XXGX第6章 计算全息

概
述
第六章 计算全息图 Computer Generated Hologram——CGH
计算全息的理论基础 计算全息的编码方法
计算傅里叶变换全息 计算像面全息 计算全息干涉图 像息图
全息的本质（或目的）是要记录和再现物光波的全部信息， 包括振幅和相位。 物光波场可表示为： O( x, y ) = O ( x, y ) exp[ jφo ( x, y )] 光学全息是利用光学干涉的方法记录，用光学衍射方法再现。 能否不利用实际光波干涉的方法来实现物光波波场的记录呢？ 这就是计算全息。 这就是计算全息 计算全息是德国光学专家A.W.Lohmann于1965年发明的。当 时Lohmann在美国IBM公司进行研究工作，有一天他的激光器 坏了，一时修不好，又急于做全息。他就想到，光全息其实 就是一个通过干涉对光波振幅和相位编码的过程，用计算机 也可以完成。于是就发明了CGH。偶然？
计算全息的应用 计算全息的物理解释 二元光学
并非偶然，当时的背景是：光学全息的研究处于极盛时期，计算机技术 及通信理论与方法也在迅猛发展，Lohmann是光学专家，在一个计算机 技术领先的公司工作，有了想法后很快得以实现。 首次制作出CGH后，CGH的研究发展很快，各种编码方法相继被提出，也 相继提出了多种类型的CGH。CGH及其设计方法在许多领域得到了许多重 要应用。
目前，随着计算机技术与各种成图技术的发展，随着各种 图像显示器件性能的提高，CGH的应用越来越广泛，越来 越实用。如在微光学、二元光、衍射光学，图像显示等领 域。 计算全息包含的技术：
CGH的特点
可记录物理上不存在的物体，只要知道或虚拟出一个物光波的数学表示 式即可。可应用：1)制作复杂滤波器。2)显示虚拟的二维、三维物体。 3)可产生所需要的光波波面，用于干涉测量。尤其是在全息图像显示和 各滤波器的制作，光学干涉测量与检测等方面得到了广泛应用。 定量数字计算、精度高。特别是二元全息图抗干扰能力强、噪声小、易 复制。
计算机技术：容量大，速度快 成图技术：电子束直写，离子束直写，激光束直写，光刻 等。 显示器件：分辨率，实时性能等。
1965年Lohmann首次制作出了计算全息； 1967年Paris把快速FT(FFT)算法应用到FT变换 计算全息图中 1969赖塞姆等人提出了相全息
计算全息的应用范围
二维和三维物体像的显示 制作光学信息处理中的空间滤波器 产生特定波面用于全息干涉计量 激光扫描器
1974李威汉提出计算全息干涉图的制作技术。
数据存储
1

计算全息的分类 第一种分类方式：据物体坐标位置与记录平面的相对位置 FT全息， 像面全息， 菲涅耳全息， 第二种分类方法：据全息图透过率函数的性质 振幅型——二元，灰阶 相位型 迂回相位型 第三种分类方法：据制作 修正离轴型 时所采用的编码方法 相息图
计算全息图的制作和再现过程：
抽样——得到物体或者波面在离散样点上的值 计算——计算物光波在全息面上的光场分布 编码——把全息平面上光波的复振幅分布编码成全息图的 透过率变化 成图——在计算机控制下，将全息图的透过率在成图设备 上成图 再现
抽样
计算 再现
编码 成图
计算全息干涉图
三种分类方法是从不同角度来考虑的，不是孤立的
6.1 CGH的理论基础
6.1.1 抽样定理 一、函数的抽样(Sample, Sampling) 实际物理量、信号一般随时间或空间连续变化——模拟信号。 模拟信号的检测、记录、存储、处理和传递，很难能用连 续方式进行。 连续变化的物理量(模拟信号)要用它的一些离散的抽样值 (抽样信号)来表示。例如：如今广泛使用的CCD摄像机，在 记录连续变化的图像时，每秒钟只记录30幅图像(时间抽样)； 而且表达每幅图像所用的抽样点数由CCD靶面的像素数所限 制(空间抽样)。
看看一维信号的例子
由于物理器件有限的信息容量，常用在离散点集上 的函数值来表示一个连续函数，即抽样值
f ( x) = f (t0 + nΔt ), n = 0,1, 2,L , N ? 1
t0
抽样起始点; n 抽样序号 f (n) 抽样值
Δt 抽样间隔;
二维
梳状函数comb(x)的性质：
comb( x) =
n =?∞
∑ δ ( x ? m)
∞
∞ x comb( ) = Δx ∑ δ ( x ? mΔx) Δx n =?∞ 1 ∞ m comb( xΔx) = ∑ δ ( x ? Δx ) Δx n =?∞ F comb( x) ←? comb(u ) → x F → comb( ) ←? Δxcomb(u Δx) Δx
F
: 表示傅立叶变换
Lina 256X256
