电动力学期终总复习及试题

总复习试卷

一．填空题（30分,每空2分） 1.

麦克斯韦电磁场理论的两个基本假设是（ ）和（ ）。

2. 电磁波（电矢量和磁矢量分别为E 和H

）在真空中传播，空间某点处的能流密度

=S

（ ）。

3.

在矩形波导管（a, b ）内，且

b a >，能够传播TE 10型波的最长波长为（ ）；

能够传播TM 型波的最低波模为（ ）。

4. 静止μ子的平均寿命是6

102.2-?s. 在实验室中，从高能加速器出来的μ子以0.6c （c

为真空中光速）运动。在实验室中观察，(1)这些μ子的平均寿命是（ ）(2)它们在衰变前飞行的平均距离是（ ）。

5. 设导体表面所带电荷面密度为σ，它外面的介质电容率为ε，导体表面的外法线方向为

n

。在导体静电条件下，电势φ在导体表面的边界条件是（ ）和

（ ）。 6.

如图所示，真空中有一半径为

a 的接地导体球，距球心为d （d>a ）处有一点电荷q ，

则其镜像电荷q '的大小为（ ），距球心的距离d '大小为（ ）。

7. 阿哈罗诺夫－玻姆（Aharonov-Bohm ）效应的存在表明了（ ）。 8.

若一平面电磁波垂直入射到理想导体表面上，则该电磁波的穿透深度

δ为（ ）。

9. 利用格林函数法求解静电场时，通常根据已知边界条件选取适当的格林函数。若r 为源

点x ' 到场点x

的距离，则真空中无界空间的格林函数可以表示为（ ）。

10. 高速运动粒子寿命的测定，可以证实相对论的（ ）效应。 二．判断题（20分，每小题2分）(说法正确的打“√”，不正确的打“?”)

1. 无论稳恒电流磁场还是变化的磁场，磁感应强度B

都是无源场。 （ ）

2. 亥姆霍兹方程的解代表电磁波场强在空间中的分布情况，是电磁波的基本方程，它在任

何情况下都成立。 （ ） 3. 无限长矩形波导管中不能传播TEM 波。 （ ）

4. 电介质中，电位移矢量D 的散度仅由自由电荷密度决定，而电场E

的散度则由自由电

荷密度和束缚电荷密度共同决定。 （ ）

5. 静电场总能量可以通过电荷分布和电势表示出来，即dV W ρ??=21，由此可见ρ?

21的

物理意义是表示空间区域的电场能量密度。 （ ）

6. 趋肤效应是指在静电条件下导体上的电荷总是分布在导体的表面。 （ ）

7. 若物体在S '系中的速度为c u 6.0='，S '相对S 的速度为c v

8.0=，当二者方向相同时，

则物体相对于S 的速度为1.4c 。 （ ）

8. 推迟势的重要意义在于它反映了电磁作用具有一定的传播速度。 （ ）

9. 介质的电磁性质方程E D ε=和H B

μ=，反映介质的宏观电磁性质，对于任何介质都

适用。 （ ） 10. 电四极矩有两个定义式

V d x x x D V

j i ij '

'''=?)(3

ρ和

V d x r x x D ij V

j i ij '

''-''=?)()3(2

ρδ，

由这两种定义式算出的电四极矩数值不同，但它们产生的电势是相同的。 （ ） 三．证明题（20分）

1． 试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于导体表面。

2．电磁波)

(),(),,,(t z k i z e y x E t z y x E ω-= 在波导管中沿z 方向传播，试使用H i E 0ωμ=??及

E i H

0ωε-=??，证明电磁场所有分量都可用),(y x E z 及),(y x H z 这两个分量表示

四．计算题（25分）

1. 如图所示，相对电容率为r ε的介质球置于均匀外电场0E

中，设球半径为0R ，球外为

真空，试用分离变量法求介质球内外电势以及球内的电场E

。

（计算题第1题图）

2. 带电π介子衰变为μ子和中微子

μνμπ+→++

各粒子质量为

0=v m

求π介子质心系中μ子的动量、能量和速度。

五．简述题（5分）

有一个内外半径为R 1和R 2的空心球，位于均匀外磁场0H 内，球的磁导率为μ，空腔内的磁

感应强度B

可由如下关系式表示：

试讨论空心球的磁屏蔽作用。

电动力学考题

一.名词解释：(30分)

