中考复习二次函数综合复习之线段问题(难)(教师版)

二次函数综合复习之线段问题

如图1，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线M ：52

12

+-=x y 经过点C(2，3)，直线y ＝kx ＋b 与抛物线相交于A ，B 两点，∠ACB ＝ 90°。 （1）探究与猜想：

①探究：取点B （6，一13）时，点A 的坐标为（一

25，8

15

），直接写出直线AB 的解析式： ； 取点B （4，－3），直接写出AB 的解析式为________________；

②猜想：我们猜想直线AB 必经过一个定点Q ，其坐标为___________________。请取点B 的横坐标为n ，验证你的猜想；

（2）如图2，点D 在抛物线M 上，若AB 经过原点O ，△ABD 的面积等于△ABC 的面积，试求出一个符合条件的点D 的坐标，并直接写出其余的符合条件的D 点的坐标。

（图1） （图2）

【例题精讲一】 二次函数代几综合之线段长度问题

例题 1、（2017江岸模三）已知抛物线2y x ＝上有两动点A ()11x y ，、B ()22x y ，（其中120x x ＜＜），过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BC ⊥x 轴于点D ，OA 的延长线交BD 于点E 。

（1）如图1，若点A 的坐标为（1，1），点B 的坐标为（2，4），则点E 的坐标为 ； （2）如图2，过A 作AF ⊥BD 于F 。若BE ＝AE ，试求BF 的长。

（3）如图3，延长CA 交OB 于点H 。若13

OEH OHED S S △四边形＝，试探究12x x 与之间的数量关系，并证明你的结论。

2、（江汉模一）已知抛物线y ＝x 2的图象如图1，A (0，a )（a ＞0），直线l ：4

1

-=y ，点B 为抛物线上的任意一点且恒满足点B 到点A 的距离与点B 到l 的距离相等。 （1）求a 的值； （2）若直线l 1：y ＝kx ＋

4

1

交抛物线于C 、D 两点，过点C 作CE ⊥l 于点E ，过点D 作DF ⊥l 于点F ，点G 为EF 的中点。若点G 到直线l 1的距离为2

5

，求k 的值；

（3）平移抛物线使其顶点为H (0，－4)，平移后的抛物线交x 轴于点M 、N ，点P 是平移后的抛物线在第一象限上一点，PQ ⊥x 轴于点Q 。若PH 平分∠MPQ ，求直线PM 的解析式。

解：(1) 当B 在原点处时，OA ＝

41 ∴a ＝4

1 (2) 连接AE 、AF 由题意可知：CA ＝CE ，DA ＝DF

∵CE ∥DF ∴∠ECD ＋∠FDC ＝180° ∴∠EAF ＝90°（利用两个等腰推导） ∵G 为EF 的中点 ∴AG ＝EG ＝GF ∴∠GAE ＝∠GEA

∵∠CEA ＋∠GEA ＝90° ∴∠CAE ＋∠GAE ＝90° 即AG ⊥CD ∴AG ＝

2

5

，EF ＝5 设C (x 1，y 1)、D (x 2，y 2) 联立??

??

?

=+

=2

41x y kx y ，整理得0412=--kx x ∴x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝41- ∴|x 1－x 2|＝514)(221221=+=-+k x x x x ，解得k ＝±2

(3) 平移后的抛物线解析式为y ＝x 2－4 ∴M (2，0)、N (－2，0) 设P (a ，a 2－4) 直线PH ：y ＝ax －4 过点M 作MT ⊥x 轴交PH 的延长线于T

∵∠MPH ＝∠QPH ，TQ ＝PH ∴∠MPT ＝∠T ∴MT ＝MP 当x ＝－2时，y ＝－2a －4 ∴MT ＝2a ＋4 ∴(2a ＋4)2＝(a ＋2)2＋(a 2－4)2 化简得4(a ＋2)2＝(a ＋2)2＋(a ＋2)2(a －2)2 ∵a ＞2 ∴(a －2)2＝3，32+=a

∴P (34332++，

) ∴直线PM 的解析式为：323+=x y

【课堂练习】

1、（洪山模二）已知抛物线C 1：y ＝ax 2经过（－1，1）。

（1）C 1的解析式为___________，顶点坐标为___________，对称轴为___________；

（2）如图1，直线l ：y ＝kx ＋2k －2经过定点P ，过P 的另一直线交抛物线C 1于A 、B 两点。当PA ＝AB 时，求A 点坐标；

（3）如图2，将C 1向下平移h （h ＞0）个单位至C 2，M （－2，b ）在C 2图象上，过M 作设MD 、ME 分别交抛物线于D 、E 。若△MDE 的内心在直线y ＝b 上，求证：直线DE 一定与过原点的某条定直线平行。

