第三节 二项式定理

第三节二项式定理

[选题明细表]

知识点、方法题号

求二项式特定项或其系数1,2,4,5,6,7,9,10,11,12 二项式系数的性质11,16

赋值法3,9,10

二项式定理综合应用8,13,14,15

一、选择题

1.(x2-)5的展开式中,二项式系数最大的项为( C )

(A)第2项 (B)第3项

(C)第3项或第4项 (D)第5项

解析:因为n=5,二项展开式共6项,所以第3项或第4项的二项式系数最大.故选C.

2.(2018·嘉兴一中期中)二项式(1+2x)5的展开式中,系数最大的项为( D )

(A)32x5(B)80x4

(C)80x3(D)80x3,80x4

解析:二项式(1+2x)5的展开式为1+10x+40x2+80x3+80x4+32x5,其中系数最大的项为80x3和80x4,故选D.

3.已知(x2-3x+1)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a1+a2+a3+…+a10等于( C )

(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)0

解析:因为(x2-3x+1)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,

令x=0,可得a0=1,

令x=1,可得a0+a1+a2+…+a10=-1,

所以a1+a2+…+a10=-2.故选C.

4.二项式(x+a)n(a是常数)展开式中各项二项式的系数和为32,各项系数和为243,则展开式中的第4项为( A )

(A)80x2(B)80x (C)10x4(D)40x3

解析:(x+a)n展开式中各项二项式系数和为2n=32,

解得n=5,

令x=1得各项系数和为(1+a)5=243,故a=2,

所以展开式的第4项为x2a3=x2·23=80x2.

5.(2019·宁波市高三上期末)设(x2-3x+2)4=a0+a1x+…+a8x8,则a7等于( C )

(A)-4 (B)-8 (C)-12 (D)-16

解析:=(x-1)4·(x-2)4,求a7就是求x7的系数,所以a7=·(-2)+(-1)·=-12.故选C.

6.已知函数f(x)=-x3+2f′(2)x,n=f′(2),则二项式(x+)n展开式中常数项是( C )

(A)第7项(B)第8项

(C)第9项(D)第10项

解析:由题意可得f′(x)=-3x2+2f′(2),

令x=2可得f′(2)=-12+2f′(2),

所以n=f′(2)=12,二项式展开式的通项为

T r+1=x12-r(2)r=2r·,

令12-r=0可得r=8,

所以展开式中常数项是第9项.故选C.

7.已知(x+1)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10.若数列a1,a2,a3,…,a k(1≤k≤11,k∈N*)是一个单调递增数列,则k的最大值是( B )

(A)5 (B)6 (C)7 (D)8

解析:由二项式定理知a n=(n=1,2,3,…,11).

又(x+1)10展开式中二项式系数最大项是第6项.

所以a6=,则k的最大值为6.故选B.

8.已知+2+22+23+…+2n=729,则+++…+等于( B )

(A)64 (B)63 (C)32 (D)31

解析:+2+22+23+…+2n=(1+2)n=3n=729,即3n=36,所以n=6,

所以+++…+=26-=64-1=63.

故选B.

二、填空题

9.(2019·温州2月联考)若x6=a0+a1(x+1)+…+a5(x+1)5+a6(x+1)6,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6= ,a5= .

解析:令x=0,可求得a0+a1+…+a6=0,

求a5就是求(x+1)5的系数,x6=((x+1)-1)6,

所以a5=(-1)1=-6.

答案:0 -6

10.(2019·浙江“五校联考”模拟)f(x)=(x2+x+1)(2x-)5的展开式中各项系数的和为,该展开式中的常数项为.

解析:令x=1时,得各项系数和为3,

f(x)=(x2+x+1)(32x5-80x3+80x-40x-1+10x-3-x-5),所以展开式中的常数项为-40.

答案:3 -40

11.(2019·镇海中学5月模拟)在二项式(+)n的展开式中,各项系数之和为A,各项二项式系数之和为B,且A+B=72,则n等于,展开式中常数项的值为.

解析:令x=1,得各项系数和为A=4n,B=2n,

所以4n+2n=72,解得n=3,

T r+1=·()r=3r,

当r=1时为常数项,即为9.

答案:3 9

12.在二项式(x-)n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大,则展开式中含x2项的系数是.

解析:因为在二项式(x-)n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大, 所以n=8,

展开式的通项公式为T k+1=·x8-k·(-)k

=·(-1)k·x8-2k,

令8-2k=2,则k=3,

所以展开式中含x2项的系数是-=-56.

答案:-56

13.在(1+x)3++的展开式中,x的系数为(用数字作答).

解析:根据题意易知(1+x)3,(1+)3,(1+)3的展开式中x项的系数分别是,,,

即所求系数是3+3+1=7.

答案:7

三、解答题

14.已知(x2-)n展开式中的二项式系数的和比(3a+2b)7展开式中的二项式系数的和大128,求展开式中的系数最大的项和系数最小

的项.

解:2n-27=128,n=8,

的通项T r+1=

=(-1)r x16-3r.

当r=4时,展开式中的系数最大,即T5=70x4为展开式中的系数最大的项;

当r=3或5时,展开式中的系数最小,

即T4=-56x7,T6=-56x为展开式中的系数最小的项.

15.已知(-)n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.

(1)求展开式中各项系数的和;

(2)求展开式中含的项.

解:由题意知,第五项系数为·(-2)4,第三项的系数为·(-2)2,则有=,

化简得n2-5n-24=0,

解得n=8或n=-3(舍去).

(1)令x=1,

得各项系数的和为(1-2)8=1.

(2)通项公式T k+1=()8-k(-)k

=(-2)k,

令-2k=,

解得k=1,故展开式中含的项为T2=-16.

16.若(+)n展开式中前三项的系数成等差数列,求:

(1)展开式中所有x的有理项;

(2)展开式中系数最大的项.

解:易求得展开式前三项的系数为1,,.

由题意得2×=1+,可得n=8.

(1)设展开式中的有理项为,

由=()8-k()k=()k,

所以k为4的倍数,又0≤k≤8,

所以k=0,4,8.

故有理项为T1=()0=x4,

T5=()4=x,

T9=()8=.

(2)设展开式中项的系数最大,则

()k≥()k+1且()k≥()k-1,可得k=2或k=3. 故展开式中系数最大的项为

T3=()2=7, T4=()3=7.