x , ∴AD x =23 则∠tan ADE AE AD x x = == 2233 3 点拨:本题中,通过观察图形,两条切线有公共点,根据切线长定理,得到相等线段。 例7. 已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点,且点O 2在⊙O 1上, (1)如下图,AD 是⊙O 2的直径,连结DB 并延长交⊙O 1于C ,求证CO 2⊥AD ; 圆经典重难点真题 一.选择题(共10小题) 1.(2015?安顺)如右图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂 足为E,∠A=22.5°,OC=4,CD的长为() A.2 B.4 C.4D.8 2.(2015?酒泉)△ABC为⊙O的内接三角形,若∠AOC=160°, 则∠ABC的度数是() A.80°B.160°C.100°D.80°或100° 3.(2015?兰州)如右图,已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于 A、B两点,点C是劣弧OB上一点,则∠ACB=() A.80°B.90°C.100°D.无法确定 4.(2015?包头)如右图,在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=4,将 △ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE,点B经过的 路径为,则图中阴影部分的面积为() A.πB.πC.πD.π 5.(2015?黄冈中学自主招生)如右图,直径为10的⊙A经过点C (0,5)和点O(0,0),B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC 的正弦值为() A.B.C.D. 6.(2015?黄冈中学自主招生)将沿弦BC折叠,交直径 AB于点D,若AD=4,DB=5,则BC的长是() A.3 B.8 C. D.2 7.(2015?齐齐哈尔)如图,两个同心圆,大圆的半径为5, 小圆的半径为3,若大圆的弦AB与小圆有公共点,则弦AB的取值范围是()A.8≤AB≤10 B.8<AB≤10 C.4≤AB≤5 D.4<AB≤5 8.(2015?衢州)如右图,已知△ABC,AB=BC,以AB 为直径的圆交AC于点D,过点D的⊙O的切线交BC于 点E.若CD=5,CE=4,则⊙O的半径是() A.3 B.4 C.D. 9.(2014?舟山)如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E, 且CE=2,DE=8,则AB的长为() A.2 B.4 C.6 D.8 10.(2015?海南)如右图,将⊙O沿弦AB折叠,圆弧恰好经过圆 心O,点P是优弧上一点,则∠APB的度数为() A.45°B.30°C.75°D.60° 二.填空题(共5小题) 11.(2015?黔西南州)如右图,AB是⊙O的直径,CD为⊙O 的一条弦,CD⊥AB于点E,已知CD=4,AE=1,则⊙O的半径 为. 12.(2015?宿迁)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形, 若∠C=130°,则∠BOD=°. 13.(2015?南昌)如图,点A,B,C在⊙O上,CO的延长线交AB于点D,∠A=50°,∠B=30°,则∠ADC的度数为.初三圆经典例题
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