（图1） （图2）

解：(1) y ＝x 2，(0，0)，y 轴

(2) 当x ＝－2时，y ＝－2 ∴P (－2，－2)

设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2) ∵PA ＝PB ∴－2＋x 2＝2x 1 ① 联立?????=-+=2

2

2x

y k kx y ，整理得x 2－kx －2k ＋2＝0 ∴x 1＋x 2＝k ②，x 1x 2＝－2k ＋2 ③ 由①得，3

2

1-=k x ，代入②③得，334±-=k ∴A (23-，347-)、(23--，347+)

(3) 过点M 作直线l ∥x 轴，过点D 作DF ⊥l 于F ，过点E 作EG ⊥l 于G 设D (x 1，x 12－h )、E (x 2，x 22－h )

∵△MDF ∽△MEG ∴2

)]

4()[(2)4()(222121+----=+---x h h x x h h x ，得x 1＋x 2＝4

设直线DE 的解析式为y ＝kx ＋b ∴?????-=+-=+h

x b kx h

x b kx 2

22211，得k ＝x 1＋x 2＝4 ∴直线DE 一定与过原点的直线y ＝4x 平行

2、（2017江汉模三）抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，－3)。 （1）求此抛物线的解析式； （2）在抛物线上存在点D ，使点D 到直线AC 的距离是10，求点D 的坐标； （3）如图2，将原抛物线向左平移1个单位，得到新抛物线C 1．若直线y ＝m 与新抛物线C 1交于P 、Q 两点，点M 是抛物线C 1上一动点，连接PM ，并将直线PM 沿y ＝m 翻折交抛物线C 1于N ，过Q 作QS ∥y 轴，求证：QS 必定平分MN 。

【例题精讲二】 二次函数代几综合之线段比值与最值问题

例题 1、（江岸模五）抛物线2y ax ＝（a ＞0）过点M （﹣2，2182

a ＋），N 是抛物线上第一象限一动点。 （1）求抛物线的解析式；

（2）若tan ∠OMN ＝2，MN 交y 轴于A ，求

MA

NA

的值； （3）过点N 的不与y 轴平行的直线1l 与抛物线只有一个公共点N ，点P 与点 N 关于y 轴对称，平移直线1l 交抛物线于E 、F ，直线PE 、PF 分别交x 轴于D 、C ，求证：PC ＝PD 。

2、（硚口模三）抛物线C ：y ＝ax 2－2

1x ＋2与x 轴交于A (4，0)、B 两点，与y 轴交于C 点。

（1）求抛物线C 的解析式；

（2）如图1，在第二象限的抛物线C 上有一点P ，OP 交AC 于点E ，求PE ∶OE 的最大值；

（3）如图2，平移抛物线C ，使其顶点为(0，－1)，得新抛物线C 1，过y 轴负半轴上一点F 作直线与抛物线C 1相交于M 、N 两点，分别过M 、N 作x 轴的垂线，垂足分别为H 、D 。记△MFH 、△DHF 、△DFN 的面积分别为S 1、S 2、S 3，若S 22＝4S 1·S 3，求F 点的坐标。

【课堂练习】

1、（洪山模三）如图，抛物线2

0)12

(y x mx m m =

++<的顶点为A ，交y 轴于点C 。 （1）求出点A 的坐标（用含m 的式子表示）；

（2）平移直线y ＝x 经过点A 交抛物线C 于另一点B ，直线AB 下方抛物线C 上一点P ，求点P 到直线AB 的最大距离。

解：（1）利用配方法即可解决问题．2

,2m A m m ??

-- ??

? （2）过点P 作PQ ∥y 轴交AB 于Q ，设P （a ，1

2

a 2+ma+m ），21,22Q a a m m ??

-+ ???，()()2221111

112222PQ a m a m m a m =-+--+=---+????

1a m =-时 PQ 有最大值1

2，点P 到直线AB 的最大距离d ＝

2

PQ ＝24

2、（武昌模一）已知抛物线2

43y kx kx k -+＝(0)k >与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于

点C ，顶点为D 。 （1）如图1，当△ABD 为等边三角形时，求k 的值；

（2）点E 为x 轴下方抛物线2

43y kx kx k -+＝(0)k >上一动点；

①如图2，抛物线的对称轴DH 交x 轴于点H ，直线AE 交y 轴于点M ，直线BE 交对称轴DH 于点N ，求

MO NH DH

+的值； ②如图3，若k ＝1时，点F 在x 轴上方的抛物线上，连接EF 交x 轴于点G ，且满足∠FBA ＝∠EBA ，当线段EF 运动时，∠FGO 的大小发生变化吗？若不变，请求出tan ∠FGO 的值；若变化，请说明理由。

解：(2)设E （p ,kp 2

－4kp +3k ）,AE 解析式为y ＝mx +n ,BE 解析式为y ＝s x +t 由(1)知A （1,0），B (3，0),把A ,E 和B ,E 坐标分别代入y ＝mx +n ，y ＝s x +t 得

???+-=+=+k

kp kp n pm n m 3402

解之???--=-=)3()

3(p k n p k m ，∴AE 解析式为y ＝k (p －3)x －k (p －3) ∵当x ＝0时，y ＝ k (p －3) ∴ MO ＝ k (3－p )

?

