迭代算法
迭代是数值分析中通过从一个初始估计出发寻找一系列近似解来解决问题(一般是解方程或者方程组)的过程,为实现这一过程所使用的方法统称为迭代法(Iterative Method)。
跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法),即一次性解决问题,例如通过开方解决方程x= 4。一般如果可能,直接解法总是优先考虑的。但当遇到复杂问题时,特别是在未知量很多,方程为非线性时,我们无法找到直接解法(例如五次以及更高次的代数方程没有解析解,参见阿贝耳定理),这时候或许可以通过迭代法寻求方程(组)的近似解。
最常见的迭代法是牛顿法。其他还包括最速下降法、共轭迭代法、变尺度迭代法、最小二乘法、线性规划、非线性规划、单纯型法、惩罚函数法、斜率投影法、遗传算法、模拟退火等等。
利用迭代算法解决问题,需要做好以下三个方面的工作:
确定迭代变量
在可以用迭代算法解决的问题中,至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量,这个变量就是迭代变量。
建立迭代关系式
所谓迭代关系式,指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系)。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键,通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
对迭代过程进行控制
在什么时候结束迭代过程?这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况:一种是所需的迭代次数是个确定的值,可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况,可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况,需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。
举例
例 1 :一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子,这种兔子从出生的下一个月开始,每月新生一只兔子,新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去,问到第 12 个月时,该饲养场共有兔子多少只?
分析:这是一个典型的递推问题。我们不妨假设第 1 个月时兔子的只数为 u 1 ,第 2 个月时兔子的只数为 u 2 ,第 3 个月时兔子的只数
为 u 3 ,……根据题意,“这种兔子从出生的下一个月开始,每月新生一只兔子”,则有
u 1 = 1 , u 2 = u 1 +u 1 × 1 = 2 , u 3 = u 2 + u 2 × 1 = 4 ,……
根据这个规律,可以归纳出下面的递推公式:
u n = u( n - 1 )× 2 (n ≥ 2)
对应 u n 和 u( n - 1 ),定义两个迭代变量 y 和 x ,可将上面的递推公式转换成如下迭代关系:
y=x*2
x=y
让计算机对这个迭代关系重复执行 11 次,就可以算出第 12 个月时的兔子数。参考程序如下:
cls
x=1
for i=2 to 12
y=x*2
x=y
next i
print y
end
例 2 :阿米巴用简单分裂的方式繁殖,它每分裂一次要用 3 分钟。将若干个阿米巴放在一个盛满营养参液的容器内, 45 分钟后容器内充满了阿米巴。已知容器最多可以装阿米巴 220,220个。试问,开始的时候往容器内放了多少个阿米巴?请编程序算出。
分析:根据题意,阿米巴每 3 分钟分裂一次,那么从开始的时候将阿米巴放入容器里面,到 45 分钟后充满容器,需要分裂 45/3=15 次。而“容器最多可以装阿米巴2^ 20 个”,即阿米巴分裂 15 次以后得到的个数是 2^20 。题目要求我们计算分裂之前的阿米巴数,不妨使用倒推的方法,从第 15 次分裂之后的 2^20 个,倒推出第 15 次分裂之前(即第 14 次分裂之后)的个数,再进一步倒推出第 13 次分裂之后、第 12 次分裂之后、……第 1 次分裂之前的个数。
设第 1 次分裂之前的个数为 x 0 、第 1 次分裂之后的个数为 x 1 、第 2 次分裂之后的个数为 x 2 、……第 15 次分裂之后的个数为 x 15 ,则有
x 14 =x 15 /2 、 x 13 =x 14 /2 、…… x n-1 =x n /2 (n ≥ 1) 因为第 15 次分裂之后的个数 x 15 是已知的,如果定义迭代变量为x ,则可以将上面的倒推公式转换成如下的迭代公式:
x=x/2 ( x 的初值为第 15 次分裂之后的个数 2^20 )
让这个迭代公式重复执行 15 次,就可以倒推出第 1 次分裂之前的阿米巴个数。因为所需的迭代次数是个确定的值,我们可以使用一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制。参考程序如下:
cls
x=2^20
for i=1 to 15
x=x/2
next i
print x
end
ps:java中幂的算法是Math.pow(2, 20);返回double,稍微注意一下例 3 :验证谷角猜想。日本数学家谷角静夫在研究自然数时发现了一个奇怪现象:对于任意一个自然数 n ,若 n 为偶数,则将其除以 2 ;若 n 为奇数,则将其乘以 3 ,然后再加 1 。如此经过有限次运算后,总可以得到自然数 1 。人们把谷角静夫的这一发现叫做“谷角猜想”。
要求:编写一个程序,由键盘输入一个自然数 n ,把 n 经过有限次运算后,最终变成自然数 1 的全过程打印出来。
分析:定义迭代变量为 n ,按照谷角猜想的内容,可以得到两种情况下的迭代关系式:当 n 为偶数时, n=n/2 ;当 n 为奇数时, n=n*3+1 。用 QBASIC 语言把它描述出来就是:
if n 为偶数 then
n=n/2
else
n=n*3+1
end if
这就是需要计算机重复执行的迭代过程。这个迭代过程需要重复执行多少次,才能使迭代变量 n 最终变成自然数 1 ,这是我们无法计算出来的。因此,还需进一步确定用来结束迭代过程的条件。仔细分析题目要求,不难看出,对任意给定的一个自然数 n ,只要经过有限次运算后,能够得到自然数 1 ,就已经完成了验证工作。因此,用来结束迭代过程的条件可以定义为: n=1 。参考程序如下:
cls
input "Please input n=";n
do until n=1
if n mod 2=0 then
rem 如果 n 为偶数,则调用迭代公式 n=n/2
n=n/2
print "—";n;
else
n=n*3+1
print "—";n;
end if
loop
end
迭代法开平方:
#include
#include
void main()
{
double a,x0,x1;
printf("Input a:\n");
scanf("%lf",&a);//为什么在VC6.0中不能写成
“scanf("%f",&a);”?
