正态总体的常用抽样分布.

统计量及其抽样分布练习题

第六章 统计量及其抽样分布 练习题 一、填空题（共10题，每题2分，共计20分） 1．简单随机抽样样本均值X 的方差取决于_________和_________，要使X 的标准差降低到原来的50％，则样本容量需要扩大到原来的_________倍。 2. 设1217,,,X X X 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，则a =____________。 3．若(5)X t ，则2X 服从_______分布。 4．已知0.95(10,5) 4.74F =，则0.05(5,10)F 等于___________。 5．中心极限定理是说：如果总体存在有限的方差，那么，随着_________的增加，不论这个总体变量的分布如何，抽样平均数的分布趋近于_____________。 6. 总体分布已知时，样本均值的分布为_________抽样分布；总体分布未知，大样本情况下，样本均值的分布为_________抽样分布。 7. 简单随机样本的性质满足_________和_________。 8.若(2,4)X N ，查分布表，计算概率(X 3)P ≥=_________。若(X )0.9115P a ≤=，计算a =_________。 9. 若12~(0,2),~(0,2),X N X N 1X 与2X 独立，则2212X X +（）/2服从______分布。 10. 若~(16,4)X N ，则5X 服从___________分布。 二、选择题（共10题，每题1分，共计10分）

1．中心极限定理可保证在大量观察下 ( ) A ． 样本平均数趋近于总体平均数的趋势 B ． 样本方差趋近于总体方差的趋势 C ． 样本平均数分布趋近于正态分布的趋势 D. 样本比例趋近于总体比例的趋势 2．设随机变量()(1)X t n n >，则21/Y X =服从 ( ) 。 A. 正态分布 B.卡方分布 C. t 分布 D. F 分布 3．某品牌袋装糖果重量的标准是（500±5）克。为了检验该产品的重量是否符合标准，现从某日生产的这种糖果中随机抽查10袋，测得平均每袋重量为498克。下列说法中错误的是（ ） A. 样本容量为10 B .抽样误差为2 C. 样本平均每袋重量是统计量 D. 498是估计值 4．设总体均值为100，总体方差为25，在大样本情况下，无论总体的分布形式如何，样本平均数的分布都是服从或近似服从( ) A. (100/,25)N n B. N C. (100,25/)N n D. (100,N 5、设2(0,1),(5),X N Y χ且X 与Y 独立，则随机变量_________服从自由度为5的t 分布。 （ ） A. /X Y B. 5/Y X C. /X /

统计学第5-6章 正态分布、 统计量及其抽样分布知识分享

统计学第5-6章正态分布、统计量及其 抽样分布

第5-6章统计量及其抽样分布 5.1正态分布 5.1.1定义:当一个变量受到大量微小的、独立的随机因素影响时，这个变量一般服从正态分布或近似服从正态分布。 概率密度曲线图 例如：某个地区同年龄组儿童的发育特征：身高、体重、肺活量等某一条件下产品的质量 如果随机变量X的概率密度为 2 2 () 2 1 (), 2 x f x e x μ σ πσ -- =-∞<<∞ 则称X服从正态分布。 记做 2 (,) X Nμσ : ，读作：随机变量X服从均值为 μ ，方差为2 σ的正态分布 其中， μ -∞<<∞ ，是随机变量X的均值，0 σ>是是随机变量X 的标准差

5.1.2正态密度函数f(x)的一些特点： ()0 f x≥, 即整个概率密度曲线都在x轴的上方。 曲线 () f x相对于xμ =对称，并在xμ = 处达到最大值， 1 () 2 fμ πσ = 。 1 μ＜ 2 μ＜ 3 μ 曲线的陡缓程度由 σ 决定： σ 越大，曲线越平缓；σ越小，曲线越陡峭当 x 趋于无穷时，曲线以 x轴为其渐近线。 标准正态分布

当 0,1 μσ == 时， 2 2 1 () 2 x f x e π - = ， x -∞<<∞ 称 (0,1) N 为标准正态分布。 标准正态分布的概率密度函数： ()x ? 标准正态分布的分布函数： ()x Φ 任何一个正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布 设 2 (,) X Nμσ : ,则 (0,1) X Z N μ σ - =: 变量 2 11 (,) X Nμσ :与变量2 22 (,) Y Nμσ :相互独立,则有 22 1212 +(+,+) X Y Nμμσσ : 5.1.3 正态分布表：可以查的正态分布的概率值 ()1() x x Φ-=-Φ