??+-=+=+k kp kp t ps t s 34032

解之???--=-=)1(3)1(p k t p k s ∴BE 解析式为y ＝k (p －1)x －3k (p －1) ∵D （2，－k ） 当x ＝2时，y ＝－ k (p －1) ∴ HN ＝ k (p －1) 又HD ＝k ∴23=-+-=+k

k

kp kp k DH NH MO

(3) ∠FGO 的大小不变.

y x

A

G L

I F C

B

O E

解：(1)过点D 作DQ ⊥x 轴于Q ∴∠AQD ＝90° ∵△ABD 为等边三角形 ∴AQ ＝

2

1

AB , ∠DAQ ＝60° ∵y ＝kx 2

－4kx +3k ∴D （2，－k ） ∵k >0 ∴DQ ＝k

当y ＝0时，kx 2

－4kx +3k ＝0， ∴x 2

－4x +3＝0 ∴x 1＝1,x 2＝3 ∴AB ＝2 ∴AQ ＝1, ∴tan ∠DAQ ＝ tan 60°＝

AQ

DQ

∴k ＝3

过F 作FI ⊥x 轴于I ，过点E 作EL ⊥x 轴于L ，设F （x F ,y F ）,E （x E ,y E ）直线EF 解析式为y ＝ax +b

∵ k ＝1 ∴y ＝x 2

－4x +3 ∴?

??+-=+=342

x x y b

ax y ∴x 2－(4+a )x +3－b ＝0 ∴x E + x F ＝4+a , x E · x F ＝3－b ∵∠FBA ＝∠EBA , ∠FIB ＝∠ELB ＝90° ∴tan ∠FBA ＝ tan ∠EBA ∴

BL

EL

IB FI =

又B (3，0), ∴

E

E

F F x y x y --=-33 ∴y F (3－x E )＝－ y E (3－x F )

∴(ax F +b ) (3－x E )＝ －(ax E +b ) (3－x F ) ∴3a (x E + x F ) －2a x E · x F +6b －b (x E + x F )＝0 ∴3a 2+6a +2b +ab ＝0 ∴a (3a +b )+2(3a +b )＝0 ∴（a +2）（3a +b ）＝0 ∴a ＝－2或3a +b ＝0 当3a +b ＝0时直线EF 经过点B 不合题意 ∴a ＝－2 ∴y ＝－2x +b ∴G (

2

b

，0) ∴tan ∠FGO ＝

22

222=-+-=-=F F F F x b b x x b y IG FI

1、（江岸模四）已知抛物线y ＝ax 2经过点A (－2，1)，直线l ：1

34y x a

--＝。 （1）直接写出a ＝ ；

（2）抛物线上异于点A 的一点P ，作直线PA 交直线l 于点Q ，过点Q 作y 轴的平行线交抛物线于点B ①若PB ∥l ，求直线PB 的解析式； ②连接AB ，求△PAB 面积的最小值。

（备用图）

2、（安心卷一）已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于C点。

（1）当B与A重合，且OC＝2OA时

①求抛物线的解析式

1②如图1，F为抛物线上一点，FE⊥x轴于E，P是线段FE上一点，PA交抛物线于M，MN⊥FE于N。当MN＝

2 OA时，求PF－PN的值；

（2）如图2，过A作x轴的垂线交BC于点P。当AB＝3时，求直线OP的解析式。

3、（安心卷二）如图1，直线y ＝－x 与抛物线y ＝x 2交于点P ，直线y ＝2x ＋b （b ＞－1）与抛物线y ＝x 2交于点E 、F ，EP 、PF 的延长线分别交x 轴于点A 、B 。 （1）求点P 的坐标；

（2）当b 的值发生变化时，求证：PA ＝PB ；

（3）如图2，将图1中的抛物线向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位，其顶点C 正好落在直线MN ：

3

34

y x =-+上，且与直线MN 交于另一点D ．设点D 到线段OC 的距离为h ，当h 的值最大时，求m 、n 的值。