Lina 64X64
2

利用梳状函数对连续函数f(x,y)抽样，抽样函数 fs(x,y)由δ 函数的阵列构成：
f s ( x, y ) = comb(
∞
x y )comb( ) f ( x, y ) Δx Δy
∞
= ΔxΔy ∑∑ f (nΔx, mΔy )δ ( x ? nΔx, y ? mΔy )
?∞ ?∞
Δx, Δy：抽样间隔 1/ Δx,1/ Δy：抽样频率
那么，这些离散抽样值表示的物理量的含义，或者说 包含的信息量，与原先连续变化的物理量是否相同？ 换句话说，是否可以由这些抽样值恢复一个连续的原 函数？在什么情况下可以？在什么情况下不可以？
若抽样间隔太大，即抽样频率太低，则抽样点太少， 信息量丢失，fs(x,y)不能准确表示f(x,y) 若抽样间隔太小，即抽样频率和太大，则抽样点太多， 数据量太大，会给处理、存储、记录、传递、检测等 带来更高要求，可能没必要。 对于一个给定的函数，选择多大的抽样间隔（或抽样 点数、或抽样频率）合适呢？ 点数 或抽样频率 合适 这就是抽样定理所要回答的问题。 抽样函数的频谱
f 对函数f(x,y)进行傅立叶变换： ( x, y ) → F (u, v)
带宽为 : 2u B
对抽样函数做傅立叶变换：
f s ( x, y ) → Fs (u , v)
∞
Fs (u, v) = F { f s ( x, y )} =
n =?∞ m =?∞
∑ ∑ F (u ? Δx , v ? Δy )
∞
n
m
假定f(x,y)是有限带宽函数，频谱在空间频域的一个有限 区间上不为零，假设2Bx 和2By 是这个有限区域在 u,v 方向 上的宽度，即：
函数在空间域被抽样，导致函数频谱F(u,v)在空间频域的周 期复现，频谱F(u,v)的中心间隔为 1/ Δx,1/ Δy
? F (u , v) F { f ( x, y )} = ? ? 0
? Bx ≤ u ≤ Bx , ? By ≤ v ≤ By
从图中可以看出，要把不断复现的频谱F(u,v)分离开，则必 须满足：
1 ≥ 2 Bx Δx
Δx ≤ 1 2 Bx
and
1 ≥ 2 By Δy
1 2 By
由以上分析可得：能由抽样值恢复原函数 的条件是：
f(x,y)是有限带宽函数，带宽为
2 Bx
and 2 By
Δx = 1 1 和Δy = 2 Bx 2 By
and Δy ≤
在x和y方向抽样点的最大允许间隔为
抽样定理 (乃奎斯特定理)可表示为：
一个有限带宽函数，它没有在 Bx 和By 1 1 和 以上的频谱分量，则该函数可以由一些列间隔小于 2 Bx 2 By 的抽样值唯一确定。
这样就能用滤波的方法，分离出F(u,v)，进而恢复出原函数f(x,y)
乃奎斯特间隔
3

二、函数的复原：
只要抽样时满足抽样定理，其抽样后的函数 fs(x,y)的频谱 Fs(u,v)就不会交叠，就可以选择一个合适的低通滤波器(如 矩形函数)，通过滤波操作、再经逆傅立叶变换复原原函数 f(x,y)。
选择矩形函数作为滤波函数，在频域中表示为： u v )rect( ) H (u , v) = rect( 2 Bx 2 By 滤波复原操作即为 u v )rect( ) F (u , v) = Fs (u, v) H (u, v ) = Fs (u, v)rect( 2 Bx 2 By 在空域中则为：
f ( x, y ) = F ?1{F (u, v)} = F ?1{Fs (u, v)rect(
u v )rect( )} 2 Bx 2 By
= f s ( x, y ) * h ( x, y )
由于： f s ( x, y ) = comb(
= ΔxΔy ∑∑ f (nΔx, mΔy )δ ( x ? nΔx, y ? mΔy )
?∞ ?∞
∞
x y )comb( ) f ( x, y ) Δx Δy
∞
如果抽样间隔和带宽满足如下关系(取最大允许的抽样间隔) 1 1 and Δy = Δx = 2 Bx 2 By 那么，有：
f ( x, y ) = ∑∑ f (
?∞ ?∞ ∞ ∞
h( x, y ) = F {H (u , v)} = F ?1{rect(
由此可得原函数可以表示为：
u v )rect( )} 2 Bx 2 By = 4 Bx By sinc(2 Bx x)sinc(2 By y )
?1
∞ ∞
n m n m , )sinc[2 Bx ( x ? )]sinc[2 By ( y ? )] 2 Bx 2 By 2 Bx 2 By
f ( x, y ) = 4 Bx By ΔxΔy ∑∑ f (nΔx, mΔy ) ?