if(a<0)
printf("Error!\n");
else
{
x0=a/2;
x1=(x0+a/x0)/2;
do
{
x0=x1;
x1=(x0+a/x0)/2;
}while(fabs(x0-x1)>=1e-6);
}
printf("Result:\n");
printf("sqrt(%g)=%g\n",a,x1);
}
求平方根的迭代公式:x1=1/2*(x0+a/x0)。
算法:1.先自定一个初值x0,作为a的平方根值,在我们的程序中取
a/2作为a的初值;利用迭代公式求出一个x1。此值与真正的a的平方根
值相比,误差很大。
2.把新求得的x1代入x0中,准备用此新的x0再去求出一个新的x1.
3.利用迭代公式再求出一个新的x1的值,也就是用新的x0又求出一
个新的平方根值x1,此值将更趋近于真正的平方根值。
4.比较前后两次求得的平方根值x0和x1,如果它们的差值小于我们指定的值,即达到我们要求的精度,则认为x1就是a的平方根值,去执行步骤5;否则执行步骤2,即循环进行迭代。
迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为f(x)=0,用某种数学方法导出等价的形式x=g(x),然后按以下步骤执行:
(1)选一个方程的近似根,赋给变量x0;
(2)将x0的值保存于变量x1,然后计算g(x1),并将结果存于变量x0;
(3)当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时,重复步骤(2)的计算。
若方程有根,并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛,则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。上述算法用C程序的形式表示为:【算法】迭代法求方程的根
{ x0=初始近似根;
do {
x1=x0;
x0=g(x1); /*按特定的方程计算新的近似根*/
} while ( fabs(x0-x1)>Epsilon);
printf(“方程的近似根是%f\n”,x0);
}
迭代算法也常用于求方程组的根,令
X=(x0,x1,…,xn-1)
设方程组为:
xi=gi(X) (I=0,1,…,n-1)
则求方程组根的迭代算法可描述如下:
【算法】迭代法求方程组的根
{ for (i=0;i
x=初始近似根;
do {
for (i=0;i
y=x;
for (i=0;i
x=gi(X);
for (delta=0.0,i=0;i
if (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x);
} while (delta>Epsilon);
for (i=0;i
printf(“变量x[%d]的近似根是%f”,I,x);
printf(“\n”);
}
具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况:
(1)如果方程无解,算法求出的近似根序列就不会收敛,迭代过程会变成死循环,因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解,并在程序中对迭代的次数给予限制;
(2)方程虽然有解,但迭代公式选择不当,或迭代的初始近似根选择不合理,也会导致迭代失败。
递归
递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。
能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。
【问题】编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。
斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即:
fib(0)=0;
fib(1)=1;
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。
写成递归函数有:
int fib(int n)
{ if (n==0) return 0;
if (n==1) return 1;
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2);
}
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n- 2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。
在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib(1)和fib(0)后,返回得到fib(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。
在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。
由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。
【问题】组合问题
问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为:(1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1
(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1
(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1
(10)3、2、1
分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m 中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m 个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。
【程序】
# include
# define MAXN 100
int a[MAXN];
void comb(int m,int k)
{ int i,j;
for (i=m;i>=k;i--)
{ a[k]=i;
if (k>1)
comb(i-1,k-1);
else
{ for (j=a[0];j>0;j--)
printf(“%4d”,a[j]);
printf(“\n”);
}
}
}
void main()
{ a[0]=3;
comb(5,3);
}
【问题】背包问题
问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选
