强概率收缩对与概率赋范空间中非线性算子方程组的解
非线性方程组的迭代解法【开题报告】
毕业论文开题报告 信息与计算科学 非线性方程组的迭代解法 一、选题的背景和意义 =的系数矩阵具有两非线性问题是近代数学研究的主流之一，随着计算问题的日益复杂化Ax b 个明显的特点：大型化和稀疏化。大型化指系数矩阵阶数可达上万甚至更高，稀疏性指A的零元素占绝大多数对这样的A作直接三角分解，稀疏性会遭到破坏，零元素被大量填入变为非零元素，因此迫切需要新的数值方法，适用于大型稀疏线性方程，以节省储存空间和计算时间，即提高计算效 =是数值计算的重要任务，但是率，迭代法在这样的背景下得到关注和发展，求解线性方程组Ax b 大多数科学和实际问题本质上是非线性的，能做线性化的毕竟有限，对这些非线性问题是各种解决方案，常常归纳为求解一个非线性方程组，而与线性方程相比非线性方程组的求解要困难和复杂的多，计算量也大的多，现有的理论研究还比较薄弱。而对于非线性方程，一般都用迭代法求解。二、国内外研究现状、发展动态 近年来，国内外专家学者非线性方程组的迭代解法的研究兴趣与日俱增，他们多方面、多途径地对非线性方程组进行了广泛的领域性拓展（科学、物理、生产、农业等），取得了一系列研究成果。这些研究，既丰富了非线性方程组的内容，又进一步完善了非线性方程组的研究体系，同时也给出了一些新的研究方法，促进了数值计算教学研究工作的开展，推动了课程教学改革的深入进行。三、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点） 非线性的迭代法是解非线性方程组的基本途径，是数值计算中非线性方程组求根的重要工具，也是研究非线性方程组整体性质和具体分布的重要工具。就因为这样，很多专家学者对非线性方程组的迭代法进行研究。在前人研究的基础上，本文首先介绍非线性方程组迭代法的产生背景以及国内外状况，然后从数值计算的定义及理论定理出发来研究非线性方程组的迭代法的一些相关的结论，包括非线性方程组的基于不动点原理的迭代法、newton迭代法及其收敛性、非线性方程组的迭代法及其收敛性、最小二乘法、迭代法的收敛加速性等，进一步讨论非线性方程组迭代解法的收敛性质以及其他一些相关定理，以便我们更好、更清楚的看到非线性方程组和迭代法之间的联系，以及收敛和加速。 四、研究（工作）步骤、方法及措施（思路） （一）研究方法
非线性算子
非线性算子又称非线性映射，不满足线性条件的算子。泛函分析的研究对象主要是线性算子及其特殊情况线性泛函。但是，自然界和工程技术中出现的大量问题都是非线性的。数学物理中的一些线性方程其实都是在一定条件下的近似。为研究这些非线性问题，涉及到的算子(映射)将不能只局限于线性算子。人们从两种不同的途径研究非线性问题：①针对具体问题，考察具体非线性算子的特征，解释非线性现象。②从一般的算子概念出发，添加适当的分析、拓扑或代数性质导出一些一般性的结论。 代数、几何、拓扑中各种非线性映射是形形色色的，分析学中经常遇到的非线性算子则大抵由乘法、函数的复合以及各种线性算子组合而成。常见的非线性积分算子有:乌雷松算 子其中K(x,y，t)是 0≤x，y≤1，t∈R1上的连续函数;哈默 斯坦算子·，其中K是【0,1】×【0,1】上某p次可积函数，?(y,t)在【0,1】×R1上可测，对固定的y关于t连续。常见的微分算子有:KdV算子,极小曲面算子等。 许多非线性算子出现于非线性方程之中，从而有关非线性算子的理论就围绕着非线性方程的求解的研究而展开。设T是从B空间（巴拿赫空间）X到B空间Y的算子，设y∈Y，求解x∈X，满足： (1) 有时特别地考察y =θ（θ是Y中的零元）的情形，称解x为T的零点。显然，若T是一个满射，则(1)总有解,于是人们讨论在什么条件下T具有满射性.又若X=Y，方程(1)的求解问题有时化归寻求算子T1x = Tx+x-y的不动点 (2) 的问题。这样提问题有助于利用几何直观。 和线性方程的解集总是仿射集(线性子空间的平移)不同，方程(1)的解集构造很复杂，它可能对某些y是空集，而对另一些y则非空。其个数可能只有一个,可能有有穷多个，也可能有无穷多个；可能是孤立的，可能有聚点，也可能是连续统。 以X为定义域，取值为Y（映X入Y中）的子集的映射，称为集值映射。相应于(1)的求解问题写成下列从属关系： (3) 算子的微分学从分析上研究一般算子的途径是把数学分析中研究函数的微积分学推广到算子。设X、Y都是B空间，U是X中的一个开集,f:U→Y,称f在x0∈U连续，是指 相应于方向导数概念的是加托导数，简作G导数。称f在x0处G可微,是指对任意的h∈X，存在d f(x0,h)∈Y，使得
