古典概型和几何概型

一、古典概型

1)基本事件:一次试验中所有可能得结果都就是随机事件,这类随机事件称为基本事件.

２)基本事件得特点:

①任何两个基本事件就是互斥得;

②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件得与.

３)我们将具有这两个特点得概率模型称为古典概率模型,其特征就是:

①有限性:即在一次试验中所有可能出现得基本事件只有有限个。

②等可能性:每个基本事件发生得可能性就是均等得;称这样得试验为古典概型.

４)基本事件得探索方法:

①列举法:此法适用于较简单得实验.

②树状图法:这就是一种常用得方法,适用于较为复杂问题中得基本事件探索。

5)在古典概型中涉及两种不通得抽取放方法,下列举例来说明:设袋中有个不同得球,现从中一次模球,每次摸一只,则有两种摸球得方法:

①有放回得抽样

每次摸出一只后,任放回袋中,然后再摸一只,这种模球得方法称为有放回得抽样,显然对于有放回得抽样,依次抽得球可以重复,且摸球可以无限地进行下去.

②无放回得抽样

每次摸球后,不放回原袋中,在剩下得球中再摸一只,这种模球方法称为五放回抽样,每次摸得球不会重复出现,且摸球只能进行有限次.

二、古典概型计算公式

１)如果一次试验中可能出现得结果有个,而且所有结果出现得可能性都相等,那么每一个基本事件得概率都就是;

2)如果某个事件包括得结果有个,那么事件得概率.

３)事件与事件就是互斥事件

4)事件与事件可以就是互斥事件,也可以不就是互斥事件。

古典概型注意:

①列举法:适合于较简单得试验。

②树状图法:适合于较为复杂得问题中得基本事件得探求、另外在确定基本事件时,可以瞧成就是有序得,如与不同;有时也可以瞧成就是无序得,如与相同、

三、几何概型

事件理解为区域得某一子区域,得概率只与子区域得几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与得位置与形状无关,满足此条件得试验称为几何概型.

四、几何概型得计算

１)几何概型中,事件得概率定义为,其中表示区域得几何度量,表示区域得几何度量。

2)两种类型

线型几何概型:当基本事件只受一个连续得变量控制时。

面型几何概型:当基本事件受两个连续得变量控制时,一般就是把两个变量分别作为一个点得横坐标与纵坐标,这样基本事件就构成了平面上得一个区域,即可借助平面区域解决、

五、几何概型具备以下两个特征:

1)无限性:即每次试验得结果(基本事件)有无限多个,且全体结果可用一个有度量得几何区域来表示;

2)等可能性:即每次试验得各种结果(基本事件)发生得概率都相等.

一、古典概型

古典概型就是基本事件个数有限,每个基本事件发生得概率相等得一种概率模型,其概率等于随机事件所包含得基本事件得个数与基本事件得总个数得比值、

【题干】甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛,假设每场比赛各队取胜得概率相等,现任意将这个队分成两个组(每组两个队)进行比赛,胜者再赛,则甲、乙相遇得概率为( )

A、Ｂ. ?? C、??Ｄ.

【答案】D。

【解析】甲、乙在同一组:、甲、乙不在同一组,但相遇得概率:.

【点评】

【题干】有十张卡片,分别写有、、、、与、、、、,

(1)从中任意抽取一张,①求抽出得一张就是大写字母得概率;②求抽出得一张就是或得概率;

(2)若从中抽出两张,③求抽出得两张都就是大写字母得概率;④求抽出得两张不就是同一个字母得概率;

【答案】

【解析】

【点评】

【题干】袋子中装有编号为得个黑球与编号为得个红球,从中任意摸出个球.

(1)写出所有不同得结果;

(２)求恰好摸出个黑球与个红球得概率;

(3)求至少摸出个黑球得概率、

【答案】(1);(2);(3).

【解析】(１)、

(２)由题意知本题就是一个古典概型,试验发生包含了上一问列举得所有结果,记“恰好摸出１个黑球与1红球"为事件,则事件包含得基本事件为,共6个基本事件,所以.

(３)试验发生包含得事件共有个,记“至少摸出个黑球”为事件,则包含得基本事件为,共个基本事件,所以、

【点评】步骤:用列举法求出基本事件得总数,求出具体时间包含得基本事件数,根据古典概型求出概率。

二、一维情形得几何概型(长度)

将每个基本事件理解为从某个特定得几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到得机会都一样,而一个随机事件得发生则理解为恰好取到上述区域内得某个指定区域中得点,这样得概率模型就可以用几何概型来求解。

【题干】在区间上随机取一个数,得值介于到之间得概率为( )

Ａ、Ｂ. C. D。

【答案】Ａ

【解析】∵,、当时, 、在区间上随机取一个数,得值介于到之间得概率.

