数学百大经典例题——离散型随机变量分布列(新课标)

耗用子弹数的分布列

例 某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．

分析：确定ξ取哪些值以及各值所代表的随机事件概率，分布列即获得．

解：本题要求我们给出耗用子弹数ξ的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以ξ的取值只有1，2，3，4，5．当1=ξ时，即9.0)1(==ξP ；当2=ξ时，要求第一次没射中，第二次射中，故09.09.01.0)2(=?==ξP ；同理，3=ξ时，要求前两次没有射中，第三次射中，009.09.01.0)3(2=?==ξP ；类似地，0009.09.01.0)4(3=?==ξP ；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以41.0)5(==ξP ，所以耗用子弹数ξ的分布列为：

说明：搞清5=ξ的含义，防止这步出错．5=ξ时，可分两种情况：一是前4发都没射中，恰第5发射中，概率为0.14×0.9；二是这5发都没射中，概率为0.15，所以，

5

41.09.01.0)5(+?==ξP ．当然，

5

=ξ还有一种算法：即

0001.0)0009.0009.009.09.0(1)5(=+++-==ξP ．

独立重复试验某事件发生偶数次的概率

例 如果在一次试验中，某事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这件事A 发生偶数次的概率为________．

分

析

：

发

生

事

件

A

的

次

数

()

p n B ,~ξ，所以，

),,2,1,0,1(,)(n k p q q p C k p k

n k k n =-===-ξ其中的k 取偶数0，2，4，…时，为二项式

n q p )(+ 展开式的奇数项的和，由此入手，可获结论．

解：由题，因为

()p n B ,~ξ且ξ取不同值时事件互斥，所以，

[][]

n n n n n n n n n p p q p q q p C q p C q p C P P P P )21(12

1

)()(21)4()2()0(4

4422200-+=-++=

+++=+=+=+==-- ξξξ．

（因为1=+q p ，所以p p q 21-=-）

说明：如何获得二项展开式中的偶数次的和？这需要抓住n p q )(+与n p q )(-展开式的特点：联系与区分，从而达到去除p 奇次，留下p 偶次的目的．

根据分布列求随机变量组合的分布列

例 已知随机变量ξ 的分布列为

分别求出随机变量221,2ξ η ξ η ==

的分布列． 解： 由于ξ η 211

=对于不同的ξ 有不同的取值x y 2

1=，即2

321,121,2121,021,2121,1216

65544332211========-==-==x y x y x y x y x y x y ，所以1η 的分布列为

2

2

ξ η =对于ξ 的不同取值－2，2及－1，1，2η 分别取相同的值4与1，即2η 取4这个值的概率应是ξ 取－2与2值的概率121与12

2

合并的结果，2η 取1这个值的概率就是ξ 取－1与1值的概率

123与12

1

合并的结果，故2η 的分布列为

说明：在得到的1η 或2η 的分布列中，1η 或2η 的取值行中无重复数，概率得中各项必须非负，且各项之和一定等于1．

成功咨询人数的分布列

例 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为

4

3

，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数ξ的分布列．

分析：3个人各做一次试验，看成三次独立重复试验，拨通这一电话的人数即为事件的发生次数ξ，故符合二项分布．

解：由题：??? ??43,3~B ξ，所以3,2,1,0,4143)(33=??

? ????? ??==-k C k P k

k k ξ，分布列为

说明：次独立重复实验中，以事件发生的次数ξ为随机变量．

盒中球上标数于5关系的概率分布列

例 盒中装有大小相等的球10个，编号分别为0，1，2，…，9，从中任取1个，观察号码是“小于5”“等于5”“大于5”三类情况之一．规定一个随机变量，并求其概率分布列．

分析：要求其概率的分布列可以先求个小球所对应的概率．

解：分别用321,,x x x 表示题设中的三类情况的结果：1x 表示“小于5”的情况，2x 表示“等于5”的情况，3x 表示“大于5”的情况．

设随机变量为ξ ，它可能取的值为ξ ,,,321x x x 取每个值的概率为 P

x P ==)(1ξ （取出的球号码小于5）＝105

，

P x P ==)(2

ξ （取出的球号码等于5）＝101

， P x P ==)(3

ξ （取出的球号码大于5）＝10

4

． 故ξ 的分布列为

小结：布列是很重要的，但是我们不能保证它的准确性，这时我们要注意运算的准确性外，还可以

利用

11

=∑=n

i i

p

进行检验．

求随机变量的分布列

例 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ 的分布列．

分析：由于任取三个球，就不是任意排列，而要有固定的顺序，其中球上的最大号码只有可能是3，4，5，可以利用组合的方法计算其概率．

解：随机变量ξ 的取值为3，4，5．

当ξ ＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他二球的编号只能是1，2，故有

;101C C )3(35

23

===ξ P

当ξ ＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他二球只能在编号为1，2，3的3球中取2个，故有

;103C C )4(35

2

3

===ξ P

当ξ ＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他二球只能在编号为1，2，3，4的4球中取2个，故有

.53

106C C )5(3

5

2

3====ξ P 因此，ξ 的分布列为

说明：对于随机变量ξ 取值较多或无穷多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．

取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列

例 一批零件中有9个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批零件中任取一个．如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列．

分析：取出不合格品数的可能值是0，1，2，3，从而确定确定随机变量的可能值．

解：以ξ 表示在取得合格品以前取出的不合格品数，则ξ 是一个随机变量，由题设ξ 可能取的数值是0，1，2，3．

当ξ ＝0时，即第一次就取到合格品，其概率为

;750.012

3

)0(==

=ξ P 当ξ ＝1时，即第一次取得不合格品，不放回，而第二次就取得合格品，其概率为

;204.011

9

123)1(≈?=

=ξ P 当ξ ＝2时，即第一、二次取得不合格品，不放回，第三次取得合格品，其概率为

;041.011

9

112123)2(≈??=

=ξ P 当ξ ＝3时，即第一、二、三次均取得不合格品，而第四次取得合格品，其概率为

.005.09

9

101112123)3(≈???=

=ξ P 所以ξ 的分布列为

说明：一般分布列的求法分三步：（1）首先确定随机变量ξ的取值哟哪些；（2）求出每种取值下的随机事件的概率；（3）列表对应，即为分布列．

关于取球的随机变量的值和概率

例 袋中有1个红球，2个白球，3个黑球，现从中任取一球观察其颜色．确定这个随机试验中的随机变量，并指出在这个随机试验中随机变量可能取的值及取每个值的概率．

分析：随机变量变量是表示随机试验结果的变量，随机变量的可能取值是随机试验的所有可能的结果组成．

解： 设集合},,{321x x x M =，其中1x 为“取到的球为红色的球”，2x 为“取到的球为白色的球”，3x 为“取到的球为黑色的球”

． 我们规定：)3,2,1()(===i i x i ξ ξ ，即当i x x =时，i x

=)(ξ ，这样，我们确定)(x ξ 就是一个随机变量，它的自变是量x 取值不是一个实数，而是集合M 中的一个元素，即M x ∈，

而随机变量ξ 本身的取值则为1，2，3三个实数，并且我们很容易求得ξ 分别取1，2，3三个值的概率，即

.2

1

63)3(,3162)2(,61)1(========ξ ξ ξ P P P

说明：确定随机变量的取值是根据随机试验的所有可能的结果．