第二章 赋范线性空间-黎永锦
第2章 赋范线性空间 虽然不允许我们看透自然界本质的秘密, 从而认识现象的真实原因,但仍可能 发生这样的情形：一定的虚构假设 足以解释许多现象. Eurler L . (欧拉) (1707-1783,瑞士数学家) Schmidt E .在1908 年讨论由复数列组成的空间}||: ){(1 2∞<∑∞ =i i i z z 时引入记号 ||||z 来表示2 11 )(∑∞ =i i i z z ,||||z 后来就称为z 的范数.赋范空间的公理出现在Riesz F .在 1918 年关于],[b a C 上关于紧算子的工作中,但赋范空间的定义是在 1920到1922年间由 Banach S .（1892—1945）、Hahn H .（1879—1934）、Helly E .（1884—1943）和 Wiener N .（1894—1964）给出的,其中以Banach S .的工作最具影响. 2.1赋范空间的基本概念 线性空间是Peano Giuseppe 在1888年出版的书Geometrical Calculus 中引进的.Banach S .在1922年的工作主要是建立具有范数的完备空间,以后为了纪念他称之为 Banach 空间.他定义的空间满足三组公理,第一组公理定义了线性空间,第二组定义了范数, 第三组给出了空间的完备性. 定义 2.1.1 设K 是实数域R 或复数域C ,X 是数域K 上的线性空间,若||||?是X 到R 的映射,且满足下列条件： (1) 0||||≥x 且0||||=x 当且仅当0=x ; (2) ||||||||||x x λλ=,对任意X x ∈和任意K ∈λ ;
21 线性赋范空间
第二章 线性赋范空间与内积空间 Normed Linear Spaces and Inner Product Spaces 前面介绍了度量空间及其性质，在那里通过定义距离的概念，引入了点列的极限，这种点列极限是微积分中数列极限在抽象空间的推广．然而只有距离结构，没有代数结构的空间在应用上受到许多限制．本章通过在线性空间中定义范数来赋予线性空间上的一种特殊距离，从而将收敛的概念引入到线性空间，由此导出线性赋范空间的概念，如果这种空间的两个向量再赋予类似欧氏空间的“内积”或“点积”的概念后，便是内积空间．因此本章的主要内容就是线性赋范空间与内积空间． 2.1 线性赋范空间的定义与极限 在学习高等代数时，我们已了解到线性空间的概念，线性赋范空间，简单地说，就是给线性空间赋予范数． 定义2.1.1 线性空间 设X 为一非空集合，R 表示实数域(或为复数域C )．在X 中定义了元素的加法运算以及实数(或复数)与X 中元素的乘法运算，且满足下列条件： 1. 关于加法“+”：,xy X ?∈，u X ?∈与之对应，记为u x y =+，称u 为x 与y 的和，且具 有,,x y z X ?∈， (1) x y y x +=+ (交换律)； (2) ()()x y z x y z ++=++ (结合律)； (3) 在X 中存在唯一元素θ，使得x X ?∈，有x x θ+=，则称θ为X 中零元素； (4) x X ?∈，存在唯一元素x '∈X ，使得x +x '=θ，称x '为x 的负元素，记为x -. 2. 对X 中每个元素x 及任何实数(或复数)a ，存在元素u ∈X 与之对应，记为u =a x ，称u 为a 与x 的数乘，且满足,x y X ?∈，,λμ?∈R (或C ) (1) ()x x x λμλμ+=+ (分配律)； (2) ()x y x y λλλ+=+ (数因子的分配律)； (3) ()()x x λμλμ= (结合律)； (4) 1x x = (单位1). 则称X 按上述加法和数乘运算成为线性空间或向量空间，X 中的元素称为向量.如果数乘运算只对实数(或只对复数)有意义，则称X 是实(或复)线性空间. 满足上述加法和数承运算的性质，统称为线性运算． 我们知道，n 维欧式空间n R 是线性空间；[,]C a b 在通常加法和数乘意义下构成线性空间；n 阶实矩阵在矩阵的加法和数乘意义下构成线性空间．
