函数的奇偶性和周期性与图像 理数学案样板
第5讲 函数的奇偶性和周期性与图像
班级：____ 姓名： ______ 小组：______ 评价： _______ 【考情解读】
应用函数的奇偶性可解决四类问题及解题方法
（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数
值求解
（2）求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再
利用奇偶性求出。
（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据
)()(x f x f -±=得到参数的恒等式解出参数的
值。
（4）画出函数图像和判断单调性。
图像：数形结合思想（1）借助图像研究函数的性质 （2）分类讨论思想 【课堂六环节】
一、导——教师导入新课。（7分钟）
1，偶函数的定义：______；奇函数的定义：______。 2，函数的周期性：______；最小正周期：______ 3，周期性常用的结论：
（1）若 )()(x f a x f -=+ ， 则T=2ɑ （2）若 )
(1
)(x f a x f =
+ ，则T=2ɑ （3）若 )
(1
)(x f a x f -=+ ，则T=2ɑ
4，利用函数的性质作图
5，利用图像变换作函数的图像： （1）左+右—，上+下— （2）伸缩变换
（3）对称变换：关于X 轴，关于Y 轴，关于原点
二、思——自主学习。学生结合课本自主学习，完成下列相关内容。（15分钟） 例1
已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ?
??
??
x ＋32，且f (1)＝2，则
f (2 014)＝________.
解析：∵f (x )＝－f ?
??
??
x ＋32，
∴f (x ＋3)＝f ???????
??
????x ＋32＋32＝－f ? ????x ＋32＝f (x )．
∴f (x )是以3为周期的周期函数． 则f (2 014)＝f (671×3＋1)＝f (1)＝2.
例2;判断下列函数的奇偶性
(1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1；
(3)f (x )＝3x －3－x ；
(2)f (x )＝3－2x ＋2x －3；
(4)f (x )＝4－x
2
|x ＋3|－3
；
(5)f (x )＝?
????
x 2＋x ，x >0，
x 2
－x ，x <0.
解：(1)∵由?????
x 2－1≥0，
1－x 2
≥0，
得x ＝±1， ∴f (x )的定义域为{－1,1}．
又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， 即f (x )＝±f (－x )．
∴f (x )既是奇函数又是偶函数．
(2)∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为?
???
??????32，不
关于坐标原点对称，
∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)∵f (x )的定义域为R ，
∴f (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．
(4)∵由????
?
4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，
得－2≤x ≤2且x ≠0.
∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]， ∴f (x )＝
4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2(x ＋3)－3
＝4－x 2
x ，
∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．
(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0， 故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；
当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．
2．(1)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R)是偶函数，则实数a 的值为
________．
(2)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是________．
解析：(1)∵函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R)是偶函数，
∴设g (x )＝e x ＋a e －
x ，x ∈R ，
由题意知，g (x )为奇函数，∴g (0)＝0， 则1＋a ＝0，即a ＝－1.
(2)∵y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，
∴函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上是增函数．
∴当a >0时，由f (a )≥f (2)可得a ≥2， 当a <0时，由f (a )≥f (2)＝f (－2)，可得a ≤－2. 所以实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
[典例]已知函数f (x )对任意的实数满足：f (x ＋3)＝－
1
f x
，且当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2014)＝________.
答案：337
设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.
(1)求证：f (x )是周期函数；
(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．
解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数． (2)∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，
∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2
＝－x 2
＋6x －8. 又∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8， 即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．
1．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－
x )，则f ? ??
??
－52＝
( )
A ．－12
B ．－14 C.14 D.12
答案：A
2．(2014·大连测试)下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相
同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是 ( ) A ．y ＝－1
x B ．y ＝log 2|x | C ．y ＝1－x 2 D ．y ＝x 3－1
答案：C
3．设函数f (x )＝x 3
cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.