抽样分布习题()

抽样分布习题 1.抽样分布是指（ C ） A 一个样本各观测值的分布 B 总体中各观测值的分布 C 样本统计量的分布 D 样本数量的分布 2.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的均值为（ A ）。 A μ B x C 2σ D n 2 σ 3.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的方差为（ D ）。 A μ B x C 2σ D n 2 σ 4.从一个均值μ=10，标准差σ=0.6的总体中随机选取容量为n=36的样本。假定该总体并不是很偏的，则样本均值x 小于 9.9的近似概率为（ A ）。 A 0.1587 B 0.1268 C 0.2735 D 0.6324 5.假设总体服从均匀分布，从此总体中抽取容量为36的样本，则样本均值的抽样分布（ B ） A 服从非正态分布 B 近似正态分布 C 服从均匀分布 D 服从2χ分布 6.从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4,16,36的样

本，当样本容量增大时，样本均值的标准差（ C ）A 保持不变 B 增加 C 减小D 无法确定 7. 总体均值为50，标准差为8，从此总体中随机抽取容量为64的样本，则样本均值的抽样分布的均值和标准误差分布为（ B ）。 A 50，8 B 50，1 C 50，4 D 8，8 8.某大学的一家快餐店记录了过去5年每天的营业额，每天营业额的均值为2500元，标准差为400元。由于在某些节日的营业额偏高，所以每日营业额的分布是右偏的，假设从这5年中随机抽取100天，并计算这100天的平均营业额，则样本均值的抽样分布是（ B ）。 A 正态分布，均值为250元，标准差为40元 B 正态分布，均值为2500元，标准差为40元 C 右偏分布，均值为2500元，标准差为400元 D 正态分布，均值为2500元，标准差为400元 9. 某班学生的年龄分布是右偏的，均值为22，标准差为4.45，如果采取重复抽样的方法从该班抽取容量为100的样本，则样本均值的抽样分布是（ A ） A 正态分布，均值为22，标准差为0.445 B 分布形状未知，均值为22，标准差为4.45

抽样分布习题与答案

第 4 章抽样分布自测题选择题 1.抽样分布是指（） A. 一个样本各观测值的分布C. 样本统计量的分布 B. 总体中各观测值的分布D. 样本数量的分布 2.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的均值为（） 2 A. B. x C.2 D. n 3.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的方差为（） 2 A. B.x C.2 D. n 4.从均值为，方差为2 n 的样本，则（）的任意一个总体中抽取大小为 A.当 n 充分大时，样本均值x 的分布近似服从正态分布 B.只有当 n<30 时，样本均值x的分布近似服从正态分布 C.样本均值 x 的分布与n无关 D. 无论 n 多大，样本均值x 的分布都是非正态分布 5.假设总体服从均匀分布，从该总体中抽取容量为 36 的样本，则样本均值的抽样分布（） A. 服从非正态分布 B. 近似正态分布 C. 服从均匀分布 D. 服从 2 分布 6. 从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4,16,36的样本，则当样本容量增大时，样 本均值的标准差（） A. 保持不变 B. 增加 C.减小 D.无法确定 7. 某大学的一家快餐店记录了过去 5 年每天的营业额，每天营业额的均值为2500 元，标准差为 400 元。由于在某些节日的营业额偏高，所以每日营业额的分布是右偏的，假设从这5年中随机抽取100 天，并计算这100 天的平均营业额，则样本均值的抽样分布是（） A. 正态分布，均值为250 元，标准差为40 元 B. 正态分布，均值为2500 元，标准差为40 元 C.右偏，均值为2500 元，标准差为400 元 D. 正态分布，均值为2500 元，标准差为400 元 8. 在一个饭店门口等待出租车的时间是左偏的，均值为12 分钟，标准差为 3 分钟。如果从饭店门口随机抽取 81 名顾客并记录他们等待出租车的时间，则样本均值的抽样分布是（） A. 正态分布，均值为12 分钟，标准差为0.33 分钟 B. 正态分布，均值为12 分钟，标准差为 3 分钟 C. 左偏分布，均值为12 分钟，标准差为 3 分钟