若干非线性算子的性质及应用
若干非线性算子的性质及应用 【摘要】：本文主要研究几类非线性算子的性质及应用。全文共分为四章。在第一章中，我们主要研究具有形式G=A+B的非线性算子，其中B为常算子、线性算子或者α-凹算子(0＜α＜1)。某些问题，如三点边值问题，奇异边值问题和脉冲问题通常可转化为此类算子。对这类算子进行深入的研究将有助于对上述问题的讨论。我们引入了局部u_0-凹算子的概念。局部u_0-凹算子是包含u_0-凹算子在内的范围更为广泛的一类算子。我们证明了当A满足某些特定条件时，C 是局部u_0-凹算子，并且得到了若干关于此类算子的不动点存在唯一性定理，这些定理不要求算子同时有上下解，也不要求算子具有连续性和紧性。主要结果如下：设E为实Banach空间，P为E中的正规锥，h＞θ，f∈P_h且M＞0，其中θ为E中的零元素。假设A：P→P 是α-齐次算子(α＞1)。算子C由Cu=Au+Mf，u∈P给定。如果存在v_0∈P_h使得(ⅰ)Cv_0≤v_0；(ⅱ)Av_0≤mf，其中m∈(0，M／(α-1))；那么(ⅰ)C在[θ，v_0]中有唯一的不动点x~*，并有x~*∈P_h，而且存在v′_0∈P_h，v′_0＞v_0使得C在[θ，v′_0]＼[θ，v_0]中没有不动点；(ⅱ)对任意的x_0∈[θ，v_0]，记x_(n+1)=Cx_n，n=0，1，2，…，则有(?)x_n=x~*。而且，存在(?)，γ∈(0，1)使得‖x_n-x~*‖≤2N(1-(?)~(γ~n))‖v_0‖，n=1，2，…，其中N是P的正规常数。然后，我们利用这些定理来讨论三点边值问题与得到了这两类三点边值问题解的存在唯一性结果。需要指出的是，对非线性三点边
非线性方程组数值解法
非线性方程组数值解法 n个变量n个方程(n >1)的方程组表示为 (1) 式中?i(x1,x2,…,x n)是定义在n维欧氏空间R n的开域D上的实函数。若?i中至少有一个非 线性函数，则称(1)为非线性方程组。在R n中记?＝ 则(1)简写为?(尣)=0。若存在尣*∈D，使?(尣*)＝0，则称尣*为非线性方程组的解。方程组(1)可能有一个解或多个解，也可能有无穷多解或无解。对非线性方程组解的存在性的研究远不如线性方程组那样成熟，现有的解法也不象线性方程组那样有效。除极特殊的方程外，一般不能用直接方法求得精确解，目前主要采用迭代法求近似解。根据不同思想构造收敛于解尣*的迭代序列{尣k}(k=0，1，…)，即可得到求解非线性方程组的各种迭代法，其中最著名的是牛顿法。 牛顿法及其变形牛顿法基本思想是将非线性问题逐步线性化而形成如下迭代程序： (2) 式中
是?(尣k)的雅可比矩阵,尣0是方程(1)的解尣*的初始近似。 这个程序至少具有2阶收敛速度。由尣k算到尣k+的步骤为:①由尣k算出?(尣k)及 ;②用直接法求线性方程组的解Δ尣k；③求 。 由此看到迭代一次需计算n个分量函数值和n2个分量偏导数值，并求解一次n阶线性方程组。 为了评价非线性方程组不同迭代法的优劣，通常用效率作为衡量标准,其中P 为迭代法的收敛阶,W为每迭代步计算函数值?i及偏导数值的总个数（每迭代步中求一次逆的工作量相同,均不算在W内）。效率e越大表示此迭代法花费代价越小,根据效率定 义，牛顿法(2)的效率为。 牛顿法有很多变形,如当奇异或严重病态时，可引进阻尼因子λk，得到阻尼牛顿法，即
非线性方程组的求解