答案：-9
5．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[－2,0]上单调递
减，若f (1－m ) 解：由偶函数性质知f (x )在[0,2]上单调递增，且f (1－m )＝f (|1－m |)，f (m )＝f (|m |)，因此f (1－m ) ? ??? ? －2≤1－m ≤2， －2≤m ≤2，|1－m |<|m |.解得：1 2 因此实数m 的取值范围是? ?? ?? 12，2. (2014·安徽“江南十校”联考)函数y ＝log 2(|x |＋1)的图像大 致是 ( ) 答案：B [典例] (1)(2013·福建高考)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图像大致是 ( ) (2)(2012·湖北高考)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图像如图所示，则y ＝－f (2－x )的图像为 ( ) 答案：1，A;2，B 1．(2014·佛山一模)函数f (x )＝????? 3x ，x ≤1， log 13 x ，x >1，则y ＝f (x ＋1)的图 像大致是 ( ) 答案：B 2，已知?? ???≤>=0,20 ,lg )(x x x x f x 则函数1)(3)(22 +-=x f x f y 的零点个数是 。 解析：方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝1 2或1.作出y ＝f (x )的图像，由图像 知零点的个数为5. 2．对实数a 和 b ，定义运算“?”：a ?b ＝??? ?? a ，a － b ≤1， b ，a －b >1. 设函 数f (x )＝(x 2－2)?(x －1)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 ( ) A ．(－1,1]∪(2，＋∞) B ．(－2，－1]∪(1,2] C ．(－∞，－2)∪(1,2] D ．[－2，－1] 解析：∵a ?b ＝? ?? ?? a ，a － b ≤1， b ，a －b >1， ∴函数f (x )＝(x 2－2)?(x －1) ＝? ??? ? x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x <－1或x >2. 结合图像可知，当c ∈(－2，－1]∪(1,2]时，函数f (x )与y ＝c 的图像有两个公共点， ∴c 的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]． 3．函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图像如图 所示，那么不等式f (x )cos x <0 的解集为________． 解析：在? ?? ?? 0，π2上y ＝cos x >0， 在? ?? ?? π2，4上y ＝cos x <0. 由f (x )的图像知在? ????1，π2上f (x )cos x <0， 因为f (x )为偶函数，y ＝cos x 也是偶函数， 所以y ＝f (x ) cos x 为偶函数， 所以 f (x ) cos x <0的解集为? ????－π2，－1∪? ?? ??1，π2. 三、议——学生起立讨论。根据以上学习的内容进行小组集体讨论。（6分钟） 四、展——学生激情展示。小组代表或教师随机指定学生展示。（5分钟） 五、评——教师点评，教师总结规律，点评共性问题，或拓展延伸。（10分钟） 六、检——课堂检测。（2分钟） 1．函数y ＝x |x |的图像经描点确定后的形状大致是( ) 答案：A 3．(2013·湖南高考)函数f (x )＝2ln x 的图像与函数g (x )＝x 2 －4x ＋5的图像的交点个数为 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 解析：由已知g (x )＝(x －2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f (2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f (x )＝2ln x 图像的 下方，故函数f (x )＝2ln x 的图像与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图像有2个交点． 学习过程 一、复习预习 1、复习单调性的概念 2、复习初中的轴对称和中心对称 3、预习奇偶性的概念 4、预习奇偶性的应用 二、知识讲解 考点1 函数的奇偶性 [探究] 1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？ 提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件． 2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，是否有f(0)＝0？如果是偶函数呢？ 提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)＝－f(0)，则f(0)＝0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定为0，如f(x)＝x2＋1. 3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？ 提示：存在，如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个． 考点2 周期性 (1)周期函数： 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期： 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 三、例题精析 【例题1】 【题干】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)＝lg 1－x 1＋x ；(2)f(x)＝ ? ? ?x2＋x(x>0)， x2－x(x<0)； (3)f(x)＝ lg(1－x2) |x2－2|－2 . 【解析】(1)由1－x 1＋x >0?－1 1.3.2奇偶性 【学习目标导航】 1．结合具体函数，了解奇函数，偶函数的定义． 2．掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系． 3．会利用函数的奇偶性解决简单问题． 【学习重、难点】 1．根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性．(重点) 2．函数奇偶性的应用．(难点) 【问题提出导入新知】 1.画出以下函数图象，观察两个图形，思考并讨论以下问题： （1）f (x)＝x2（2）g(x)＝|x| （1）这两个函数图象有什么共同特征吗？ （2）关于y轴对称的点的坐标有什么关系吗？ （3）点(x, f (x))在函数y= f (x)的图象上，关于y轴的对称点(—x, f (x))也一定在y= f (x)的图象上吗？为什么？ )= ；)= 这时我们称函数f (x)＝x2与g(x)＝|x|为偶函数。 （5）偶函数的定义：如果对于函数f (x)的，都有，那么函数f (x)就叫做偶函数。 偶函数的图象特征：图象关于对称。 2.画出以下函数图象，观察两个图形，思考并讨论以下问题： 1 （1）f (x)＝x（2）g(x)＝ x （1）这两个函数图象有什么共同特征吗？ （2）关于原点对称的点的坐标有什么关系吗？ （3）点(x, f (x))在函数y= f (x)的图象上，关于原点的对称点(—x, —f (x))也一定在y= f (x)的图象上吗？为什么？ 对于R 内的任意的一个x ，都有f (—x )= ；g (—x )= 这时我们称函数f (x )＝x 与g (x )＝ x 1 为奇函数。 （5）奇函数的定义：如果对于函数f (x )的 ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数。 奇函数的图象特征：奇函数的图象关于 对称。 3.函数是奇函数或是偶函数称为函数的单调性，回答下列问题： （1）奇函数、偶函数的定义中有“定义域内任意的x ”中的“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？ （2）－x 与x 两个数在数轴上所表示的点有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？ 得出结论： (3)如果一个函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，能否判断它的奇偶性？ 得出结论： (4)如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？ 得出结论： 【典例分析】 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1) f (x )＝x ＋x 3＋x 5； (2) f (x )＝x 2＋1； (3) f (x )＝x ＋1； (4) f (x )＝x 2，x ∈[－1, 3]； (5) f (x )＝0； (6) f (x )＝5. （注意：既是奇函数又是偶函数的函数是f (x )＝0常函数. 前提是定义域关于原点对称）. 【归纳】1.用定义判断函数奇偶性的步骤： (1)先求定义域，看是否关于原点对称； (2)再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立. 2.对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能： 。 【活学活用1】判断下列函数的奇偶性： (2) f(x)=2x 4+3x 2； (5) f(x)=x 3+2x ； (6)2 211)(x x x f -+-= 【思考】讨论并判断我们已经学习过的基本初等函数的奇偶性。 (3)()f x =(4)()f x = 1(1)()f x x x =- 一、复习引入 1、函数的单调性、最值 2、函数的奇偶性 （1）奇函数 （2）偶函数 （3）与图象对称性的关系 （4）说明（定义域的要求） 二、例题分析 例1、判断下列函数是否为偶函数或奇函数 （1）1)(2-=x x f （2）x x f 2)(= （3）||2)(x x f = （4）2)1()(-=x x f 例2、证明函数x x x f 5)(3+=在R 上是奇函数。 例3、试判断下列函数的奇偶性 （1）x x x x u -+-=11)1()( （2）22(1), 0()0, 0(1), x x x g x x x x x ?- >?==??-+ 例4、设3()1f x ax bx =++，且0)2(=f ，求)2(-f 的值。 三、随堂练习 1、函数5)(2+=x x f 、 A 是奇函数但不是偶函数 、 B 是偶函数但不是奇函数 、 C 既是奇函数又是偶函数 、 D 既不是奇函数又不是偶函数 2、下列4个判断中，正确的是_______. （1）1)(=x f 既是奇函数又是偶函数； （2）1 )(2--=x x x x f 是奇函数 （3）x x x x f -+? -=11)1()(是偶函数； （4）12)(2+-=x x x f 是非奇非偶函数 3、函数x x x f 2)(2+=的图象是否关于某直线对称？它是否为偶函数？ 4、证明函数x x x f -=3 )(在R 上是奇函数。 5、判断下列函数的奇偶性 (1)1()f x x x =+ (2)421()x f x x -= 四、回顾小结 1、判断函数奇偶性。 2、证明一些简单函数的奇偶性。 课后作业 班级：高一（ ）班 姓名__________ 一、基础题 1、若函数(]2,1,)(2 ∈=x x x f ，则下列说法中，正确的是______。 （1）奇函数 （2）偶函数 （3）既是奇函数又是偶函数 （4）既不是奇函数也不是偶函数 2、函数3x y =的奇偶性是_______，它的图象关于_______对称。 3、设函数x x f -= )(，则)(x f 的奇偶性是___________。 4、设函数22)(-+-=x x x f ，则)(x f 的奇偶性是___________。 5、设)(x f 在[]5,5-上是偶函数，则)2(-f 与)2(f 的大小关系是___________。 二、提高题 6、已知函数)2)(1()(+-=x x x f 。 （1）用分段函数的形式表示该函数； （2）画出该函数的图象； （3）写出其定义域、值域、奇偶性、单调区间。 7、已知函数12)(2 --=x x x f ，试判断函数)(x f 的奇偶性，并画出函数的图象。 函数的奇偶性与周期性 1.奇函数f （x ）的定义域为R ，若f (x +2)为偶函数，则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( ) A. －2 B.－1 C. 0 D. 1 2.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π +=x y ,④)42tan(π -=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 3.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当(]0,1x ∈时 2()1f x x =-，则7()2 f 的值为 A 34- B 34 C 12- D 12 5.下列函数为偶函数的是 A. sin y x = B. 3y x = C. x y e = D. y = 6.设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5 ()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12 7.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是 （A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= 8.