二次函数提高拓展题(含答案)

二次函数提高拓展题

一、选择题

1. 如图所示，已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交x 轴于点A(m ，0)和点B ，且m>4，那么AB 的长是( ) A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m

2.已知函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜4 B ．k ≤4 C．k ＜4且k ≠3 D ．k ≤4且k ≠3

3.若x 1，x 2（x 1＜x 2）是方程（x-a ）（x-b ）=1（a ＜b ）的两个根，则实数x 1，x 2，a ，b 的大小关系为（ ）

A 、x 1＜x 2＜a ＜b

B 、x 1＜a ＜x 2＜b

C 、x 1＜a ＜b ＜x 2

D 、a ＜x 1＜b ＜x 2

4.如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ACB =90°，AB =AD ，AC =4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（ ）

—

A ． 2

425

y x =

B ．225

y x = C ．2225y x

= D ．24

5

y x =

，

5.如图，等腰梯形ABCD 的底边AD 在x 轴上，顶点C 在y 轴正半轴上，B （4,2），一次函数1y kx =-的图象平分它的面积，关于x 的函数()232y mx m k x m k =-+++的图象与坐标轴只有两个交点，则m 的值为（ ）.

A ．0

B ．2

1-

C ．－1

D ．0或2

1

-或－1

/

A

B C

D

第5图

第6图

，

二、填空题

6.如图所示，P是边长为1的正三角形ABC的BC边上一点，从P向AB 作垂线PQ，Q为垂足．延长QP与AC的延长线交于R，设BP=x（0≤x≤1），△BPQ与△CPR的面积之和为y，把y表示为x的函数是______________________．

7.如图是二次函数y

1＝ax2＋bx＋c和一次函数y

2

＝mx＋n的图象，观察图象写出

y 2≥y

1

时，x的取值范围______________．

8.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是---------------------。

9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且△ABC 是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________.

·

10.已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y

1

的值

是_________.

11.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、

B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经

过点(1，8)，M为它的顶点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求△MCB的面积

}

12.在直角坐标平面内，点 O为坐标原点，二次函数 y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图

象交 x轴于点A(x

1，0)、B(x

2

，0)，且(x

1

+1)(x

2

+1)=-8.

(1)求二次函数解析式；

(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积.

$

13.如右图，抛物线n

x

x

y+

+

-

=5

2经过点)0,1(A，与

y轴交于点B.

（1）求抛物线的解析式；

（2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰

的等腰三角形，试求点P的坐标.

'

—

14.知：在△ABC中，BC＝20，高AD＝16，内接矩形EFGH的顶点E、F在BC上，

G、H 分别在AC、AB上，求内接矩形EFGH的最大面积。

:

15.如图，抛物线2

y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与

x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上

的一个动点，求使APC S ?：ACD S ?=5 ：4的点P 的坐标。

{

…

}

%

—

；

~答案

选择题

1.考点：二次函数的图象特征.解析：因为二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4，所以抛物线对称轴所在直线为x=4，交x 轴于点D ，所以A 、B 两点关于对称轴对称，因为点A(m ，0)，且m>4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案选C.

2.解答：解：①当k －3≠0时，(k －3)x 2＋2x ＋1＝0， △＝b 2－4ac ＝22－4(k －3)×1＝－4k ＋16≥0， k ≤4；

②当k －3＝0时，y ＝2x ＋1，与x 轴有交点． 故选B ． —

3 解答：解：∵x 1和x 2为方程的两根，∴（x 1-a ）（x 1-b ）=1且（x 2-a ）（x 2-b ）=1，

∴（x 1-a ）和（x 1-b ）同号且（x 2-a ）和（x 2-b ）同号；∵x 1＜x 2，

∴（x 1-a ）和（x 1-b ）同为负号而（x 2-a ）和（x 2-b ）同为正号，可得：x 1-a ＜0且x 1-b ＜0，x 1＜a 且x 1＜b ，

∴x 1＜a ，∴x 2-a ＞0且x 2-b ＞0，∴x 2＞a 且x 2＞b ，∴x 2＞b ， ∴综上可知a ，b ，x 1，x 2的大小关系为：x 1＜a ＜b ＜x 2． 故选C ．

填空题

6答案：4

3

238332+-=

x x y C.

7考点:函数的图像和性质:解析:图像识别,可以看出21x -≤≤ 8. C.

9.解析：需满足抛物线与x 轴交于两点，与y 轴有交点，及△ABC 是直角三角形，

但没有确定哪个角为直角，答案不唯一，如：y=x 2-1.

|

10.答案：

.

解答题

11.(1)依题意：

(2)令y=0，得(x-5)(x+1)=0，x 1=5，x 2=-1 ∴B(5，0) 由

，得M(2，9)

作ME ⊥y 轴于点E ， 则

可得S △MCB =15.

12.考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式.

解析：(1)由已知x 1，x 2是x 2+(k-5)x-(k+4)=0的两

又∵(x 1+1)(x 2+1)=-8 ∴x 1x 2+(x 1+x 2)+9=0 ∴-(k+4)-(k-5)+9=0 ∴k=5

∴y=x 2-9为所求

(2)由已知平移后的函数解析式为： y=(x-2)2-9 且x=0时y=-5

∴C(0，-5)，P(2，-9)

.

13.解：（1）由题意得051=++-n . ∴4-=n . ∴抛物线的解析式为452-+-=x x y .

（2）∵点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为)4,0(-. ∴

OA =1，OB =4.

在Rt △OAB 中，1722=+=OB OA AB ，且点P 在y 轴正半轴上.

①当PB =PA 时，17=PB . ∴417-=-=OB PB OP . 此时点P 的坐标为

)417,

0(-.

②当PA =AB 时，OP =OB =4 此时点P 的坐标为（0，4）.

=x ，PD=y ，根据矩形的对边平行可得HG∥EF，然后得到△AHG 与△ABC 相似，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，用x 表示出y ，然后根据矩形的面积公式求解并整理，再利用二次函数的最值问题进行求解即可．解：如图，设HG=x ，PD=y ，

∵四边形EFGH 是矩形， ∴HG∥EF，∴△AHG∽△ABC，∴=

，

∵BC=20，AD=16， ∴

=

，

解得y=﹣x+16，

∴矩形EFGH 的面积=xy=x （﹣x+16）=﹣（x ﹣10）2+80，

∴当x=10，即HG=10时，内接矩形EFGH 有最大面积，最大面积是8

15.（1）直线3y x =-与坐标轴的交点A （3，0），B （0，－3）．则

9303b c c +-=??

-=-?

解得23b c =-??=?所以此抛物线解析式为2

23y x x =--．（2）抛物线的顶点D （1，－4），与x 轴的另一个交点C （－1，0）.设

P 2

(,23)a a a --，则2

11(423):(44)5:422

a a ??--??=.化简得

2235a a --=

当223a a --＞0时，2

235a a --=得4,2a a ==- ∴P （4，5）或P （－2，5）

当2

23a a --＜0时，2

235a a -++=即2

220a a ++=，此方程无解．综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（－2，5）．