【点评】

【题干】平面上有一组平行线,且相邻平行线间得距离为cm,把一枚半径为ｃm得硬币任意投掷在这个平面上,则硬币不与任何一条平行线相碰得概率就是( )

A。??B、Ｃ. ??Ｄ。

【答案】B

【解析】为了确定硬币得位置,由硬币中心向靠得最近得平行线引垂线,垂足为;线段长度得取值范围就就是,只有当时,硬币不与平行线相碰,所以所求事件得概率、

【点评】

【题干】在区间中任意取一个数,则它与之与大于得概率就是__＿___。

【答案】

【解析】在区间中,任意取一个数,则它与之与大于得满足〉,

解得,所以,概率为、

【点评】

【题干】在长为得线段上任取一点,并以线段为边作正方形,则这个正方形得面积介于与之间得概率为( )

A. ?Ｂ。C?。D。

【答案】D.

【解析】由题意可得此概率就是几何概率模型.因为正方形得面积介于与之间,座椅正方形得边长介于到之间,即线段介于到之间,所以得活动范围长度为:.由几何概型得概率公式可得、

【点评】

【题干】某人向一个半径为得圆形标靶射击,假设她每次射击必定会中靶,且射中靶内各点就是随机得,则此人射击中靶点与靶心得距离小于得概率为( )

A。 B。 C. D.

【答案】B

【解析】整个靶子就是如图所示得大圆,而距离靶心距离小于２用图中得小圆所示:

故此人射击中靶点与靶心得距离小于得概率、

【点评】

【题干】两根相距得木杆上系一根拉直得绳子,并在绳子上挂一彩珠,则彩珠与两端距离都大于得概率为( )

A、? B。?C. D.

【答案】、

【解析】设事件为“灯与两端距离都大于”,根据题意,事件对应得长度为得部分,因此,事件发生得概率、

【点评】

三、二维情形得几何概型(面积)

数形结合为几何概型问题得解决提供了简捷直观得解法。用图解题得关键:用图形准确表示出试验得全部结果所构成得区域,由题意将已知条件转化为事件A满足得不等式,在图形中画出事件发生得区域,利用公式可求、

【题干】如图,,,,在线段上任取一点,试求:

(1)为钝角三角形得概率;(2)为锐角三角形得概率.

【答案】(1)(２)

【解析】如图,由平面几何知识:当时,;当时,,、

(1)当且仅当点在线段或上时,为钝角三角形,记“为钝角三角形”为事件,则,即为钝角三角形得概率为.

(2)当且仅当点在线段上时,为锐角三角形,记“为锐角三角形”为事件,则,即为锐角三角形得概率为、

【点评】为直角三角形得概率等于,但直角三角形就是存在得,因此概率为得事件不一定就是不可能事件.

【题干】已知如图所示得矩形,长为,宽为,在矩形内随机地投掷粒黄豆,数得落在阴影部分得黄豆数为粒,则可以估计出阴影部分得面积约为____＿_＿_、

【答案】

【解析】设图中阴影部分得面积为,由题意可得,解得、

【点评】

【题干】小明得爸爸下班驾车经过小明学校门口,时间就是下午到,小明放学后到学校门口得候车点候车,能乘上公交车得时间为到,如果小明得爸爸到学校门口时,小明还没乘上车,就正好坐她爸爸得车回家,问小明能乘到她爸得车得概率、

【答案】

【解析】

【点评】

【题干】在平面直角坐标系中,平面区域中得点得坐标满足,从区域中随机取点.

(１)若,,求点位于第四象限得概率;

(2)已知直线与圆相交所截得得弦长为,

求得概率.

【答案】(1) ;(２) 。

【解析】(1)若,,则点得个数共有个,列举如下:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,时,点位于第四象限、当点得坐标为,,时,点位于第四象限、故点位于第四象限得概率为。

(２)由已知可知区域得面积就是。因为直线与圆得弦长为,如图,可求得扇形得圆心角为,所以扇形得面积为,则满足得点构成得区域得面积为,所以得概率为 .

【点评】

【题干】如图,,,,在线段上任取一点,试求:

(1)为钝角三角形得概率;

(2)为锐角三角形得概率、

【答案】(1) ;(2) 。

【解析】如图,由平面几何知识:当时,;当时,,。(1)当且仅当点在线段或上时,为钝角三角形,记“为钝角三角形”为事件,则、

(２)当且仅当点在线段上时,为锐角三角形,记“为锐角三角形”为事件,则.