?∞ ?∞
该公式称为惠特克-香农(Whittaker-Shannon)抽样定理。
2Bx 2By 该式表明，只要抽样间隔满足 则在每一个抽样点上放置一个以抽样值为权重的sinc函数作为内插函 数，由这些加权sinc函数的线性组合可以复原原函数 Δx ≤ 1 和 Δy ≤ 1
sinc[2 Bx ( x ? nΔx)]sinc[2 By ( y ? mΔy )]
函数复原有两个途径： 1）频域滤波再IFFT, 2）空域中以sinc函数内插迭加。
严格来讲，频带有限函数在物理上是不存在的。因为，实际 的物理信号在时间或空间上总是有限的，而在时间或空间上 有限的函数其频谱在频域中的分布总是无限的。但实际的大 有限的函数其频谱在频域中的分布总是无限的 但实际的大 多数物理函数其频谱高到一定值后，总是大大减小，即高频 成分含量很小，可以略去。大多数实际的物理量可视为限带 函数。
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6.1.2 CGH的抽样与信息容量
用计算机处理光场的二维分布时，仍然根据抽样理 论。因此必须考虑抽样点的疏密。 计算全息要考虑两个问题： 把连续的物函数输入计算机时，抽样间隔应该满足 抽样定理的条件，避免出现频谱混叠； 抽样定理的条件 避免出现频谱混叠 再现过程要选择合适的空间滤波器，才能恢复所需 波前 在计算全息中，空间信号的信息容量也是用空间带 宽积来描述的。
光学图像在光学仪器中的传递受到两方面的限制 孔径光阑阻挡了高于截止频率的高频信息； 视场光阑限制了视场以外的物空间 由此可以得到通过光学信道的信息量公式： 信息量=频带宽度×空间宽度 把频带宽度×空间宽度称为空间带宽积，用SW表示。空间带 宽积表示空间信号在空间域和频率域中所占的空间度量。
空间带宽积(SW)更一般的表示为
若限带函数 f(x,y)在频域中|u|<=Bx，|v|<=By ，即在(Bx,By) 以外恒等于零。 由抽样定理得：函数在空域中|x|<=X 与|y|<=Y 的范围内抽 样点数至少应为：
2 X 2Y Δx =1/ 2 Bx ???? ( 4 XY ) ( 4 Bx By ) = 16 XYBx By → Δx Δy Δy =1/ 2 By
SW = ∫∫ dxdy ∫∫ dudv
SW不仅描述空间信号（图像、场分布）的信息量，也可表示成像系统、 光学信息处理系统的信息容量，即传递与处理信息的能力。 对于一个二维函数f(x,y)，如图像，SW决定了最低必须分辨的像素数， 即表达它需要的自由度数N。 1）当f(x,y)是实函数时，每一个样点值是实数，自由度为
这表示：在该区域的函数可由数目为 16 XYBx By 的 抽样值近似表示。 空间带宽积(SW) 的定义：函数在空域和频域中的所有的面 积之积：
16 XYBx By
2）当f(x,y)是复数时，每一个样点值为一个复数，要求两个实数表示， 自由度增大一倍
SW = 16 XYBx By
32 XYBx By
当图像(函数)在空间位移，或产生频移时，SW不变。放大、缩小时，SW 也不变。 若没有外部因素的影响，物体的空间带宽积具有不变性。所以，当图像 信息经由系统传递或处理时，为了不丢失信息，系统的空间带宽积应大 于图像的SW。 光信息处理系统的信息通量（SW） ＝通频带宽积×视场空间宽度 其中，通频带宽积由孔径光栏大小决定，视场空间宽度由视场光栏决定 实际制作CGH时，受计算机容量的、速度、成图设备分辨率的限制，能 达到的抽样点数有限。 N × M=64×64, 128 ×128, 256 × 256，512 ×512, 1024 ×1024, 等 这个点数值往往比按抽样定理所要求的点数少得多。达不到完全 再现，有误差，精度有限。但只要能满足实用要求即可。
6.1.3 时域信号和空域信号的调制编码
发送时，要把一个连续时间信号发送出去，除了要进行抽样外，还 要先对其进行调制(编码)，使之变成调制脉冲信号。 接收时：把脉冲调制信号解调(解码)变成连续信号。 常用的有三种脉冲调制方式：
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二元计算全息（迂回相位编码方法）
脉冲幅度调制（PAM）
脉冲宽度调制（PWM）
脉冲位置调制（PPM）
二值化，具 有很强的抗 干扰和抗噪 声能力。
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6.2
计算全息的编码方法
6.2.1 计算全息编码 编码在通信中的含义是把输入信息变换为信道上传递的信号
对CGH：
6.2 计算全息的编码方法
输入信息是待记录的光波场复振幅分布 输出信息是用光学方法再现的光波场复振幅分布 中间的传输介质（或载体）是CGH全息图 信息特征是全息图上的透过率分布 CGH编码，就是把二维或三维光场分布（复值函数）变换为全息图 的二维透过率分布。编码过程可用算符表示为：
hi ( x, y ) = Ci [ f ( x, y )]
1
O(x,y)：待记录光场的复振幅分布 Ci：相应的编码算符，i表示不同的编码方法 hi(x,y)：全息图透过率
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hi(x,y)一般是实值非负函数，受成图、显示技术和设备限制。
