初中数学抛物线与几何专题训练及答案

初中数学抛物线与几何专题训练及答案

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抛物线与几何问题

【知识纵横】

抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：

2y ax bx c =++(a ≠0)；2、顶点式：y =a(x —h) 2-＋k ；3、交点式：y=a(x —x 1)(x —x 2 ) ，这里x 1、x 2 是方程ax 2 +bx+c=0的两个实根。 解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。 【典型例题】

【例1】 (浙江杭州) 在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）。平移二

次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B ，C 两点（∣OB∣<∣OC∣），连结A ，B 。 （1）是否存在这样的抛物线F ， OC OB OA ?=2

请你作出判断，并说明理由；

（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO=2

3

，求抛

物线F 对应的二次函数的解析式。

【思路点拨】（1）由关系式OC OB OA ?=2

来构建关于t 、b 的方程；(2)讨论

t 的取值范围，来求抛物线F 对应的二次函数的解析式。

【例2】(江苏常州)如图,抛物线24y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O,它的顶点为A,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P 是直线l 上一动点.

（1）求点A 的坐标;

（2）以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等

腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;

（3）设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S,

点P 的横坐标为x,当462682S +≤≤+时,求x 的取值范围.

【思路点拨】（3）可求得直线l 的函数关系式是y=-2x ，所以应讨论①当点P 在第二象限时，x<0、 ②当点P 在第四象限是，x>0这二种情况。

【例3】（浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线2=x 与x 轴相交于点B ，连结OA ，抛物线2x y =从点O 沿OA 方向平移，与直线2=x 交于点P ，顶点M 到A 点时停止移动．

（1）求线段OA 所在直线的函数解析式； （2）设抛物线顶点M 的横坐标为m ,

①用m 的代数式表示点P 的坐标；

②当m 为何值时，线段PB 最短； y B

A P M

x

（3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA 的面积与△PMA 的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

【思路点拨】（2）构建关于PB 的二次函数，求此函数的最小

值；（3）分当点Q 落在直线OA 的下方时、当点Q 落在直线OA 的上方时讨论。

【例4】（广东省深圳市）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝

OC ，tan∠ACO＝3

1

．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，

使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x

轴相切，求该圆半径的长度．

（4）如图2，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上

一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大求出此时P 点的

坐标和△APG 的最大面积.

【思路点拨】（2）可先以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形时，求F 点的坐标，再代入抛物线的表达式检验。（3）讨论①当直线MN 在x 轴上方时、②当直线MN 在x 轴下方时二种情况。（4）构建S 关于x 的二次函数，求它的最大值。

【例5】（山东济南）已知：抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)，顶点C (1，3-)，与x 轴交于A 、B 两点，(10)A -，．

（1）求这条抛物线的解析式．

（2）如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点D ，与抛物线对称轴交于点E ，依次连接A 、D 、B 、E ，点P 为线段AB 上一个动点(P 与A 、B 两点不重合)，过点P 作PM ⊥AE 于M ，

PN ⊥DB 于N ，请判断PM PN BE

AD

+是否为定值 若是，请求出此定值；若不

是，请说明理由．

（3）在(2)的条件下，若点S 是线段EP 上一点，过点S 作FG ⊥EP ，FG 分别与边．

AE 、BE 相交于点F 、G (F 与A 、E 不重合，G 与E 、B 不重合)，请判断PA EF PB

EG

=是否成

【思路点拨】（2）证△APM ∽△ABE ，PM BE 同理: PN PB AD AB = （3）证PH =BH 且△APM ∽△再证△MEP ∽△EGF 可得。

【学力训练】

1、（广东梅州）如图所示，在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ， AD ⊥DB ，AD =DC =CB ，AB =4．以AB 所在直线为x 轴，过D 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．

（1）求∠DAB 的度数及A 、D 、C 三点的坐标；

（2）求过A 、D 、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴L ．

（3）若P 是抛物线的对称轴L 上的点，那么使?PDB 为等腰三角形的点P 有几个（不必求点P 的坐标，只需说明理由）

2、（广东肇庆）已知点A （a ，1y ）、B （2a ，y 2）、C （3a ，y 3）都在抛物线x x y 1252+=上.