非线性方程组的求解 摘要：非线性方程组求解是数学教学中，数值分析课程的一个重要组成部分，作为一门学科，其研究对象是非线性方程组。求解非线性方程组主要有两种方法：一种是传统的数学方法，如牛顿法、梯度法、共轭方向法、混沌法、BFGS 法、单纯形法等。传统数值方法的优点是计算精度高，缺点是对初始迭代值具有敏感性，同时传统数值方法还会遇到计算函数的导数和矩阵求逆的问题，对于某些导数不存在或是导数难求的方程，传统数值方法具有一定局限性。另一种方法是进化算法，如遗传算法、粒子群算法、人工鱼群算法、差分进化算法等。进化算法的优点是对函数本身没有要求，不需求导，计算速度快，但是精度不高。 关键字：非线性方程组、牛顿法、BFGS 法、记忆梯度法、Memetic 算法 1： 三种牛顿法：Newton 法、简化Newton 法、修改的Newton 法【1-3】 求解非线性方程组的Newton 法是一个最基本而且十分重要的方法, 目前使用的很多有效的迭代法都是以Newton 法为基础, 或由它派生而来。 n 个变量n 个方程的非线性方程组, 其一般形式如下: ???????===0),...,(... 0),...,(0),...,(21212211n n n n x x x f x x x f x x x f （1） 式(1)中,),...,(21n i x x x f ( i=1, ?, n) 是定义在n 维Euclid 空间Rn 中开域 D 上 的实值函数。若用向量记号，令： ????????????=n x x x ...X 21,????????????=??????????????====)(...)()(0),...,(...0),..,(0)...,()(2121212,211X f X f X f x x x f x x x f x x x f X F n n n n n
泛函分析线性赋范空间论文
线性赋范空间上算子的一致连续性定理 摘 要:证明线性赋泛空间紧子集上的连续算子一定一致连续,以及算子为一致 连续个充要条件是任意两个 ε>0,存在正数c,使得对x 、y ∈D,当‖Tx-Ty ‖>c ‖x-y ‖时,恒有‖Tx-Ty ‖<ε。 关键词: 连续; 一致连续; 线性赋范空间 满足 n n n lim x -y →∞ （）{} n x {}n y 的序列 和 都有 n n n lim Tx -Ty =→∞ （）0; 或对任意Cuchy 序列{xn},{Txn}是Y 中的Cuchy 序列;或对任意
前言 众所周知,数学分析中所讲的函数的一致连续性反映的是函数的整体性质,它是连续函数理论的重要组成部分.由于其重要性人们在这方面做了大量的深入研究.但是在对数学分析全面提升的泛函分析中,关于算子一致连续性的讨论就少的多.本文主要是给出线性赋泛空间上算子一致连续的几个等价条件以及连续算子成为一致连续算子的几个充分条件,从而推广了数学分析中大家都熟悉的一致连续性定理.在本文中(X,‖?‖1)、(Y,‖?‖2)分别表示两个线性赋范空间(实的或复的),简记为X、Y。 定义1设T是从线性赋范空间X到线性赋范空间Y的一算子,x0∈X,若对任意ε>0,存在δ>0,使得当‖x-x0‖<δ时有:‖Tx-Tx0‖<ε,则称算子T在x0处是连续的;如果T在X中的每一点处都连续,则称T在X上是连续的。 定义2 设T是从线性赋范空间X到线性赋范空间Y的一算子,若对任意ε>0,存在δ>0,使得对中的任意两个点x1,x2,当‖x1-x2‖<δ时都有‖Tx1-Tx2‖<ε成立,则称T在X上是一致连续的.关于一致连续有以下等价定义:若对任意ε>0,存在δ>0,使得对X中的任意两个点x1,x2,如果‖Tx1-Tx2‖≥ε,那么必有‖x1-x2‖≥δ,则T在X上是一致连续的。 从以上的定义不难看出,如果T在X上是一致连续的,那么T必在X上的每一点处都是连续的;反之不真。所以下面我们重点考虑在条件情况下,由算子的连续性可以推出一致连续以及一致连续的一些非常实用的等价命题.首先给出空间紧的概念。 定义3 设M是线性赋范空间X的一个子集,若M中的任何序列都有在M 中收敛的子列,则称M是X的一个紧集.若X本身是紧的,则称Y为紧的线性赋范空间。 连续算子一致连续的两个充分条件 我们有如下一些主要结果: 定理1 设A是线性赋范空间X的紧子集,若T是从A到线性赋范空间Y上的连续算子,则T一定是一致连续的。 证明用反证法,设T在X上不是一致连续的,则由定义知,存在某ε0>0一,使得对于任意的ε>0,都存在X中的相应两个点x′,x″,虽然‖x′-x″‖<δ,但是
