2020高三数学上学期入学考试试题 理1-精装版

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2020高三数学上学期入学考试试题理1-精装版

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【精选】20xx最新高三数学上学期入学考试试题理1

数学（理工类）

（考试用时：120分全卷满分：150分）

注意事项：

1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

5.考试结束后，请将答题卡上交；

第Ι卷（选择题部分，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若集合A={y|y=2x+2}，B={x|﹣x2+x+2≥0}，则

A．A?B B．A∪B=R C．A∩B={2}

D．A∩B=?

2.若复数满足，其中是虚数单位，则复数的共轭复数为z

i

1

i

z

z

=

-i z

A. B. （C）（D）

11

i

22

-+

11

i

22

--

11

i

22

-

3.已知命题p ：x0∈R ，使2x0＋2－x0＝1；命题q ：x ∈R ，都有

lg(x2＋2x ＋3)>0.下列结论中正确的是

A.命题“p ∧q ”是真命题

B.命题“p ∧q ”是真命题

C.命题“p ∧q ”是真命题

D.命题“p ∨q ”是假命题 4．已知，则

A ．

B ． 7979-

C ．

D ．

79±

2

9- 5．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上两点，，则的F 24y x =,M N

6MF NF +=MN

中点到准线的距离为

A ．

B ．2

3

2

C ．3

D ．4

6.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和为 ．

．

A

2B 4

． ．C 52+D 5

24+

7.有一长、宽分别为、的矩形游泳池，一名工作人员在池边巡逻，某时刻出现在池边任一位置可能性相同，一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是50m 30m 152m

A ．

B ． 343

8

C ．

D ．316π12332π

+

8．若，，，则大小关系为

10

1()2a =121()5b -=15log 10

c =,,a b c A ． B ． a b c >>a c b >> C ． D ．c b a >>b a c >>

9.若f(x)= 是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围为

()(1),{ 4212x a x a x x >??

-+≤ ??

?

A. (1,+∞)

B. (4,8)

C. [4,8)

D. (1,8)

10.已知是定义在上的奇函数，满足, 且当时，,则函数在区间上的零点个数是()f x R ()(2)0f x f x +-=[0,1)

x ∈()ln()1x x f x e x =+

+1

()()3g x f x x =+

A.4

B.5

C.6

D.7

11.已知是非零向量，它们之间有如下一种运算：，其中表示的夹

角．下列命题中真命题的个数是,a b r r

①；②；③；a b b a ?=?r r r r

()()a b a b λλ?=?r r r r ()a b c a c b c +?=?+?r r r r r r r

④；⑤若，则，

a b a b a b

⊥??=r r r r r r 1122(,),(,)

a x y

b x y ==r r

1221

a b x y x y ?=-r r

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

12. 已知双曲线与函数的图象交于点，若函数在点处的切线过双曲线

左焦点，则双曲线的离心率是22

221(0,0)x y a b a b -=>>(0)y x x =≥P y x =P (1,0)F -

A ．

B ．

512

+53

2

+ C ． D ．

312+3

2

第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）

二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分 13.若数列满足，且，则__________．

{}

n a 211

()()lg(1)

n n n n a a a n n n +-=+++11a =100a =

14．已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于103的概率是 ．

[]2,30∈x x

15．错误！未找到引用源. ．

221

21

4e

dx x dx x -+-=

?

?

16.在中，为上一点，且，，为的角平分线，则面积的最大值为 ．ABC ?D AC 2AD =1DC =BD ABC ∠ABC ?

三、解答题:（本题包括6小题，共70分.要求写出证明过程或演算步骤）

17．（本题满分12分） 已知各项均不相等的等差数列满足，且成等比数列．{}n a 11a =125,,a a a

（1）求的通项公式；{}n a

（2）若，求数列的前项和．*1

1

(1)()

n

n n n n n a a b n N a a +++=-∈{}n b n n S 18.（本小题满分12分）

某校高三有500名学生，在一次考试的英语成绩服从正态分布，数学

成

绩

的

频

率

分

布

直

方

图

如

下

：

2(100,17.5)N

（Ⅰ）如果成绩大于135的为特别优秀，则本次考试英语、数学特别优秀的大约各多少人？

（Ⅱ）试问本次考试英语和数学的成绩哪个较高，并说明理由. （Ⅲ）如果英语和数学两科都特别优秀的共有6人，从（Ⅰ）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有人，求的分布列和数学期望.ξξ 参考公式及数据：

若，则，

2

~(,)X N μσ()0.68P x μσμσ-<≤+= (22)0.96P x μσμσ-<≤+=，.(33)0.99P x μσμσ-<≤+=

19.（本题满分12分）如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为的中点，，．111ABC A B C -AB AC ⊥1A ABC

AC M 2AB AC ==13AA =

（1）证明：；1AB CC ⊥

（2）若点为的中点，求二面角的余弦值．P 11

B C 1

P AB A --

20.（本题满分12分）已知A ，B ，C 为椭圆E: 上三个不同的点，0为

坐标原点，若O 为△ABC 的重心.1

222

=+y x

(1)如果直线AB 、0C 的斜率都存在，求证为定

值；OC AB k k

(2)试判断△ABC 的面积是否为定值，如果是就求出这个定值，否则请说明理由.

