2020一轮复习课件 第3章 第8节 正弦定理和余弦定理应用举例删减版文库素材
正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查． 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝ c 2R 等形式，解决不同的三角形问题． 2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形： cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、 r . 4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： [1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A 1.2.2解斜三角形 学习目的： 1进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用； 2熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化； 3通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力 学习重点：1实际问题向数学问题的转化；2解斜三角形的方法 学习难点：实际问题向数学问题转化思路的确定 课堂过程： 一、复习引入： 上一节，我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧这一节，继续给出几个例题， 要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决 二、讲解范例： 应用二：测量高度 例1 如图，AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点。设计一种测量建筑物高度AB 的方法 分析：由于建筑物的底部B 是不可到达的，所以不能直接测量建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能测出一点C 到建筑物的顶部A 的距离CA ，并测出由点C 观察A 的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出CA 的长。 解：选择一条水平基线HG , 使H 、G 、B 三点在同一条直线上，由在H, G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别为α，β，CD=a. 测角仪器的高为h, 那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得： sin sin() a AC βαβ= - sin asin sin = sin(-) AB AE h AC h h ααβαβ=+=++ 例2 如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=54°40′, 在塔底C 处测得A 处的俯角β=50°1′ 。已知铁塔BC 部分的高为27.3m, 求出山高CD （精确到1m ） 分析：根据已知条件，应该设法计算出AB 或AC 的长 解：在△ABC 中, ∠BCA=90°+ β , ∠ABC=90°-α, , ∠BAC= α -β, ∠BAD=α. 根据正弦定理得： E D G H C A B A α β 人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案 人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案 一、选择题 1．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3， cos C ＝－ 41，则c 等于( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 2．在△ABC 中，若BC ＝2，AC ＝2，B ＝45°，则角A 等于( ) (A)60° (B)30° (C)60°或120° (D)30°或150° 3．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知B ＝30°，c ＝ 150，b ＝503，那么这个三角形是( ) (A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形 4．在△ABC 中，已知3 2sin ,53cos ==C B ，AC ＝2，那么边AB 等于( ) (A )45 (B)35 (C)920 (D)5 12 5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，如果A ∶B ∶C ＝ 1∶2∶3，那么a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶2∶3 (B)1∶3∶2 (C)1∶4∶9 (D)1∶2∶3 二、填空题 6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝ 45°，C ＝75°，则b ＝________. 7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝23，c ＝4，则A ＝________. 8．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2cos B cos C＝1－cos A，则△ABC形状是________三角形. 9．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝4，B ＝60°，则c＝________. 10．在△ABC中，若tan A＝2，B＝45°，BC＝5，则AC＝________. 三、解答题 11．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c， 若a＝2，b＝4，C＝60°，试解△ABC. 12．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝4，AC＝13. (1)求角B的大小； (2)若D是BC的中点，求中线AD的长. 13．如图，△OAB的顶点为O(0，0)，A(5，2)和B(－9，8)，求角A的大小. 正弦定理与余弦定理 1．已知△ABC 中，a=4，ο 30,34==A b ，则B 等于（ ） A ．30° B．30° 或150° C．60° D．60°或120° 2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（ ） A ．75° B．60° C．45° D．30° 3．已知ABC ?中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若0cos cos )2(=++C b B c a ，则角B 的大小为（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 32π D ．6 5π 4．在?ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若 sin sin C A =2，ac a b 322=-，则B ∠=( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0150 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a=5，c=10，A=30°，则B 等于（ ） A ．105° B．60° C．15° D．105° 或 15° 6．已知ABC ?中，75 6,8,cos 96 BC AC C ===，则ABC ?