1．写出电磁场的能量和动量密度

2．简要说明静电问题的唯一性定理

3．狭义相对论的两条基本假设

4．电磁波的趋肤效应

5．辐射压力

二．由真空中麦克斯韦方程组推导出电场的波动方程(15分)

三．半径为a 的无限长圆柱导体中流有稳恒电流I ，求导体内外的磁场。并求其旋度，解释

其物理意义。(15分)

四．原子核物理中有名的汤川势

ar

e r q

-πε?04＝

,式中q , a 均为常数，r 为某点到中心的距

离，求满足汤川势时电荷的分布情况。(20分)

五．电磁波在色散介质里传播时，相速度定义为v p =ω/k , 群速度定义为v g = dk d ω

, 式中ω

为电磁波的频率，k=2πn/λ, n 为介质的折射律，λ为真空中的波长。(1)试用n 和λ等

表示v p 和v g ；(2)已知某介质的n ＝1.00027＋1.5?10-18

/λ2, 平均波长为550 nm 的1ns 的光脉冲，在这介质中传播10km 比在真空中传播同样的距离所需的时间长多少？(20分)

六．在太阳表面附件有一个密度为ρ＝1.0?103 kg/m 3

的黑体小球。设太阳作用在它上面的辐

射压力等于万有引力，试求它的半径。已知太阳在地球大气表面的辐射强度是1.35kW/m 2

,

地球到太阳的距离为1.5?108

km.(20分)(提示：辐射压强P )

电动力学试题

一、选择题（每题4分，共5题）

1、在高斯定理0

εQ s d E =??? 中，E

由：（ ）

A 闭合曲面s 内的电荷产生；

B 闭合曲面s 外的电荷产生；

C 闭合曲面s 内、外的电荷共同产生；

D 闭合曲面s 内的正电荷产生；

2、介电常数为ε

的无限均匀各向同性介质的电场为E

，在垂直于电场方向横挖一窄缝，

则缝中电场强度大小为：（ ） A E ε

ε0； B E 0εε

； C

E εεε0-； D E 。

3、无限大均匀介质被均匀极化，极化矢量为P

，若在介质中挖去半径为R 的球形区域，设

空心球的球心到球面某处的矢径为R

，则该处的极化电荷密度为：（ ）

A P ；

B R

R P ?； C 0； D R R P

?-。

4、有一个电四极矩系统，它放在0=z 处的无限大接地导体平面的上方，其中211-=D ，

112=D ，122-=D ，213=D 则它的像系统的电四极矩33D 为：（ ）

A 1；

B -3；

C 2；

D 3。

5、已知z e B B

0=，则对应的矢量势A 为：（ ）

A )0,0,(0y

B A -= ； B )0,,(00x B y B A = ；

C )0,,0(0x B A -=

；

D )0,2,2(00x B y B A =

。

二、填充题（15分）

1、半径分别为)(,b a b a <的两同心球面，均匀地带相同电荷Q ，则其相互作用能为 ，系统的总静电能为 。

2、原子核物理中有名的汤川势为ar e r

q -=

04πε?，式中a q ,均为常数，r 为场点到中心点

的距离，则空间个点的电荷密度分布为 。

3、一金属壁谐振腔，长、宽和高分别为c b a ,,，且满足c b a ≥≥，腔中为真空。则腔中所激发的最低频率的谐振波模为 ，与之相应的电磁波波长为 。

三、一频率为ω的平面电磁波，垂直入射到很厚的金属表面上，金属到体的电导率为σ。

求：（15分）

1、 进入金属的平均能流密度；

2、 金属单位体积内消耗的焦尔热；

3、 证明透入金属内部的电磁波能量全部变为焦尔热。

四、半径为R 、磁导率为μ的均匀介质球，放在均匀恒定的磁场z e B B

0=中，球外为真空。

用磁标势法求空间个点的磁感应强度。（15分）

五、在地球上看来，某颗恒星发出波长为nm 640=λ的红光。一宇宙飞船正向该恒星飞去。飞船中的宇航员观测到该恒星发出的是波长为nm 480='λ的蓝光。求飞船相对于地球的速度的大小。（15分）

