集合的关系求参数范围

2．设集合I={1，2，3，4，5，6}，集合A、B?I，若A中含有3个元素，B中至少含有2个元素，且B中所有数

4．集合时M={x|x=，k∈Z}与N={ x|x=，k∈Z}之间的关系是（）

2222

6．设集合A={x|x=+，k∈Z}，B={x|x=+，k∈Z}，则（）

8．已知集合A={x|mx2﹣2x+3=0，m∈R，x∈R }．

（1）若A是空集，求m的取值范围；

（2）若A中只有一个元素，求m的值；

（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围．

9．已知集合A={x|x2﹣2x﹣a=0，x∈R}，B={x|x2﹣4x+a+6=0，x∈R}

（1）若A=B=?，求a的取值范围；

（2）若A和B中至少有一个是?，求a的取值范围；

（3）若A和B中有且只有一个是?，求a的取值范围．

10．已知集合A={x|x2﹣5x+6=0}，B={a，2，2a﹣1}

（I）求集合A；

（II）若A?B，求实数a的值．

11．已知集合P={x|x2+4x=0}，集合Q={x|x2+2（m+1）x+m2﹣1=0}，

（1）若P?Q，求实数m的取值范围；

（2）若Q?P，求实数m的取值范围．

12．设A={x|x2﹣8x+15=0}，B={x|ax﹣1=0}．

（1）若，试判定集合A与B的关系；

（2）若B?A，求实数a组成的集合C．

13．已知M={x|﹣2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a﹣1}．

（Ⅰ）若M?N，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若M?N，求实数a的取值范围．

14．已知集合A={x||x﹣a|＜2，x∈R }，B={x|＜1，x∈R }．

（1）求A、B；

（2）若A?B，求实数a的取值范围．

15．已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={x|x2﹣（a+1）x+a≤0}．（1）若A?B，求a的取值范围；

