数列与解析几何综合—点列问题

专题：数列与解析几何综合——点列问

1．如图，直线)21,0(1:1±≠≠-+=k k k kx y l 与:2l 2

1

21+=

x y 相交于点P.直线l 1与x 轴交于点P 1，过点P 1作x 轴的垂线交直线l 2于点Q 1，过点Q 1作y 轴的垂线交直线l 1于点P 2，过点P 2作x 轴的垂线交直线l 2于点Q 2，…，这样一直作下去，可得到一系列点P 1、Q 1、P 2、Q 2，…，点P n （n=1，2，…）的横坐标构成数列{}.n x

（Ⅰ）证明*),1(21

11N n x k

x n n ∈-=

-+； （Ⅱ）求数列{}n x 的通项公式； （Ⅲ）比较5||4||22

122+PP k PP n 与的大小.

【解析】（Ⅰ）证明：设点P n 的坐标是),(n n y x ， 由已知条件得点Q n 、P n+1的坐标分别是：).2

1

21,(),2121,(1+++n n n n x x x x 由P n+1在直线l 1上，得

.12

1

211k kx x n n -+=++ 所以 ),1()1(211-=-+n n x k x 即 .*),1(2111N n x k

x n n ∈-=-+

（Ⅱ）解：由题设知 ,011,1111≠-=--=k x k x 又由（Ⅰ）知 )1(21

11-=-+n n x k

x ，

所以数列 }1{-n x 是首项为,11-x 公比为k

21

的等比数列.

从而 .*,)21(21,)21(111N n k x k k x n

n n n ∈?-=?-=--即

（Ⅲ）解：由??

?

??+=-+=,2121,1x y k kx y 得点P 的坐标为（1，1）.

所以,)21(2)21(8)11(2)1(2||22222

22-+?=--++-=n n n

n n k

k k kx x PP .945])10()111[(45||42222

21

2+=+-+--=+k k

k PP k （i ）当2121,21||>-<>k k k 或即时，5||42

12+PP k >1+9=10.

而此时 .5||4||2.10218||2,1|21|02

1222+<=+?<<

k k <<∈-即时，5||42

12+PP k <1+9=10.

而此时 .

5||4||2.10218||2,1|21|2

1222+>=+?>>PP k PP PP k

n n 故所以

EX ：已知点()n n n b a P ,都在直线22:+=x y l 上，1P 为直线l 与x 轴的交点，数列{}n a 成等差数列，公差

为1. （+∈N n ）

(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)求数列{}

n b -12的前n 项和n T . (3)求证：

+2

2

11P P

+2

3

11P P …… +

5

2

12

1<

n

P P (n ≥2, +∈N n ) 【解析】

(1)

()2

2,2,0,11-=-=-n b n a P n n 4分

（2）令

n c =

n

b -12=14n 2-则它的前n 项的和

n

s =132

n n -，

7=c

n T =()?????≥+-≤-78413)

7(1322

n n n n n n 4分

(3) ())0,1(,22,21---P n n P n )1(51-=∴n P P n )2(≥n 2分

()??

?

???-++++=+

++

∴

2222

12

3

12

2

1113121151111n P P P P P P n

()()???

???--+=??????--++?+?+<

)1(11151121321211151n n n 5

2

)1(1251

n 4分

2、如图，曲线2(0)y x y =≥上的点i P 与x 轴的正半轴上的点i Q 及原点O 构成一系列正三角形

111221,,,,

.n n n OPQ Q P Q Q P Q -设正三角形1n n n Q P Q -的边长为n a ,n ∈N ﹡(记0Q 为O ),(),0n n Q S .

(1) 求1a 的值;

(2) 求数列{n a }的通项公式n a ;

(3) 求证:当2≥n 时,

2

2

2

2

1

2

2111132

n

n n

n

a a a a +++

+

++

<

. 【解析】

（1）由条件可得1111,22P a a ?? ? ???

,代入曲线2

(0)y x y =≥得21111

312,0,423a a a a =>∴=; (2)

12n n S a a a =++

+ ∴点1111(,

)22

n n n n P S a a ++++代入曲线2(0)y x y =≥并整理得 P

P 2

P

Q 1 Q 2

O

2113142n n n S a a ++=

-,于是当*2,n n N ≥∈时,221113131()()4242

n n n n n n n a S S a a a a -++=-=--- 即

11113

()()()24n n n n n n a a a a a a ++++=+?- *112

0,(2,)3

n n n n a a a a n n N ++>>∴-=≥∈

又当2122231421,,(4233n S a a a ==

-∴=-时舍去）2123a a ∴-=,故*12()3

n n a a n N +-=∈ 所以数列{n a }是首项为

23、公差为23的等差数列, 2

3

n a n =; (3) 由（2）得2

3

n a n =，当2n ≥时，2

22212

21

111n n n n

a a a a +++

+++

22

299

944(1)44n n n =

+++?22

2911

14(1)4n n n ??