泛函分析第2章 度量空间与赋范线性空间
第2章 度量空间与赋范线性空间 度量空间在泛函分析中是最基本的概念。事实上，它是n 维欧几里得空间n R 的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。 2.1 度量空间的基本概念 2.1.1 距离（度量）空间的概念 在微积分中，我们研究了定义在实数空间R 上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R 上现有的距离函数d ，即对y x y x d R y x -=∈),(,,。度量是上述距离的一般化：用抽象集合X 代替实数集，并在X 上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。 【定义2.1】 设X 是一个非空集合，),(??ρ：[)∞→?,0X X 是一个定义在直积X X ?上的二元函数，如果满足如下性质： （1） 非负性 y x y x y x X y x =?=≥∈0,(,0),(,,ρρ； （2） 对称性 ),(),(,,x y y x X y x ρρ=∈ （3） 三角不等式 ),(),(),(,,,y z z x y x X z y x ρρρ+≤∈； 则称),(y x ρ是X 中两个元素x 与y 的距离（或度量）。此时，称X 按),(??ρ成为一个度量空间（或距离空间），记为),(ρX 。 注：X 中的非空子集A ，按照X 中的距离),(??ρ显然也构成一个度量空间，称为X 的子空间。当不致引起混淆时，),(ρX 可简记为X ,并且常称X 中的元素为点。 例2.1 离散的距离空间 设X 是任意非空集合，对X 中任意两点,,x y X ∈令 1 (,)0 x y x y x y ρ≠?=?=? 显然，这样定义的),(??ρ满足距离的全部条件，我们称(,)X ρ是离散的距离空间。这种距离是最粗的。它只能区分X 中任意两个元素是否相同，不能区分
度量空间和线性赋范空间
度量空间和线性赋范空间
1 第六章 度量空间和线性赋范空间 第1次课 教学内容(或课题)： §6.1 度量空间的进一步例子 目的要求： 在复习第二章度量空间基本概念前提下，要求进一步掌握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等. 教学过程： 一 复习第二章度量空间的概念 设X 是个集合，若对于∈?y x ,X ，都有唯一确定的实数()y x d ,与之对应，且满足01 ()y x d ,0≥，()y x d ,=0y x =?;02 ()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,对∈?z y x ,,X 都成立， 则称(X ，d )为度量 空间或距离空间，X 中的元素称为点，条件02称为三点不等式. 欧氏空间n R 对n R 中任意两点()n x x x x ,,,21Λ=和 ()n y y y y ,,,21Λ=，规定距离为 ()y x d ,=()2 1 12??? ??-∑=n i i i y x . []b a C ,空间 []b a C ,表闭区间[]b a ,上实值(或复值)连续函数的全体.对[]b a C ,中任意两点y x ,，定义()y x d ,=()()t y t x b t a -≤≤max . 2 l 空间 记2l ={}? ??? ??∞<=∑∞ =∞ =12 1 k k k k x x x .设{}∞==1k k x x ，{}∞==1k k y y ∈2l ，定义 ()y x d ,=()2 112?? ? ??-∑∞ =i i i y x . 二 度量空间的进一步例子 例1 设X 是任意非空集合，对于∈?y x ,X ，令
3.1 赋范线性空间和Banach空间