（1）求抛物线与x 轴的交点坐标； （2）当a =1时，求△ABC 的面积；

（3）是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.

3、（青海西宁）如图，已知半径为1的1O 与x 轴交于A B ，两点，

OM 为1O 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，

，二次函数2y x bx c =-++的图象经过A B ，两点． （1）求二次函数的解析式；

（2）求切线OM 的函数解析式；

（3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以

P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若

y x

O

A

B M O 1

存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4、（辽宁12市）如图，在平面直角坐标系中，直线

33

y x

=--与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线

223

(0)

y ax x c a

=-+≠经过A B C

，，三点．

（1）求过A B C

，，三点抛物线的解析式并求出

顶点F的坐标；

（2）在抛物线上是否存在点P，使ABP

△为直

角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得MBF

△的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

5、（四川资阳）如图，已知点A的坐标是

（－1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直

径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、

BC，过A、B、C三点作抛物线．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分

线CD交⊙O′于点D，连结BD，求直线BD的解析

式；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点

P，使得∠PDB＝∠CBD如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

6、（辽宁沈阳）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC

的边BO在x轴的

负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且1

AB=，3

OB=，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60

y

E

F

A O x

y

B

F

C

后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C 的对应点为点D，抛物线2

=++过点A E D

y ax bx c

，，．

（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；

（2）求抛物线的函数表达式；

（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O B P Q

，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

7、（苏州市）如图，抛物线y＝a(x＋1)(x－5)与x轴的交点为M、N．直线y＝kx＋b

与x轴交于P(－2，0)，与y轴交于C．若A、B两点在直线y＝kx＋b 上，且AO=BO=2，AO⊥BO．D为线段MN的中点，OH为Rt△OPC斜边上的高．

(1)OH的长度等于___________；k＝___________，b＝

____________；

(2)是否存在实数a，使得抛物线y＝a(x＋1)(x－5)上有一点E，满

足以D、N、E为顶

点的三角形与△AOB相似若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由)；并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE

与直线AB的交点G是否总满足PB·PG＜2

10，写出探索过程．

抛物线与几何问题的参考答案

【典型例题】

【例1】 (浙江杭州)（1）∵ 平移2tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q ,

∴ 抛物线F 对应的解析式为:b t x t y +--=2)(. ∵ 抛物线与x 轴有两个交点，∴0>b t . 令0=y , 得-

=t OB t b

，+=t OC t

b , ∴ -

=?t OC OB (|||||t

b

)( +t t b

)|-=2|t 22|OA t t

b == , 即2

2t t t b ±=-, 所以当32t b =时, 存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ?=.-

- 2分

(2) ∵BC AQ //, ∴ b t =, 得F : t t x t y +--=2)(,

解得1,121+=-=t x t x . 在?Rt AOB 中,

1) 当0>t 时,由 ||||OC OB <, 得)0,1(-t B , 当01>-t 时, 由=

∠ABO tan 23=|||

|OB OA =1

-t t , 解得3=t , 此时, 二次函数解析式为241832-+-=x x y ; 当01<-t 时, 由=

∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t , 解得=t 5

3

,

此时，二次函数解析式为-

=y 532x +

2518x +125

48

. 2) 当0

3

-, 3-=t , （也可由x -代x ，y -代y 得到） 所以二次函数解析式为 =

y 532x +

2518

x –125

48或241832++=x x y . 【例2】(江苏常州) （1）∵4)2(422-+=+=x x x y ∴A(-2,-4)

（2）四边形ABP 1O 为菱形时，P 1(-2,4)

四边形ABOP 2为等腰梯形时，P 1(545

2-，)

四边形ABP 3O 为直角梯形时，P 1(58

54，-)

四边形ABOP 4为直角梯形时，P 1(5

12

56-，)

（3）

由已知条件可求得AB 所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线l 的函数关系式是y=-2x

①当点P 在第二象限时，x<0, △POB 的面积x x S POB 4)2(42

1-=-??=?