二项分布与正态分布

第七章假设检验 第一节二项分布 二项分布的数学形式·二项分布的性质 第二节统计检验的基本步骤 建立假设·求抽样分布·选择显著性水平和否定域·计算检验统计量·判定第三节正态分布 正态分布的数学形式·标准正态分布·正态分布下的面积·二项分布的正态近似法 第四节中心极限定理 抽样分布·总体参数与统计量·样本均值的抽样分布·中心极限定理 第五节总体均值和成数的单样本检验 σ已知，对总体均值的检验·学生t分布(小样本总体均值的检验)·关于总体成数的检验 一、填空 1．不论总体是否服从正态分布，只要样本容量n足够大，样本平均数的抽样分布就趋于（）分布。 2．统计检验时，被我们事先选定的可以犯第一类错误的概率，叫做检验的( )，它决定了否定域的大小。 3．假设检验中若其他条件不变，显著性水平的取值越小，接受原假设的可能性越（），原假设为真而被拒绝的概率越（）。 4．二项分布的正态近似法，即以将B(x；n，p)视为（)查表进行计算。 5．已知连续型随机变量X～N(0,1)，若概率P{X ≥λ}=0.10，则常数λ=（）。 6．已知连续型随机变量X～N(2,9)，函数值 9772 .0 )2( = Φ ，则概率 }8 {< X P= （）。 二、单项选择 1．关于学生t分布，下面哪种说法不正确（）。 A 要求随机样本 B 适用于任何形式的总体分布 C 可用于小样本 D 可用样本标准差S代替总体标准差σ 2．二项分布的数学期望为（）。 A n(1-n)p B np(1- p) C np D n(1- p)。 3．处于正态分布概率密度函数与横轴之间、并且大于均值部分的面积为（）。 A 大于0.5 B －0.5 C 1 D 0.5。

03 第三节 正态总体的抽样分布

第三节 正态总体的抽样分布 分布图示 ★ 抽样分布 ★ 单正态总体的抽样分布 ★ 例 1 ★ 例 2 ★ 例 3 ★ 双正态总体的抽样分布 ★ 例 4 ★ 例 5 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题12-3 内容要点 一、抽样分布 有时, 总体分布的类型虽然已知, 但其中含有未知参数,此时需对总体的未知参数或对总体的重要数字特征(如数学期望、分差等) 进行统计推断, 此类问题称为参数统计推断.在参数统计推断问题中, 常需利用总体的样本构造出合适的统计量, 并使其服从或渐近地服从已知的总体分布. 统计学中泛称统计量分布为抽样分布. 二、单正态总体的抽样分布 设总体X 的均值μ,方差为2σ,n X X X ,,,21 是取自X 的一个样本,X 与2S 分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有 ,)(,)(2σμ==X D X E )(2S E .2 σ= 定理1 设总体),,(~2σμN X n X X X ,,,21 是取自X 的一个样本, X 与2S 分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有 (1) )/,(~2n N X σμ; (2) ).1,0(~/N n X U σμ-= 定理2 设总体),,(~2σμN X n X X X ,,,21 是取自X 的一个样本, X 与2S 分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有 (1) 2χ=);1(~)(1 1 212222--=-∑=n X X S n n i i χσσ (2) X 与2S 相互独立. 定理3 设总体),,(~2σμN X n X X X ,,,21 是取自X 的一个 样本, X 与2S 分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有 (1) )(~)(121222n X n i i χμσχ∑=-= (2) ).1(~/--=n t n S X T μ 三、双正态总体的抽样分布 定理 4 设),(~211σμN X 与),(~222σμN Y 是两个相互独立的正态总体, 又设 1 ,,,21n X X X 是取自总体X 的样本, X 与21S 分别为该样本的样本均值与样本方差. 2 ,,,21n Y Y Y 是取自总体Y 的样本, Y 与22S 分别为此样本的样本均值与样本方差. 再记2w S 是21S 与22 S 的加权平均, 即