第3章 赋范线性空间 3.1 赋范线性空间和Banach 空间 3.1.1 赋范线性空间 定义3.1.1 (范数，赋范线性空间) 设X 为是实（或：复）数域F 的线性空间，若对x X ?∈，存在一个实数x 于之对应，且满足下列条件： (1) 0≥x ; 且0=x ?=0x ； （非负性 (non-negativity)） (2) αα=x x ，α∈F ； （正齐（次）性 (positive homogeneity)） (3) +≤+x y x y ，,X ∈x y ； （三角不等式(triangle inequality)） 则称x 为x 的范数(norm)，称(,)X ? （或：X ）为赋范线性空间(normed linear space)， 简称赋范空间(normed space). 例3.1.1 空间[,]C a b 是闭区间[,]a b 上的连续函数全体所成的线性空间。对[,]f C a b ?∈，规定 [,] max ()t a b f f t ∈=, (3.1.1) 易证f 是f 的范数，则[,]C a b 按上述范数成为赋范线性空间。 例 3.1.2 设[,]a b L 是闭区间[,]a b 上的Lebesgue 可积函数全体所成的线性空间。对 [,]f a b ?∈L ，规定 ()d b a f f t t =?, (3.1.2) 若将在[,]a b 上满足()()f t g t ?=的两个函数,f g 视为同一个函数，即将在[,]a b 上满足 ()0f t ? =的函数f 视为恒等于零的函数，即0f =，则在[,]a b L 上，f 是f 的范数，从而 [,]a b L 按上述范数成为赋范线性空间。 例 3.1.3 在n 维实向量空间n R 或n 维复向量空间（称为酉空间）n C 中，对 12(,,,)n n x x x x ?=∈R （或n C ），令 12 21n i i x x =??= ??? ∑， (3.1.3)
泛函分析题1.4线性赋范空间答案
泛函分析题1_4线性赋范空间p39 1.4.1 在2维空间 2中，对每一点z = (x, y)，令 || z ||1 = | x | + | y |；|| z ||2 = ( x 2 + y 2 )1/2；|| z ||3 = max(| x |, | y |)；|| z ||4 = ( x 4 + y 4 )1/4； (1) 求证|| · ||i( i = 1, 2, 3, 4 )都是 2的范数． (2) 画出( 2, || · ||i )( i = 1, 2, 3, 4 )各空间中单位球面图形． (3) 在 2中取定三点O = (0, 0)，A = (1, 0)，B= (0, 1)．试在上述四种不同的范数 下求出?OAB三边的长度． 证明：(1) 正定性和齐次性都是明显的，我们只证明三角不等式． 设z = (x, y), w = (u, v)∈ 2，s = z + w= (x + u, y + v )， || z||1 + || w||1 = (| x | + | y |) + (| u | + | v |) = (| x | + | u |) + (| y | + | v |) ≥ | x + u | + | y + v | = || z+ w||1． ( || z||2 + || w||2 )2 = ( ( x 2 + y 2 )1/2 + ( u 2 + v 2 )1/2 )2 = ( x 2 + y 2 ) + ( u 2 + v 2 ) + 2(( x 2 + y 2 )( u 2 + v 2 ))1/2 ≥ ( x 2 + u 2 ) + ( y 2 + v 2 ) + 2( x u+ y v ) = ( x + u )2 + ( y + v)2 = ( || z+ w||2 )2． 