下列函数为偶函数的是（） A.()1f x x =- B.()2f x x x =+ C.()22x x f x -=- D.()22x x f x -=+ 9.偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称，f(3)=3，则f(-1)=_______. 10.函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数，则实数a = . 11.已知()f x 为奇函数，()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 ． 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. ★备考知考情 1.对函数奇偶性的考查，主要涉及函数奇偶性的判断，利用奇偶函数图象的特点解决相关问题，利用函数奇偶性求函数值，根据函数奇偶性求参数值等． 2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题． 3.多以选择题、填空题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P18 注意： 研究函数奇偶性必须先求函数的定义域 知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征 1.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 2.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 1 2 3.奇函数的图象关于原点对称； 偶函数的图象关于y 轴对称. 知识点二 奇函数、偶函数的性质 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同， 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 2. 若f (x )是奇函数，且在x ＝0处有定义，则(0)0=f . 3. 若f (x )为偶函数，则()()(||)f x f x f x =-=. 《名师一号》P19 问题探究 问题1 奇函数与偶函数的定义域有什么特点？ (1)判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． (2)判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的 每一个x ， 均有f (－x )＝－f (x )、f (－x )＝f (x )， 而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)、f (－x 0)＝f (x 0)． (补充) 1、若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0=f ． (0)0=f 是()f x 为奇函数的 既不充分也不必要条件 2．判断函数的奇偶性的方法 （1）定义法： 1)首先要研究函数的定义域， 函数的奇偶性及周期性 1. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)= -f(x) f(6) 的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】 B 【解析】 ∵ f(x+2)=-f(x), ∴ f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)= -f(0) 又 f(x) 为R 上的奇函数 , ∴ f(0)=0. ∴ f(6)=0. 2. 函数 f ( x) x 3 sin x 1( x R), 若 f(a)=2, 则 f(-a) 的值为 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 【答案】 B 【解析】 设 g ( x) 3 sinx, 很明显 g(x) 是一个奇函数 . x ∴ f(x)=g(x)+1. ∵ f(a)=g(a)+1=2, ∴ g(a)=1. ∴ g(-a)=-1. ∴ f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0. 3. 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数 , 并满足 f(x+2)= 1 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 则 f ( x) f(6.5) 等于?? ( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 【答案】 D 【 解 析 】 由 f(x 2) 1 得 f(x 4) 1 f ( x ) f ( x 2) f(6.5)=f(2.5). 因为 f(x) 是偶函数 , 得 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5), 而 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 所以 f(1.5)=-0.5. 综上 , 知f(6.5)=-0.5. 4. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x>0时 ,f(x)= - 是 ( ) A. ( 1) B. ( 1] C. (1 ) D. [1 ) 【答案】 A 【解析】 当 x>0时 f ( x ) 1 2 x 1 1 x 2 当 x<0时,-x>0, ∴ f( x ) 1 2 x . 又∵ f(x) 为 R 上的奇函数 , ∴ f(-x)=-f(x). ∴ f ( x ) 1 2 x . ∴ f ( x ) 2 x 1 . ∴ f ( x) 2 1 1 即 2 x 1 . x ∴ x<-1. 2 2 ∴不等式 f ( x ) 1 的解集是 ( 1) . 2 5. 设 g(x) 是定义在 R 上、以 1为周期的函数 . 若函数 f(x)=x+g(x) 则f(x) 在区间 [0,3] . f ( x) 那 么 f(x) 的 周 期 是 4, 得 2 x 则不等式 f ( x) 1 的解集 2 1 2 在区间 [0,1] 上的值域为 [-2,5], 第二章 函数 第4.1节 函数的奇偶性导学案 （1）掌握函数奇偶性的性质 （2）会判断函数的奇偶性 （1）一般地，设函数f （x ）的定义域是A ,如果当x A ∈时，有 x A -∈，且f(-x)=-f(x)，那么称函数f （x ）为______函数.奇函数的图象关于____对称。 (2) 设函数f(x)的定义域是A ,如果当x A ∈时，有x A -∈,且f(-x)=f(x),那么称函数f （x ）为_____函数.偶函数的图象关于_______对称 1．