成图技术：打印（绘图）缩微，光刻， 电子束直写，离子束直写，激光束直写等。 显示技术：空间光调制器。 根据 f(x,y)所代表光场分布不同, 可以分为不同类型的计算全息 图：计算傅立叶变换全息图，计算像面全息图，计算菲涅耳全息 图，等。 计算全息编码方法是计算全息研究的重点之一，已提出多种方法。 根据编码方法的不同, 可以分为不同类型的计算全息图：罗曼迂 回相位型全息图，计算全息干涉型全息图，相息图，等。 仅介绍两类典型的编码方法：罗曼型迂回相位编码和修正离轴参 考光编码。都是将复值函数转换（变换）成实值非负函数的编码 方法
6.2.2 迂回相位型编码方法
将光场复振幅分布的振幅和相位分别进行编码，将一个复函数表 示为两个实值非负函数。 用空间脉冲宽度（面积）调制和空间脉冲位置调制，分别编码光 场分布的振幅和相位。 受不规则光栅的衍射效应——迂回相位效应的启发，是通讯理论 中的PWM和PPM在空间信号处理中的应用。 迂回相位效应 规则光栅衍射：由物理光学可知，当用一个规则固定周期的光栅 来调制一列平面波时，光栅后的各衍射级次的光波都是平面波， 只是传播方向不同(空间频率不同)；在每一级衍射方向上，垂直 于该方向的平面上具有相同的相位，即等相位面是垂直于衍射方 向的平面。
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3
Δ m = d (sin θ 0 + sin θ m ) = mλ
不规则光栅的衍射：各级衍射光波不再是平面光波，而是产生波 面畸变；在相应的不规则处，将产生相位的延迟和超前。
设光栅某处的栅距有一个误差量Δ，则此处的栅距由d变为d+ Δ, 栅距改变处衍射光波的光程差变为：
Δ 'm = ( d + δ d )(sin θ 0 + sin θ m )
该位置处由栅距误差造成的相应的相位延迟为
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5
1

Δφm =
2π δ d (sin θ 0 + sin θ m ) (Δ ' ? Δ m ) = λ m λ mλ δd 2π = = 2π m δd λ d d
2π
光栅“鬼线”：Grating Ghost Line
光栅作为一种分光元件，常用于光谱仪器（光栅光谱仪、光栅单色 仪等）中，用来研究物质、元素、太阳的光谱。早期的光栅主要是 用机械刻划的方法制作，制作过程中难免会有栅距误差。 如果光栅制作的不够完好，有栅距误差，就会在光谱面上得到一些 “鬼线”。 历史上用光栅光谱仪研究气体时，常常发现在光谱中会出现一些 “新的谱线”。曾有人误认为发现了新的物质或原子。但换用另一 块光栅去做同样的光谱实验时，这些“新的谱线”又不存在了，或 者在别的地方又出现了。因此大为疑惑，称之为“鬼线”。直到瑞 利发现了“鬼线”理论，才弄清了这个现象。 罗曼正是受此现象启发，又想到通讯中的PWM和PPM，称“鬼线”现 象为迂回相位效应。他将之用于CGH编码。 “鬼线”对光谱分析是无用而有害的，但对计算全息、相位调制来 说，却正是所期望的，正好可用来编码相位。
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罗曼称 位效应。
Δφm 为迂回相位(Detour phase)，这种现象称为迂回相
由上式可以看出： 迂回相位的值与入射光波的倾角、波长无关，但与栅距错位量δd 成正比。只要连续改变δd的大小，就可在特定衍射级次上得到连 续的相位变化。 由迂回相位效应可知：通过局部改变光栅的栅距，可在特定衍射 级次上得到所需要的相位调制。
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一、罗曼型迂回相位编码方法
设全息图面共有M×N个抽样单元，抽样间隔为δx和δy，全息图 面上待记录的光波复振幅分布的样点值是： 事实上
f (m, n) = Amn exp[ jφmn ]
其中： ? M M N N ≤m≤ ? 1, ? ≤ n ≤ ? 1 2 2 2 2 Amn是归一化振幅， 0 ≤ Amn ≤ 1
在全息图的每一个抽样单元内，放置一个矩形通光孔径，通过改 变通光孔径的面积来编码振幅，通过改变通光孔径中心与抽样单 元中心的距离来编码相位。
在y方向，相当于脉冲宽度调制; 在x方向，相当于脉冲位置调制 每个抽样单元中的开孔尺寸和位置确定后，可用计算机控制成 图设备产生CGH。由于是二值，制作简单，噪声低，抗干扰能 力强，对记录材料的非线性不敏感。可多次复制，不失真。 CGH的再现与光学全息类似，在沿x方向的某特定衍射级次得到 再现物光波。
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二、四阶迂回相位编码方法
v a = a exp[ jφ ] = a cos φ + ja sin φ
将全息图每一个抽样单元沿x方向分为4等分，各部分的相位分别 对应0、π/2 、π 、3π/2，与复平面上的实轴和虚轴所表示的 四个基矢相对应。
在复平面上，可用四个基矢表示一个复矢量
每一个抽样单元的样点值沿四个基矢相位方向分解为4个正交分量： v uu v uu v uu v uu
f (m, n) = f1 ( m, n)r + + f 2 (m, n) j + + f 3 (m, n)r ? + f 4 (m, n) j ?
uu v uu v uu v uu v v a = a exp[ jφ ] = a cos φ r + + ja sin φ j + + 0r ? + 0 j ?