的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．钝角三角形 7．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2B C =，2cos 2cos b C c B a -=，则角A 的大小为（ ） A ． 2π B ．3π C ．4π D ．6 π 8．在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2 B ＜sin 2 C ，则△ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 9．在ABC ?中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，那么cos C =（ ） A. 14 B.23 C.23- D.14 - 10．在ABC ?中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰或直角三角形 11．在△ABC 中，cos 2 =，则△ABC 为（ ）三角形． A ．正 B ．直角 C ．等腰直角 D ．等腰 12．在△ABC 中，A=60°，a=4，b=4 ，则B 等于（ ） A ．B=45°或135° B ．B=135° C ．B=45° D ．以上答案都不对 13．在ABC ?,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1 sin cos sin cos ,2 a B C c B A b += 且a b >,则B ∠=（ ） 第二节应用举例 题型一 测量距离问题 A 、 B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C ，测出 AC 的距离是55m, 51=∠BAC , 75=∠ACB .求A 、B 两点间的距离（精 确到1.0m ）. 分析 所求的边AB 的对角是已知的，又已知三角形的一边AC ，根 据三角形内角和定理可计算出AC 的对角，根据正弦定理，可以计算出边AB . 解答 根据正弦定理，得 ABC AC ACB AB ∠= ∠sin sin ABC ACB ABC ACB AC AB ∠∠= ∠∠=sin sin 55sin sin 76554 sin 75sin 55)7551180sin(75sin 55?≈=--= (m) 点拨 本题是测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决。 本题型的解题关键在于明确：（1）测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决。（2）测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化 A B C 为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题。 衍生1★★ 如图所示，客轮以速度v 2由A 至B 再到C 匀速航行，货轮从AC 的中点D 出发，以速度V 沿直线匀速航行，将货物送达客轮，已知BC AB ⊥，且50=-BC AB 海里。若两船同时启航出发，则两船相遇之处距C 点 海里。（结果精确到小数点后1位） 解析 AB DB 2< ∴两船相遇点在BC 上，可设为E ，设x CE =，则 V BE AB DE 22+= 故 V x x 45cos 2252)225(22??-+V x 2)50(50-+= 得 3 5000 2= x ，∴8.40≈x 答案 8.40 点拨 本题考查了测量距离问题。 衍生2★★★如图所示，B A ,两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量B A , 两点间距离的方法。 分析 可以先计算出河的这一岸的一点C 到对岸两点的距离， 再测 A B C D α β A γ δ 高一数学《正弦定理、余弦定理》单元测试题（1） 班级 姓名 1．在ABC ?中，?=∠?=∠=15,30,3B A a ，则=c ( ) A ．1 B. 2 C ．3 2 D. 3 2．在ABC ?中，若 B b sin 2=，则∠A 等于( ) A ．30°或60° B ．45°或60° C ．120°或60° D ．30°或150° 3．在ABC ?中，?=∠==60,10,15A b a ，则B cos ＝( ) A ．－223 B.223 C ．－63 D.63 4．在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若B b A a sin cos =，则 B A A 2cos cos sin +＝( ) A ．－12 B.1 2 C ．－1 D ．1 5.在ABC ?中，若A b a sin 23=，则B 等于 （ ） A. 30 B. 60 C. 30或 150 D. 60或 1206.在ABC ?中，已知 45,1,2=== B c b ，则a 等于 （ ） A. 226- B. 2 2 6+ C. 12+ D. 23- 7.不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ） A. 30,14,7===A b a ，有两解 B. 150,25,30===A b a ,有一解 C. 45,9,6===A b a ，有两解 D. 60,10,9===A c b ，无解 8．在ABC ?中，?===30,3,1A b a ，则c ＝( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．无解 9.在ABC ?中，已知B a b sin 323=，C B cos cos =，则ABC ?的形状是（ ） A. 直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 10.在ABC ?中， 60=A ,3=a ，则 =++++C B A c b a sin sin sin （ ） A. 338 B.3392 C.3 3 26 D. 32 11．在ABC ?中，已知3,45,60=?=∠?=∠C ABC BAC ，则AC ＝________； 第七节 正弦定理、余弦定理应用举例 时间：45分钟 分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km 解析 利用余弦定理解△ABC .易知∠ACB ＝120°，在△ACB 中，由余弦 定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝2a 2－2a 2×? ?? ??－12＝3a 2， ∴AB ＝3a . 答案B 2．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( ) A ．2 2 km B ．3 2 km C ．3 3 km D ．2 3 km 解析 如图，由条件知AB ＝24×15 60＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.由正弦定理知BS sin30°＝AB sin45°，所以BS ＝AB sin45°sin30°＝3 2. 答案B 3．轮船A 和轮船B 在中午12时离开海港C ，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A 的航行速度是25海里/小时，轮船B 的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是( ) A ．35海里 B ．352海里 C ．353海里 D ．70海里 解析 设轮船A 、B 航行到下午2时时所在的位置分别是E ，F ，则依题意有CE ＝25×2＝50，CF ＝15×2＝30，且∠ECF ＝120°， EF ＝CE 2＋CF 2－2CE ·CF cos120° ＝ 502＋302－2×50×30cos120°＝70. 答案D 4．