迭代法

一，对迭代法进行简介

迭代法又称为辗转法，是用计算机解决问题的一种基本方法，为一种不断用变量的旧值递推新值的过程，与直接法相对应，一次性解决问题。迭代法分为精确迭代和近似迭代，“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法。迭代法利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。

迭代是数值分析中通过从一个初始估计出发寻找一系列近似解来解决问题（一般是解方程或者方程组）的过程，为实现这一过程所使用的方法统称为迭代法（Iterative Method）。

一般可以做如下定义：对于给定的线性方程组x=Bx+f（这里的x、B、f同为矩阵，任意线性方程组都可以变换成此形式），用公式x(k+1）=Bx(k)+f（括号中为上标，代表迭代k次得到的x，初始时k=0)逐步带入求近似解的方法称为迭代法（或称一阶定常迭代法）。如果k趋向无穷大时limx（k）存在，记为x*，称此迭代法收敛。显然x*就是此方程组的解，否则称为迭代法发散。

跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性的快速解决问题，例如通过开方解决方程x +3= 4。一般如果可能，直接解法总是优先考虑的。但当遇到复杂问题时，特别是在未知量很多，方程为非线性时，我们无法找到直接解法（例如五次以及更高次的代数方程没有解析解，参见阿贝耳定理），(这是为什么迭代法可以

求解复杂方程的原因之一)。这时候或许可以通过迭代法寻求方程（组）的近似解（还是没有详细解释选用迭代法的原因）。

最常见的迭代法是牛顿法。其他还包括最速下降法、共轭迭代法、变尺度迭代法、最小二乘法、线性规划、非线性规划、单纯型法、惩罚函数法、斜率投影法、遗传算法、模拟退火等等。

利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：

1.确定迭代变量

在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

2.建立迭代关系式

所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以顺推或倒推的方法来完成。

3.对迭代过程进行控制

在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来。可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；另一种是所需的迭代次数无法确定，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。

下面是迭代法的简单举例

例：一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子，这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，问到第 12 个月时，该饲养场共有兔子多少只？

解：

1.确定迭代变量

我们不妨假设第 1 个月时兔子的只数为Y(1) ，第 2 个月时兔子的只数为 Y(2)，第 3 个月时兔子的只数为 Y(3) ，……根据题意，“这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子”，则有 Y(1) = 1

Y(2) = Y(1) + Y(1) × 1 = 2

Y(3) = Y(2) + Y(2) × 1 = 4

2.建立迭代关系式

易得迭代关系式为Y(n) = Y(n-1) + Y(n-1)×1 = Y(n-1) ×2

3.对迭代过程进行控制

定义n 为2至12之间的整数，当n大于12时，跳出循环。

二，迭代法的可行性，为什么迭代法可以求解复杂方程

一个原因是如果有可能，直接解法总是优先考虑的。但当遇到复杂问题时，特别是在未知量很多，方程为非线性时，我们无法找到直接解法（例如五次以及更高次的代数方程没有解析解，参见阿贝耳定理），这时候可以通过迭代法寻求方程（组）的近似解。

二是一般情况下，只要知道解的大致范围再确定解区间并且判断该区间收敛，然后可以选取近似初始值进行迭代计算，基本上可以得到比较精确的解（反复不断的迭代，结果会越来越接近）。一般来说初始值只会影响求解问题的速度问题，如果迭代方程没错的话，如果初始解较接近要的结果时，那么迭代的次数会较少。如果解在全局收敛的，所以任意带一个值都能得到最终的答案，不管迭代多少次。但是如果是在取值的附近是发散的，这样不管你迭代多少，只会使结果不断的偏离你所想要的答案。所以怎样当你任意取值时，该方程就是在该值的范围内是收敛的……当然对于一个迭代方程，我们可以判断该点是否在解附近，并且是否收敛。