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其中，f1、f2、f3和f4是实的非负数，对某一个确定的抽样点，其 中最多只有2个为非0值。 因此，对一个抽样点的复振幅进行编码时，只需要在其中的两个 小单元中用开孔大小或灰度等级来表示就可以了。
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三、三阶迂回相位编码方法
在复平面上，用三个基矢表示一个复矢量：
6.2.3 修正离轴参考光编码方法
模拟光学离轴全息，引入一个虚拟的参考光波与物光波干涉。先 对离轴全息图透过率函数进行修正，再进行抽样编码。避免了对 相位编码，但却以增加抽样点为代价。 一) 光学离轴全息图透过率函数 f ( x, y ) = A( x, y ) exp[ jφ ( x, y )]
v 三个基矢：r = exp( j 0) v 2π j = exp( j ) 3 v 4π k = exp( j ) 3
v v v f (m, n) = f1 (m, n) r + f 2 (m, n) j + f 3 (m, n)k
f1、f2和f3是实非负数, 对某一确定抽样点, 最多只有2个为非0值。 将每一个抽样单元沿x方向分为3等分，分别对 应0、2π/3 、4π/3。 在小单元中用开孔大小或灰度等级来表示振幅
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R( x, y ) = R( x, y ) exp[ j 2πα x], α = sin θ / λ 线性记录条件下，全息图的振幅透过率 2 t H ( x, y ) = t0 + βτ I ( x, y ) = t0 + β ' I ( x, y ) = t0 + β ' f ( x, y ) + R( x, y )
= t0 + β ' A2 ( x, y ) + 2 β ' RA( x, y ) cos[2πα x ? φ ( x, y )]
第3项通过余弦型条纹分布对物光波的振幅和相位进行调制，含有物光波的全 部信息。 第1、2项是偏置项，它的作用是使tH(x,y)为非负数。从全息再现、信息传递的 角度来看，除了占用信道外，是多余的。 在光学全息中，第1、2项是不可避免的。
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2）修正离轴全息图透过率函数
在模拟光学离轴全息制作CGH时，为了最大限度地利用信道，减少 抽样点数，可对光学离轴全息图透过率函数进行修正，重新构造 一个全息图透过率函数。
' t H ( x, y ) = 0.5{1 + A '( x, y ) cos[2πα ' x ? φ ( x, y )]}
修正离轴全息透过率函数
(a) 物光波函数
(b) 物光波的频谱
(1) A '( x, y ) : 是归一化的物光波振幅，|A′(x,y)|<=1， (2) 0.5项：保留偏置分量是为了保证修正后的tH(x,y)为非负数。 (3) α ' : 是修正后的载频。 3）光学离轴全息透过率函数与修正离轴全息透过率函数的频谱结 构比较： (为什么进行修正？ 修正有何好处?)
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F (u, v) = F { f ( x, y )}
(c) 光学离轴全息函 数tH(x,y)的频谱
TH (u , v) = F {t H ( x, y )}
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(d)若不进行修正，直接对光学离轴全息函数tH(x,y)进行抽样， 满足抽样定理时，抽样函数tHS(m,n)的频谱：
THS (u, v) = F {t HS (m, n)}
此时，要求：
α ≥ 3uB , δ x ≤ 1/ 8uB , δ y ≤ 1/ 4vB
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此时，要求：
α ≥ uB , δ x ≤ 1/ 4uB , δ y ≤ 1/ 2vB
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从以上分析可知： 不修正时，要求 α ≥ 3uB , δ x ≤ 1/ 8uB , δ y ≤ 1/ 4vB
抽样点数为：
X Y
δxδy
= XY 8u B 4vB = 8( XY 2u B 2vB ) = 8SW
》引入参考光波（引入载频）的目的是：与物光波干涉，对物光波 的振幅和相位进行调制，将其转换为全息图透过率函数。实现：复 函数→ 实值非负函数。 》载频的选取应保证频谱内部各分量之间不重叠
α ≥ 3u B
α ' ≥ uB
修正后，要求 抽样点数为： 可见：
α ' ≥ u B , δ x ≤ 1/ 4uB , δ y ≤ 1/ 2vB
X Y
》抽样间隔（或抽样频率）的选取应满足抽样定理，要保证抽样后 函数的频谱在空间平移复制时，整体上不重叠，以便复原 数的频谱在空间平移复制时 整体 重叠 便复
