高等数学中所涉及到的微积分公式总结

高等数学中所涉及到的微积分公式总结

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高等数学中所涉及到的微积分公式汇总

一、0

101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m

--→∞?=??+++?

=???

L L （系数不为0的情况）

二、重要公式（1）0sin lim 1x x

x

→= （2）()1

0lim 1x x x e →+= （3）lim ()1n n a a o →∞>=

（4）lim 1n n n →∞

= （5）limarctan 2

x x π

→∞

=

（6）lim tan 2

x arc x π

→-∞

=-

（7）limarccot 0x x →∞

= （8）lim arccot x x π→-∞

= （9）lim 0x

x e →-∞

=

（10）lim x x e →+∞

=∞ （11）0

lim 1x

x x +

→=

三、下列常用等价无穷小关系（0x →）

sin x x : tan x x : arcsin x x : arctan x x : 2

11cos 2

x x -:

()ln 1x x +: 1x e x -: 1ln x a x a -: ()11x x ?

+-?:

四、导数的四则运算法则

()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ???

五、基本导数公式

⑴()0c '= ⑵1

x x

μ

μμ-= ⑶()sin cos x x '=

⑷()cos sin x x '=- ⑸()2

tan sec x x '= ⑹()2

cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-?

⑼()x

x

e

e

'= ⑽()ln x

x

a

a

a '= ⑾()1

ln x x

'=

⑿(

)1

log ln x

a

x a

'= ⒀()2

1arcsin 1x x

'=- ⒁()2

1arccos 1x x

'=-

-

⒂()21arctan 1x x '=

+ ⒃()2

1arccot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅

()12

x x

'=

六、高阶导数的运算法则 （1）()()()

()

()

()()

n n n u x v x u x v x ±=±???? （2）()()

()()n n cu x cu x =????

（3）()()()

()n n n

u ax b a u

ax b +=+????

（4）()()()

()

()()()0

n

n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑

七、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()

()

!n n

x

n = （2）()

()

n ax b n ax b e a e ++=? (3)()

()

ln n x x n a a a =

(4)()()

sin sin 2n n ax b a ax b n π?

?+=++??? ???

?

?

(5) ()()

cos cos 2n n ax b a ax b n π?

?+=++??? ???

?

?

(6)()

()

()

1

1!

1n n n

n a n ax b ax b +???

=- ?+??

+ (7) ()()

()

()()

1

1!

ln 1n n n n

a n ax

b ax b -?-+=-????

+

八、微分公式与微分运算法则

⑴()0d c = ⑵()

1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2

tan sec d x xdx = ⑹()2

cot csc d x xdx =-

⑺()sec sec tan d x x xdx =? ⑻()csc csc cot d x x xdx =-? ⑼()x

x d e

e dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1ln d x dx x

=

⑿(

)1

log ln x

a

d dx x a =

⒀()21arcsin 1d x dx x =

- ⒁()21arccos 1d x dx x

=-- ⒂()21arctan 1d x dx x =

+ ⒃()2

1

arccot 1d x dx x

=-+

九、微分运算法则

⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2

u vdu udv

d v v -??=

???

十、基本积分公式

⑴kdx kx c =+? ⑵11x x dx c μμ

μ+=++? ⑶ln dx

x c x

=+? ⑷ln x

x

a a dx c a

=+? ⑸x x e dx e c =+? ⑹cos sin xdx x c =+? ⑺sin cos xdx x c =-+?

⑻2

21sec tan cos dx xdx x c x ==+?? ⑼2

21csc cot sin xdx x c x ==-+?? ⑽21arctan 1dx x c x

=++? ⑾

2

1arcsin 1dx x c x

=+-?

十一、下列常用凑微分公式 积分型

换元公式

()()()1

f ax b dx f ax b d ax b a

+=++?? u ax b =+

()()()11

f x x dx f x d x μμμμμ-=

?

?

u x μ=

()()()1

ln ln ln f x dx f x d x x

?=?

?

ln u x =

()()()x x x x f e e dx f e d e ?=?? x u e = ()()()1ln x x x x

f a a dx f a d a a ?=

?

?

x u a =

()()()sin cos sin sin f x xdx f x d x ?=?? sin u x =

()()()cos sin cos cos f x xdx f x d x ?=-?

