关于地球上两点间的最短航线方向问题
甲 A B C D E F 乙
B 关于地球上两点间的最短航线方向问题
一.最短航线的判断依据：
球面上两点间的最短距离为两点所在大圆的劣弧。
二、图示圆弧是否属于大圆
看圆弧直径是否等于地球直径
三、找大圆上两点的劣弧
过两点的弧小于180度
1、判断图中各点之间是否为最短距离（如图1所示）
AB 、 CD 、 EF
2、图中甲乙两点间的最短距离（如图2所示）
（图1） （图2）
四、地球上两点间的最短航线方向确定
1、两点在同一经线圈上
a. 两点在同一经线上,向正北或向正南走
例如（图1） A 到B 向正北走；反之，B 到A 向正南走。
b ．两点在两条经线上（经度相对，过较近的极点判断）
过A 、B 两点经线圈劣弧通过北极点时，先向正北走后向正南走；反之过A 、B 两点经线圈劣弧通过南极点时，先向正南走后向正北。
例：如图2 从A 到B 先向正北走后向正南走；反之，从B 到A 先向正南走后向正北走。
如图1 如图2
2、两点在同一纬线上
甲 乙 A B A
B A a. 两点在赤道上，向正东走或向正西走 如图1 A 到B 向正东走，反之，B 到A 向正西走。
b ．两点不在赤道上
①．南北方向确定，北半球偏北，南半球偏南
北半球所在纬线上的两点，先向北走后向南走；反之，南半球所在纬线上的两点，先向南走后向北走
②．东西方向的确定
走向和地球自转的方向相同，向东走；反之，走向和地球自转的方向相反，向西走。 例：如图2
A 到
B 先西北后西南，
C 到
D 先向东南后向东北
（如图1） （如图2）
3、两点即不在同一经线，也不在同一纬线上（即A 、B 两点晨昏圈上） a.过劣弧不通过两点所在大圆与南北半球所在纬线的切点
T 时，（即两点在晨线上或在昏线上，根据地图上的方向判
断方法）
（如左图） 例:A 到B 向东南走；反之，B 到A 向西北走；
从C 到D 向东北走, 从D 到C 向西南走
b ．过两点劣弧通过两点所在大圆与南北半球所在纬线的
切点T 时（即分别在晨线和昏线上，用极点附近方向的判断）
①．南北方向: 通过北半球所在纬线切点T 时，南北方
向，先向北走，后向南走；反之，通过南半球所在纬线切点
T 时，先向南走，后向北走
②．东西方向: 走向和地球自转的方向相同，向东走；
反之，走向和地球自转的方向相反，向西走。
如左图 例: 从A 到D 先向西北后向西南;从B 向C 先东
南后东北走. C D
A B
A B C D T N T S
空间两点之间的距离公式
空间两点间的距离公式 教学目标： 1、通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式 2、感受空间两点间距离公式与平面两点间距离公式的联系与区别 教学重点 两点间距离公式的应用 教学难点 利用公式解决空间几何问题 教学过程 一、复习 1、空间点的坐标的特点 2、平面两点间的距离公式P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2) ________________ 线段P 1P 2中点坐标公式______________ 二、新课 1、设P 的坐标是(x,y,z),求|OP| |OP|=___________________________ 2、空间两点P 1(x 1,y 1,z 1)，P 2(x 2,y 2,z 2),求 |P 1P 2| |P 1P 2|=___________________________ 线段P 1P 2中点坐标公式_________________ 例：()()间的距离求空间两点1,0,6523 21--，P ，，P 练习：()()()513432251，，，C ，，，B ，，A ABC 的三个顶点已知? （1）求。ABC 中最短边的边长 ? （2）求边上中线的长度AC
例：试解释()()()365312222=-+++-z y x 的几何意义。 练习：1、已知()1,,222=++z y x z y x M 满足则M 点的轨迹为_________________ 2、求P ??? ? ??66,33,22到原点的距离。 3、()()。a AB a ，B ，，A 的值求设,4,,3,0210= 4、在长方体1111D C B A ABCD -，AD=2，AB=3，AA 1=2，E 为AC 中点，求D 1E 的长。 三、小结
探究球面上两点间的最短距离和走法 2
探究球面上两点间的最短距离和走法 在球面上，连接甲、乙两点有一弦,在同样的弦上,半径最大，所过的弧长最短.过球面上任意两点的圆弧都是在某个过这两点的平面与该球切割出的圆上.在球面上,两点间最短距离就是过这两点的大圆(半径等于球体的半径）的劣弧，下图中甲、乙两点，最短距离就是两点所在的经过球心的大圆上的距离. 具有地理意义的大圆：经线圈、赤道、晨昏圈（线）（如下图)１、在同一经线圈上的两点（但不在同一 条经线上），过这两点的大圆便是经线圈， 过两极点为两点间最短距离,具体又分为三 种情况： A．同位于北半球，最近航程一定是先
向北，过极点后再向南(如图1中的Ａ、B两点） B、同位于南半球，最近航程一定是先向南，过极点后再向北（如图２中的Ａ、B两点)。 C、两地位于南北两个半球,这时需要讨论,确定过哪个极点的为劣弧,再讨论（如图3) 2、在晨昏圈上（晨昏线就是经过球心的大圆） Ａ、在晨线上的A、B两点（如图4），判断较为简单。 B、在昏线上的 C、D两点（如图5),判断较为简单. C、分别在晨线和昏线上:
从A到D点间最近距离的走法是先向西北再向西南，从B到C点间最近距离的走法是先向东南再向东北（如图6) 3、在赤道上的Ａ、B两点正东或正西，最短距离，就是过这两点的大圆的劣弧（图7) 4、同一纬线上的两点间最短距离的走法，北半球是先向高纬度，再向低纬度，如图8中的Ａ、Ｂ两点,从A到B是先向东北，再向东南。南半球是先向高纬度，再向低纬度，如图8中的Ｃ、D两点，从C到D是先向东南,再向东北。 5、其他任意点间最短距离和方向的判断 两地经度差不等于１８0,则过两点的大圆不是经线圈，而与经线圈斜交，最短距离不过两极点，而是过两极地区(或上空）,可分为两种情况:
如何证明两点之间距离最短(三维版)
如何证明两点之间距离最短(三维版) 两点之间直线最长曲线最短 证明如下： 两点之间直线最短，这是数学常识，我无异意。我只是站在另一个角度思考问题。我试图把北京和纽约这两个点用直线连接起来，因为两点之间直线最短，但折腾了半天，发现：两点之间直线最长。原理在于，地球是圆的，任何一点与另一点之间都无法直线连接，一旦想直线连接，连线必然沿切线直飞出去，很难与另一点连接在一起。唯有曲线连接，才是最短的距离。我拿了一个可口可乐瓶子，在瓶面上取两点，想把这两点用直线连接起来，结果失败，结果依然证明：两点之间直线最长，曲线最短。百般思索和试验的结果发现：所谓两点之间直线最短的结论仅仅适合于二维平面之中，超出二维平面，这个结论失效。此外，这个结论在理论上成立，在实际中不成立。这就是说，不在同一维度中两点之间无法直线连接，越想用直线连接，距离会越远。同时，理论上正确的，实际中无法应用。把这个发现引伸到其他领域结果会如何呢？在思想领域，两点之间也无法直线连接，比如耶稣、佛陀、老子、穆罕默德、马克思列宁毛泽东、奥修、赛斯等等的思想相互之间无法用直线连接，最短的距离是曲线连接。在社会领域，比如美国和中国的制度，这两点之间也无法直线连接，唯有曲线最短。在信仰领域，比如无神论和有神论，进化论和创造论，唯心论和唯物论，都无法直线连接。 在人文领域，比如东西方文化，尤其是其价值观，也无法直线连
接。在情爱方面，越是直线连接，寿命越短，"曲径通幽处，禅房花木深，"越曲，越心惊肉跳，越有滋味。在幸福快乐方面，越想直线获得幸福快乐，越得不到幸福快乐。许多人走了一辈子，最后会发现越直接的路是离幸福快乐最遥远的路，且不通向任何目的地。其实，中国人是最懂曲线道理的，行贿不直接向本人行，而是通过其夫人或七大姨八大姑行贿，也不一定直接行物行钱，而是提供获利方便。办事不直接到办公室说，而是先请到酒店意思意思。心急火燎却装得没事人似的。什么"欲擒故纵"、"围魏救赵"、"瞒天过海"、"声东击西"、"暗渡陈仓"、"借尸还魂"、"指桑骂槐"、"偷梁换柱"、"美人计"、"反间计"等等，等等就是在搞"曲线救国"。人生的路越曲越好，越直接越不好。人一出生，什么都不感受体验，就直达坟墓，有什么好的？今天谈恋爱，明天就结婚，后天生孩子，大后天就寿终正寝，有什么好的？吃饭、上班、睡觉，再吃饭、再上班、再睡觉，有什么好的？从一而终有什么好的？伟人说过，"前途是光明的，道路是曲折的，"把这句话倒过来说就是一个真理：道路曲折的，前途是光明的。起码是更有意义的。生命领域同样如此，如果师父直接告诉我们生命的奥秘，明天就去仙岛群岛洲，一是反而去不了，二是错过了丰富多彩的人生体验。如果乐着、笑着、打闹着、嘻嘻哈哈着、感受着、经历着、体验着，看起来是曲线，不直接，但实际情况是：两点之间直线最长，曲线最短。我喜欢反常思维，把正常的看作不正常，不正常的看作正常，结果，思维可以向无限陌生无限宽广的领域延伸，常常有"山穷水复疑无路，柳暗花明又一村"的感受。
球面距离的计算
球面距离的计算经典范例 1．位于同一纬度线上两点的球面距离 例1 已知，B两地都位于北纬，又分别位于东经和，设地球半径为，求，B的球面距离． 分析：要求两点，B的球面距离，过，B作大圆，根据弧长公式，关键要求圆心角的大小（见图1），而要求往往首先要求弦的长，即要求两点的球面距离，往往要先求这两点的直线距离． 解作出直观图（见图2），设为球心，为北纬圈的圆心，连结，，，，．由于地轴平面． ∴与为纬度，为二面角的平面角． ∴（经度差）． △中，． △中，由余弦定理， ． △中，由余弦定理： ， ∴． ∴的球面距离约为． 2．位于同一经线上两点的球面距离 例2 求东经线上，纬度分别为北纬和的两地，B的球面距离．（设地球半径为）．（见图3） 解经过两地的大圆就是已知经线． ，．
3．位于不同经线，不同纬线上两点的球面距离 例3 地位于北纬，东经，B地位于北纬，东经，求，B两地之间的球面距离．（见图4） 解设为球心，，分别为北纬和北纬圈的圆心，连结，，． △中，由纬度为知， ∴， ． △中，， ∴， ∴． 注意到与是异面直线，它们的公垂线为，所成的角为经度差，利用异面直线上两点间的距离公式． （为经度差） ． △中， ． ∴． ∴的球面距离约为． 球面距离公式的推导及应用 球面上两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这段弧长叫做两点的球面距离，常见问题
是求地球上两点的球面距离。对于地球上过A 、B 两点大圆的劣弧长由球心角AOB 的大小确定，一般地是先求弦长AB ，然后在等腰△AOB 中求∠AOB 。下面我们运用坐标法来推导地球上两点球面距离的一个公式。 地球球面上的点的位置由经度、纬度确定，我们引入有向角度概念与经度、纬度记法：规定东经为正，西经为负；北纬为正，南纬为负（如西经30o为经度α=-30o，南纬40o为纬度β=-40o ），这样简单自然，记球面上一点A 的球面坐标为A （经度α，纬度β），两标定点，清晰直观。 设地球半径为R ，球面上两点A 、B 的球面坐标为A （α1，β1），B （α2，β2），α1、α2∈[-π，π]，β1、β2∈[- 2 π ， 2 π]，如图， 设过地球O 的球面上A 处的经线与赤道交于C 点，过B 的经线与赤道交于D 点。设地球半径为R ；∠AOC=β1，∠BOD=β2，∠DOC=θ=α1-α2。 另外，以O 为原点，以OC 所在直线为X 轴，地轴所在直线ON 为Z 轴建立坐标系O-XYZ （如图）。