正态总体下的四大分布

《概率论与数理统计》第六章样本及抽样分布 （2）正态总体下的四大分布：正态分布 设n x x x ,,,21 为来自正态总体),(2 σ μN 的一个样本，则样本函数 ). 1,0(~/N n x u def σμ -例：设总体ξ～2 12(1,2 ),,,n N ξξξ 且是取自ξ的样本，则（ D ） A) 1(0,1) 2 N ξ-B) 1(0,1) 4N ξ-C) ( ) 1(0,1) 2 N ξ-D ) (0,1) N ξt 分布 设n x x x ,,,21 为来自正态总体),(2 σ μN 的一个样本，则样本函数), 1(~/--n t n s x t def μ其中t(n-1)表示自由度为n-1的t 分布。 分布 2χ设n x x x ,,,21 为来自正态总体),(2 σ μN 的一个样本，则样本函数 ), 1(~)1(22 2 --n S n w def χσ其中)1(2 -n χ 表示自由度为n-1的2χ 分布

例:已知F 0.1(7,20)=2.04,则F 0.9(20,7)=_______0.4902_____. 例.对于给定的正数α，10<<α ，设αu ，)(2 n α χ，)(n t α，),(21n n F α分别是)1,0(N ，)(2n χ，)(n t ，),(21n n F 分布的下α 分位数，则下面结论中不正确．．． 的是（B ） （A）α α --=1u u （B）) () (2 2 1n n ααχχ-=-（C）) ()(1n t n t αα--=（D）) ,(1 ) ,(12211n n F αα= -2、设X 、Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则Z = 2 Y X 服从______t(1)_____分布(同时要写出 分 布的参数). 3.设ξ和η相互独立且都服从N(0,4)，而41,ξξ 和41,ηη 分别是来自总体ξ和η的样本，则统计量2 4 2 141......ηηξξ++++= U 服从的分布为 ) 4(t 。

习题六 样本及抽样分布.

习题六样本及抽样分布 一、填空题 1．设来自总体的一个样本观察值为：2.1，5.4，3.2，9.8，3.5，则样本均值 = 4.8 ，样本方差 =； 2．在总体中随机地抽取一个容量为 36 的样本，则均值落在4与6之间的概率 = 0.9332 ； 3．设某厂生产的灯泡的使用寿命 (单位:小时，抽取一容量为9的样本，得到 ，则； 4．设为总体的一个样本，则 0.025 ； 5．设为总体的一个样本，且服从分布，这里， ，则1/3 ； 6．设随机变量相互独立，均服从分布且与分别是来自总体的简单随机样本，则统计量服从参数为 9 的 t 分布。 7．设是取自正态总体的简单随机样本且 ，则 0.05 ， 0.01 时，统计量服从分布，其自由度为 2 ；

8．设总体 X 服从正态分布,而是来自总体的简单随机样 本，则随机变量 服从 F 分布，参数为 10,5 ； 9．设随机变量则 F(n,1 ； 10．设随机变量且，A为常数，则 0.7 二、选择题 1．设是来自总体的简单随机样本，是样本均值， 记 则服从自由度的分布的随机变量是（ A ）； A． B． C． D． 2．设是经验分布函数，基于来自总体的样本，而是总体的分布函数，则下列命题错误的为，对于每个给定的（ B ） A．是分布函数 B．依概率收敛于 C．是一个统计量 D．其数学期望是

3．设总体服从0－1分布，是来自总体的样本，是样本均值，则下列各选项中的量不是统计量的是（ B ） A． B． C． D． 4．设是正态总体的一个样本，其中已知而未知，则下列各选项中的量不是统计量的是（ C ）。 A． B． C． D． 5．设和分别来自两个正态总体和的样本，且相互独立，分别为两个样本的样本方差，则服从的统计量是（ B ） A． B． C． D． 6．设是正态总体的一个样本，和分别为样本均值和样本方差，则下面结论不成立的有（ D ） A．相互独立； B．与相互独立； C．与相互独立D．与相互独立。