(2014·济南调研)为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 正弦定理与余弦定理的综合应用 (本课时对应学生用书第页 ) 自主学习回归教材 1.(必修5P16练习1改编)在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13，则cos C=. 【答案】-1 2 【解析】由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13，再由余弦定理得cos C= 222 78-13 278 + ??=- 1 2. 2.(必修5P24复习题1改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2-b23bc，sin C3B，则角A=. 【答案】π6 【解析】由sin C 3B得c3b，代入a2-b23得a2-b2=6b2，所以a2=7b2，a7b， 所以cos A= 222 - 2 b c a bc + = 3 ，所以角A= π 6. 3.(必修5P20练习3改编)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向、距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度 为n mile/h. (第3题) 【答案】 176 4.(必修5P26本章测试7改编)设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin A+c sin C2sin C=b sin B，则角B=. 【答案】45° 【解析】由正弦定理得a2+c22ac=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，故cos B=2 ， 因此B=45°. 5.(必修5P19例4改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的取值围为. 【答案】 π0 3?? ???， 正弦定理和余弦定理的应用举例 考点梳理 1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①). (2)方向角：相对于某正方向的水平角,如南偏东３0°，北偏西45°,西偏北６0°等； (3）方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．(4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数. 【助学·微博】 解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知，理清量与量之间的关系．侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力. (２)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． （４)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 解三角形应用题常有以下两种情形 （1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时 需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解． 考点自测 1．(2０１2·江苏金陵中学)已知△ＡB Ｃ的一个内角为12０°,并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等于__＿_____． 解析 记三角形三边长为ａ－4，a ，a ＋4,则(ａ+4)２＝（a －4)2+ａ2－2a (ａ-４） co ｓ 120°,解得a ＝1０，故S ＝12×1０×6×s ｉn 1２０°＝15错误!. 答案 1５错误! ２．若海上有A ，B ,C 三个小岛,测得A ,B 两岛相距10海里,∠BAC =60°,∠ABC ＝75°,则B ，Ｃ间的距离是_＿____＿_海里． 解析 由正弦定理,知 B Ｃsi ｎ 60° ＝错误!.解得BC =5错误!(海里)． 答案 5错误! 3．(2013·日照调研)如图，一船自西向东匀速航行,上午１0时到达一座灯塔P 的南偏西７5°距塔６8海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处,则这只船的航行速度为_＿＿_____海里/时． 解析 由正弦定理,得MN =68si ｎ 120°si ｎ 45° =34＼r(6)（海里)，船的航行速度为错误!＝错误!(海里／时). 答案 错误! 4.在△ABC 中,若2错误!ａｂs ｉn C =a ２＋b 2+c 2,则△ABC 的形状是_＿__＿＿＿_. 解析 由2３ab sin C =ａ２＋b 2＋c 2,a 2+ｂ2－c 2＝2ａb cos C 相加,得a ２＋b ２=2ab sin 错误!.又ａ2＋b ２≥2ab ，所以 ｓin 错误!≥1,从而s ｉn 错误!＝1,且a =ｂ，C =错误!时等号成立,所以△ＡBC 是等边三角形. 答案 等边三角形 ５.（2０10·江苏卷)在锐角△A ＢＣ中，角Ａ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ｃ. 课时作业3应用举例 时间：45分钟满分：100分 课堂训练 1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是() A．103海里B．106海里 C．52海里D．56海里 【答案】 D 【解析】如图，∠A＝60°，∠B＝75°， 则∠C＝45°， 由正弦定理得： BC＝AB·sin A sin C ＝10×sin60° sin45° ＝5 6. 2．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为() A ．502m B ．503m C ．252m D.2522m 【答案】 A 【解析】 因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以∠ABC ＝30°，根 据正弦定理可知，AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ，即50sin30°＝AB sin45°，解得AB ＝502m ，选A. 3．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A ，B 间距离是35m ，则此电视塔的高度是________m. 【答案】 521 【解析】 如图所示，塔高为OC ，则∠OAC ＝60°，∠AOB ＝180°－30°＝150°，∠CBO ＝45°，AB ＝35， 设电视塔高度为h m，则OA＝3 3h，OB＝h，在△AOB中由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB， 即352＝(3 2＋h2－2×33h×h×(－32) 3h) 解得h＝521. 4．如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？ 【分析】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，将它与38海里比较大小即可． 正弦定理、余弦定理综合应用 例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1 sin 2 B = ， 由ABC △为锐角三角形得π6B = ． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π?? +=+π-- ?6?? cos sin 6A A π??=++ ???1cos cos 2A A A =++ 3A π? ?=+ ???． 