则A （Rcos β1,0,Rsin β1）,B(Rcos β2cos （α1-α2）,Rcos β2sin （α1-α2）,Rsin β2) cos ∠AOB =cos 〈OA ，OB 〉=cos β1cos β2cos （α1-α2）+sin β1sin β2 ∠AOB=arcos[cos β1cos β2cos （α1-α2）+sin β1sin β2] 其中反余弦的单位为弧度。 于是由弧长公式，得地球上两点球面距离公式： ? AB =R 2arcos[cos β 1 cos β2cos （α1-α2）+sin β1sin β2] （I ） 上述公式推导中只需写出A ，B 两点的球面坐标，运用向量的夹角公式、弧长公式就能得出结论，简单明了，易于理解，公式特征明显.从公式的推导中我们体会到坐标法在解决立几问题的不凡表现。 由公式（I ）知，求地球上两点的球面距离，不需求弦AB ，只需两点的经纬度即可。 公式对求地球上任意两点球面距离都适用,特别地，A 、B 两点的经度或纬度相同时，有： 1、β1=β2=β，则球面距离公式为： B A =R 2arcos[cos 2 β cos （α1-α2）+sin 2 β] （II ） 2、α1-α2=α，则球面距离公式为： B A =R 2arcos （cos β 1 cos β2+sin β1sin β2）=R 2arcoscos （β1-β2） （III ） 例1、 设地球半径为R ，地球上A 、B 两点都在北纬45o的纬线上，A 、B 两点的球面距离是3 πR ，A 在东经20o，求B 点的位置。 分析：α1=20o，β1=β2=45o，由公式（II ）得： 3 π R= R 2arcos[cos 2 45ocos （20o-α2 ）+sin 2 45o] cos 3π=2 1 cos （20o-α2 ）+21 ∴cos （20o-α2）=0, 20o-α2=±90o即：α2=110o或α2=-70o 所以B 点在北纬45o，东经110o或西经70o 例2、 （2002年第六届北京高中数学知识应用竞赛试题）北京时间2002年9月27日14点，国航CA981航班从首都国际机场准时起 飞，当地时间9月27日15点30分，该航班正点平稳降落在纽约肯尼迪机场；北京时间10月1日19点14分，CA982航班在经过13个小时的飞行后，准点降落在北京首都国际机场，至此国航北京--纽约直飞首航成功完成。这是中国承运人第一次经极地经营北京--纽约直飞航线。从北京至纽约原来的航线飞经上海（北纬31 ，东经122 ）东京（北纬36 ，东经140 ）和旧金山（北纬37 ，西经123 ）等处，
7.两点间的距离公式
3.3 直线的交点坐标与距离 公式 3.3.2两点间的距离 【教材导读】 一、情景导入 已知平面上点A （1,3），你能求出A 点与原点之间的距离吗？若已知平面上任意两点的坐标，又该如何求得这两点之间的距离？ 二、教材导读 1.两点间距离公式的推导 已知平面上点A （1,3）， 在平面直角坐标系中建立直 角三角形， 由勾股定理可求得A 点与原点O 之间的距离： d =那么已知平面上任意两点 ),(111y x P ，),(222y x P ，是否能用相同方法求得21P P 的距离呢？ 阅读教材P 104内容，掌握应用几何方 法推导出两点间距离公式的过程. 2.两点间的距离公式 平面上两点),(111y x P ，),(222y x P 间的距离公式： 由公式可知，原点)0,0(O 与任一点 ),(y x P 的距离22y x OP +=； 3.在《平面向量》一章中我们通过向量的模也得到了两点间的距离公式：平面上两点 ),(111y x P ，),(222y x P ，则： （1）122121(,)PP x x y y =-- （2）12||PP = 注意比较两种情形下推证方法. 4. 沙尔定理:设A 、B 是x 轴上任意一条有向线段，O 是原点，OA=1x ，OB=2x ，那么 有AB OB OA =- ：21(,0),AB x x =- 12(,0),BA x x =- 于是21||||AB x x =- 显然，在直角坐标系内，与坐标轴平行的 直线上的有向线段也符合沙尔定理. 由此我们理解两点间距离公式的特例： （1）当21P P ⊥y 轴时，21y y =， 1221x x P P -=； （2）当21P P ⊥x 轴时，21x x =， 1221y y P P -=. 请完成自主评价1 【课堂点金】 一、重难点突破 1. 熟悉两点间距离公式 例1．在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为５，并求直线PM 的方程. 【解析】利用两点间的距离公式建立关系. ∵ 点P 在直线20x y -=上， ∴ 可设(,2)P a a ， 根据两点的距离公式得： 2222 5)82()5(=-+-=a a PM 即0644252 =+-a a 解得3225a a ==或，∴3264 (2,4)(,)55 P 或． ∴直线PM 的方程为 8585 6432482585 55y x y x ----==----或， 即4340247640x y x y -+= --=或 【评析】通过运算熟练掌握两点间距离公式. 【变式1】求与A （32，10），B （42，0），
3.3.2《两点间的距离》教案
