算法设计与分析大作业答案

算法设计技术与方法

大作业

学院电子工程学院

专业电路与系统

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1.分别实现多项式求值的四种运算，若针对不同规模的输入值a ，各算法的运行时间，问题 规模n 分别取10，50，100，150，200，300，400，500，10000，20000，50000，100000时绘制四种算法运行时间的比较图。

2.分别实现矩阵相乘的3种算法，比较三种算法在矩阵大小分别为2222?，3322?，4422?，5522?，6622?，7722?，8822?，9922?，101022?，111122?，121222?时的运行时间与MATLAB 自带的矩阵相乘的运行时间，绘制时间对比图。

3.利用遗传算法求解下面的问题：

)20sin()4sin(5.21),(m ax 221121x x x x x x f ππ?+?+=

?

??≤≤≤≤-8.51.41.120.3..21x x t s

1、分析题意可知，该题要用四种不同的方法实现对多项式的求值计算，每种方法取从10-100000不同的规模。本文采用了以下方法进行求值：直接代入法和递归法。而其中递归法分三类不同思路进行递归：

① n n n n x a x P x P +=-)()(1；

② 0a P =,1=Q ,Q a P P Qx Q i +==,；

③ i n i i a x x P x P --+'=')()(1。

本文对上述四种方法进行了编程，具体代码如下：

程序1.1

文件名poly.m

% 主程序：实现不同规模下多项式求值的四种运算

clc;

close all ;

clear all ;

n=[10 50 100 150 200 300 400 500 10000 20000 50000 100000];

x=2;

for i=1:12

a=rand(1,(n(i)+1)); % 产生多项式,最高次幂为n(i)+1

tic;

p1(i)=polyval(a,x); % 直接代入法

t1(i)=toc;

tic;

p2(i)=0;

for j=1:(n(i)+1)

p2(i)=p2(i)+a(j)*x^(j-1); % 递归法1

t2(i)=toc;

tic;

p3(i)=0;

q=1;

for j=2:(n(i)+1)

q=q*x;

p3(i)=p3(i)+a(j)*q; % 递归法2

end

t3(i)=toc;

tic;

p4(i)=0;

for j=1:n(i);

p4(i)=x*p4(i)+a(n(i)+1-j); % 递归法3

end

t4(i)=toc;

end

figure(1);

subplot(2,2,1);

h=semilogx(n,t1); % 这里不能用plot，横轴需要取对数，下同

set(h,'linestyle','-','linewidth',1.8,'marker','*','color','g','markersize',6); xlabel('The scale of the problem:n');

ylabel('time for first method(s)');

title('the relationship between time and scale');

grid on;

subplot(2,2,2);

h=semilogx(n,t2);

set(h,'linestyle','-','linewidth',1.8,'marker','*','color','b','markersize',6); xlabel('The scale of the problem:n');

ylabel('time for second method(s)');

title('the relationship between time and scale');

grid on;

subplot(2,2,3);

h=semilogx(n,t2);

set(h,'linestyle','-','linewidth',1.8,'marker','*','color','k','markersize',6); xlabel('The scale of the problem:n');

ylabel('time for third method(s)');

title('the relationship between time and scale');

grid on;

subplot(2,2,4);

h=semilogx(n,t2);

set(h,'linestyle','-','linewidth',1.8,'marker','*','color','r','markersize',6); xlabel('The scale of the problem:n');

ylabel('time for forth method(s)');

title('the relationship between time and scale');

grid on;

figure(2);

g=semilogx(n,t1,'g+',n,t2,'bx',n,t3,'k*',n,t4,'ro');

legend('the first method','the second method','the third method','the forth method'); set(g,'linestyle','-','linewidth',2.0,'markersize',8);

xlabel('n=10, 50, 100, 150, 200, 300, 400, 500, 10000, 20000, 50000, 100000'); ylabel('time');

title('The comparison chart of four different methods for polyval');

grid on;