若函数f （x ）（f （x ）≠0）为奇函数，则必有（ ） A ．f （x ）?f （﹣x ）＞0 B ．f （x ）?f （﹣x ）＜0 C ．f （x ）＜f （﹣x ） D ．f （x ）＞f （﹣x ） 2．已知函数f （x ）＝ax 2﹣bx ﹣3a ﹣b 是偶函数，且其定义域为[1﹣a ，2a ]，则（ ） A ．，b ＝0 B ．a ＝﹣1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝1 D ．，b ＝﹣1 3．已知函数f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数，且2x +1＝f （x ）+g （x ），则g （1）＝（ ） A ． B ．2 C ． D ．4 4．已知函数y ＝f （x ）的图象关于原点对称，当x ＜0时，f （x ）＝x （1﹣x ），则当x ＞0时，函数f （x ）＝ x （1+x ） ． 1．下列函数在定义域内是奇函数的是（ ） A ．y ＝﹣x 2 B ．y ＝x +1 C ．y ＝x ﹣2 D ． 2．下列是偶函数的是（ ） A ．f （x ）＝x 3﹣ B ．f （x ）＝ C ．f （x ）＝（x +1） D ．f （x ）＝|2x +5|+|2x ﹣5| 3．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ∈（﹣∞，0）时，f （x ）＝x 3﹣2x 2，则f 1.3.2《函数的奇偶性》教学设计 一、教材分析 “奇偶性”是人教A版必修1第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的函数入手，从特殊到一般，从具体到抽象，注重信息技术的应用，比较系统地介绍了函数的奇偶性．从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又为后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础。因此，本节课起着承上启下的重要作用。学习奇偶性，能使学生再次体会到数形结合思想，初步学会用数学的眼光看待事物，感受数学的对称美。 二、学情分析 从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。同时，刚刚学习了函数单调性，积累了研究函数的基本方法与初步经验。从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题。但是，学生看待问题还是静止的、片面的，抽象概括能力比较薄弱，这对建构奇偶性的概念造成了一定的困难。 三、教学目标 【知识与技能】1．能判断一些简单函数的奇偶性。2．能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题。 【过程与方法】经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。 【情感、态度与价值观】通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。 四、教学重点和难点 重点：函数奇偶性的概念和几何意义。难点：判断函数奇偶性的方法和格式。 五、教学方法 引导发现法为主，直观演示法、类比法为辅。 六、教学手段 PPT课件 七、教学过程 （一）设疑导入、观图激趣：出示一组轴对称和中心对称的图片。 设计意图：通过图片引起学生的兴趣，培养学生的审美观，激发学习兴趣。 1．10基本初等函数奇偶性和周期性 姓名___________ 本节重点：①能够正确判断函数的奇偶性和周期性；②运用基本初等函数的性质解题。 一．基础练习 1． 写出下列函数中，奇函数是________；偶函数是________；非奇非偶函数是________ ①sin 2y x = ②2cos y x = ③4221y x x =++ ④2(1)y x =- ⑤()x x f x e e -=- ⑥1()1 x f x x -=+ ⑦1()lg 1 x f x x -=+ ⑧23 ()f x x -= 2． 已知多项式函数32()f x ax bx cx d =+++，系数,,,a b c d 满足__________时，()f x 是奇函数； 满足___________时，它是偶函数． 3． 定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(2)f =________． 4． 函数sin 2y x =的周期是________；tan y x π=的周期是________． 5． 已知函数()f x 是定义在（-3，3）上的奇函数，当03x << ()f x 图象如右，则不等式 ()0f x x >的解集是____________． 二、例题讲解 例1：判断下列函数的奇偶性 （1）2 ()2||3f x x x =-- （2）22 2,0 ()2,0 x x x f x x x x ?-≥?=?--，实数a 的范围是____________． 3.2.2 奇偶性 【学习目标】 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法 2.了解函数奇偶性与函数图象对称性之间的关系 3.会利用函数的奇偶性解决简单问题 【重点】函数的奇偶性的概念与判定 【难点】函数奇偶性的应用 【新知探究】 偶函数、奇函数的概念. 一 偶函数的概念 在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数f (x )=x 2的图象 观察函数2)(x x f =和x x f -=2)(的图象，思考并讨论以下问题： 思考1：这两个函数图象有什么共同特征？ 思考2：相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？ 偶函数定义： . 1.判断下列函数是否是偶函数 2. 如何理解“I x I x I ∈-∈?都有，定义域为,”？ 总结： 二 奇函数的概念 画出函数x x f =)(和 1 ( )f x x =的图象，思考并讨论以下问题： 1. 列表 2. 画图 观察两个函数的图象，思考并讨论以下问题： 思考1：这两个函数图象有什么共同特征？ 思考2：相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？ 思考：奇函数的图象有什么特征？ 形： 数： 奇函数定义： . 形： 数： 【典型例题】 例1 判断下列函数的奇偶性 总结：定义法判断函数奇偶性的基本步骤： 跟踪训练： 判断下列函数的奇偶性 （1） （2） 总结：根据奇偶性将函数分类 思考： （1）判断函数3 ()f x x x =+的奇偶性？ （2）已知函数3()f x x x =+图象的一部分，你能画出剩余部分吗？ （3）一般地，如果知道函数的奇偶性，那么我们可以怎样简化对它的研究？ 跟踪训练： 1. 已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，试将下图补充完整。 2. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+，求(3)f -的值. 