3.3.2两点间的距离 三维目标 知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。 过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。 情态和价值：体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题 教学重点，难点：重点，两点间距离公式的推导。难点，应用两点间距离公式证明几何问题。 教学方式：启发引导式。 教学用具：用多媒体辅助教学。 教学过程： 一， 情境设置，导入新课 课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题 平面直角坐标系中两点()(2 122221PP x x y y =-+-x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为()()112200N y M x ，，，，直线12PN N 12与P 相交于点Q 。 在直角ABC V 中，222 1212PP PQ QP =+，为了计算其长度，过点1P 向x 轴作垂线，垂足为 ()110M x ， 过点 向y 轴作垂线，垂足为()220N y ，，于是有 2222221 212121221PQ M M x x QP N N y y ==-==-， 所以，222121 2PP PQ QP =+=222121x x y y -+-。 由此得到两点间的距离公式 12PP = 在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。 二，例题解答，细心演算，规范表达。 例1 ：以知点A （-1，2），B （2 ），在x 轴上求一点，使 PA PB =,并求 PA 的值。 解：设所求点P （x ，0），于是有 =由 PA PB =得
22 25411 x x x x ++=-+解得x=1。 所以，所求点P（1，0）且 PA==通过例题，使学生对两点间距 离公式理解。应用。 解法二：由已知得，线段 AB的中点为 1 2 ? ?? Ｍ ，直线AB的斜率为 k= 1 2 ?? ? ?? ３ ｘ－ＰＡ＝ ３２３ 线段AB的垂直平分线的方程是 y- 1 2 ?? ? ?? ３ ｘ－ ２ 在上述式子中，令y=0，解得x=1。 所以所求点P的坐标为（1，0）。因此 ＰＡ＝ 三．巩固反思，灵活应用。（用两点间距离公式来证明几何问题。） 例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。 这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。 证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。 设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为2222 2222 AB a CD a AD b c BC ===+= ，， () 2 AC a b =+２２， ＋ｃ() ２２２ ＢＤ＝ｂ－ａ＋ｃ 所以，() ２２２２２２２ ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝２ａ＋ｂ＋ｃ () ２２２２２ ＡＣ＋ＢＤ＝２ａ＋ｂ＋ｃ所以， ２２２２２２ ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝ＡＣ＋ＢＤ 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
两点间的距离公式及中点公式教学设计样本
【课题】8．1 两点间距离公式及中点公式 【教材阐明】 本人所用教材为江苏教诲出版社，凤凰职教《数学·第二册》。平面解析是用代数办法研究平面几何问题学科，第八章《直线与圆方程》属于平面解析几何学基本知识。它侧重于数形结合办法和形象思维特性，综合了平面几何、代数、三角等知识。 【学情分析】 学生是一年级数控中专班，上课不能长时间集中注意力，计算能力不强，对抽象知识理解能力不强，但是对直观事物可以理解，对新事物也有较强接受能力。 【教学目的】 知识目的： 1. 理解平面直角坐标系中距离公式和中点公式推导过程． 2. 掌握两点间距离公式与中点坐标公式． 能力目的： 用“数形结合”办法，简介两个公式．培养学生解决问题能力与计算能力． 情感目的： 通过观测、对比体会数学对称美和谐美，培养学生思考能力，学会从已有知识出发积极摸索未知世界意识及对待新知识良好情感态度． 【教学重点】 两点间距离公式与线段中点坐标公式运用． 【教学难点】 两点间距离公式理解． 【教学备品】 三角板． 【教学办法】 讨论合伙法 【学时安排】 2学时．(90分钟)
【教学设计】 针对学生状况，本人在教学中引入尽量安排各种实例，多讲详细东西，少说抽象东西，以激发学生学习兴趣。在例题和练习安排上多画图，努力贯彻数形结合思想，让学生逐渐接受和养成画图习惯，用图形来解决问题。这也恰恰和学生自身专业比较符合，学生学过机械制图，数控需要编程，编程又需要对某些曲线方程有充分理解。同步在教学中经惯用分组讨论法，探究发现法，逐渐培养学生协作能力和独立思考能力。 两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何基本公式，教材采用“知识回顾”方式给出这两个公式．讲授时可结合刚学过向量坐标和向量模定义解说，但解说重点应放在公式应用上． 【教学过程】 大海中有两个小岛，
浅谈如何求几何体异面上两点间最短距离(1)