六、电荷量分别为21,q q 的两个点电荷，相距为a ，它们以相同的速度v 运动，v

垂直于它们之间的联线，如图。试求它们之间的相互作用力。（10分）

1q ⊕ v

a

2q ⊕ v

七、如图，两个相距为r 带异号电荷的粒子的质量和电荷量分别为11,q m 和22,q m 。设在它们之间的库仑吸引力的作用下，两粒子相互环绕运动，运动速度远小于光速。设某一时刻在质心坐标系里，它们运动的轨道都为圆。试求该时刻系统在质心系的电偶极矩和总辐射功率。 （10分）

1l 2l

⊕ — 11,q m C 22,q m

《电动力学》试题（A ）

姓名______________班_________学号_________成绩______________ 一. 单选题(每题3分,共24分) 1.洛伦兹变换是( )

A. 同一事件在两个惯性系中的时空坐标变换;

B. 两个事件在同一惯性系中的时空坐标变换;

C. 是一种非线性变换;

D. 可以是线性变换也可以是非线性变换.

2.介质内极化电荷体密度( ) A. 决定于极化强度 P

的旋度; B. 决定于极化强度 P

的散度;

C. 与极化强度

P

无关;

D. 由极化强度的散度、旋度和边界条件共同决定.

3.测量物体长度的正确方法是( ) A. 测量物体两端的坐标之差;

B, 测量物体长度的方法与物体是否运动无关; C. 对运动物体必须同时测量它两端坐标之差.

D. 不管物体是否运动,都必须同时测量它两端坐标之差.

4.带电粒子辐射电磁波的必要条件是( ) A. 粒子具有速度; B. 粒子具有加速度; C. 粒带正电荷;

D. 粒子带负电荷.

5.一架飞机以v 速度从广州飞向北京,地球(惯性系)上观测,两地的距离为L 0,飞行时间为

0t ?,飞机(惯性系)测得分别是L 和t ?,则( ).

A. L>L 0 ;

B. L=L 0 ;

C.v

L t 0=?; D. v c

v

L t 2

0)(1-=?

6．下列关于平面电磁波的论述中正确的是

A ．E 与

B 的位相相同； B ．E 与B

的位相相反； C ．E 与B 的方向相同； D ．E 与B

的方向相反

7.若μA 是四维矢量,则

μ

μx A ??是

A 四维二阶张量; B.四维矢量; C.四维标量; D.不是协变量.

8.在不同介质分界面处,磁场边值关系的正确表述是 A. 磁感应强度的切向分量是连续的; B. 磁场强度的切向分量是连续的; C. 磁感应强度的法向分量是连续的; D. 磁场强度的法向分量是连续的; 二. 填空题(每小题4分,共24分)

1.电磁波入射到导体表面时,透入深度随频率增大而_______________.

2.用电导率σ、介电常数ε和电磁波的频率ω来区分物质的导电性能,当满足_____________________条件时是良导体.

3.当振荡电偶极子的频率变为原来的2倍时,辐射功率将变成原来的______倍.

4.对不同的惯性系,电荷是守恒量,由此可得出结论,当电荷作高速运动时,其体积__________________,电荷密度___________________.

5. 真空中平面z=0为带电平面,电荷密度为σ,则在z=0处电势应满足边值关系____________________和________________.

6.不同频率的电磁波在同一介质中具有不同的传播速度,就表现为_____________现象.

三.（13分）利用真空中的麦克斯韦方程组和电磁势的定义推导电磁势A

满足的达朗贝尔方

程:

j t A c A 02

22

2

1μ-=??-?

四.（20分）设有平面电磁波:x t z i e e E

)102102(62100?-?-=ππ V/m,求:

1. 圆频率、波长、介质中的波速、电矢量的偏振方向和波的传播方向；

2. 若该介质的磁导率7

104-?=πμ HM -1

,问它的介电常数ε是多少?

五.（13分）真空中有一个半径为R 0的带电球面,面电荷密度为θσσcos 0=(其中σ0为常数),试用分离变量法求空间的电势分布.

六.（13分）静止长度为L 0的宇宙飞船以v =c /2的速度远离地球而去,问: 1. 地球上的观察者观测到飞船的长度是多少?