与正态总体有关的抽样分布定理证明

定理：设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的一个随机样本，记 1 n i i X X n == ∑，2 2 1 ()n i i X X S n =-= ∑ 则有如下性质存在： （1）2 ~, X N n σμ?? ?? ? （2） 2 22 ~(1)nS n χσ - （3 ~(1)X t n - 证明： （1） 已知 ..212,, ,~(,)i i d n X X X N μσ 根据正态分布的性质有 212~(,)n X X X N n n μσ++ + 样本均值为 12n X X X X n ++ += 它的抽样分布为 2~(,)X N μσ （2） 对样本12,, ,n X X X 进行正交变换 Z AX = 其中()12,, ,n X X X X '=，()12,,,n Z Z Z Z '=，A 为正交矩阵

00 A n ?? ? ? ? ? ? = ? ? - ? ? ? ? ? 正交变换之后， i Z，1,2,, i n =相互独立，且 2 112 ~ (0,) Z X X Nσ = 2 2123 ~(0,) Z X X X Nσ =+ 2 112 ~(0,) ( n n Z X X X N n n σ- =++- ? 2 12 ~,) n n Z X X X N n σ =++ 即正交变换之后 2 ~(0,) i Z Nσ，1,2,,1 i n =- 2 ~,) n Z Nσ 由 i Z相互独立，且2 ~(0,) i Z Nσ，1,2,,1 i n =-，推导出 ~(0,1) i Z N σ ，1,2,,1 i n =- 标准正态分布的平方和服从2 χ分布，即有 1 2 2 1 2 ~(1) n i i Z n χ σ - =- ∑ 又因为

统计学第5-6章 正态分布、 统计量及其抽样分布讲解学习

第5-6章 统计量及其抽样分布 5.1正态分布 5.1.1定义:当一个变量受到大量微小的、独立的随机因素影响时，这个变量一般服从正态分布或近似服从正态分布。 概率密度曲线图 例如：某个地区同年龄组儿童的发育特征：身高、体重、肺活量等 某一条件下产品的质量 如果随机变量X 的概率密度为 22 ()21 (),2x f x e x μσπσ --=-∞<<∞ 则称X 服从正态分布。 记做 2 (,)X N μσ:，读作：随机变量X 服从均值为μ，方差为2 σ的正态分布 其中， μ-∞<<∞，是随机变量X 的均值，0σ>是是随机变量X 的标准差 5.1.2正态密度函数f(x)的一些特点： ()0f x ≥,即整个概率密度曲线都在x 轴的上方。 曲线 ()f x 相对于x μ=对称，并在 x μ=处达到最大值，

1 () 2 fμ πσ = 。 1 μ＜ 2 μ＜ 3 μ 曲线的陡缓程度由 σ 决定：σ越大，曲线越平缓；σ越小，曲线越陡峭当 x 趋于无穷时，曲线以x轴为其渐近线。 标准正态分布 当 0,1 μσ == 时， 2 2 1 () 2 x f x e π - = ， x -∞<<∞ 称 (0,1) N 为标准正态分布。

标准正态分布的概率密度函数： ()x ? 标准正态分布的分布函数： ()x Φ 任何一个正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布 设 2 (,) X Nμσ : ,则 (0,1) X Z N μ σ - =: 变量 2 11 (,) X Nμσ :与变量2 22 (,) Y Nμσ :相互独立,则有 22 1212 +(+,+) X Y Nμμσσ : 5.1.3 正态分布表：可以查的正态分布的概率值()1() x x Φ-=-Φ 例：设 (0,1) X N :，求以下概率 （1） ( 1.5) P X< (2) (2) P X> (3) (13) P X -<≤