故|| z||2 + || w||2 ≥ || z+ w||2． || z||3 + || w||3 = max(| x |, | y |) + max(| u |, | v |) ≥ max(| x | + | u |, | y | + | v |) ≥ max(| x + u |, | y + v |) = || z+ w||3． || ·||4我没辙了，没找到简单的办法验证，权且用我们以前学的Minkowski不等式(离散的情况，用H?lder不等式的离散情况来证明)，可直接得到． (2) 不画图了，大家自己画吧． (3) OA = (1, 0)，OB = (0, 1)，AB = (- 1, 1)，直接计算它们的范数： || OA||1 = 1，|| OB||1 = 1，|| AB||1 = 2； || OA||2 = 1，|| OB||2 = 1，|| AB||2 = 21/2； || OA||3 = 1，|| OB||3 = 1，|| AB||3 = 1； || OA||4 = 1，|| OB||4 = 1，|| AB||4 = 21/4． 1.4.2 设c[0, 1]表示(0, 1]上连续且有界的函数x(t)全体．?x∈c[0, 1]，令 || x || = sup{| x(t) | | 0 < t≤ 1}．求证： (1) || ·||是c[0, 1]空间上的范数． (2) l∞与c[0, 1]的一个子空间是等距同构的． 证明：(1) 正定性和齐次性都是明显的，我们只证明三角不等式． || x || = sup{| x(t) | | 0 < t≤ 1}． || x || + || y || = sup{| x(t) | | 0 < t≤ 1} + sup{| y(t) | | 0 < t≤ 1} ≥ sup{| x(t) + y(t) | 0 < t≤ 1} = || x + y ||． 所以|| ·||是c[0, 1]空间上的范数． (2) 任意取定(0, 1]中的一个单调递减列{a k }，满足 (i) a1 = 1；
泛函中四大空间
泛函中四大空间的认识 第一部分我们将讨论线性空间，在线性空间的基础上引入长度和距离的概念，进而建立了赋范线性空间和度量空间。 在线性空间中赋以“范数”，然后在范数的基础上导出距离，即赋范线性空间，完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。范数可以看出长度，赋范线性空间相当于定义了长度的空间，所有的赋范线性空间都是距离空间。 在距离空间中通过距离的概念引入了点列的极限，但是只有距离结构、没有代数结构的空间，在应用过程中受到限制。赋范线性空间和内积空间就是距离结构与代数结构相结合的产物，较距离空间有很大的优越性。 赋范线性空间是其中每个向量赋予了范数的线性空间，而且由范数诱导出的拓扑结构与代数结构具有自然的联系。完备的赋范线性空间是Banach 空间。赋范线性空间的性质类似于熟悉的n R ，但相比于距离空间，赋范线性空间在结构上更接近于n R 。 赋范线性空间就是在线性空间中，给向量赋予范数，即规定了向量的长度，而没有给出向量的夹角。 在内积空间中，向量不仅有长度，两个向量之间还有夹角。特别是定义了正交的概念，有无正交性概念是赋范线性空间与内积空间的本质区别。任何内积空间都赋范线性空间，但赋范线性空间未必是内积空间。 距离空间和赋范线性空间在不同程度上都具有类似于n R 的空间结构。事实上，n R 上还具有向量的内积，利用内积可以定义向量的模和向量的正交。但是在一般的赋范线性空间中没有定义内积，因此不能定义向量的正交。内积空间实际上是定义了内积的线性空间。在内积空间上不仅可以利用内积导出一个范数，还可以利用内积定义向量的正交，从而讨论诸如正交投影、正交系等与正交相关的性质。Hilbert 空间是完备的内积空间。与一般的Banach 空间相比较，Hilbert 空间上的理论更加丰富、更加细致。 1 线性空间 （1）定义：设X 是非空集合，K 是数域，X 称为数域上K 上的线性空间，若,x y X ?∈，都有唯一的一个元素z X ∈与之对应，称为x y 与的和，记作 z x y =+ ,x X K α?∈∈，都会有唯一的一个元素u X ∈与之对应，称为x α与的积，记作
3.3 紧集与有限维赋范线性空间