2. 地球上的观察者观测到飞船尾端发出的光到达飞船头所需的时间是多少?

《电动力学》试题（A ）评分标准及参考解答

第二题（每小题4分） 1． 减少 2．

1??ωε

σ

3． 16

4． 缩小，变大 5． 21??=，

12εσ

??-=??-??z z 6． 色散

第三题（13分）

解：把电磁势的定义： A B ??=和t

A

E ??--?=

?代入真空中的场方程（4分）

t

E J B ??+=??

000εμμ

得：

)(000t

A

t J A ??+???-=????

?εμμ （2分）

注意到：A A A 2

)(?-???=??? 及

20

01c =εμ 将上式整理后得：

J t

c A t A c A 022222

)1(1μ?-=??+???-??-? （4分）

利用洛伦兹条件：012=??+??t

c A ?

，得：

J t

A c A 02222

1μ-=??-? （3分）

第四题（13分）

解：1）圆频率Hz 6

102?=πω (1分)

波长

)(100102222

M k =?==

-πππλ (2分) 介质中的波速k

v ω=

(2分)

)/(1010

210282

6

S M =??=-ππ (1分) 电矢量的偏振方向为x 方向(1分)，波传播方向是z 轴正向.(1分) 2)由με

1

=

v 得

21

v με=

(3分) 2

87

)

10(10

41

??=

-π

=π

4109- (F/M)≈7.96×10-11F/M (2分) 第五题(13分)

解:设球内外空间的电势分别为φ1和φ2在球内外均有ρ=0,故φ1和φ2都满足拉氏方程. (2分)

显然本问题是轴对称的,以球心为坐标原点,以θ=0的方向为z 轴,建立球坐标系. (1分)

考虑到边界条件:

R →0时, φ1有限

R →∞时,φ2→0 (2分)

可令尝试解为:

)(cos 1101θ?RP a a +=;

)(cos 12

1

02θ?P R b R b +=

(2分) 由边值关系

当R =R 0时, φ1=φ

2

;

θσ?

ε?εcos 01020

-=??-??R

R (2分) 得: )(cos )(cos 120

1001010θ?P R b

R b P R a a +=

+ ； )(cos )(cos )(cos 2

10

1113

12

0θεσθθP P a P R b R b -

=---

(2分) 比较方程两边P n (cos θ)多项式的系数,可得:

000==b a ;

0013εσ=

a , 3

00

013R b εσ= (2分) 于是: θεσ?cos 30

1R =

; θεσ?cos 32

3

0002R

R = 从解题过程中可看出, φ1与φ2满足本问题的所有边界条件及边值关系,是本问题

唯一正确的解. (2分)

第六题(13分)

解:1)02

02

02

3

)2/1(1)/(1l l c v l l =

-=-= (5分) 2)设坐标系S 与地球固连, 坐标系S ’与飞船固连.考虑以下两个事件:

⑴飞船尾端发光----在S 系表示为(x 1,t 1),在S ’系表示为（'

1'1,t x ) ; ⑵光到达飞船前端 ----在S 系表示为(x 2,t 2),在S ’系表示为),('

2'

2t x . 由洛伦兹变换得:

2

'

1'22'

1'212)(1)(c

v x x c v t t t t --+

-=

- (4分)

把 0'1'2)(l x x =- ,c

l t t 0

'

1'2)(=

-代入得： c

l t t 0

123

=-，这就是所求的时间。 (4分)

《电动力学》试题（B ）

姓名______________班_________学号_________成绩______________ 三. 单选题(每题3分,共24分)

1.关于麦克斯韦方程组正确的说法是( ) A. 它只适用于迅变电磁场; B. 它也适用于静电场;

C. 微分形式的麦克斯韦方程组在两介质的分界面处也适用;

D. 对定态电磁场, 麦克斯韦方程组与亥姆霍兹方程等效.

2.带电粒子辐射电磁波的必要条件是( ) A. 粒子具有速度; B. 粒子具有加速度; C. 粒子带有正电荷; D. 粒子带有负电荷.