【课堂小结】 (1)()(2)()(3)()0 (4)() f x f x x f x f x x == =1 (1)()(2)()(3)()0(4)()f x x f x x f x f x x ====4 5 2 (1)()(2)()1 1 (3)()(4)()f x x f x x f x x f x x x ===+ = 1.2.11 函数奇偶性的运用 【学习目标】 1.会利用奇（偶）函数的图象特征、代数特征研究函数的解析式、函数值和单调性； 2.进一步体会数形结合、化归与转化、类比等数学思想． 【学习重点】利用函数的奇偶性研究函数的解析式、函数值和单调性． 【难点提示】函数奇偶性的综合运用. 【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材3336P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备； 2.在学习过程中用好“九字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达. 【学习过程】 一、学习准备 1.知识梳理：为了进一步研究函数奇偶性的应用，请思考以下问题． （1）函数奇偶性的种类有 ； （2）奇函数图象特征是 ，代数特征是 ； （3）偶函数图象特征是 ，代数特征是 ． （4）奇（偶）函数的定义域特点是 ． 2.方法梳理：（1）函数奇偶性的判断方法有 、入手点 ； （2）函数奇偶性的价值在： （链接1）. 二、探究新知 1. 观察思考 已知奇函数)(x f y =在区间())(,b a b a <上是增函数，请画出其示意图． （1）根据奇函数的图象特征，你能判断出函数)(x f y =在区间()a b --,上的单调性吗？ （2）你能用单调性的定义对你的判断给出严格的证明吗？ （3）你能总结出“奇函数与单调性的关系”的一般结论吗？ （4）若函数)(x f y =是偶函数呢？你能给出类似于奇函数与单调性的关系的结论吗？ ２.归纳概括 通过对以上问题的探究，请填空． （1）奇函数)(x f y =在区间())(,b a b a <上是增（减）函数，则函数)(x f y =在区间()a b --,上是 ； （2）偶函数)(x f y =在区间())(,b a b a <上是增（减）函数，则函数)(x f y =在区间()a b --,上是 ． ●想一想：能否用更简炼的语言概括出以上结论？从上可归纳出函数的单调性与奇偶性 函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1．(2015·四川绵阳诊断性考试)下列函数中定义域为R ，且是奇函数的是( ) A ．f(x)＝x2＋x B ．f(x)＝tan x C ．f(x)＝x ＋sin x D ．f(x)＝lg 1－x 1＋x 2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f(x)g(x)是偶函数 B ．|f(x)|g(x)是奇函数 C ．f(x)|g(x)|是奇函数 D ．|f(x)g(x)|是奇函数 3．(2015·长春调研)已知函数f(x)＝x2＋x ＋1x2＋1，若f(a)＝23 ，则f(－a)＝( ) A.23 B ．－23 C.43 D ．－43 4．已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x ＋4)＝f(x)，当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98 5．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f(x)＝x －1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( ) A ．(1,3) B ．(－1,1) C ．(－1,0)∪(1,3) D ．(－1,0)∪(0,1) 6．设奇函数f(x)的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f(1)≥1，f(2)＝2a －3a ＋1 ，则a 的取值范围是( ) A ．a<－1或a≥23 B ．a<－1 C ．－1 2.1.4函数的奇偶性 【学习目标】 1.理解函数奇偶性的定义及其图象特征。 2.能根据定义判断函数的奇偶性。 3.结合函数的奇偶性研究函数的其他性质。 【自主学习】 1.作出函数f(x)=2x和g(x)=3x的图象，观察图象的对称性。 1s：列表 2s：描点作图 由图象可知，() =的图象关于对称，用式子可表达 y f x 为。 =的图象关于对称，用式子可表达为。 () y g x 2. 设函数() =的定义域为D， y f x 则这个函数叫偶函数。偶函数的图象 是。 设函数() =的定义域为D， y g x 则这个函数叫奇函数。奇函数的图象 是。 3. 函数根据奇偶性可分成四 类：。 跟踪1：判断下列函数的奇偶性 ①53 f x x =+ ()1 f x x x x () =++②2 ③()1f x x =+ ④2(),[1,3]f x x x =∈- 跟踪2：研究函数21 y x =的性质（定义域，值域，单调性，奇偶性）并作出图象 跟踪3：课本49页练习A 1. 2. 3. 4. 5. 【典例示范】 例1.判断函数的奇偶性 ① ()f x ②()f x = ③()22f x x x =+-- ④2223,0()0,023,0x x x f x x x x x ?++? 总结提高： 判断函数奇偶性的步骤是： 例2.已知函数()f x 对任意实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=+，判断函数的奇偶性 例3：已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，2()f x x x =-，求0x <时函数的解析式 【巩固拓展】 2.1.4《函数的奇偶性》 一、教材分析 （一）教材所处的地位和作用 函数的奇偶性是普通高中标准实验教科书数学必修一B版第二章函数的第4小节，函数的奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟知的函数入手，结合初中学生已经学习过的轴对称和中心对称感受奇函数和偶函数的图像特征，从特殊到一般，从具体到抽象，注重信息技术的应用，比较系统地学习函数的奇偶性。从知识结构上，奇偶性既是函数概念的拓展和深化，又是后续研究基本初等函数的基础。起着承上启下的作用。 （二）学情分析 从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。同时，刚刚学习了函数单调性，已经积累了研究函数的基本方法与初步经验。 从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题． （三）教学目标 基于以上对教材和学生的分析，以及新课标理念，我设计了这样的教学目标： 【知识与技能】 1．理解函数奇偶性的概念和图象特征。 2．