习题六__样本及抽样分布解答

样本及抽样分布 一、填空题 1．设来自总体X 的一个样本观察值为：2.1，5.4，3.2，9.8，3.5，则样本均值 = 4.8 ，样本方差 =22.716； 2．在总体~(5,16)X N 中随机地抽取一个容量为 36 的样本，则均值X 落在4与6之间的概率 = 0.9332 ； 4．设127,,...,X X X 为总体2 ~(0,0.5)X N 的一个样本，则7 21(4)i i P X =>=∑ 0.025 ； 5．设126,,...,X X X 为总体~(0,1)X N 的一个样本，且cY 服从2χ分布，这里， 22123456()()Y X X X X X X =+++++，则c =1/3 ； 6．设随机变量,X Y 相互独立，均服从2(0,3)N 分布且129,,...,X X X 与129,,...,Y Y Y 分别是来自总体,X Y 的简单随机样本，则统计量U =服从参数为 9 的 t 分布。 7．设1234,,,X X X X 是取自2~(0,2)X N 正态总体的简单随机样本且 22!234(2)(34),Y a X X b X X =-+-，则a = 0.05 ，b = 0.01 时，统计量Y 服从 2χ分布，其自由度为 2 ； 8．设总体 X 服从正态分布2~(0,2)X N ,而1215,,...,X X X 是来自总体的简单随机 样本，则随机变量 22 110 22 1115...2(...) X X Y X X ++=++服从 F 分布，参数为 10,5 ； 9．设随机变量21 ~()(1),,X t n n Y X >= 则~Y F(n,1) ； 10．设随机变量~(,)X F n n 且()0.3P X A >=，A 为常数，则1 ()P X A > = 0.7 14 设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布)3,0(2 N ，而91,,X X 和91,,Y Y 分别是来自总体X 和Y 简单随机样本，则统计量29 2 1 91Y Y X X U ++++= 服从 分布。t (9)

讲概率分布和抽样分布

Stata软件基本操作和数据分析入门 第三讲概率分布和抽样分布 赵耐青 概率分布累积函数 1.标准正态分布累积函数norm(X) 2.t分布右侧累积函数ttail(df，X) ，其中df是自由度 3.χ2分布累积函数chi2(df，X) ，其中df是自由度 4.χ2分布右侧累积函数chi2tail(df，X) ，其中df是自由度 5.F分布累积函数F(df1，df2，X)，df1为分子自由度，df2为分母 自由度 6.F分布右侧累积函数F(df1，df2，X)，df1为分子自由度，df2为 分母自由度 累积函数的计算使用 正态分布计算 X服从N(0,1)，计算概率P(X<1.96) display 可简写为di，如：di norm(1.96)，同样可以得到上述结果。X服从N(0,1)，计算概率P(X>1.96)，则 X服从N(μ,σ2)，则~(0,1) =，因此对其他正态分布只要在函 Y N σ

数括号中插入一个上述表达式就可以得到相应概率。 例如：X服从N(100,62)，计算概率P(X<111.76)，则操作如下 又如X服从N(100,62)，计算概率P(X>90)，操作如下 χ2分布累积概率计算 设X服从自由度为1的χ2分布，计算概率P(X>3.84)，则操作如下 设X服从自由度为3的χ2分布，计算概率P(X<5)，则操作如下 χ2分布右侧累积概率计算 设X服从自由度为1的χ2分布，计算概率P(X>3.84)，则操作如下 设X服从自由度为3的χ2分布，计算概率P(X<5)，则操作如下

t分布右侧累积概率计算 设t服从自由度为10的t分布，计算概率P(t>2.2)，操作如下 设t服从自由度为10的t分布，计算概率P(t<－2)，操作如下 F分布累积概率计算 设F服从F(3,27)，计算概率P(F<1)，操作如下： 设F服从F(4,40)，计算概率P(F>3)，操作如下： F分布右侧累积概率计算 设F服从F(3,27)，计算概率P(F<1)，操作如下： 设F服从F(4,40)，计算概率P(F>3)，操作如下：