∵△AOB 的面积8442

1

=??=?AOB S ， ∴)0(84<+-=+=??x x S S S POB AOB ∵286264+≤≤+S ，

∴?????+≤+≥2

86264S S 即?????+≤+-+≥+-2

868426484x x ∴???

????-≤-≥22412232S x

∴x 的取值范围是

2

2322241-≤≤-x ②当点P 在第四象限是，x>0,

过点A 、P 分别作x 轴的垂线，垂足为A ′、P ′ 则四边形POA ′A 的面积

44)2(21

)2(224+=??-+?+=

-='?'''x x x x x S S S O P P A A P 梯形P A A PO ∵△AA ′B 的面积4242

1

=??='?B

A A S ∴)0(84>+=+='?'x x S S S

B A A A A PO ∵286264+≤≤+S ，

∴?????+≤+≥286264S S 即?????+≤++≥+2

868426484x x ∴???

?

???-≤-≥2

12422

23S x ∴x 的取值范围是

2

1

242223-≤≤-x

【例3】（浙江丽水）（1）设OA 所在直线的函数解析式为

kx y =，

∵A （2，4）， ∴42=k , 2=∴k ,

∴OA 所在直线的函数解析式为

2y x =

（2）①∵顶点M 的横坐标为m ，且在线段

OA 上移动，

∴2y m =（0≤m ≤2）.

∴顶点M 的坐标为(m ,2m ).

∴抛物线函数解析式为2

()2y x m m

=-+. ∴当2=x 时，

2(2)2y m m =-+2

24

m m =-+（0≤m ≤2）. ∴点P 的坐标是（2，224m m -+）.

② ∵PB =224m m -+=2

(1)3

m -+， 又∵0≤m ≤2， ∴当1m =时，PB 最短

（3）当线段PB 最短时，此时抛物线的解析式为()212

+-=x y .

假设在抛物线上存在点Q ，使Q M A P M A

S S =. 设点Q 的坐标为（x ，2

23x x -+）.

（第24

①当点Q 落在直线OA 的下方时，过P 作直线

P C AO y C 3P B =4A B =1A

P =1O C =C 1-∵点P

直线P C 的函数解析式为1

2-=x y . ∵Q M A P M A

S S =，∴点Q 落在直线12-=x y 上. ∴2

23x x -+=21x -.

解得122,2x x ==

，即点Q （2，3）. ∴点Q 与点P 重合.

∴此时抛物线上不存在点Q ，使△QMA 与△A P M 的面积相等.

②当点Q 落在直线OA 的上方时，

作点P 关于点A 的对称称点D ，过D 作直线

DE AO y E 1A P =1E OD A ==E D DE 1

2+=x y ∵Q M A P M A

S S =，∴点Q 落在直线12+=x y 上. ∴2

23x x -+=21x +.

解得：12x =22x =

. 代入12+=x y ，得15y =

+25y =- ∴此时抛物线上存在点(12

Q ，()225,222--Q 使△QMA 与△P M A 的面积相等.

综上所述，抛物线上存在点(12

Q ，(

)

225,222--Q 使△QMA 与△P M A 的面积相等.

【例4】（广东省深圳市）（1）方法一：由已知得：C （0，－3），A （－1，0）

将A 、B 、C 三点的坐标代入得???

??-==++=+-30390c c b a c b a

解得：??

?

??-=-==321c b a

所以这个二次函数的表达式为：322--=x x y （2）存在，F 点的坐标为（2，－3）

易得D （1，－4），所以直线CD 的解析式为：3--=x y ∴E 点的坐标为（－3，0） ∵以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形

∴F 点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合

∴存在点F ，坐标为（2，－3）

（3）如图，①当直线MN 在x 轴上方时，设圆的半径为R （R>0），则N （R+1，R ），

代入抛物线的表达式，解得2

17

1+=

R ②当直线MN 在x 轴下方时，设圆的半径为r

则N （r+1，－r ），

代入抛物线的表达式，解得2

17

1+-=

r ∴圆的半径为

2171+或2

17

1+-． （4）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ， 易得G （2，－3），直线AG 为1--=x y ．