运行结果如下：

图 1.1 四种方法所用时间随规模不同而变化的结果图

图 2.2 四种方法所用时间随规模不同而变化的对比图

由理论分析可知，四种算法的时间复杂度分别为)(2n O 、)(2n O 、)(n O 、)(n O ，由

图1.2分析可知，直接带入计算和递归法所用时间相差无几，这与理论分析一直。而第三种方法与第四种方法的差异可能是由于每次加法所用时间与每次乘法所用时间不同所导致。 另外，在问题规模较小(n<1000)时，在图上几乎看不出区别，更精细的分析需要更深入地讨论，本文不做讨论。

2、分析题意可知，要利用四种方法计算矩阵相乘，每种方法取矩阵大小从2222?~ 121222?不同的规模。本文采用了以下方法进行求值：矩阵计算法、定义法、分治法和Strassen 方法。 详细程序如下：

程序2.1

文件名matrix.m

% 比较三种算法的运行时间与MATLAB 自带的矩阵相乘的运行时间

clc;

close all ;

clear all ;

n=[2^2 2^3 2^4 2^5 2^6 2^7 2^8 2^9 2^10 2^11 2^12];

for m=1:11

A=round(rand(n(m))); % 随机生成矩阵

B=round(rand(n(m)));

tic;

C1=A*B; % MATLAB自带的矩阵相乘

t1(m)=toc;

tic;

C2=zeros(n(m));

for i=1:n(m)

for k=1:n(m)

for j=1:n(m)

C2(i,j)=C2(i,j)+A(i,k)*B(k,j); % 按照定义进行计算end

end

end

t2(m)=toc;

A11=A(1:n(m)/2,1:n(m)/2);

A12=A(1:n(m)/2,n(m)/2+1:n(m));

A21=A(n(m)/2+1:n(m),1:n(m)/2);

A22=A(n(m)/2+1:n(m),n(m)/2+1:n(m));

B11=B(1:n(m)/2,1:n(m)/2);

B12=B(1:n(m)/2,n(m)/2+1:n(m));

B21=B(n(m)/2+1:n(m),1:n(m)/2);

B22=B(n(m)/2+1:n(m),n(m)/2+1:n(m));

tic;

C3=zeros(n(m));

C11=A11*B11+A12*B21; % 分治法

C12=A11*B12+A12*B22;

C21=A21*B11+A22*B21;

C22=A21*B12+A22*B22;

C3=[C11 C12;C21 C22];

t3(m)=toc;

tic;

C4=zeros(n(m));

M1=A11*(B12-B22);

M2=(A11+A12)*B22;

M3=(A21+A22)*B11;

M4=A22*(B21-B11);

M5=(A11+A22)*(B11+B22);

M6=(A12-A22)*(B21+B22);

M7=(A11-A21)*(B11+B12);

C11=M5+M4-M2+M6; % Strassen方法

C12=M1+M2;

C21=M3+M4;

C22=M5+M1-M3-M7;

C4=[C11 C12;C21 C22];

t4(m)=toc;

end

figure(1);

subplot(2,2,1);

h=semilogx(n,t1); % 这里不能用plot，横轴需要取对数，下同

set(h,'linestyle','-','linewidth',1.8,'marker','*','color','g','markersize',6); xlabel('The scale of the matrix:n');

ylabel('time for first method(s)');

title('the relationship between time and scale');

grid on;

subplot(2,2,2);

h=semilogx(n,t2);

set(h,'linestyle','-','linewidth',1.8,'marker','*','color','b','markersize',6); xlabel('The scale of the matrix:n');

ylabel('time for second method(s)');

title('the relationship between time and scale');

grid on;

subplot(2,2,3);

h=semilogx(n,t2);

set(h,'linestyle','-','linewidth',1.8,'marker','*','color','k','markersize',6); xlabel('The scale of the matrix:n');

ylabel('time for third method(s)');

title('the relationship between time and scale');

grid on;

subplot(2,2,4);

h=semilogx(n,t2);

set(h,'linestyle','-','linewidth',1.8,'marker','*','color','r','markersize',6); xlabel('The scale of the matrix:n');

ylabel('time for forth method(s)');

title('the relationship between time and scale');

grid on;

figure(2);

g=semilogx(n,t1,'g+',n,t2,'bx',n,t3,'k*',n,t4,'ro');

legend('the MATLAB method','the definition method','分治法','the Strassen method'); set(g,'linestyle','-','linewidth',2.0,'markersize',8);

xlabel('n=2^2 2^3 2^4 2^5 2^6 2^7 2^8 2^9 2^10 2^11 2^12');

ylabel('time');

title('The comparison chart of four different methods for matrix multiplication'); grid on;