（2）若A?B，求a的取值范围；

（3）若A=B，求a的取值范围．

2014年07月23日郭杜军1的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共7小题）

1．（2014?市中区二模）定义集合A*B={x|x∈A，且x?B}，若A={1，3，5，7}，B={2，3，5}，则A*B的子集个

2．（2012?泸州二模）设集合I={1，2，3，4，5，6}，集合A、B?I，若A中含有3个元素，B中至少含有2个元

4．集合时M={x|x=，k∈Z}与N={ x|x=，k∈Z}之间的关系是（）

M={x|x=Z}={x|x=，

，

2222

6．（2010?和平区一模）设集合A={x|x=+，k∈Z}，B={x|x=+，k∈Z}，则（）

+，

+，Z}={x|x=+

+，Z}={x|x=，

+Z}={x|x=

二．解答题（共8小题）

8．已知集合A={x|mx2﹣2x+3=0，m∈R，x∈R }．

（1）若A是空集，求m的取值范围；

（2）若A中只有一个元素，求m的值；

（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围．

2x+3=0}={

解：集合A是方程mx2﹣2x+3=0在实数范围内的解集．（1）当m=0时，集合A={x|﹣2x+3=0}={}≠?，不合题意；

当m≠0时，须△＜0，即△=4﹣12m＜0，即m＞．

故若A是空集，则m＞

（2）∵A中只有一个元素，∴方程mx2﹣2x+3=0只有一个解．

若m=0，方程为﹣2x+3=0，只有一解x=，符合题意

若m≠0，则△=0，即4﹣12m=0，m=．

∴m=0或m=．

．

9．已知集合A={x|x2﹣2x﹣a=0，x∈R}，B={x|x2﹣4x+a+6=0，x∈R} （1）若A=B=?，求a的取值范围；

（2）若A和B中至少有一个是?，求a的取值范围；

（3）若A和B中有且只有一个是?，求a的取值范围．

10．已知集合A={x|x2﹣5x+6=0}，B={a，2，2a﹣1}

（I）求集合A；

（II）若A?B，求实数a的值．

11．已知集合P={x|x2+4x=0}，集合Q={x|x2+2（m+1）x+m2﹣1=0}，（1）若P?Q，求实数m的取值范围；

（2）若Q?P，求实数m的取值范围．

，

或

或，

12．设A={x|x2﹣8x+15=0}，B={x|ax﹣1=0}．

（1）若，试判定集合A与B的关系；

（2）若B?A，求实数a组成的集合C．

，

B={}

或或

故答案为：

13．已知M={x|﹣2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a﹣1}．

（Ⅰ）若M?N，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若M?N，求实数a的取值范围．

，则

14．（2013?金山区一模）已知集合A={x||x﹣a|＜2，x∈R }，B={x|＜1，x∈R }．

（1）求A、B；

（2）若A?B，求实数a的取值范围．

＜

15．已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={x|x2﹣（a+1）x+a≤0}．（1）若A?B，求a的取值范围；

（2）若A?B，求a的取值范围；

（3）若A=B，求a的取值范围．

含参不等式恒成立问题中求参数取值范围一般方法(教师版)

恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。一、分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()m ax a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()m in a f x ≤，转化为函数求最值。例1、已知函数()lg 2a f x x x ??=+ - ???，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。解：根据题意得：21a x x + ->在[)2,x ∈+∞上恒成立，即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立，设()23f x x x =-+，则()2 3924f x x ??=--+ ??? 当2x =时，()max 2f x = 所以2a > 例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式() 21240x x a a ++-?>恒成立，求a 的取值范围。解：令2x t =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：22 1t a a t +-<，要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()2 1t f t t +=在(]0,2t ∈上的最小值即可。 ()22211111124t f t t t t t +????==+=+- ? ? ???? 11,2t ??∈+∞???? ()()min 324f t f ∴== 234a a ∴-< 1322 a ∴-<< 二、分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。例3、若[]2,2x ∈-时，不等式2 3x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。解：设()2 3f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。（1）当22a -<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 73 a ∴≤又4a >所以a 不存在；

参数取值问题的题型与方法教材

参数取值问题的题型与方法（Ⅰ）参数取值问题的探讨一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例1．已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a 及x ，其中x 的范围已知（x ∈R ），另一变量a 的范围即为所求，故可考虑将a 及x 分离。解：原不等式即：4sinx+cos2x<45-a -a+5 要使上式恒成立，只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。 f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin 2x+4sinx+1=-2(sinx -1)2+3≤3, ∴45-a -a+5>3即45-a >a+2 上式等价于?? ? ??->-≥-≥-2)2(450450 2a a a a 或???≥-<-0 4502a a ，解得≤54a<8. 说明：注意到题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1-2sin 2x,故若把sinx 换元成t,则可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。另解：a+cos2x<5-4sinx+45-a 即 a+1-2sin 2x<5-4sinx+45-a ,令sinx=t,则t ∈[-1,1], 整理得2t 2-4t+4-a+45-a >0,( t ∈[-1,1])恒成立。设f(t)= 2t 2-4t+4-a+45-a 则二次函数的对称轴为t=1, ∴ f(x)在[-1，1]内单调递减。 ∴ 只需f(1)>0,即45-a >a -2.(下同) 例2．已知函数f(x)在定义域（-∞，1]上是减函数，问是否存在实数k ，使不等式f(k -sinx)≥f(k 2-sin 2x)对一切实数x 恒成立？并说明理由。分析：由单调性与定义域，原不等式等价于k -sinx ≤k 2-sin 2x ≤1对于任意x ∈R 恒成立，这又等价于 ?? ? ??----≥+-----+≤) 2()21(sin 41)1(sin 12 222x k k x k 对于任意x ∈R 恒成立。不等式（1）对任意x ∈R 恒成立的充要条件是k 2≤(1+sin 2x)min =1,即-1≤k ≤1----------(3) 不等式（2）对任意x ∈R 恒成立的充要条件是k 2-k+ 41≥[(sinx -21)2]max =4 9 , 即k ≤-1或k ≥2,-----------(4) 由（3）、（4）求交集，得k=-1,故存在k=-1适合题设条件。说明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。例3．设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点，试求AP PB 的取值范围. 分析：本题中，绝大多数同学不难得到：AP PB =B A x x -，但从此后却一筹莫展, 问题的