能判断一些简单函数的奇偶性。 【过程与方法】 经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。 【情感、态度与价值观】 通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质。 （四）教学重点和难点 重点：函数奇偶性的概念及其建立过程，判断函数的奇偶性。 “函数奇偶性”这一节知识点并不是很难理解，但知识点掌握不全面的学生容易出现下面的错误。他们往往流于表面形式，只根据奇偶性的定义检验f(-x)=f(x)及f(-x)=-f(x) 成立即可，而忽视了考虑函数定义域的问题。因此，在介绍奇、偶函数的定义时，一定要揭示定义的隐含条件，从正反两方面讲清定义的内涵和外延。因此，我把“函数的奇偶性概念”设计为本节课的重点。在这个问题上我除了注意概念的讲解，还特意安排了一道例题，来加强本节课重点问题的讲解。 难点：对函数奇偶性概念理解与认识。 二、教法与学法分析 （一）教法 根据本节教材内容和编排特点，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主 函数的奇偶性与周期性 考点梳理 一、函数的奇偶性 （探究：奇、偶函数的定义域有何特点？若函数f(x)具有奇偶性，则f(x)的定义域关于原点对称，反之，若函数的定义域不关于原点对称，则函数无奇偶性。） 二、奇、偶函数的性质 1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。 2、在公共定义域内， （1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数。（2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数。 （3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。 3、若f(x)是奇函数且在x=0处有定义，则f(0)=0。 （探究：若f(x)是偶函数且在x=0处有定义，是否有f(x)=0?不一定， 如f(x)= 21x +，而f(0)=1。） 三、函数的周期性 一般的，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。 （探究：若偶函数f(x)满足对任意的x R ∈,都有f(2+x)=f(-x)，那么函数f(x)是周期函数吗？ 是周期函数，()()(),(2)() (2)(),()=2f x f x f x f x f x f x f x f x T ∴-=+=-∴ += 是偶函数， 又所以是以为周期的函数） 例题解析 要点1：函数奇偶性的判定 判断函数奇偶性的一般方法 （1）首先确定函数的定义域，看其是否关于原点对称，否则，既不是奇函数也不是偶函数。 （2）若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断： ①定义判断： ()()()()-()()f x f x f x f x f x f x -=?-=?为偶函数， 为奇函数。 ②等价形式判断： 1 1. 3.2函数的奇偶性 【教学目标】 1.理解函数的奇偶性及其几何意义； 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3.学会判断函数的奇偶性； 【教学重难点】 教学重点：函数的奇偶性及其几何意义 教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式 【教学过程】 （一）创设情景，揭示课题 “对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？ 观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性． 2 ()f x x = ()||1f x x =- 21 ()x x x = 通过讨论归纳：函数2 ()f x x =是定义域为全体实数的抛物线；函数()||1f x x =-是定义域为全体实数的折线；函数2 1 ()f x x = 是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于y 轴对称．观察一对关于y 轴对称的点的坐标有什么关系？ 归纳：若点(,())x f x 在函数图象上，则相应的点(,())x f x -也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等． （二）研探新知 函数的奇偶性定义： 1．偶函数 一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义． 2．奇函数 2 一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数． 注意： ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． 3．具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维． 例1．判断下列函数是否是偶函数． （1）2 ()[1,2]f x x x =∈- （2）32()1x x f x x -=- 解：函数2 (),[1,2]f x x x =∈-不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称． 函数32 ()1 x x f x x -=-也不是偶函数，因为它的定义域为}{|1x x R x ∈≠且，并不关于原点对称． 点评：判断函数的奇偶性，先看函数的定义域。 变式训练1 （1）、x x x f +=3 )( （2）、1 1 ) 1()(-+-=x x x x f （3）、 2224)(x x x f -+-= 解：（1）、函数的定义域为R ，)()()()(3 3 x f x x x x x f -=--=-+-=- 所以)(x f 为奇函数 （2）、函数的定义域为}11|{-≤>x x x 或，定义域关于原点不对称，所以)(x f 为非奇非偶函数 （3）、函数的定义域为{-2，2},)()(0)(x f x f x f -===-,所以函数)(x f 既是奇函数又是偶函 数 例2．判断下列函数的奇偶性 （1）4 ()f x x = （2）5 ()f x x = （3）1()f x x x =+ （4）21 ()f x x = 分析：先验证函数定义域的对称性，再考察()()()f x f x f x --是否等于或． 解：（1）偶函数（2）奇函数（3）奇函数（4）偶函数 点评：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定()()f x f x -与的关系； ③作出相应结论： 函数的奇偶性 【预习要点及要求】 1.函数奇偶性的概念； 2.由函数图象研究函数的奇偶性； 3.能运用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性； 【知识再现】 1.