δxδy
= XY 4u B 2vB = 2( XY 2u B 2vB ) = 2SW
α ≥ 3uB , δ x ≤ 1/ 8uB , δ y ≤ 1/ 4vB α ' ≥ uB , δ x ≤ 1/ 4u B , δ y ≤ 1/ 2vB
》修正后的抽样点数是不修正时的1/4，所以，在编码前先修正
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4) 修正离轴参考光编码方法
就是对修正后的全息透过率函数直接进行编码。 修正后的全息透过率函数已是非负实函数，且经过修正降低了抽 样点数。 通过改变每个抽样单元内开孔的面积或直接改变抽样单元的灰度 （透过率）即可。 5）与对物光波直接进行编码的方法（如迂回相位编码方法）的 比较:
对物光波直接进行编码的方法（如迂回相位编码方法）
f ( x, y ) = A( x, y ) exp[ jφ ( x, y )], X , Y ; uB , vB ; 2uB , 2vB
直接对物 光波的复 振幅分布 进行抽样 不需载波载频
δx≤
1 1 ,δ y ≤ 2uB 2vB
X Y
δx δy
= XY 2uB 2vB = SW
Amn归一化系数
f s (m, n) = Amn exp[ jφmn ]
需对复数的模和幅角（振幅和相位）同时进行编码 编码： 需要两个结构参数（面积、宽度或灰度，位置） 用抽样单元中，矩形开孔的两个结构参数Lmn=Amn, Pmn=φmn/2π来 编码一个复数。
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修正离轴参考光编码方法 f ( x, y ) = A( x, y ) exp[ jφ ( x, y )], X , Y ; uB , vB ; 2uB , 2vB
构造
A '( x, y ) = A( x, y ) / A( x, y ) 选择的载频：α ' ≥ uB
1 1 ,δ y ≤ 4uB 2vB X Y
' t H ( x, y ) = 0.5{1 + A '( x, y ) cos[2πα ' x ? φ ( x, y )]}
总之，修正离轴参考光编码方法与直接对物光波进行编码的方法 （如迂回相位编码方法）相比，避免了相位编码，但以增加抽样 点数为代价。
δx≤
抽样
' HS
抽样点数：
t (m, n) = 0.5{1 + A '(m, n) cos[2πα ' mδ x ? φ (m, n)]}
编码
每个抽样点的值都是实非负值，直接通过改变每个抽 样单元内开孔的面积或直接改变抽样单元的灰度(透 过率)即可。只用矩形开孔的一个结构参数即可。
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δxδy
= XY 4u B 2vB = 2 SW
4

6.3 计算傅立叶变换全息
制作过程：
6.3 计算傅立叶变换全息
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6.3.1 抽样
包含对物波函数和全息图的抽样
物面的抽样点数：
f ( x, y ) = a ( x, y ) exp[ jφ ( x, y )],
X ,Y
需要：δ x ≤
1 1 ,δ y ≤ 2uB 2v B
F (u , v) = A(u, v) exp[ jψ (u , v)], uB , vB ; 2u B , 2vB
所需抽样点数为：J K =
频谱面的抽样点数：
需要：δ u ≤ 1 1 ,δ v ≤ X Y
X Y
δxδy
= XY 2u B 2vB = SW
所需抽样点数为：M N =
(a) 物光波函数 抽样：确定物面和频谱面上的抽样点数
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2u B 2vB = XY 2uB 2vB = SW δu δv
(b) 物光波的频谱函数
F (u , v) = F { f ( x, y )}
可见：都刚好满足抽样定理时，物面和谱面的抽样点数相等，都 等于空间带宽积。
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抽样后：
f ( j , k ) = a( j , k ) exp[ jφ ( j , k )] ? ?J / 2 ≤ j ≤ J / 2 ?1 ? ?? K / 2 ≤ k ≤ K / 2 ? 1 F ( m, n) = A(m, n) exp[ jψ (m, n)] ?? M / 2 ≤ m ≤ M / 2 ? 1 ? ? ?N / 2 ≤ n ≤ N / 2 ?1
2. 计算
DFT, 基于FFT算法 F (u, v) = F { f ( x, y )}
= ∫∫ f ( x, y ) exp[? j 2π ( xu + yv)]dxdy
F (m, n) = DFT { f ( j , k )} =
J / 2 ?1 K / 2 ?1 j = J / 2 k =? K / 2
∑ ∑
? j ? mj nk ? ? f ( j.k ) exp ? ?2π ? + ?? K ?? ? J ?