抽样分布习题及答案

第4章 抽样分布自测题 选择题 1.抽样分布是指（ ） A. 一个样本各观测值的分布 B. 总体中各观测值的分布 C. 样本统计量的分布 D. 样本数量的分布 2.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的均值为（ ） A. μ B. x C. 2σ D. n 2 σ 3. 根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的方差为（ ） A. μ B. x C. 2 σ D. n 2σ 4. 从均值为μ，方差为2σ的任意一个总体中抽取大小为n 的样本，则（ ） A. 当n 充分大时，样本均值x 的分布近似服从正态分布 B. 只有当n<30时，样本均值x 的分布近似服从正态分布 C. 样本均值x 的分布与n 无关 D. 无论n 多大，样本均值x 的分布都是非正态分布 5. 假设总体服从均匀分布，从该总体中抽取容量为36的样本，则样本均值的抽样分布（ ） A. 服从非正态分布 B. 近似正态分布 C. 服从均匀分布 D. 服从2 χ分布 6. 从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4,16,36的样本，则当样本容量增大时，样本均值的标准差（ ） A. 保持不变 B. 增加 C.减小 D.无法确定 7. 某大学的一家快餐店记录了过去5年每天的营业额，每天营业额的均值为2500元，标准差为400元。由于在某些节日的营业额偏高，所以每日营业额的分布是右偏的，假设从这5年中随机抽取100天，并计算这100天的平均营业额，则样本均值的抽样分布是（ ） A. 正态分布，均值为250元，标准差为40元 B. 正态分布，均值为2500元，标准差为40元 C.右偏，均值为2500元，标准差为400元 D. 正态分布，均值为2500元，标准差为400元 8. 在一个饭店门口等待出租车的时间是左偏的，均值为12分钟，标准差为3分钟。如果从饭店门口随机抽取81名顾客并记录他们等待出租车的时间，则样本均值的抽样分布是（ ） A. 正态分布，均值为12分钟，标准差为0.33分钟 B. 正态分布，均值为12分钟，标准差为3分钟 C. 左偏分布，均值为12分钟，标准差为3分钟

正态总体的抽样分布 (精简版)

正态总体的抽样分布 （一）2 χ分布 设12,,,n X X X L 是来自标准正态总体的样本，则 222212()n X X X n χ+++L : 其中2()n χ分布的概率密度为 12221, 0()2()20, Γn y n y e y n f y --?>??=????其他 图形：见课本第139页图6-7。 2χ分布的性质： （1）可加性： 2221212+ ()n n χχχ+: （2）2 ()n χ分布的期望=n 和方差=2n 记忆练习： 记忆2()n χ分布的概率密度。建议抄写若干遍，直到熟悉为止。

设2 (0,1), ()X N Y n χ::相互独立， 则 ()t n : 其中t (n )分布的概率密度为 1221()2()1, ()2 Γn n t h t t n n +-+??=+-∞<<∞ ??? 图形：对称的。当n 足够大时，近似于标准正态分布。 性质： t (n )分布的极限是标准正态分布。 记忆练习： 记忆()t n 分布的概率密度。

设2212(), ()U n V n χχ::，则 1122 /(,)/U n F n n V n : 其中12(,)F n n 分布的概率密度为 11 121 121222 1212 2 ()()2, >0()()()[1] 220, ΓΓΓn n n n n n n y n y y n n n y n ψ-+?+???=?+????其他 图形：与2χ分布的密度曲线类似。 记忆练习： 记忆12(,)F n n 分布的概率密度。

（四）正态总体样本均值与样本方差的分布 设12,,,n X X X L 是来自正态总体2 (,)N μσ 的样本。 该样本的均值和方差为 1 1n i i X X n ==∑ 22 221111()()11n n i i i i S X X X X n n ===-=---∑∑ 关于X 和2S 需牢记如下5个重要结论： 1. 2(,/)X N n μσ: 2. 2 22(1)(1)n S n χσ--: 3. X 与2S 相互独立。 4. (1)X t n -: 5. 设112,,,n X X X L 和212,,,n Y Y Y L 分别是正态总体211(,)N μσ和222(,)N μσ的 样本，且这两个样本相互独立，则 2212122212 /(1,1)/S S F n n σσ--: 其中22 12,S S 分别为上述两个样本的方差。 记忆练习： 记忆1,2，4,5等结论中的统计量及其分布，例如结论1中的关系式2(,/)X N n μσ:。