=++??+??

9111

4(1)(1)2(21)n n n n n n ??<++??-+-??9111111()()(

)411212n n

n n n n ??

=-+-++-??-+-??

9119(1)()4128(1)

n n n n n +=

-=--， 欲证

9(1)3

8(1)2

n n n +<-，只需证23344n n n +<-，即证24730n n -->，

设2

()473f n n n =--， 当7

8

n ≥

时，f （n ）递增.而当3n ≥时,有()0f n >成立.所以只需验证n=2时不等式成立.------ 13分 事实上,

919529613164646464642

++=+=<. 综上,原不等式成立. ------------------------------------------14分

3、已知曲线C ：x y 1=

， n C ：n x y -+=2

1 （*

∈N n ）。从C 上的点),(n n n y x Q 作x 轴的垂线，交n C 于点n P ，再从点n P 作y 轴的垂线，交C 于点

),(111+++n n n y x Q ，设111,,1++-=-==n n n n n n y y b x x a x 。

（I ）求21,Q Q 的坐标； （II ）求数列{}n a 的通项公式；

（III ）记数列{}n n b a ?的前n 项和为n S ，求证：3

1

（1）由题意得知)1,1(1Q ，)32,1(1P ，)3

2,23(2Q

（2）),(n n n y x Q ，),(111+++n n n y x Q ，点n P 的坐标为),(1+n n y x

1,+n n Q Q 在曲线C 上，n n x y 1=

∴，1

11++=n n x y 又n P 在曲线n C 上，n

n n x y -++=

211 n

n

n x x -++=∴21 n n a -=∴2

（III ）+-+-=---)()(211n n n n n x x x x x ……+112)(x x x +- ……7分

=1222

1)

2()

1(++++----- n n =n n

--=--?

1222

11)21(11 )11(

2)()(111+-++-=-?-=?∴n n n

n n n n n n x x y y x x b a )2

21221(21n n n ------= )

122()222(1

-??-?=

n

n ……………………………………11分 n n 2222≥-?，3122≥-?n

n

n n b a 2

31

?≤

?∴ n

n n n b a b a b a S 23123123122211?++?+?≤

+++= 31)211(312

11)21

(161<-=--?

=n n

6．（本小题满分15分，其中第一小问4分，第二小问6分，第三小问5分）

过曲线3

:x y C =上的点),(111y x P 作曲线C 的切线l 1与曲线C 交于),(222y x P ，过点P 2作曲线C 的切

线l 2与曲线C

交于点),(333y x P ，依此类推，可得到点列：),(111y x P ，

2223331(,),(,),,(,),,1n n n P x y P x y P x y x =已知

（1）求点P 2、P 3的坐标. （2）求数列}{n x 的通项公式.

（3）记点n P 到直线)(211+++n n n P P l 即直线的距离为n d ， 求证：9411121>+++n d d d .

【解析】

（1）)64,4(),8,2(32P P -- …………………………………………4分 （2）曲线C 上点),(n n n y x P 处的切线n l 的斜率为2

3n x x n x y k n ='==，

故得到的方程为)(32

n n n x x x y y -?=- ……………………………………6分

联立方程32

33()n n n n

n y x y y x x x y x ?=?-=?-??=?消去y 得：023323=+?-n n x x x x

化简得：0)2()(2

=+?-n n x x x x 所以：n n x x x x 2-==或………………8分

由n x x =得到点P n 的坐标),,(n n y x 由n x x 2-=就得到点1+n P 的坐标))2(,2(3

n n x x --所以：

n n x x 21-=+ 故数列}{n x 为首项为1，公比为－2的等比数 列所以：1)2(--=n n x …………………………………………10分

（3）由（2）知：),)8(,)2((),)8(,)2((1

121++++----n n n n n n P P

所以直线n l 的方程为：))2(()

2()2()8()8()8(1

1n

n n n n n

x y --------=--++ 化简得：0)8(243=-?--?n

n

y x …………………………………………12分

3

211

22112.9238271

49827)1()43(|

)8(2)8()2(43|-----=??<+??=-+?-?----??=

n n n n n n n n n n n d

所以

3

)2

1(911-?>n n d ∴

)211(9811121n n d d d ->+++ ≥814(1)929

-= …………………15分

7. 已知曲线C:y=x 2(x ＞0),过C 上的点A 1（1，1）作曲线C 的切线l 1交x 轴于点B 1，再过点B 1作y

轴的平行线交曲线C 于点A 2，再过点A 2作曲线C 的切线l 2交x 轴于点B 2，再过点B 2作y 轴的平行线交曲线C 于交A 3，…，依次作下去，记点A n 的横坐标为a n (n∈N *).