实验结果如下：

图 2.1 四种方法所用时间随规模不同而变化的结果图

3、

方法1：将原函数取负，求),(21x x f 的最小值即得原函数的最大值。

程序采用MATLAB 自带的工具箱实现，程序如下： 程序3.1

文件名main_function.m

% 主程序：用遗传算法求解带约束二元函数的最大值

clc;

close all ;

clear all ;

G=100; % 进化的代数

optionsOrigin=gaoptimset('Generation',G/2);

[x,fval,reason,output,final_pop]=ga(@fun,2,optionsOrigin);

options1=gaoptimset('Generation',G/2,'InitialPopulation',final_pop,'PlotFcns',@gapl otbestf);

[x,fval,reason,output,final_pop]=ga(@fun,2,options1);

Bestx=x

BestFval=fval

% 子程序：带约束的目标函数

function f=fun(x)

if (x(1)>12.1|(x(2)>5.8))

f=inf;

elseif (x(1)<-3.0|x(2)<4.1)

f=inf;

else

f=-(21.5+x(1)*sin(4*pi*x(1))+x(2)*sin(20*pi*x(2)));

end 运行后的结果：

Bestx =

11.6184 5.7273

BestFval =

-38.7478

从而可知原函数在(11.6184,5.7273)取得最大值38.7478。

方法2：按照遗传算法的思路编程，程序如下：

程序3.2 文件名main_function.m % 主程序：用遗传算法求解带约束二元函数的最大值

clc;

clear all;

close all;

G=100; % 进化代数

N=80; % 群体规模

pm=0.05; % 变异概率

pc=0.8; % 交叉概率

u1max=12.1;u1min=-3.0; % 参数取值范围

u2max=5.8;u2min=4.1; % 参数取值范围

L=10; % 单个参数字串长度，总编码长度2L

bval=round(rand(N,2*L)); % 随机产生初始种群

bestv=-inf; % 最优适应度初值

for k=1:G

for i=1:N

y1=0;y2=0;

for j=1:1:L

y1=y1+bval(i,L-j+1)*2^(j-1);

end

x1=(u1max-u1min)*y1/(2^L-1)+u1min;

for j=1:1:L

y2=y2+bval(i,2*L-j+1)*2^(j-1);

end

x2=(u2max-u2min)*y2/(2^L-1)+u2min;

fun(i)=21.5+x1*sin(4*pi*x1)+x2*sin(20*pi*x2); % 目标函数 xx(i,:)=[x1,x2];

end

fitfun=fun; % 目标函数转换为适应度函数

p=fitfun./sum(fitfun); % 轮盘赌选择函数

q=cumsum(p);

[fmax,indmax]=max(fitfun);% 记录每一代最佳个体

if fmax>=bestv

bestv=fmax; % 到目前为止最优适应度值

bvalxx=bval(indmax,:); % 到目前为止最佳位串

optxx=xx(indmax,:); % 到目前为止最优参数

end

Bestfit(k)=bestv; % 记录每代的最优适应度for i=1:(N-1)

r=rand;

tmp=find(r<=q);

newbval(i,:)=bval(tmp(1),:);

end

newbval(N,:)=bvalxx; % 最优保留

bval=newbval;

for i=1:2:(N-1)

cc=rand;

if cc

point=ceil(rand*(2*L-1));

ch=bval(i,:);

bval(i,point+1:2*L)=bval(i+1,point+1:2*L);

bval(i+1,point+1:2*L)=ch(1,point+1:2*L);

end

end

bval(N,:)=bvalxx; % 最优保留

mm=rand(N,2*L)

bval(mm)=1-bval(mm);

end

plot(Bestfit); % 绘制最优适应度进化曲线

xlabel('Generation');

ylabel('FitnessValue');

title('The relationship between FitnessValue and Generation'); Optxx

bestv

运行结果如下：

optxx =

11.627663734115348 5.525806451612903

bestv =

38.639864218199662

从而可知原函数在(11.627663734115348,5.525806451612903)取得最大值38.639864218199662。