轴对称图形： 2中心对称图形： 【概念探究】 1、画出函数2)(x x f =，与x x g 1)(= 的图像；并观察两个函数图像的对称性。 2、求出3±=x ，2±=x ，21±=x 时的函数值，写出)(x f -，)(x g -。 结论：)()(x f x f =-，)()(x g x g -=-。 3、奇函数：___________________________________________________ 4、偶函数：______________________________________________________ 【概念深化】 （1）、强调定义中“任意”二字，奇偶性是函数在定义域上的整体性质。 （2）、奇函数偶函数的定义域关于原点对称。 5、奇函数与偶函数图像的对称性： 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的 __________。反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图 形，则这个函数是___________。 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以y 轴为对称轴的__________。 反之，如果一个函数的图像是关于y 轴对称，则这个函数是___________。 6. 根据函数的奇偶性，函数可以分为____________________________________. 【例题解析】 例1． 23 1x (2)(3),(2,4)(4)x x x -+∈-42判断下列函数的奇偶性： 1（）f(x)=f(x)=x f(x)=x f(x)=2x+3 (5)f(x)=5 ()()0.6=x f 例2、()()()x f f bx ax x x f 求且已知,102835=-+++= 达标练习： 一、选择题 1、函数x x x f +=2)(的奇偶性是 （ ） A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 2、函数)(x f y =是奇函数，图象上有一点为))(,(a f a ，则图象必过点（ ） A ． ))(,(a f a - B. ))(,(a f a - C. ))(,(a f a -- D. )) (1, (a f a 二、填空题： 3、函数)(x f 为偶函数，并且在+∞在（0， ）上是增函数，则-f ｆ(2)与（5）的大小关系 . 三、解答题： 4、定义在]11[，-上的函数)(x f y =是减函数，且是奇函数，并且f(a+1)+f(2a)>0， 求a 的取值范围。 函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 2.(1)周期函数 对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×) (3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．(√) (6)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．(√) (7)函数f (x )＝0，x ∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×) (8)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√) (9)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．(√) (10)若某函数的图象关于y 轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√) 考点一 判断函数的奇偶性 函数的奇偶性及周期性 1．函数的奇偶性 (1)周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． [小题体验] 1．下列函数中为偶函数的是() A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x C．y＝|ln x|D．y＝2－x 答案：B 2．若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(14)＝________. 答案：－1 3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x<0时，f(x)＝________. 答案：x(1－x) 1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． 2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－ x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)． 3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性． [小题纠偏] 1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C.12 D ．－1 2 解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝1 3.又f (－x )＝f (x )， ∴b ＝0，∴a ＋b ＝1 3 . 2．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时， f (x )＝ ? ???? －4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ????32＝________. 解析：由题意得，f ????32＝f ????－12＝－4×????－122＋2＝1. 答案：1 考点一 函数奇偶性的判断(基础送分型考点——自主练透) [题组练透] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x －3－ x ； (4)(易错题)f (x )＝4－x 2 |x ＋3|－3 ； (5)(易错题)f (x )＝????? x 2＋x ，x >0， x 2－x ，x <0. 解：(1)∵由? ???? x 2－1≥0， 1－x 2≥0，得x ＝±1， ∴f (x )的定义域为{－1,1}． 又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，《2.4函数的奇偶性与周期性》 学案
函数的奇偶性导学案
苏教版高中数学高一必修1教学案 第19课时 函数的奇偶性1
函数的奇偶性与周期性练习题
函数的奇偶性与周期性 知识点与题型归纳
函数的奇偶性及周期性综合运用
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1.10基本初等函数奇偶性和周期性
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