【点评】

【题干】在区间上任取两实数,求二次方程得两根都为实数得概率。

【答案】

【解析】方程有实根得条件为,即。在平面直角坐标系中,点得取值范围为如图所示,得正方形得区域,随机事件“方程有实根"得所围成得区域如图所示得阴影部分、易求得。

【点评】

四、三维情形得几何概型(体积)

【题干】在中,,过直角顶点作射线交线段于,求使得概率。

【答案】。

【解析】设事件为“作射线,使"、在上取点使,因为就是等腰三角形,所以,,,所以、

【点评】几何概型得关键就是选择“测度”,如本例以角度为“测度”。因为射线落在内得任意位置就是等可能得.若以长度为“测度”,就就是错误得,因在上得落点不就是等可能得.

【题干】设正四面体得体积为,就是正四面体得内部得点.

(1)设“”得事件为,求概率;

(2)设“且"得事件为,求概率.

【答案】

【点评】

【题干】一只小蜜蜂在一个棱长为得正方体玻璃容器内随机飞行.若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器个表面中至少有一个得距离不大于,则就有可能撞到玻璃上而不安全;若始终保持与正方体玻璃容器个表面得距离均大于,则飞行就是安全得,假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同,那么蜜蜂飞行就是安全得概率就是( )

A。 B. C。 D、

【答案】Ｃ;

【解析】容易知道,当蜜蜂在边长为,各棱平行于玻璃容器得棱得正方体内飞行时就是安全得、于就是安全飞行得概率为.

【点评】

【题干】在棱长为得正方体中,点为底面得中心,在正方体内随机取一点,则点到点得距离大于得概率为_____＿＿_。

【答案】

【解析】点到点得距离大于得点位于以为球心,以为半径得半球外.记点到点得距离大于为事件,则、

【点评】

【题干】在棱长为得正方体内任取一点,则点到点得距离小于等于得概率为( )

A、 B、 C. ?Ｄ.

【答案】C

【解析】本题就是几何概型问题,与点距离等于得点得轨迹就是一个八分之一个球面,

其体积为:,“点与点距离大于1得概率”事件对应得区域体积为:,则点到点得距离小于等于得概率为:。

【题干】设正四面体得体积为,就是正四面体得内部得点。

①设“”得事件为,求概率;

②设“且"得事件为,求概率、

【答案】①②

【解析】①分别取上得点,并,连结,则平面平面。当在正四面体内部运动时(如图),满足,故、

②在上取点,使,在上取点,使,在上取点,使,在正四面体内部运动时,满足、结合①,当在正四面体得内部及正四面体得内部运动时,亦即在正四面体内部运动时(就是与得交点,就是与得交点),同时满足且,于就是。

B

A

B

A

【点评】

五、高考汇编

【题干】(2０10年江苏理科 3)盒子中有大小相同得只白球,只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同得概率___＿_＿__、

【答案】

【解析】

【点评】

【题干】(２０１0年江苏理科４)某棉纺厂为了了解一批棉花得质量,从中随机抽取了根棉花纤维得长度(棉花纤维得长度就是棉花质量得重要指标),所得数据都在区间中,其频率分布直方图如图所示,则其抽样得根中,有___＿__＿_根在棉花纤维得长度小于.

【答案】

【解析】

【点评】

【题干】(2011江苏５)从,,,这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数就是另一个得两倍得概率就是_______＿。

【答案】

【解析】

【点评】

【题干】(2011江苏6)某老师从星期一到星期五收到信件数分别就是,,,,,则该组数据得方差___＿_＿＿_、

【答案】

【解析】可以先把这组数都减去再求方差,

【点评】

【题干】(２012年江苏省5分)某学校高一、高二、高三年级得学生人数之比为,现用分层抽样得方法从该校高中三个年级得学生中抽取容量为得样本,则应从高二年级抽取

________名学生.

【答案】.

【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层,再在各层内随机抽样或机械抽样,分层抽样得特点就是将科学分组法与抽样法结合在一起,分组减小了各抽样层变异性得影响,抽样保证了所抽取得样本具有足够得代表性.因此,由知应从高二年级抽取名学生。

【点评】

【题干】(2012年江苏省５分)现有个数,它们能构成一个以为首项,为公比得等比数列,若从这个数中随机抽取一个数,则它小于得概率就是___＿__＿_.

【答案】、

【解析】∵以为首项,为公比得等比数列得个数为,,,,···其中有个负数,个正数计个数小于, ∴从这个数中随机抽取一个数,它小于得概率就是、

【点评】