取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,
但选中物品的价值之和最大。
设n 件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的
方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值
存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案
已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本
方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价
值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意
义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价
值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一
定会比前面的方案更好。
对于第i件物品的选择考虑有两种可能:
(1)考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重
量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。
(2)考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能
会找到价值更大的方案的情况。
按以上思想写出递归算法如下:
try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv) { /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/
if(包含物品i是可以接受的)
{ 将物品i包含在当前方案中;
if (i
try(i+1,tw+物品i的重量,tv);
else
/*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/
以当前方案作为临时最佳方案保存;
恢复物品i不包含状态;
}
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/
if (不包含物品i仅是可男考虑的)
if (i
try(i+1,tw,tv-物品i的价值);
else
/*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/
以当前方案作为临时最佳方案保存;
}
为了理解上述算法,特举以下实例。设有4件物品,它们的重量和价值见表:
物品 0 1 2 3
重量 5 3 2 1
价值 4 4 3 1
并设限制重量为7。则按以上算法,下图表示找解过程。由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。
按上述算法编写函数和程序如下:
【程序】
# include
# define N 100
double limitW,totV,maxV;
int option[N],cop[N];
struct { double weight;
double value;
}a[N];
int n;
void find(int i,double tw,double tv)
{ int k;
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/
if (tw+a.weight<=limitW)
{ cop=1;
if (i
else
{ for (k=0;k
option[k]=cop[k];
maxv=tv;
}
cop=0;
}
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/
if (tv-a.value>maxV)
if (i
else
{ for (k=0;k
option[k]=cop[k];
maxv=tv-a.value;
}
}
void main()
{ int k;
double w,v;
printf(“输入物品种数\n”);
scanf((“%d”,&n);
printf(“输入各物品的重量和价值\n”);
for (totv=0.0,k=0;k
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v);
a[k].weight=w;
a[k].value=v;
totV+=V;
}
printf(“输入限制重量\n”);
scanf(“%1f”,&limitV);
maxv=0.0;
for (k=0;k find(0,0.0,totV);
for (k=0;k
if (option[k]) p rintf(“%4d”,k+1);
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv);
}
作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况:当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制,该物品被包含在候选解中是应该继续考
虑的;反之,该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地,仅当物品不被包括在候选解中,还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时,才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之,该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案,程序就去进一步考虑下一个物品。
【程序】
# include
# define N 100
double limitW;
int cop[N];
struct ele { double weight;
double value;
} a[N];
int k,n;
struct { int ;
double tw;
double tv;
}twv[N];
void next(int i,double tw,double tv)
{ twv.=1;
twv tw=tw;
twv tv=tv;
}
double find(struct ele *a,int n)
{ int i,k,f;
double maxv,tw,tv,totv;
maxv=0;