F (m, n) = R ( m, n) + iI (m, n) = A( m, n) exp[ j Ψ (m, n)]
A(m, n) = R 2 (m, n) + I 2 (m, n)
对A(m, n)归一化
Ψ (m, n) = arctan[ I (m, n) / R(m, n)]
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3. 编码 通光孔径的高度
振幅编码
通光孔径的宽度
Lmnδ y, Lmn = A(m, n) W δ x, W 可取常数
4. 成图
绘制全息图，缩微照相
相位编码：
通光孔径的中心位置 Pmnδ x,
Pmn = Ψ (m, n) /(2π k )
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5. 再现
6. 几点讨论(实际制作时需注意的问题)
（1） 模式溢出的修正
Lm ,n = A( m, n), Pm ,n = Lm +1,n Ψ (m, n) 2π k Ψ (m + 1, n) = A(m + 1, n), Pm +1,n = 2π k
在特定衍射级次上得到再现像，一般选取±1级。
在对相位编码时，若开孔宽度选定后，当Ψ(m,n) 大于某值时， 第 m 个单元的矩形孔将跨入邻近的第(m+1)个单元，有可能与第 个单元 将跨 第 个单元 有可能与第 (m+1)个单元中的矩形孔重叠。
重叠部分的振幅本该相加，但对绘 图来说(尤其是二值化)不好做到，会 使全息再现失真。
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而开孔宽度不可能取得太小，太小时不易成图，且影响光能利用 率和衍射效率。 解决的办法是：将溢出部分移到本单元的另一侧。
(2)
相位误差的修正
Ψ (m, n) 2π k
Pm, n =
依据：是光栅衍射理论，因为CGH就是不规则的光栅结构。各抽样 单元内，相应的位置具有相同的相位值。
孔径处的相位取单元中心 处的相位，这就隐含了整 个抽样单元内的相位值是 相等的，没有变化。这显 然是近似的。
如果在一个抽样单元内，相位Ψ(u,v)的变化很缓慢，则这个近似 大致是成立的；但实际上单元内的相位总有变化。因此，若不考 虑这一点，就会引入相位误差。
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(3) 降低振幅的动态范围
F (m, n) = R (m, n) + jI ( m, n) = A( m, n) exp[ j Ψ (m, n)]
校正方法是: 用矩孔 中心处的实际相位来 确定孔径的位置,即 矩孔中心的偏移量要 正比于矩孔中心处的 实际相位值。孔径中 心位置函数为
频谱的振幅往往具有很大的动态范围，即高频成分A(m,n)很小、低 频成分A(m,n)很大。 这就意味着Lmn具有很大的动态范围，即 对应高频成分的开孔可能很窄，而对应 于低频成分的开孔可能很宽。这会给CGH 的成图带来困难。 的成图带来困难 为了降低动态范围，可以在作DFT前对物光波函数的样点值乘以一 个随机相位，用它来平滑频谱。这个随机相位因子对于再现像的观 察是不重要的，因为实际应用中观测的常常是再现像的强度。这种 做法与光学全息中在物体前旋转毛玻璃板产生谩射光线的效应是相 同的。
u = mδ u +
δu mod 2π [Ψ (m, n)] 2π
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f s (m, n) = a (m, n) exp[ jφ (m, n)] f s' (m, n) = f s (m, n) exp[ j?rand (m, n)]
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3

6.7
干涉计量
计算全息的典型应用
M2 S
第6.7节 计算全息的应用 第6.8节 计算全息的物理解释 第6.9节 第6 9节 二元光学(Binary Optics)
Laser
L1
L2 L4
CGH
L3 M1
P
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6.8 计算全息的几种物理解释(by Lohmann)
光谱学家的解释(从光栅光谱的鬼线的角度来看) 物理学家的解释(实现一种复杂的波面变换，一个全 息图就是相应的波面变换器) 天线工程师的解释(将计算全息图看做一种天线阵列) 通讯工程师的解释(应用调制理论来解释计算全息)
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6.9
二元光学
6.9 二元光学(Binary Optics or Micro Optics)
上个世纪80年代中期，美国MIT林肯 实验室Veldkamp在设计新型传感系 统中，提出二元光学的概念。 微光学，1969年出现于日本一本杂 志上。(特指：梯度折射率光线和微 小透镜) 二元光学元件以光的衍射为其工作 原理，采用计算机设计与微电子加 工技术在片基表面制作深度为亚微 米级、台阶形分布的纯相位元件。 微光学有两个主要分支：基于折射原理的梯度折射率光学 基于衍射原理的二元光学
什么是二元光学? 二元光学的特点 研究状况 发展趋势?
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二元光学概述
六十年代：
随着计算机制全息图以及相息图的发明和成功的制 作，引起了观念上的重大变革。 人们认识到应用这些新型的衍射光学元件，可方便 灵活的控制光路以实现多种光学功能，开辟光学系 灵活的控制光路以实现多种光学功能 开辟光学系 统设计的新天地。
传统光学
基于光波的折射和反射原理，利用透镜、反射镜和 棱镜等元件进行设计和实现各种光学功能。 衍射效应总是导致光学系统的分辨率受到限制，除 了光波的色散性质可应用于光谱学之外，传统光学 总是尽量的避免衍射效应造成的不利影响。
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七十年代：
在可见光和近红外光波段内制作具有高衍效的超精 细结构元件仍面临困难，因而限制了这些元件的应 用范围。 与此同时，微电子工业在制作技术方面也经历了一 场革命，光学和电子束制版以及干刻蚀技术逐渐发 展成熟，已成为制作精细结构元件的完善工具。