?

cos u x =

()()()2tan sec tan tan f x xdx f x d x ?=?? tan u x =

()()()2cot csc cot cot f x xdx f x d x ?=?

?

cot u x =

()()()2

1

arctan arc n arc n 1f x dx f ta x d ta x x ?=+??

arctan u x = ()()()2

1arcsin arcsin arcsin 1f x dx f x d x x ?

=-?

?

arcsin u x =

十二、补充下面几个积分公式

tan ln cos xdx x c =-+? cot ln sin xdx x c =+? sec ln sec tan xdx x x c =++? csc ln csc cot xdx x x c =-+?

22

11arctan x

dx c a x a a

=++? 22

11ln 2x a

dx c x a a x a

-=+-+?

22

1arcsin

x

dx c a

a x =+-?

2222

1ln dx x x a c x a =+±+±?

十三、分部积分法公式

⑴形如n ax x e dx ?

，令n u x =，ax

dv e dx =

形如sin n x xdx ?令n

u x =，sin dv xdx =

形如cos n x xdx ?

令n

u x =，cos dv xdx = ⑵形如arctan n x xdx ?，令arctan u x =，n

dv x dx =

形如ln n x xdx ?，令ln u x =，n

dv x dx =

⑶形如sin ax e xdx ?

，cos ax e xdx ?

令,sin ,cos ax

u e x x =均可。

十四、第二换元积分法中的三角换元公式 (1)22a x - sin x a t = (2) 22a x + tan x a t = (3)22x a - sec x a t =

【特殊角的三角函数值】 （1）sin 00= （2）1sin

6

2π

=

（3）3sin 32π= （4）sin 12

π

=） （5）sin 0π=

（1）cos01= （2）3cos

6

2π

=

（3）1cos 32π= （4）cos 02π

=） （5）cos 1π=- （1）tan 00= （2）3tan

6

3π

=

（3）tan 33π= （4）tan 2

π

不存在 （5）tan 0π= （1）cot 0不存在 （2）cot 36

π

= （3）3cot

3

3π

=

（4）cot 02

π

=（5）cot π不存在

十五、三角函数公式

1.两角和公式

sin()sin cos cos sin A B A B A B +=+ sin()sin cos cos sin A B A B A B -=- cos()cos cos sin sin A B A B A B +=- cos()cos cos sin sin A B A B A B -=+

tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=

- tan tan tan()1tan tan A B

A B A B --=+

cot cot 1cot()cot cot A B A B B A ?-+=

+ cot cot 1

cot()cot cot A B A B B A ?+-=-

2.二倍角公式

sin 22sin cos A A A = 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1A A A A A =-=-=- 22tan tan 21tan A

A A

=

-

3.半角公式

1cos sin

22A A -= 1cos cos 22

A A += 1cos sin tan

21cos 1cos A A A A A -==++ 1cos sin cot 21cos 1cos A A A A A

+==--

4.和差化积公式

sin sin 2sin

cos 22a b a b a b +-+=? sin sin 2cos sin

22a b a b

a b +--=? cos cos 2cos cos 22a b a b a b +-+=? cos cos 2sin sin

22

a b a b

a b +--=-? ()sin tan tan cos cos a b a b a b

++=

?

5.积化和差公式

()()1sin sin cos cos 2a b a b a b =-+--???? ()()1

cos cos cos cos 2

a b a b a b =++-???? ()()1sin cos sin sin 2a b a b a b =++-???? ()()1

cos sin sin sin 2

a b a b a b =+--????

6.万能公式

22tan

2sin 1tan 2

a

a a

=

+ 2

2

1tan 2cos 1tan 2a a a -=+ 2

2tan

2tan 1tan 2

a

a a

=-

7.平方关系

22sin cos 1x x += 22sec n 1x ta x -= 22csc cot 1x x -=

8.倒数关系

tan cot 1x x ?= sec cos 1x x ?= c sin 1cs x x ?=

9.商数关系

sin tan cos x x x =

cos cot sin x

x x

=

十六、几种常见的微分方程 1.可分离变量的微分方程：

()()dy

f x

g y dx

= ， ()()()()11220f x g y dx f x g y dy += 2.齐次微分方程：dy y f dx x ??= ???

3.一阶线性非齐次微分方程：

()()dy

p x y Q x dx

+= 解为： ()()()p x dx p x dx y e Q x e dx c -????=+????

?