（1）求数列{a n }的通项公式；

（2）设数列{an}的前n 项和为Sn ，求证：anSn≤1; （3）求证：1

n

i =∑

1

i i a S ≤

41.3

n - 【解析】

(1)∵曲线C 在点A n (a n ,a 2

)n n n 处的切线l 的斜率是2a , ∴切线l n 的方程是y-a 2

2().n n n a x a =-

由于点B n 的横坐标等于点A n+1的横坐标a n+1，所以，令y=0，得a n+1＝

1

2

a n 。 ∴数列{a n }是首项为1，公比为

12的等比数列.∴a n =1.21

n - （2）∵S n =1

12112

n -

-=2(1-12n ),∴a n S n =4×12n (1-12n ). 令t=

12n ，则0＜t≤12，∴a n S n =4t(1-t)=-4(t-12)2

+1. ∴当t=

12，即n=1时，-4(t-1

2

)2+1有最大值1，即a n S n ≤1. （3）∵S k ≥a k ,k∈N *，∴a k S k ≥a 2

1,k k k a S 即

≤21

.k

a ∵数列{

21

k

a }是首项为1，公比为4的等比数列.

∴

1

n

i =∑

1i i a S ≤1

n

i =∑2

1a i =1441

.143n n --=-

8、（06卷）已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f(x)=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，…

(1)证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；

(2)设Tn=(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求Tn 及数列｛a n ｝的通项； (3)记bn=

112n n a a ++，求｛bn ｝数列的前项和Sn ，并证明Sn+231

n T -=1. 【解析】

（Ⅰ）由已知

2

12n n n

a a a +=+，

2

11(1)n n a a +∴+=+

12

a =

11

n a ∴+>，两边取对数得

1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+，即

1lg(1)

2lg(1)

n n a a ++=+

{lg(1)}

n a ∴+是公比为2的等比数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知11lg(1)2lg(1)n n a a -+=?+ 1

122lg3lg3n n --=?= 1

2

13n n a -∴+=（*）

12(1)(1)n T a a ∴=++n …(1+a ) 012222333=????n-12…3 21223+++=n-1…+2=n 2-1

3

由（*）式得

1

23

1n n a -=-

（Ⅲ）

2

102n n a a a +=+1(2)

n n n a a a +∴=+ 11111

()22

n n n a a a +∴

=-+

1112

2n n n a a a +∴

=-

+ 又

112n n n b a a =

++1112()n n n b a a +∴=-

12n S b b ∴=++n …+b 122311111112(

)n n a a a a a a +=-+-+-…+11

11

2()n a a +=- 1

221131,2,31n n

n n a a a -+=-==-22131

n

n S ∴=-

-

又2

1

3n

n T -=2

131

n n S T ∴+

=-.

9．（本题满分16分）由原点O 向曲线32

()3(0)f x x ax x a =-+≠引切线，切于不同于O 的

点P 1（x 1，y 1），再由点P 1引此曲线的切线，切于不同于P 1的点P 2（x 2，y 2），如此继续下去，得到点列 {P n (x n ，y n )} . （I ）求1x ；

（Ⅱ）求证：数列{}n x a -为等比数列；

（Ⅲ）令||n n b n x a =-，n T 为数列{n b }的前n 项的和，若2n T >对*

n N ∈恒成立，求a 的取值围.

【解析】

(Ⅰ)'2

()361f x x ax =-+ --------------------------------------1分

过切点P 1（x 1，y 1）的切线方程为2

1111(361)()y y x ax x x -=-+- 由于切线过原点O ，因此322

1111110(3)(361)(0)x ax x x ax x --+=-+-

解得13

2

x a =

-------------------------------------4分 (Ⅱ) 过切点P n+1（x n+1，y n+1）的切线方程为2

1111(361)()n n n n y y x ax x x ++++-=-+-

由于切线过点P n （x n ，y n ），因此2

1111(361)()n n n n n n y y x ax x x ++++-=-+--- ---6分

化简得123n n x x a ++=，∴12()n n x a x a +-=-- -------------------------------8分 即

11

2

n n x a x a +-=--，

∴数列{}n x a -是以12a x a -=

为首项，公比为1

2

-的等比数列。 ---------------9分 (Ⅲ)由(Ⅱ)得n x a -=

11()22

n a -- 2

n n n

b a

= ------------------------------------11分 23123

()222

2n n

n T a =+++

+