相似三角形中的射影定理

相似三角形

——相似直角三角形及射影定理

【知识要点】

1、直角三角形的性质：

（1）直角三角形的两个锐角

（2）Rt △ABC 中，∠C=90o，则 2+ 2= 2

（3）直角三角形的斜边上的中线长等于

（4）等腰直角三角形的两个锐角都是 ，且三边长的比值为

（5）有一个锐角为30o的直角三角形，30o所对的直角边长等于 ，且三边长的比值为

2、直角三角形相似的判定定理（只能用于选择填空题）

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

3、双垂直型：

Rt △ABC 中，∠C=90o，CD ⊥AB 于D ，则

① ∽ ∽

②射影定理：

CD 2= · AC 2= · BC 2= ·

【常规题型】

1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，S △ABC=20，AB=10。求AD 、BD 的长.

2、已知，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D 。（1）若AD=8，BD=2，求AC 的长。（2）若AC=12，BC=16，求CD 、AD 的长。

B

A

【典型例题】

例1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。

例2．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90o，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。求证：AD 2=AB ·AF

例3．（1）已知ABC ?中，?=∠90ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，DE 、DF 分别是BDC ADC ??和的

高，这时CAB DEF ??和是否相似？

【拓展练习】

1、已知：如图，AD 是△ABC 的高，BE ⊥AB ，AE 交BC 于点F ，AB ·AC=AD ·AE 。求证：△BEF ∽△ACF

A B A B C N

D

C

3、已知，如图，CE 是直角三角形斜边AB 上的高，

在EC 的延长线上任取一点P ，连结AP BG AP ⊥,，垂足为G ，交CE 于D ，求证：DE PE CE ?=2.

4、如图，在四边形ABCD 中，?=∠=∠90D B ，由点D 作AC 的垂线交AB 于E ，交AC 于F 。求证：AE AB AD ?=2。

【作业】 1.已知A B C ?中，CD ACB ,90?=∠是高，若b AC a BC ==,，q AD h CD ==,，p BD =，且4,3==b a ，则=c ，=p ，=q ，=h .

2.若直角三角形斜边上的高将斜边分成的两条线段的长分别为cm 2和cm 8，则两条直角边的长分别为 ，斜边上的高为

.

B C D

3.如图，ABC Rt ?，AB CD ACB ⊥?=∠,90于D ，,6cm BD =

cm AD 4=，则=BC .

4．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC ＞BC ，CD ⊥AB ，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，CD=4，AC=54，

则EF:AF=（ ） A ．1:2 B ．5:2 C ．5:5 D ．52:5

5．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，若AD ：BD=9：4则AC ：BC 的值

为（ ）

A ．9：4

B ．3：2

C ．4：9

D ．2：3

6. 如图所示，CD 是Rt △ABC 斜边AB 边上的高，23=AC AB ，则=BC

CD （ ） A ．2:5 B ．2:3 C ．3:2 D ．3:2

7．如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=10cm ，AB 上的高CD=6cm ，DE ⊥BC 于E ，求DE 的长。

8．如图，在ABC ?中，BC AH BAC ⊥?=∠,90于H ，以AC 和AB 为边在ABC Rt ?形外作等边三角形ABD ?和ACE ?，求证：BDH ?∽AEH ?.