浅谈如何求几何体异面上两点间最短距离 湖北省十堰市房县上龛中学 付 彬 我们知道，在同一平面上，两点之间线段最短。但如果两点不在同一平面上，而是在几何体的两个不同面上，问题又会如何呢？众所周知，一个立体图形沿着某些棱剪开并铺平，能够展开成平面图形，如长方体，三棱锥，圆柱等。这里，我们不妨利用平面展开图把几何体异面上两点之间最短距离问题化归为同一平面上两点之间最短距离问题：先将所需几何体表面展开得到平面图形，连结两点，求出两点间线段的长，从而得到几何体异面上两点之间的最短距离。下面我们结合实例来说明侧面展开图的方法. 一、几何体为棱柱 问题1 如图1所示，已知长方体蛋糕上A 点有只蜘蛛在寻找实物，B 点有只苍蝇正在进食。若这块长方体蛋糕的长、宽、高分别为7 cm ，5cm 和5 cm ，那么这只蜘蛛在A 点发现苍蝇后，到B 点逮到苍蝇的最短爬行路线有多长？ 分析：①如图1-1，把长方体的上表面和正面展开成平面图形，连结AB ；②如图1-2，把长方体的正面和右侧面展开成平面图形，连结AB 。两者中较小的AB 值就是所求。 解：①如图1-1，由题意，得 ∠ACB ＝90。 ，AC ＝7，BC ＝5＋5＝10， ∴ AB ＝1491072222=+=+BC AC ②如图1-2，由题意，得 ∠ACB ＝90。，AC ＝7＋5＝12，BC ＝5， ∴ AB ＝135122222=+=+BC AC ∵ 13149< ∴ 所求最短爬行路线长149cm 。 二、几何体为棱锥 问题２如图２，课桌上放着一个正三棱锥S-ABC ，SA=1,∠ASB=30°, 蚂蚁从点A 沿三棱锥的侧面爬行（必须经过三棱锥的三个侧面）再回到A ，它按怎样的路线爬行，才使其行迹最短. 解：根据图２，沿SA 剪开得展开图２. 在⊿SAE 中，,,SE=－1. 利用尺规作图可以找到E 和F ，从而确定蚂蚁的最佳行迹AEFA. 图1-1 图 1-2 图1
球面两点间最短航线-练习题
[专题要点归纳]： 一、地图三要素：比例尺、方向、图例和注记 1、比例尺：也叫缩尺图上距离公式略 （1）比例尺的大小与地图的详略： 在同样的图幅上： 比例尺越大，地图上所表示的实际范围越小，但表示的内容越详细，精确度越高。 比例尺越小，则表示的范围越大，内容越简单，精确度越低。 规律：大范围的地区多选用较小的比例尺地图。如世界政区图、中国政区图等。 小范围的地区多选用较大的比例尺地图。如平面图、军事图、旅游图等。（2）比例尺的缩放： 地图缩放的计算 1．比例尺的缩放 地图比例尺缩放的计算常出现”放大(缩小)”、“放大到(缩小到)”和“放大了(缩小了)”不分的现象。比例尺放大到原先的几倍就是原比例尺乘以几；放大几倍或放大了几倍是比原来多了几倍。例如：“放大到”2倍，就是原比例尺乘以2；“放大”或“放大了”2倍，就是原比例尺乘以3。同样，原比例尺“缩小”或“缩小了”1/5，则原比例尺乘以4/5；“缩小到”1/5就是原比例尺乘以1/5。 2．图幅的缩放 图幅的缩放是面积的缩放，而比例尺的缩放是长度的缩放。例如，比例尺放大到原图比例尺的2倍，则图幅则放大到原图的4倍 根据实地范围和图幅纸张大小确定地图比例尺： 实地范围和纸张大小巳定，绘制地图时要求确定比例尺的大小，其方法是先用纸张的长度除以实地范围的长度，得出长度比例尺，然后用纸张的宽度除以实地宽度，求出宽度比例尺，然后比较长度和宽度比例尺的大小，只能选用较小者，可以采用比较小者更小一些的比例尺，而决不能采用大于较小者的比例尺。例如：用长和宽各1米的纸张绘制中国地图，可根据纸张长度和中国东西距离(约5200千米)求出长度比例尺为l：5200 000，根据纸张宽度和我国南北距离(约5500千米)求出宽度比例尺为1:5500 000。比较可以得出，在这张纸上绘制的中国地图比例尺不得大于1:5500 000。 比例尺放大：用原比例尺*放大到的倍数。 例如将1/10000的比例尺放大1倍，即比例尺放大到2倍，放大后的比例尺是1/5000，比例尺变大。 比例尺缩小：用原比例尺*缩小到的倍数。（分数倍）。 例如将1/50000的比例尺缩小1/4，即比例尺缩小到3/4，缩小后的比例尺应为： 3/4*1/50000=1/66500，比例尺缩小。 缩放后图幅面积的变化： 比例尺放大后的图幅面积=放大到的倍数之平方 如将比例尺放大到原图的2倍，则放大后图幅面积是原来的4倍。 比例尺缩小后的图幅面积=缩小到的倍数之平方 如将比例尺缩小到原图的1/3，则图幅面积为原图的1/9 例题1、将1：10000000的地图比例尺放大1倍后，下列说法正确的是 ( D ） A、新图比例尺为1：20000000 B、新图图幅面积比原图增加了2倍 C、新图表示的地理事物比原图简略
球面上两点间距离的求法
球面上两点间距离的求法 球面距离的定义：球上两点和球的球心三点可构成一个平面，称之为大圆，正视这个大圆（从正面看），这两个点之间的弧线长即为球面两点间距离。球面距离不是指险段的长度而是指的是弧长。 地球表面某点的位置是用纬度和经度来确定的，我们只要知道球面两点的经纬度，就能求出该两点的球面距离。下面简单的谈谈求法： 一. 同经度两点间的球面距离 例1. 在地球本初子午线上有两点A 、B 。它们的纬度差为90°，若地球半径为R ，求A 、B 两点间的球面距离。 解：如图1所示，设O 为地球球心，由题意可得， 故。 所以：A 、B 两点间的球面距离为 2 R 。 图1 二. 同纬度两点间的球面距离
例2. 在地球北纬度圈上有两点A、B，它们的经度差为度，若地球半径为R，求A、B两点间的球面距离。 解：设度的纬线圈的圆心为，半径为r，则。依题意。取AB的中点C，则。 在 图2 图3 三. 不同纬度、不同经度两点间的球面距离
例3. 设地球上两点A、B，其中A位于北纬30°，B位于南纬60°，且A、B两点的经度差为90°，求A、B两点的球面距离。 解：如图4所示，设，分别为地球球心、北纬30°纬线圈的圆心和南纬60°纬线圈的圆心。 图4 连结。 则。 由异面直线上两点间的距离公式得
下面给出球面距离的计算公式（仅供参考）： 设一个球面的半径为，球面上有两点、. 其中，为点的经度数，、为点的纬度数，过、两点的大圆劣弧所对的圆心角为，则有 （弧度） A、B间的球面距离为：
证明：如图3，⊙与⊙分别为过A、B的纬度圈，过A、C的大圆，过、D的大圆分别为A、B的经度圈，而经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作面，垂足 位于上，连结、. 则 在中，由余弦定理，得： 故 又 比较上述两式，化简整理得： 过两点的大圆劣弧所对的圆心角为 从而可证得关于与的两个式子.