(完整版)利用导数求参数的取值范围方法归纳

利用导数求参数的取值范围一．已知函数单调性，求参数的取值范围类型1．参数放在函数表达式上例１．设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(23．的取值范围求上为增函数在若的值求常数处得极值在若a x f a x x f ,)0,()()2(. ,3)()1(-∞= 二．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围类型１．参数放在不等式上例3.已知时都取得极值与在13 2)(23=-=+++=x x c bx ax x x f （1）求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间．（2）若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围． __________)(]2,1[,522)(.32 3 的取值范围是则实数都有若对任意已知函数m m x f x x x x x f >-∈+--= 类型2．参数放在区间上例４．已知三次函数d cx x ax x f ++-=2 35)(图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且)(x f 在x=3处有极值. （1）求)(x f 的解析式.（2）当),0(m x ∈时, )(x f >0恒成立,求实数m 的取值范围. 分析:(1)935)(23++-=x x x x f ] 3,0(),0(0)(]3,0(),0(0)(30)3()(,)(,0)()3,3 1(9)0()()(,0)()3 1,0(3,310)() 3)(13(3103)().2(''21‘2'的取值范围为所以内恒成立在时当且仅当内不恒成立在时所以当所以单调递减时当所以单调递增时当得由m m x f m ，m x f m f x f x f x f x f x f ，x f x f x x x x f x x x x x f >∈>>=><∈=>>∈===--=+-= 基础训练： .___________24.434的取值范围是则实数都成立对任意实数若不等式a ，x a x x -≥-

集合、函数基本性质中的参数问题(含详解)

集合、函数基本性质中的参数问题 1、已知集合},1{},,3,1{m B m A ==，A B A = ，则=m （） A 、0或3 B 、0或3 C 、1或3 D 、1或3 2、已知集合}{},1{2a M x x P =≤=，若P M P = ，则a 的取值范围是（） A 、]1,(--∞ B 、),1[+∞ C 、]1,1[- D 、),1[]1,(+∞--∞ 3、设集合},1{R x a x x A ∈<-=，},51{R x x x B ∈<<=，若?=B A ，则实数a 的取值范围是（） A 、}60{≤≤a a B 、}42{≥≤a a a 或 C 、}62{≥≤a a a 或 D 、}42{≤≤a a 4、已知函数32)(2--=ax x x f 在区间]2,1[上单调，则实数a 的取值范围是 5、已知函数)(x f y =在定义域)1,1(-上是减函数，且)12()1(-<-a f a f ，则a 的取值范围是 6、已知函数???<≥+=0 ,10,1)(2x x x x f ，则满足不等式)2()1(x f x f >-的x 的取值范围是 7、若R a ∈，且对于一切实数x 都有032 >+++a ax ax ，那么a 的取值范围是（） A 、),0(+∞ B 、),0[+∞ C 、)4,(--∞ D 、),0()4,(+∞--∞ 8、关于x 的方程02)12(22=-+--a x a x 至少有一个非负实根，则a 的取值范围是 9、已知集合}32{},12{≤≤-=+≤≤=x x B a x a x A ，若A B A = ，求实数a 的取值范围

2-4已知单调性求参数取值范围(可编辑修改word版)

【知识点 4】已知单调性求参数取值范围 1. 思路提示：⑴对于函数在某个区间上单调递增或单调递减的问题，转化为导函数在此区间上恒为非负或非正的问题，进而转化为导数在该区间上的最值问题. ⑵对于可导函数在某个区间不单调的问题，转化为导函数在此区间无实根，可结合导函数的图像给出此问题的充要条件，从而求解. ⑶对于只有一个极值点的导函数研究其相关问题（如在给定区间上恒为正或负以及根的分布等），往往可以类比二次函数在区间上的最值或根的分布求解. 例 1：已知函数f (x) = 3ax4- 2(3a + 1)x2- 2(3a + 1)x2+ 4x 1 （I）当a = 时，求f (x) 的极值; 6 （II）若f (x) 在(-1,1)上是增函数，求a 的取值范围例 2：已知函数f (x) =x3+ax2+x +1(a ∈R) （I）讨论函数f (x) 的单调区间； 3 1 （II）设函数f (x) 在区间(- , - ) 内是减函数，求a 的取值范围. 2 3 例 3：已知函数f (x) = (2ax -x2 )e ax，其中a 为常数，且a ≥ 0 . （I）若a =1 ，求函数f (x) 的极值点；（II）若f (x) 在区间( 2, 2) 内单调递增，求a 的取值范围. 例 4：已知函数f (x) =ax3+bx2 (x ∈R) 的图像过点P(-1, 2) ，且在点P 处的切线恰好与直线x - 3y = 0 垂直. (Ⅰ)求函数f (x) 的解析式；（II）若函数f (x) 在区间[m, m +1]上单调递增，求实数m 的取值范围.