21. （本题满分12分）已知函数.

（1）若对任意的恒成立，求实数的最小值；n

（2）若函数，求函数的值域.()3

5,03

{

2,3x f x x x x +<<=≥()()()g x f x h x =+

22.（本题满分10分）在平面直角坐标系中，斜率为1的直线过定点（﹣2，﹣4），以O 为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知

曲线的极坐标方程为.

xoy l x C 0cos 4sin 2

=-θθρ （1）求曲线的直角坐标方程以及直线的参数方程；C l

（2）直线与曲线相交于M ，N 两点，若P （﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．l C

成都龙泉中学20xx 级高三上学期入学考试试题

数学（理工类）参考答案

1—5 DBABC 6—10 CBDCB 11—12 BA

13. 14． 15. 16.3009

143

17.【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，由题意得，即，{}n a d

2215a a a =

解得或（舍），所以. （Ⅱ）由，可得21n a n =-

11411

(1)(1)(1)()

(21)(21)2121n

n n n n n n n a a n b a a n n n n +++=-=-=-+-+-+，

当为偶数时，n

111111112(1)()()()13355721212121n n

S n n n n =--+++--+++=-+=-

-+++L .

当为奇数时，为偶数，于是n 1n +

1111111122

(1)()()()13355721212121n n S n n n n +=--+++--+-+=--=-

-+++L .

18.解：（1）英语成绩服从正态分布,

Q 2

(100,17.5)N ∴英语成绩特别优秀的概率为11

(135)(10.96)0.022P P X =≥=-?

=

数学成绩特别优秀的概率为,

23

0.00160.0244P =?

=

∴英语成绩特别优秀的同学有人，5000.0210?= 数学成绩特别优秀的同学有人. 4分

（2）英语的平均成绩为100分，数学的平均成绩为

因为，

所以英语的平均成绩更高. 6分

（3）英语和数学都特别优秀的有6人，单科优秀的有10人，可取得值有0,1,2,3，

3103163

(0)14

C P C ξ===； ；

1210631615(2)56C C P C ξ===；363

161

(3)28C P C ξ===

故的分布列为：ξ

ξ

1

2

3

P

3

14 2756 1556 128

ξ的数学期望为（人）．

3271519()0123145656288E ξ=?

+?+?+?=

或：因服从超几何分布，所以 12分ξ

369

()168E ξ?=

=

19．（1）证明：因为顶点在底面上的射影恰为AC 的中点M ，1A ABC

所以，又，所以，1A M ABC ⊥平面AB ABC ?平面1A M AB ⊥

又因为，而，且，AB AC ⊥111A M A ACC ?平面11AC A ACC ?平面1A M AC M =I 所以平面，又因为，AB ⊥11A ACC 111CC A ACC ?平面

所以． 1AB CC ⊥

（2）解：如图9，以为原点，建立空间直角坐标系， 则，

于是，1(200)(0122)AB AA ==u u u r u u u r

，，，，，

求得平面的一个法向量为，

1ABA (042)n =-r

，，

由，求得平面的一个法向量

(200)(1222)AB AP ==u u u r u u u r ，，，，，PAB

为，则，(022)

m =-u r ，，||1053

cos 9||||326m n m n m n ??===

u r r

u r r g u r r g g ，

所以二面角的余弦值为． 20．解：（1）设直线，代入得：1

P AB A --53

9

设，

则；

由得：

线段中点,因为为的重心，AB

22

2(,)2121

km m

D k k -

++

所以为定值.………………6分11()22AB OC AB OD k k k k k k ==?-

=-

点差法求证相应给分. （2）设，则

代入得，又，

原点到的距离

于是

所以（定值）.………………12分

21. 解：（1）对任意的恒成立，()2h x x n --≤0

x >

等价于对任意的恒成立，32x x n ----≤0

x >

等价于对任意的()

min

23

n x x -≤-+-0x >

因为，

()23231

x x x x -+->---=

当且仅当时取等号，所以，得.

[]2,3x ∈1n -≤1

n ≥-

所以实数的最小值为.n 1-

（2）因为， ()3

5,03

{

2,3x f x x x x +<<=≥()()()g x f x h x =+

所以，()()3

2,03

3{

3,3x x g x f x x x x x ++<<=--=+≥

当时， ，03x <<33

222232

x x x x ++≥?+=+

当时， .3x ≥36x +≥ 综上， .()232g x ≥+

所以函数的值域为.

()()()g x f x h x =+)

232,?++∞? 22.【解答】解：（1）由斜率为1的直线l 过定点（﹣2，﹣4），可

得参数方程为：，（t 为参数）．

由曲线C 的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0，即ρ2sin2θ﹣4ρcosθ=0，可得直角坐标方程：C ：y2=4x ． （2）把直线l 的方程代入抛物线方程可得：．

∴t1+t2=12，t1t2=48．

∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=．