坐标公式大集合(两点间距离公式)
坐标公式大集合（两点间距离公式） 安徽省安庆市第四中学八年级（13）班王正宇著 在八年级上册的数学教材中（沪科版），我们学习到了平面直角坐标系这一章,由此,我们引申出一次函数、二次函数、反比例函数等知识，故完全掌握其知识是十分有必要的。今天，我们来说一说坐标公式。了解它是很有必要的哦！ 一、求平行于x与y轴的直线的距离 ①我们在平面直角坐标系中做一条线段AB平行于x轴（AB为任意直线），我们要求出线段AB的长度，可能有些同学会利用数格子的方式求出其长度，方法是对的，但是书写到作业或试卷中就麻烦了，怎么办？针对这种情况，我们先看AB两点的横坐标，会发现一个特点：随意将其相减，会有两个结果，且互为相反数。有因为其长度ab≥0的，故取正数结果。那么，每次计算都要这么麻烦的去转换吗？不用的，我们只要记住一个公式： | Ax－Bx | 即A点横坐标数减去B点横坐标数，当然，有“绝对值”符号老兄的帮助，A、B两点的横坐标数颠倒过来相减也没有关系。 ②同样的，有上面的过程支撑，我想，推出平行于Y轴的线段CD的长度肯定就好求了！！那么，同理，我们就可以得出一个关于求平行于Y轴线段长度的公式哦： | Cy－Dy | 即C点纵坐标减去D点纵坐标，与上面一样，颠倒过来不影响结论。 二、求斜线的长度 这个内容，本人在一些习题集与各个网站的习题精选里时常见到，不过要涉及到八年级下册的内容。但是，这个内容很重要，必须要讲讲，还要了解清楚。 求斜线的长度涉及到勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²＋b²＝c² 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即： A 2+ B 2 = C 2 这样一解释，想必大家都清楚了吧！这样，为我们下面推出求斜线长度的公式打下了坚实的基础。
平面内两点间的距离公式
两点间的距离公式 【教学目标】 1、 掌握平面内两点的距离公式和中点公式 2、 能熟练应用平面内两点间距离公式和中点公式进行运算 【教学重点】 平面内两点的距离公式和中点公式的应用 【教学难点】 平面内两点的距离公式和中点公式的应用 【教学过程】 引入： (如图)在数轴上有两点7,521=-=x x 则x x 2 1= -5 0 7 X 在直角三角形中，怎样求出斜边的长度 在直角坐标系中，已知点P （x,y ）,那么|OP|= x y
平面直已知两点1P P P 21说明 (1) 如果P 1P 2 x x 是x x 1 2- (2) 如果P 1和P 2两点在y 轴上或在平行于y 轴的直线上,两点距离 是y y 1 2- 试一试1：求平面上两点)7,1(),2,6(-B A 间的距离AB . 试一试2：求下列两点间的距离： （1）)0,2(),0,2(B A - （2）)7,0(),3,0(-B A （3）)4,2(),3,2(B A - (4))6,8(),9,5(B A - 试一试3：已知A （a,3），点B 在y 轴上，点B 的纵坐标为10，AB =12，求a 。 线段的中点公式 点),(111y x P ，),(2 22y x P 之间所连线段的中点P 坐标为 22 1x x x + =，221y y y +=。 说明公式对于P 1和P 2两点在平面内任意位置都是成立的 试一试3：求下列两点的中点坐标
（1）)13,2(),3,2(B A -（2）)6,18(),9,15(B A - （二）典型例题： 已知三角形的顶点是)2,7(),0,0(B A ，),4,1(-C ，求此三角形两条中线CE 和AD 的长度 （解题过程在书240页） 【自我检测】 1、平面直角坐标系中，已知两点),(111y x P ，),(2 22y x P ，两点距离公式为 2、点),(111y x P ，),(2 22y x P 之间所连线段的中点P 坐标为 3、 已知下列两点，求AB 及两点的中点坐标 （1） A （8，6），B （2，1） （2）A （-2，4）B （-2，-2） 4、 已知A(-4,4),B(8,10)两点，求两点间的距离AB 5、 已知下列两点，求中点坐标： a) A （5，10），B （-3，0）（2）A （-3，-1），B （5，7） 6、 已知点A （-1，-1），B （b,5）,且AB =10，求b.
地球上两点间的最短航线方向的判读(教案)
地球上两点间的最短航线方向的判读（教案） 一、教学目标 知识目标：理解数学中球面距离的定义，利用地利中地球的自转方向、纬度、经度的概念，来判断地球上两点间的最短航线的走向。 能力目标：建立空间立体感，真正理解两点间最短航线的走法。 情感目标：在实际问题中探索新知识，成功解决问题。 二、教学重点 培养空间立体感，迅速找到大圆的劣弧，再进行同纬度、同经度、赤道或相对经度、晨昏圈上的点的最短航线方向的判读。 三、教学难点 真正理解两点间最短航线的走法，遇到多种不同情况的有关习题时能够迅速正确的作答。 四、教学方法 读空间立体图形，建立空间立体感，讲练结合，理解大圆的劣弧与方向的判读。 五、教具：多媒体 六、课时安排：1课时 七、教学内容 【导入】地球上两点间最短航线方向的判读，是高考的一个考点，与数学中的球面距离有一定的关系，我们在高二讲经纬网时曾经提到过，平时做题时也时常遇到，但是有很多同学经常出错误。就我分析，主要原因在于大家缺乏空间想象能力，机械地记一些结论，没有真正理解，所以，有必要把这个问题单提出来做一个系统地讲解。 【具体内容】 1、最短航线的判读： 数学：球面上两点间的最短距离为两点所在大圆的劣弧。 大圆：球面上任意两点与球心所确定的平面与球面相交所得的圆。 2、方向的判读：
地理：①通常地图中的上北下南，左西右东 ②地球的自转方向（自西向东、北逆南顺） ③根据经纬度确定南北方向 3、读图理解大圆圈 图示圆弧是否属于大圆？ 判断图中各点之间是否为最短距离：AB、CD、EF 图中甲乙两点间的最短距离？ 4、具有地理意义的几个大圆：经线圈、赤道、晨昏圈 5、结合地理知识进行两点间最短航线方向的判读 ①经线圈上