3.关于辐射场正确的论述是( )

A. E 和B

都与距离R2成正比;

B. E 和B

都与距离R2成反比；

C. 如果选用库仑规范，E

仍满足库仑定律；

D. 辐射功率P 与距离无关,能量可以电磁波的形式传播到远处.

4.下列说法中正确的是( )

A. 在相对论中所有的物理量都是相对的;

B. 在相对论中空间距离是不变的;

C. 在相对论中时间是不变的;

D. 在相对论中时空间隔是不变的.

5.在介质分界面上电磁场发生突变 ( ) A. 电位移D

的法向分量突变是由总电荷面密度σ引起的;

B. 电场强度E

的法向分量突变是由总电荷面密度σ引起的;

C. 磁场强度H

的切向分量突变是由磁化面电流密度αm 引起的;

D. 磁感应强度B

切向分量突变是由磁化面电流密度αm 引起的.

6. 电磁场能量传播的方向( ) A. 与电场的方向一致; B. 与磁场的方向一致;

C. 既垂直于电场又垂直于磁场的方向;

D. 总是向无穷远处传播.

7.电磁波能在矩形波导内传播的条件是( ) A. a 2>λ ; B. a 2=λ ; C. a 2<λ ; D. a 2≤λ

8.通过洛伦兹变换( )

A. 不能改变两事件的先后次序;

B. 一定能改变两事件的先后次序;

C. 不能改变无因果关系的两事件的先后次序;

D. 不能改变有因果关系的两事件的先后次序;

四. 填空题(每小题4分,共24分)

1.麦克斯韦方程组的微分形式在_____________________处不适用.

2.在导体中的电磁波是衰减的,导体的电导率愈_____,衰减得愈快.

3.当振荡电偶极子的振幅变为原来的2倍时,辐射功率将变成原来的_____倍.

4.当满足条件___________________时,洛伦兹变换将回到伽利略变换.

5.边界条件σ=-?)(12D D n

，可用电势φ表示为________________________.

6.光子的静止质量为零，光子的能量和动量之间的关系是______________.

五. （13分）证明:当电势作下列规范变换

ψ?+=→A A A ' ,

时，电磁场保持不变.

六. （13分）真空中的平面电磁波:)

(5.2)1062(8

y x t z i e e e H +=?-πππ A/m,求:

1. 频率、波长、波速和波的传播方向；

2. 相应的磁场E

；

五.（13分）在无限大导体平面外距导体为b 处置一个点电荷Q,试用电像法求空间的电势分布和点电荷 Q 所受的作用力.

六.（13分）两把静止长度为L0的尺A 和B,分别以速度u 和v,沿x 轴正方向(尺长方向)相对地面运动.试求:

1． 地面上观测者观测到B 尺的长度

t

??-

=→ψ???'

2． A 尺上观测者观测到B 尺的长度

电动力学试题（B ）评分标准及参考解答

第二题(每小题4分，共24分) 两种介质的分界面处 大 4 v<

1

1

2

2

E=cP

第三题（13分）

解：1）ψψ???+??=?+??=??A A A

)(' （2分）

B A

=?? （3分）

0≡???ψ

∴ B A

=??' （3分） 2）)

()(''ψψ???+??-??--?=??-?-A t

t t A （2分）

t A ??-

-?= ? E

= （3分）

第四题（13分）

解：1）由H

的表达式知：

8

8

10321062?=?==πππωf （Hz ） （2分） π2=k (m-1), 1

2==k π

λ (m) （2分）

8103?=v (m/s) （1分）

波传播方向为Z 轴负方向。 （1分）

2）B k i E ??=00εμ （2分） H e z ?--=)(0

0ε （1分） H

k i k i 000μεμ?= （2分） )

(5.2)1062(0

08x y t z i e e e

-=?+ππεμπ

(V/m) （2分）

第五题（13分）

解：建立如图所示的直角坐标系。 因为导体无限大，下半空间（导体中）0=? 。

（2分）

在上半空间的电势可用电象法解出，即用一个放在（0，

0，-b ）,大小为-q 的点电荷代替导体表面

感应电荷的作

用。可写出电势的尝试解为： ???????

?+++--++=

2

222220)(1)(14b z y x b z y x q πε? （6分）

显然，上述电势满足所有的边界条件：

当0→R 时，0→? ，其中2

22z y x R ++=；

当0=z 时， 0=?