设P （x ，322--x x ），则Q （x ，－x －1），PQ 22++-=x x ．

3)2(2

1

2?++-=

+=???x x S S S GPQ APQ APG 当2

1

=

x 时，△APG 的面积最大 此时P 点的坐标为??? ??-

415,2

1，8

27

的最大值为APG S ?．

【例5】（山东济南）

(1)设抛物线的解析式为2(1)3y a x =--

将A (－1，0)代入: 20(11)3a =--- ∴ 34

a =

∴ 抛物线的解析式为23(1)34

y x =--，即：23394

2

4

y x x =--

（2）是定值，1PM PN BE

AD

+=

∵ AB 为直径，∴ ∠AEB =90°，∵ PM ⊥AE ，∴ PM ∥BE ∴ △APM ∽△ABE ，∴ PM AP BE

AB

= ①

同理: PN PB AD

AB

= ② ① + ②:1PM PN AP PB BE

AD

AB

AB

+=+=

（3）∵ 直线EC 为抛物线对称轴，∴ EC 垂直平分AB

∴ EA =EB

∵ ∠AEB=90°

∴ △AEB为等腰直角三角形．

∴ ∠EAB=∠EBA=45° ... 7分

如图，过点P作PH⊥BE于H，

由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形，

∴PH=ME且PH∥ME

在△APM和△PBH中

∵∠AMP=∠PHB=90°，

∠EAB=∠BPH=45°

∴ PH=BH

且△APM∽△PBH

∴ PA PM

=

PB BH

∴ PA PM PM

==①

PB PH ME

在△MEP和△EGF中，

∵ PE⊥FG，∴ ∠FGE+∠SEG=90°

∵∠MEP+∠SEG=90° ∴ ∠FGE=∠MEP

∵ ∠PME=∠FEG=90° ∴△MEP∽△EGF

∴PM EF

=②

ME EG

由①、②知：PA EF

=

PB EG

【学力训练】 1、（广东梅州）

（1） DC ∥AB ，AD =DC =CB ，

∴ ∠CDB =∠CBD =∠DBA ，

∠DAB =∠CBA ， ∴∠DAB =2∠DBA ，

∠DAB +∠DBA =90 ， ∴∠DAB =60 ， ∠DBA =30 ， AB =4， ∴DC =AD =2，

R t ?AOD ，OA =1，OD =3，

∴A （-1，0），D （0， 3），C （2，

3）．

（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点

A （－1，0），

B （3，0），

故可设所求为 y =a （x +1）（ x -3） 将点D （0， 3）的坐标代入上式得， a =3

3-

． 所求抛物线的解析式为 y =).3)(1(3

3

-+-x x 其对称轴L 为直线x =1．

（3） ?PDB 为等腰三角形，有以下三种情况：

①因直线L 与DB 不平行，DB 的垂直平分线与L 仅有一个交点P 1，

P 1D =P 1B ，

?P 1DB 为等腰三角形；

②因为以D 为圆心，DB 为半径的圆与直线L 有两个交点P 2、P 3，

DB =DP 2，DB =DP 3， ?P 2DB ， ?P 3DB 为等腰三角形；

③与②同理，L 上也有两个点P 4、P 5，使得 BD =BP 4，BD =BP 5． 由于以上各点互不重合，所以在直线L 上，使?PDB 为等腰三角形的点P 有5个．

2、（广东肇庆）（1）由5x x 122+=0，

（1分）

得01=x ，5

12

2-=x ．∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0）、（5

12

-

，0）． ····················· （3分） （2）当a =1时，得A （1，17）、B （2，44）、C （3，81）， 分别过点A 、B 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则有

ABC S ?=S ADFC 梯形 -ADEB S 梯形 -BEFC S 梯形

=2

2)8117(?+-21)4417(?+-2

1

)8144(?+ =5（个单位面积）

（3）如：)(3123y y y -=．

事实上，)3(12)3(523a a y ?+?= =45a 2+36a ．

3（12y y -）=3[5×（2a ）2+12×2a -（5a 2

+12a ）]

=45a 2+36a ．

∴)(3123y y y -=．