两点之间最短的距离不一定是直线
题记：随手所为。 两点之间最短的距离不一定是直线 新东方创始人俞敏洪在给学生做演讲时，把这句话列为其讲演重点之一。 看到这句话，我突然想起了一次著名的战役：滑铁卢战役。 滑铁卢一战，拿破仑兵败。兵败原因很多，或者是对手较强，或者是运气太差。拿破仑兵败主要有两点原因，一是格鲁希元帅带了三分之一的主力部队去追击敌人，却做了无用功，最终没有及时援助拿破仑。另一个原因是拿破仑不懂得这一点：两点之间最短距离并不一定是直线。 当总攻开始后，拿破仑的精锐铁骑潮水般涌向敌人，当他们径直冲向敌人时，前面是一个山坡。他们以为，只要沿着山坡冲上去，再冲下去，就能打败敌人。谁知冲上山坡，他们却惊呆了，那边竟然有一道天堑！骑兵们速度极快，于是后面的人挤着前面的人，纷纷跌落峡谷。等到峡谷被硬生生填平时，上万铁骑已经活活丧命。丧失了精锐部队的拿破仑，岂有不败之理？ 当时负责侦察的人竟一时疏忽，忘了把阵地的前沿地形仔细侦察！也许他们凭惯性思维，认为两点之间不过是一条直线吧。 俞敏洪对这句话的解释是：我们做事情会碰到很多困难和障碍，有时候我们并不一定要硬挺、硬冲，我们可以选择有困难绕过去，有障碍绕过去，也许这样做事情更加顺利。 曾经在江南小镇骑车，远远的看见目的地就在一片树林后面。于是顺着一条小公路往前而去。走了一半，树林那里，竟是一条碧波幽幽的小河。只好回头，顺着大路绕道而行。 人际交往和事业中，往往能体会到这一点，目标和行动点之间，并不是一条直线。 大概真要做最坏的打算，赢得最潇洒的胜利罢。 伟人与钱 无论多么天才，对待金钱不一定有正确观念。一个人可能有很多优点，但未必在理财、投资方面有成。 曾经接触过不少著名教授，他们的一些挣钱点子非常新颖，但自己从不去干。有一次我问一位经济学教授，你为什么固守书屋之清贫，不去实践一下呢。他笑笑，给我讲了名人作家巴尔扎克的故事。 巴尔扎克一生工作都很辛苦，创造了无数优秀的作品。但是他却非常穷。 他曾经借钱参与出版社投资，雄心勃勃想要挣一笔，但是他的眼光太不敏锐，出版社很快运营不善而倒闭了。没有盈利也就罢了，他还欠下一屁股债。巴尔扎克不屈不饶，又筹资买下图书印刷厂。但天有不测风云，一年后，图书印刷厂又倒闭了。巴尔扎克屡战屡败，又筹资买下一家铸字厂，五个月后，厂子又完了。 债台高筑的巴尔扎克已经意识到自己的危机，于是辛勤写作，出售尚未完工的小说版权，一次次要求出版商预付资金，筹集到不少钱。 投资，从某种角度而言，是人们希望在物质上显示自己的才华。然而盲目运用其才华，巴尔扎克痴心不改，又参与银矿开采，购买铁路股份等等系列投资。一次次参与，一次次失败。这时的巴尔扎克已经不是一个清醒而理智的投资者，而是一个妄图凭借一次一夜暴富摆脱负债境地的赌徒。 在金钱方面，胆量和勇气固然是必须的，但锐利的眼光和理智的投资理念也是必须的。在这一点上，巴尔扎克明显处于劣势。晚年的巴尔扎克住进了一所昂贵的住房。非常不幸，这又让他债台高筑。在巴尔扎克去世后，家里的东西被拍卖得一干二净，才勉强打发走了债主们。
地球上两点之间的球面距离(卫福山)
地球上两点之间的球面距离的教学设计与思考 卫福山（上海市松江二中） 一、教学内容分析 球面距离是上海教育出版社数学（高三）第15章简单几何体第6节内容，《上海市中小学课程标准》对球的要求是：类比关于圆的研究，对球及有关截面的性质深入探讨；知道球的表面积和体积的计算公式，并会用于进行有关的度量计算；知道球面距离和经度、纬度等概念，进一步认识数学和实际的联系.在本节中，引导学生理解球面距离的概念（这不同于一般的直线距离），原因在于球面不能展开成平面.然后具体探究了如何求同纬度不同经度、同经度不同纬度、不同经度不同纬度的地球上两点之间的距离的求法，特别强调将其中的线面关系转化为多面体（主要是特殊的棱锥）来分析，并综合使用扇形、弧长、解三角形等数学知识.在探究球面距离的计算中培养了学生空间想象能力和探究性学习的能力. 二、教学目标设计 1、 知道球面距离的定义，知道地球的经度与纬度的概念，会求地球上同经度或同纬度的两点间的球面距离. 2、 在解决问题的过程中，领会计算地球上两点间的球面距离的方法. 3、 在实际问题中，探索新知识，成功解决问题，完成愉悦体验. 三、教学重难点 教学重点：掌握计算地球上两点间的球面距离的方法. 教学难点：如何求地球上同纬度的两点间的球面距离. 四、教学内容安排 （一）、知识准备 1、联系右图及中学地理中的有关知识认识地球——半径 为6371千米的球.（理想模型） 2、经度、纬度等相关知识 地轴:连结北南极的球的直径,称为地轴. 经线:经过北南极的半大圆,称为经线. 本初子午线:它是地球上的零度经线,分别向东和向西计 量经度，称为东经和西经,从0度到180度. 经度:经线所在半平面与零度经线所在半平面所成的二面 角的度数.参见右图. 赤道:过球心且垂直于地轴的大圆,称为赤道.赤道的圆心 就是球心. 纬线:平行于赤道的小圆,称为纬线.位于赤道以北的称为 北纬,位于赤道之南的称为南纬. 纬度:球面上某点所在球半径与赤道平面所成的角.从0度 到90度.参见上图. 3、 球面距离 在球面上两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长度——这个弧长叫两点的球面距离. 问题：为何最短距离是经过两点的大圆的劣弧 解释如下：如图所示，A 、B 是球面上两点，圆O '是经过A 、B 的任一小圆（纬 线圆），O 是球心，设,,AOB AO B θα'∠=∠=
关于地球上两点间的最短航线方向问题