2 例 5：已知函数 f (x ) = x 3 + (1- a )x 2 - a (a + 2)x + b (a , b ∈ R ) . (Ⅰ)若函数 f (x ) 的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3 ，求 a , b 的值；（II ）若函数 f (x ) 在区间(-1,1) 上不单调，求 a 的取值范围. 例 6：设 f (x ) = e x 1+ ax ，其中a 为正实数（Ⅰ）当a = 4 时，求 f (x ) 的极值点； 3 （Ⅱ）若 f (x ) 为 R 上的单调函数，求a 的取值范围. 例 7：设 f (x ) = e x ，其中a 为正实数. 2 (Ⅰ)当 a = 3 时，求 f (x ) 的极值点； 4 (Ⅱ)若 f (x ) 为 R 上的单调函数，求a 的取值范围. 例 8：设 f (x ) = - 1 x 3 + 1 x 2 + 2ax 3 2 (I) 若 f (x ) 在( , +∞) 上存在单调递增区间，求 a 的取值范围． 3 （II ）当0 < a < 2 时， f (x ) 在[1, 4] 的最小值为- 16 3 ，求 f (x ) 在该区间上的最大值．例 9：已知 a ，b 是实数，函数 f (x ) = x 3 + ax , g (x ) = x 2 + bx , f '(x ) 和 g '(x ) 是 f (x ), g (x ) 的导函数，若 f '(x )g '(x ) ≥ 0 在区间 I 上恒成立，则称 f (x ) 和 g (x ) 在区间 I 上单调性一致 (I)设 a > 0 ，若函数 f (x ) 和 g (x ) 在区间[-1,+∞) 上单调性一致,求实数 b 的取值范围；

求解含参数的两个集合的关系常用五法

求解含参数的两个集合的关系常用五法判断两个集合之间的关系是集合中的重要题型，且是高考热点内容之一。其中，含参数的两个集合的关系更是许多同学解题的难点。怎样求解含参数的两个集合的关系题呢？本文将结合例题介绍五种破解术，供大家参考：法一：借助数轴或韦恩图寻找关系例1：已知全集+ =N U ，集合},3{+∈==N n n x x P ，},6{+∈==N n n x x Q , 则=U ( ) A Q P ? B Q P C U ? C Q C P U ? D Q C P C U U ? 解：依题意得，P Q ?,则其韦恩图如下：由韦恩图可知，=U Q C P U ?，即选C 法二：列举对比法例2：数集},)12{(Z m m M ∈+=π与数集},)14{(Z n n N ∈±=π之间的关系是（） A N M ? B N M = C M N ? D N M ≠ 解：取 ,2,1,0,1,-=m ，则},5,3,,,{ ππππ-=M ;取 ,1,0,=n ，则},5,3,,,{ ππππ-=N . N M =∴即选B 法三：合理分类讨论，利用集合有关定义准确判断例3：已知集合}),12(51{Z k k x x M ∈+==，},5 154{Z k k x x N ∈±==,则集合N M ,之间的关系为（） A N M ? B M N ? C N M = D N M ≠ 解：设M x ∈1，则有Z k k x ∈+=111),12(5 1 当Z n n k ∈=,21时，5 154)14(511+=+=n n x N x ∈∴1 当Z n n k ∈-=,121时，5 154)124(511-=+-=n n x N x ∈∴1 从而有N M ? 又设N x ∈2,则Z k k k x ∈±=±=2222),14(5 15154 )(1422Z k k ∈± 表示奇数，)(12Z n n ∈+也表示奇数 Z n n k x ∈+=±=∴),12(5 1)14(5122 M x ∈∴2从而有M N ? 综上可得，N M =