3.3 紧集与有限维赋范线性空间 3.3.1 致密集的概念 实数直线上的Bolzano-Weierstrass 致密性定理 (compactness theorem)：任一有界数列必有收敛子列。 定义3.3.1 设(,)X ρ是度量空间，A X ?. 若在A 中的任何点列必有在X 中收敛的子点列，则称A 是(X 中的)致密集。 若X 自身是致密集，则称X 是致密空间。 性质1 有限点集是致密集。 注 点集和点列不一样，点列是取点集中的元素构成的，其各项可以重复，但点集中的元素却不能一样。因此，由于有限点集中的元素有限，所以要想构成点列，必然有同一个元素无数次重复，这样，这些重复的元素构成的子点列必然收敛。 性质2 有限个致密集的并是致密集。 证 设12,,,m A A A 是度量空间(,)X ρ的致密集，往证1 m k k A A == 也是(,)X ρ的致密集。 任取一点列{}n x A ?，则存在(1)A m ≤≤ ，{}n x 有无限多项属于A ， 记其为{}k n x ，即{}k n x A ? . 而A 是致密的，所以必有在X 中收敛的子点列{}k h n x ，使得 ()k h n x x X h →∈→∞, 即{}n x 在X 中收敛的子点列{}k h n x ，故A 也是(,)X ρ的致密集。证毕！ 性质3 致密集的任何子集是致密集。因此，任何一族致密集的交是致密集。 证 只要证明“致密集的任何子集是致密集”即可，而“任何一族致密集的交是致密集”则是前者的直接推论。 设A 是度量空间(,)X ρ的致密集，B 是A 的任一子集。 任取一点列{}n x B ?，因为B A ?，所以{}n x A ?. 而A 是致密的，因此点列{}n x 必有在X 中收敛的子点列{}k n x ，使得 ()k n x x X k →∈→∞,
泛函分析线性赋范空间论文
线性赋空间上算子的一致连续性定理 摘 要:证明线性赋泛空间紧子集上的连续算子一定一致连续,以及算子为一致 ε>0,存在正数c,使得对x 、y ∈D, 当‖Tx-Ty ‖>c ‖ x-y ‖时,恒有‖Tx-Ty ‖<ε。 关键词: 连续 ; 一致连续; 线性赋空间 n n x -y （n x n y n n n lim Tx -Ty =→∞ （）
前言 众所周知,数学分析中所讲的函数的一致连续性反映的是函数的整体性质,它是连续函数理论的重要组成部分.由于其重要性人们在这方面做了大量的深入研究.但是在对数学分析全面提升的泛函分析中,关于算子一致连续性的讨论就少的多.本文主要是给出线性赋泛空间上算子一致连续的几个等价条件以及连续算子成为一致连续算子的几个充分条件,从而推广了数学分析家都熟悉的一致连续性定理.在本文中(X,‖?‖1)、(Y,‖?‖2)分别表示两个线性赋空间(实的或复的),简记为X、Y。 定义1设T是从线性赋空间X到线性赋空间Y的一算子,x0∈X,若对任意ε>0,存在δ>0,使得当‖x-x0‖<δ时有:‖Tx-Tx0‖<ε,则称算子T在x0处是连续的;如果T在X中的每一点处都连续,则称T在X上是连续的。 定义2 设T是从线性赋空间X到线性赋空间Y的一算子,若对任意ε>0,存在δ>0,使得对中的任意两个点x1,x2,当‖x1-x2‖<δ时都有‖Tx1-Tx2‖<ε成立,则称T在X上是一致连续的.关于一致连续有以下等价定义:若对任意ε>0,存在δ>0,使得对X中的任意两个点x1,x2,如果‖Tx1-Tx2‖≥ε,那么必有‖x1-x2‖≥δ,则T在X上是一致连续的。 从以上的定义不难看出,如果T在X上是一致连续的,那么T必在X上的每一点处都是连续的;反之不真。所以下面我们重点考虑在条件情况下,由算子的连续性可以推出一致连续以及一致连续的一些非常实用的等价命题.首先给出空间紧的概念。 定义3 设M是线性赋空间X的一个子集,若M中的任何序列都有在M中收敛的子列,则称M是X的一个紧集.若X本身是紧的,则称Y为紧的线性赋空间。 连续算子一致连续的两个充分条件 我们有如下一些主要结果: 定理1 设A是线性赋空间X的紧子集,若T是从A到线性赋空间Y上的连续算子,则T一定是一致连续的。 证明用反证法,设T在X上不是一致连续的,则由定义知,存在某ε0>0一,使得对于任意的ε>0,都存在X中的相应两个点x′,x″,虽然‖x′-x″‖<δ,但是有‖Tx′-Tx″‖≥ε0 (1)