统计量及其抽样分布习题答案

第六章 统计量及其抽样分布 6.1 调节一个装瓶机使其对每个瓶子的灌装量均值为μ盎司，通过观察这台装瓶机对每个瓶子的灌装量服从标准差 1.0σ=盎司的正态分布。随机抽取由这台机器灌装的9个瓶子形成一个样本，并测定每个瓶子的灌装量。试确定样本均值偏离总体均值不超过0.3盎司的概率。 解：总体方差知道的情况下，均值的抽样分布服从( )2 ,N n σμ的正态分布，由正态分布，标准化得到 标准正态分布：x ()0,1N ，因此，样本均值不超过总体均值的概率P 为： ()0.3P x μ-≤=P ??≤ ?=x P ?? ≤≤ =()0.90.9P z -≤≤=2()0.9φ-1，查标准正态分布表得()0.9φ=0.8159 因此，()0.3P x μ-≤=0.6318 6.2 () 0.3P Y μ-≤=P ??≤ ? =x P ?? ≤≤ =(||P z ≤=(21φ-=0.95 查表得： 1.96= 因此n=43 6.3 1Z ，2Z ，……，6Z 表示从标准正态总体中随机抽取的容量，n=6的一个样本，试确定常数b ，使 得6210.95i i P Z b =?? ≤= ??? ∑ 解：由于卡方分布是由标准正态分布的平方和构成的： 设Z 1，Z 2，……，Z n 是来自总体N (0,1)的样本，则统计量 2 2 2 2 12χ=+++ n Z Z Z 服从自由度为n 的χ2分布，记为χ2～ χ2（n ） 因此，令6 2 21 i i Z χ== ∑，则()6 2 22 1 6i i Z χ χ== ∑ ，那么由概率6210.95i i P Z b =?? ≤= ??? ∑，可知： b=()210.956χ-，查概率表得：b=12.59 6.4 在习题6.1中，假定装瓶机对瓶子的灌装量服从方差21σ=的标准正态分布。假定我们计划随机抽取10个瓶子组成样本，观测每个瓶子的灌装量，得到10个观测值，用这10个观测值我们可以求出样本方差2 2 2 1 1 (())1 n i i S S Y Y n == --∑，确定一个合适的范围使得有较大的概率保证 S 2落入其中是有用的， 试求b 1，b 2，使得 2 12()0.90p b S b ≤≤= 解：更加样本方差的抽样分布知识可知，样本统计量： 2 2 2 (1) ~(1) n s n χσ -- 此处，n=10，21σ=，所以统计量 2 2 22 2 (1)(101)9~(1)1 n s s s n χσ--= =- 根据卡方分布的可知： ()()2 2 12129990.90P b S b P b S b ≤≤=≤≤= 又因为：

统计学第5-6章正态分布、统计量及其抽样分布

第5-6章统计量及其抽样分布 正态分布 5.1.1定义:当一个变量受到大量微小的、独立的随机因素影响时，这个变量一般服从正态分布或近似服从正态分布。 概率密度曲线图 例如：某个地区同年龄组儿童的发育特征：身高、体重、肺活量等某一条件下产品的质量 如果随机变量X的概率密度为 2 2 () 2 1 (), 2 x f x e x μ σ πσ -- =-∞<<∞ 则称X服从正态分布。 记做 2 (,) X Nμσ ，读作：随机变量X服从均值为 μ ，方差为2 σ的正态分布 其中， μ -∞<<∞ ，是随机变量X的均值， σ>是是随机变量X的标准差 5.1.2正态密度函数f(x)的一些特点： ()0 f x≥,即整个概率密度曲线都在x轴的上方。 曲线 () f x相对于xμ =对称，并在xμ = 处达到最大值，

1 () 2 fμ πσ = 。 1 μ＜ 2 μ＜ 3 μ 曲线的陡缓程度由 σ 决定：σ越大，曲线越平缓；σ越小，曲线越陡峭当 x 趋于无穷时，曲线以x轴为其渐近线。 标准正态分布 当 0,1 μσ == 时， 2 2 1 () 2 x f x e π - = ， x -∞<<∞ 称 (0,1) N 为标准正态分布。

标准正态分布的概率密度函数： ()x ? 标准正态分布的分布函数： ()x Φ 任何一个正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布 设 2 (,) X N μσ ,则 (0,1) X Z N μ σ - = 变量 2 11 (,) X Nμσ与变量2 22 (,) Y Nμσ相互独立,则有 22 1212 +(+,+) X Y Nμμσσ 5.1.3 正态分布表：可以查的正态分布的概率值 ()1() x x Φ-=-Φ 例：设 (0,1) X N，求以下概率 （1） ( 1.5) P X< (2) (2) P X> (3) (13) P X -<≤