解析几何中参数范围问题的求解策略

解析几何中参数范围问题的求解策略解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。很多同学在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，下面我通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，希望同学们能有所收获。背景之一：题目所给的条件利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。这是求范围问题最显然的一个背景。例1、椭圆),0(1 22 22为半焦距c b c a b y a x >>>=+的焦点为F 1、F 2，点 P (x , y )为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是___。例2、已知梯形ABCD 中，AB =2CD ，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过点C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。当4 3 32≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。背景之二：曲线自身的范围圆、椭圆、双曲线及抛物线都有自身的范围，如椭圆a b y a x (122 22=+>b >0) 中，x ,10],,[],,[<<-∈-∈e b b y a a ，利用这些范围是确定参数范围的途径之一。例3、设点P 到点M (－1，0)、N (1，0)距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围。例4、设椭圆 11 22 =++y m x 的两个焦点是F 1(－c , 0)与F 2(c , 0) (c > 0)，且椭圆上存在一点P ，使得直线PF 1与PF 2垂直。 (1)求实数m 的取值范围； (2)设l 相应于焦点F 2的准线，直线PF 2与l 相交于Q ，若 32| |2-=PF QF ，求直线PF 2的方程。背景之三：二次方程有解的条件直线和圆锥曲线的关系，是解析几何中最常见的关系，它们联立消元后所得的判别式非负是直线和圆锥曲线有公共点的充要条件；若有限制条件，则还应考虑根的分布情况等，这是确定参数取值范围的一个常见背景。例5、给定双曲线x ２－2 2 y = 1，过点B (1，1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于P 1及P 2，且点B 是线段P 1P 2的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。例6、已知直线1:+=kx y l 与双曲线12:2 2=-y x C 的右支交于不同的两点A 、B 。 (1)求实数k 的取值范围； (2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由。背景之四：已知变量的范围利用题中给出的某个已知变量的范围，或由已知条件求出某个变量的范围，然后找出这个变量与欲求的参变量之间的关系，进而求解。 1、双参数中知道其中一个参数的范围；例7、已知双曲线的中心在原点，右顶点为A (1, 0)，点P 、Q 在双曲线的右支上，点M (m , 0)到直线AP 的距离为1。 (1)若直线AP 的斜率为k ，且]3,3 3 [||∈k ，求实数m 的取值范围； (2)当12+= m 时，APQ ?的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程。

集合中的求参数的取值范围

集合中的求参数的取值范围题组一子集中的求参数取值范围 1. 已知集合{ } 01032 ≤--=x x x A . （1）若{}121,-≤≤+=?m x m x B A B ，求实数m 的取值范围；（3≤m ）（2）若{}126,-≤≤-==m x m x B A B ，求实数m 的取值范围；（43≤≤m ） 2. 已知集合{}12<≤-=x x A ，{},m x x B >=若B A ?，求m 的取值范围.（2-

题组二方程或不等式有解问题中的求参数取值范围 1. 方程()01452=---x x a 有实数根，求实数a 的取值范围.（1≥a ） 2. 若关于x 的不等式()()02112>+-+-x m x m 的解集为R ，求m 的取值范围.（91<≤m ） 3. 若方程0)1(2 =-++k x x k 有且仅有一个实数根，求实数k 的取值范围.（1-=k 或2 1- =k ）题组三集合运算中的求参数取值范围 1. 已知两个集合{} {}32,022 +<<=≤--=a x a x B x x x A ，且满足φ=B A ，求实数a 的取值范围.（4-≤a 或1≥a ） 2. 对于实数集{ } 03422 =-+-=a ax x x A 和{} 022222=+++-=a a ax x x B ，是否存在实数a ，使φ=B A ？若不存在，请说明理由；若存在，求出a 的取值范围.（21<