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336 A πππ <+<， 所以1sin 23A π??+< ???． 3A π??<+< ?? ? 所以，cos sin A C +的取值范围为322?? ? ?? ?，． 例2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1 sin 6 C ，求角C 的度数． 解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +=， 两式相减，得1AB =． （II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =g g ，得1 3 BC AC =g ， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=g 22()21 22 AC BC AC BC AB AC BC +--= =g g ， 所以60C =o ． 例3.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ， 且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6 π . 例4.设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60o ，c =3b.求a c 的值； 解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117 ()2,3329 c c c c c +-=g g g 故3a c = 例5.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===, 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 61 2 例6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若() C a A c b cos cos 3=-， 则=A cos _________________. 3 例7.(2009年广东卷文)已知ABC ?中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==且 75A ∠=o ，则b = 【解析】0000000 sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+= 正弦定理、余弦定理 一、选择题 1．在△ABC 中，已知,30,10,25?===A c a 则B= （ ） （A ）105° （B ）60° （C ）15° （D ）105°或15° 2．在△ABC 中，已知a=6，b=4，Ｃ=120°，则sinB 的值是 （ ） （A ） 7 21 （B ） 19 57 （C ） 383 （D ）19 57- 3．在△ABC 中，有a=2b ，且Ｃ=30°，则这个三角形一定是 （ ） （A ）直角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）以上都有可能 4．△ABC 中，已知b=30，c=15，C=26°，则此三角形的解的情况是 （ ） （A ）一解 （B ）二解 （C ）无解 （D ）无法确定 5．在△ABC 中，中，若2 cos sin sin 2 A C B =，则△ABC 是 （ ） （A ）等边三角形 （B ）等腰三角形 （C ）直角三角形 （D ）等腰直角三角形 6．在△ABC 中，已知13 5 cos ,53sin == B A ，则 C cos 等于 （ ） （A ） 6556 （B ） 65 16 （C ） 6516或65 56 （D ） 65 33 7．直角△ABC 的斜边AB=2，内切圆的半径为r ，则r 的最大值是 （ ） （A ）2 （B ）1 （C ） 2 2 （D ）12- 8．若△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且,)()(2 2 2 2 2 2 c x a c b x b x f +-++=则f （x ）的图 象是 （ ） （A ）在x 轴的上方 （B ）在x 轴的下方 （C ）与x 轴相切 （D ）与x 轴交于两点 二、填空题 9．在△ABC 中，∠C=60°，c=22，周长为),321(2++则∠A= ． 10．三角形中有∠A=60°，b ∶c=8∶5，这个三角形内切圆的面积为12π，则这个三角形 面积为 ． 11．平行四边形ABCD 中，∠B=120°，AB=6，BC=4，则两条对角线的长分别是 ． 12．在60°角内有一点P ，到两边的距离分别为1cm 和2cm ，则P 到角顶点的距离为 ． 三、解答题 13．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，A ＜B ＜C ，B=60°，且满足 ).13(2 1 )2cos 1)(2cos 1(-= ++C A 求：（1）A 、B 、C 的大小； （2）c b a 2+的值． 浅谈正弦、余弦定理在中考中的 应用 (1)余弦定理：c2=a2+b2-2ab*cosC 文字表述：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边 与它们夹角的余弦的积的两倍。 (2)正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r(r 为Z\ABC 外接圆的 半径) 文字表述：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等。 F面我们来证明: 证明：(1)作BC上的高AD=h,设CD二x,则BD=a-x 贝ij b2=h2+x2=c2- (a~x) 2+x2=c2-a2+2ax-x2+ x2 又x二b*cosC 所以c2=a2+b2-2ab*cosC (2)因为sinB=h/c, sinC=h/b 所以h二b*sinC二c*sinB 所以b/sinB=c/sinC 同理可得：a/si nA二b/s i nB二c/sinC 下面我们来看如何运用正弦、余弦定理解题： 例1: 25-右「/XABC 中，AC-BC. ZACB^90: , D、E 是用线AB 上两点.ZDCE^45c (1)当CE丄AB时，点D与点A晅合?能然DE‘=AD ‘十BE’(不必证明) (2)如图，当点D不与点A直合时，求证：DE2=AD-4-BE2 (3 )当点D衽BA的延L3上时.(2 )中的结论是否成立?训山图形.说明理由? (2)证明：令ZACD二Zl, ZBCE=Z2,则Z1 + Z2=ZACB~ZDCE=45° 因为AD/sinZl=CD/sinZA, BE/sinZ2=CE/sinZB, sinZA= sinZB= sin45° C 所以AD2+ BE2 = (CD:f:sinZl/sinZA) 2+ (CE* sinZ2/sinZB) 2 =(CD2* sin2Z 1+ CE2* sin2Z2)/ sin245°又 CD/sin(45°+Z2)= CE/sin(45°+ Z1 )=DE/sin45°所以AD2+ BE2={[ DE* sin(45°+ Z2) *sinZl/sin450]2 + A [DE* sin(45°+Zl) *sinZ2 /sin450]2}/ sin245°因为sin(45°+Z2) *sinZl = sin(45°+Z2) *sin (Z45°-Z2) =cos2Z2/2, sin(45°+Zl) *sinZ2= sin(45°+Zl) *sin (Z45°-Z1) =cos2Zl/2, 2 (Z1+Z2) =90° 所以AD2+ BE2 =DE2 cos22Z2+ DE2COS22Z1= DE2(cos22Z2+sin22Z2)= DE2 即DE2=1.2.2正弦、余弦定理应用
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