八十年代：
各种新型的加工制作方法不断涌现，能够制作高质 量和多功能的衍射光学元件。 随着元件尺寸的缩小，其精细结构周期可与波长相 比较时， 传统的衍射标量理论不再适用，促使了衍 射矢量理论的发展，极大地推动了衍射光学的发展。
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近年来：
更高级的设备 先进的制作技术 正确有效的理论模型 设计衍射光学元件的各种方法 由此一门新兴的光学分支——衍射光学应运而生，并已成为 二十一世纪光学中的前沿研究领域之一。
1984年，在美国国防部及空军的支持下，启动了一个名叫“二元光学” (binary optics) 的项目，极大地推动了衍射光学的发展。此后，衍射光学的研究日益活 跃。(美国喷气动力实验室、杜邦公司、亚利桑那光学中心；加拿大国家光学实 验室；德国爱尔兰根大学、爱森大学；俄罗斯西伯利亚研究所；日本东北大学； 瑞士Neuchatel大学；国内：中科院成都光电所、清华大学、中科院物理所、苏 州大学、深圳大学) 从1990年起，美国光学学会年会(OSA)和国际光学工程协会(SPIE)设有衍射光学 从1990年起 美国光学学会年会(OSA)和国际光学工程协会(SPIE)设有衍射光学 与二元光学专题讲座和衍射光学专题会议；美国和欧洲的重要光学杂志分别出版 衍射光学专集。作为一个新学科领域已经形成 1992年5月美国商业性杂志“ Photonics”刊登一篇专题文章：“衍射光学大量产 生新一代的产品和拥有数百万美元的市场”。表明：衍射光学产业正在形成
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二元光学技术
二元光学：是衍射光学的主要分支学科，是研究微 米、亚微米级特征尺寸光学元件的设计、 微细加工 技术及利用该元件以实现光束的发射、聚焦、传输、 成象、分光、图象处理、光计算等一系列功能的理 论和技术的学科，是光学与微电子、微计算机相互 融合、渗透而形成的前沿交叉学科。
是利用计算全息方法与大规模集成电路技术和微细加工技术 相结合，从而在任意片基材料上制作出位相深度为2pi的多 台阶微浮雕结构的衍射微光学元件，是一门新兴的前沿交叉 综合学科和高技术。
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二元光学的特点
体积小、重量轻、容易复制 衍射效率高 sin(π / L) η= ，其中：L = 2 N π /L
独特的色散性能
η
L=2 N
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更多的设计自由度
宽广的材料可选性
二元光学将二元浮雕面形转移到玻璃、电介质或金属基底上， 可用材料很多。
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二元光学的应用
能够实现特殊的光学功能 能够实现传统光学元件不能实现的光学波面 可以集成多种功能元件
微小光学系统中的微型元件 光学及神经网络计算、光学平行处理系统中的光互连元件 宽场及红外成象系统中的元件 光学滤波和材料加工系统中的衍射元件 抗反射和偏振态控制的亚波长光栅结构 光束整型、光束列阵发生器、微型光通信 光束整型 光束列阵发生器 微型光通信 外科医疗仪器中的双聚焦内窥透镜 光盘读出头的 NEC 衍射元件 能矫正色差畸变的 Redimax 热聚焦透镜 用于材料加工的高效能系列长寿命的CO2聚焦透镜
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像差较正——He-Ne激光聚焦校正器
像差较正—白内障病人眼球晶状体替代元件
3M公司的工作人员已对患白内障病人设计了替换眼球晶状 体的元件，但此种手术通常使用的是普通透镜，它们只能使 病人看见较近或较远的物体。
H e-Ne Laser N H e-Ne CO ZnSe
CO 2 Laser
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为解决这个问题，3M 公司传感器物理学家 J.Futhey 等在 普通透镜表面刻蚀二元光学元件，当光入射人眼时，二元光 普通透镜表面刻蚀二元光学元件 当光入射人眼时 二元光 学元件约把一半光线聚焦到视网膜表面，另一半聚焦到视网 膜内。眼睛和大脑能把注意力集中在某个焦点而忽视另一个 焦点，从而提供远近图象。用这种方法，二元光学透镜现已 植入 50 多个国家的几千名病人的眼中。
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多头激光划片机
利用二维Dammann光栅形成上百条平行光束,经过反射、折射 及微透镜聚焦后，形成多头激光束，对移动的工件进行划片 操作。（例如，用于太阳电池的划片切割，具有划片速度快、 切割损耗小、使用效率高的优点。） 下图为多头激光划片机原理图
6.9.3 二元光学元件的设计
方 法 分 析 射 场 的 衍 常 见
设计理论分为两大类：
标量衍射理论 适量衍射理论
优化方法分为： 优化方法分为
GS算法 杨顾算法 模拟退火 遗传算法
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二元光学的理论基础 模态理论 耦合波理论 等效均匀介质近似理论
二元光学一个重要的参数：衍射效率
6.9.4
二元光学元件的制作
二元光学元件是用大规模集成电路的光刻技术加工而成的二元化器件，其加工 主要有掩模制作技术，图形曝光技术和图形刻蚀技术组成。 二元光学技术未加工衍射光学元件提供了种有效方法，也为优化设计提供了一种 方法。
一个有效的设计和制作二元光学元件的方案： 个有效的设计和制作二元光学元件的方案
相位分布的光学设计， 通过CAD将阶梯相位分布转变成一组振幅图(光掩模) 经过平板复制、图样转印工艺 通过母板复制加工工艺加工出基板面浮雕。
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Mask 1
Mask 3
subs e substrate
Mask 2
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二元光学的未来
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