甲 A B E F B 关于地球上两点间的最短航线方向问题 一.最短航线的判断依据： 球面上两点间的最短距离为两点所在大圆的劣弧。 二、图示圆弧是否属于大圆 看圆弧直径是否等于地球直径 三、找大圆上两点的劣弧 过两点的弧小于180度 1、判断图中各点之间是否为最短距离（如图1所示） AB 、 CD 、 EF 2、图中甲乙两点间的最短距离（如图2所示） （图1） （图2） 四、地球上两点间的最短航线方向确定 1、两点在同一经线圈上 a. 两点在同一经线上,向正北或向正南走 例如（图1） A 到B 向正北走；反之，B 到A 向正南走。 b ．两点在两条经线上（经度相对，过较近的极点判断） 过A 、B 两点经线圈劣弧通过北极点时，先向正北走后向正南走；反之过A 、B 两点经线圈劣弧通过南极点时，先向正南走后向正北。 例：如图2 从A 到B 先向正北走后向正南走；反之，从B 到A 先向正南走后向正北走。 如图1 如图2 2、两点在同一纬线上 甲 乙 A B A
B A a. 两点在赤道上，向正东走或向正西走 如图1 A 到B 向正东走，反之，B 到A 向正西走。 b ．两点不在赤道上 ①．南北方向确定，北半球偏北，南半球偏南 北半球所在纬线上的两点，先向北走后向南走；反之，南半球所在纬线上的两点，先向南走后向北走 ②．东西方向的确定 走向和地球自转的方向相同，向东走；反之，走向和地球自转的方向相反，向西走。 例：如图2 A 到 B 先西北后西南， C 到 D 先向东南后向东北 （如图 1） （如图2） 3、两点即不在同一经线，也不在同一纬线上（即A 、B 两点晨昏圈上） a.过劣弧不通过两点所在大圆与南北半球所在纬线的切点 T 时，（即两点在晨线上或在昏线上，根据地图上的方向判 断方法） （如左图） 例:A 到B 向东南走；反之，B 到A 向西北走； 从C 到D 向东北走, 从D 到C 向西南走 b ．过两点劣弧通过两点所在大圆与南北半球所在纬线的 切点T 时（即分别在晨线和昏线上，用极点附近方向的判断） ①．南北方向: 通过北半球所在纬线切点T 时，南北方 向，先向北走，后向南走；反之，通过南半球所在纬线切点 T 时，先向南走，后向北走 ②．东西方向: 走向和地球自转的方向相同，向东走； 反之，走向和地球自转的方向相反，向西走。 如左图 例: 从A 到D 先向西北后向西南;从B 向C 先东 南后东北走. C D A B T S
数学建模任意两点间最短距离
任意两点间最短距离-floyd算法matlab程序 %Floyd's Algorithm 通过一个图的权值矩阵求出它的任意两点间的最短路径矩阵。 %Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths)，是一种动态规划算法， %稠密图效果最佳，边权可正可负。 %此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法。 %a为图的带权邻接矩阵 %从图的带权邻接矩阵A=[a(i,j)] n×n开始，递归地进行n次更新， %即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)； %又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……； %最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。 %矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵， %同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。 %采用的是松弛技术，对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。所以时间复杂度为O(n^3); matlab函数文件为： function [D,path]=floyd1(a) a(find(a==0))=inf; n=size(a,1); %计算出a的规模的大小. D=a;path=zeros(n,n);%设置D和path的初值. for i=1:n for j=1:n if D(i,j)~=inf path(i,j)=j; end
end end %做n次迭代，每次迭代均更新D(i,j)和path(i,j) for k=1:n for i=1:n for j=1:n if D(i,k)+D(k,j) 高考地理利用经纬网计算球面两点间的距离 有的是给出材料，材料中直接或间接给出经纬度；有的是以图的形式展现，一般是经纬线与地形图、地形剖面图、区域地理图相结合。所给条件一般都隐藏在题目中，要认真分析，仔细读图，从而解读计算的距离与经纬线的关系。 地球是一个两极稍扁、赤道略鼓的不规则的椭球体。根据数学知识可知，地球表面两点间的最短距离不是连接两点的直线距离，而是经过这两点所在的圆心为地心的大圆的劣弧（不超过半圆弧）长度。 一、解题依据 可以根据经纬度差量算两点之间的距离。由于地球表面的经线圈、赤道及所有圆心为地心的大圆长度都为4万千米，所以： 1、同一经线上，全球各地纬度相差1°的间隔长度都相等（因为所有经线圈的长度为大圆，都相等），大约是111km； 2、赤道上经度相差1°对应的弧长大约也是111km； 3、由于各纬线圈从赤道向两极递减，60°纬线上的长度为赤道上的一半，所以在各纬线上经度差1°的弧长就不相等，纬度越高，同一纬线上经度相差1°的弧长就越短。纬度为α的纬线上，经度1°对应的弧长为111×cosαkm。 二、解题方法 1、同一经线上两点间的最短距离：111千米×大圆劣弧纬度差。 如：ABB\\\\\\\'在同一经线，A点纬度为α，B点纬度为β，B\\\\\\\'点纬度为γ，则同一半球AB两点最短距离为111千米×（α－β），不同半球AB两点最短距离为111千米×（α＋γ）。 2、若两点经度差等于180°，则过两点的大圆为经线圈，两点最短距离为大圆中过两极点的劣弧，即111千米×大圆劣弧纬度差。 如：A点纬度为α，B点纬度为β，则AB两点最短距离＝111千米×（90°－α）＋（90°－β）高考地理 利用经纬网计算球面两点间的距离