根据静电问题的唯一性定理，它是本问题唯一正确的解。 （2分）

点电荷q 所受的力： z

z e b q e b qq F 202

2016)2(4'πεπε-== （3分）

第六题（13分）

解：1）地面上观测到B 尺的长度为：

20)/(1c v L L -= （4分） 2）B 尺相对A 的速度：

22

11'c vu

u v c u v u v v x x x --=

--= （4分） 0'=y v ， 0'=z v （1分）

A 尺上测得

B 尺的长度为：

20)

'(

1'c

v L L x -= （2分）

把

x v '代入上式得： vu c u c v c L L ---=222220

)

)((' （2分）

《电动力学》期终考试试题（C ）

姓名______________班_________学号_________成绩______________ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1、关于静电场的边界条件,正确的表述是: Et 连续, Dn 也连续; B. Et 连续,但Dn 不连续 Et 不连续, 但Dn 连续; Et 不连续, Dn 也不连续.

2.在计算辐射场时,下列哪一组公式是正确的?

A. , A B ??=.

n B c E ?=; B. , A B ??=.

n B c E ?=; C , A k i B ?=.

n B c E ?=; D. , A B ??=.

E 由下列方程求得：.

3、狭义相对论中的相对性原理是指

')

'(4)(0

dV R x J x A ?=

π

μ

')'(4)(0dV R e x J x A ikR

?=

πμ')'(4)(0dV R e x J x A ikR

?=

πμ'

)'(4)(0dV R e

x J x A ikR

?= πμt E

J B ??+=??

00εμμ

电磁学规律在一切惯性系中相同; 力学规律在一切惯性系中相同; 任何物理规律在一切坐标系中相同; 任何物理规律在一切惯性系中相同. 4、相对地面以速

率运动的基本粒子,地面上观测得它的寿命是静止时的

A. 3/4倍;

B. 3倍;

C. 23倍

D. 2 倍. 5、当电磁场随时间变化时. 电力线一定是闭合曲线; 电场仍是保守力场;

电场强度的环流与所围区域内磁通量的变化率有关; 电场旋度取决于磁场的强度.

6．设有一静电荷Q 和一运动电荷q ， A. Q 不受磁力作用，仅受q 的库仑力作用； q 不受磁力作用，仅受Q 的库仑力作用； Q 与q 之间的相互作用力不满足牛顿第三定律； 它们之间的相互作用力必定满足牛顿第三定律。 7、矩形波导中不可能传播 TEM 型波; TE 型波; TM 型波; TEn0型波.

8、下列关于平面电磁波的论述中正确的是: 电场与磁场只有一个是横波;

电磁场能量密度的幅值为:2

00

E u ε=; 电流密度矢量为E H S

?=;

电场与磁场的相位相反.

二．填空题(每小题4分,共24分)

1.磁场总是无源场,即0=??B

,它表示磁力线______________________________.

2.在均匀介质充满的空间中,某点的电荷体密度等于该点自由电荷密度的__________倍.

3.设在导体中的平面单色电磁波为)

(0t kz i e

E E ?-=

其中αβi k +=,则该平面电磁波的相

速度为v=_______________.

c v 2

3=

4.对于振动偶极子来说,沿_________________________方向辐射最强,沿_______________方向没有辐射.

5.两艘宇宙飞船以相对地球以v=0.9c 的速率相背飞行,则地球上观测两艘飞船的相对速率为_________________,一艘飞船上观测另一艘飞船的速率为_________________.

6.为了求电场强度E ,通常可以先求出电势?,然后再利用E

和?的关系____________,求

出E .

三.证明题(13分) 电偶极子辐射的磁场

为,试证明辐射场的能流密度矢量为

四.频率为15×109Hz 的电磁波在2cm ×2cm 方形波导管中传播,求:

波传播矢量k

;

波导中的波长; 波的相速度.

五(13分)介电常数为ε的均匀介质中有电场0E ,今在介质中挖一个球形空腔,试求空腔内

的电场强度,并说明这电场有什么特点.

六(13分)在5000米高空产生固有寿命τ=2×10-6秒的μ子,它们以速率V=0.998c 飞向地球.

r

e t kR R

c p S

)cos(16sin 2

5

222

040ωπ?ωμ-=

?π?μe R

c e p B ikR 3

04sin =