for (totv=0.0,k=0;k
totv+=a[k].value;
next(0,0.0,totv);
i=0;
While (i>=0)
{ f=twv.;
tw=twv tw;
tv=twv tv;
switch(f)
{ case 1: twv.++;
if (tw+a.weight<=limitW)
if (i
{ next(i+1,tw+a.weight,tv);
i++;
}
else
{ maxv=tv;
for (k=0;k
cop[k]=twv[k].!=0;
}
break;
case 0: i--;
break;
default: twv.=0;
if (tv-a.value>maxv)
if (i
{ next(i+1,tw,tv-a.value);
i++;
}
else
{ maxv=tv-a.value;
for (k=0;k
cop[k]=twv[k].!=0;
}
break;
}
}
return maxv;
}
void main()
{ double maxv;
printf(“输入物品种数\n”);
scanf((“%d”,&n);
printf(“输入限制重量\n”);
scanf(“%1f”,&limitW);
printf(“输入各物品的重量和价值\n”);
for (k=0;k
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value); maxv=find(a,n);
printf(“\n选中的物品为\n”);
for (k=0;k
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); }
基于优化设计的迭代学习算法研究
基于优化设计的迭代学习算法研究 摘要 迭代学习控制是上世纪80年代提出的一门新兴学科,它在非线性、模型未知等控制问题方面有着独到优势。迭代学习控制针对具有重复运行性质的被控对象,利用对象以前运行的信息,通过迭代的方式修正控制信号,实现在有限时间区间上的完全跟踪任务。它在工业机器人、数控机床等具有重复运行特性的领域有着非常好的应用前景。 目前,作为一门年轻的学科,迭代学习控制的研究分支也较多,而且,在很多方面还有待进一步研究与完善。本文主要在迭代学习控制算法设计与优化方面做了一些工作,主要研究工作体现在如下几个方面: 第一,对迭代学习控制的基本概念、研究现状及应用等内容作一概述,简单介绍了基于优化设计的迭代学习控制算法。最后,对论文的安排及研究内容作了简要说明。 传统迭代学习控制律中的学习系数对迭代学习控制的收敛性和收敛速度的影响非常重要,在PID型迭代学习控制律的实际应用中,算法分析给出的收敛性条件并不能用于指导学习增益的选取,学习增益的设置需要凭借经验选取,因此具有一定的盲目性。为了克服猜测设置学习增益的盲目性,直接的方法是利用系统模型知识。由此引伸出来的一个可行方法就是利用优化指标来设计迭代学习控制律,即所谓的优化迭代学习律。 第二,研究了二次型最优迭代学习算法。在模型确定与不确定两种情况下,针对线性离散系统,分别设计了基于二次型性能指标优化的迭代学习控制算法及参数辨识与估计方法,并得到了系统稳定性、收敛性条件。仿真结果证明了所设计二次型优化迭代学习算法的有效性。 实现二次型性能指标的最优化属最优控制研究的范畴,但该领域
中最优控制器(LQG)的设计必须基于系统精确模型的建立,对于模型未知系统显然无法给出最优控制策略,对于带有不确定项的系统,也只能采用保成本控制等方法得到次优的结果。那么,利用迭代学习控制方法的优点,针对模型未知系统(连续或离散系统),基于二次型性能指标: dt t Ru t u t Qe t e J T )]()()()([T 0T +=? 或 {}∑=+=N i i Ru i u i Qe i e J 0 T T )()()()( 给出一种最优迭代学习控制(Optimal Iterative learning Control ,OILC)策略,无论从理论上或者实际应用上都是十分有价值、有意义的探讨。然而,对于这一课题的研究,目前仅有少量文献发表。 Phan 和Juang 在假定系统模型已知的情况下得到了最优迭代学习控制方法,其实这已失去了迭代学习控制方法的优越性;M. Norrlof 等人利用可获得的模型标称值替代真实模型给出了一类二次型最优迭代学习控制方法,很显然结果只能是次优的,且性能的好坏很大程度上受到建模精度的影响。引入基函数概念,运用辨识方法,Frueh 和Phan 针对线性离散系统,给出了基于二次性能指标的最优迭代学习控制方法,这一方法要求事先假定一组测试输入量作为激励函数,然后不断产生新的与原基函数正交的新基函数以及基函数的系数,最后以基函数的张集作为系统控制输入量。在这一方法中,控制输入量的求取与系统的实际控制是分开进行的,是一种先激励后控制的方式。而对于非线性系统,目前还没有任何研究结果出现。 第三,提出了一种改进的基于最优化指标的迭代学习算法。对于线性时变系统,将每一次的迭代学习控制信号的增量看成常规反馈控制的信号,都通过求解一个基于一种合理改进的性能指标的最优化问题得到,从而设计最优迭代学习算法。该算法的收敛速度较快,其输出误差序列和控制信号序列的收敛性能够得到保证。对于任意给定的系统期望轨迹,该方法保证迭代控制信号能够收敛于系统的一个线性二次型最优控制解。 Amann 针对线性系统,提出了一个基于最优化指标的迭代学习控制设计方法。该方法首先给出了每次迭代运行的最优化性能指标,然
ICP迭代最近点算法综述
迭代最近点算法综述 摘要:三维点集配准问题是计算机技术中的一个极其重要的问题,作为解决三维点集配准问题的一个应用较为广泛的算法,ICP算法得到了研究者的关注,本文以一种全新的思路从配准元素的选择、配准策略的确定和误差函数的求解等3个方面对三维点集配准的ICP算法的各种改进和优化进行了分类和总结。 关键词:三维点集;迭代最近点;配准 1引言 在计算机应用领域,三维点集配准是一个非常重要的中间步骤,它在表面重建、三维物体识别、相机定位等问题中有着极其重要的应用[1]。对于三维点集配准问题,研究者提出了很多解决方案,如点标记法、自旋图像、主曲率方法、遗传算法、随机采样一致性算法等等,这些算法各有特色,在许多特定的情况下能够解决配准的问题。但是应用最广泛的,影响最大的还是由Besl和Mckay在1992年提出的迭代最近点算法[2](Iterative Closest Point,ICP),它是基于纯粹几何模型的三维物体对准算法,由于它的强大功能以及高的精确度,很快就成为了曲面配准中的主流算法。 随着ICP算法的广泛应用,许多研究者对ICP算法做了详细的研究,分析了该算法的缺陷和特点,提出了许多有价值的改进,推动了这一重要算法的发展。本文着眼于ICP算法的发展历程,详细介绍了ICP算法的基本原理,总结其发展和改进的过程,对于该算法的各个阶段的发展和变化做了简单的论述。 2ICP算法原理 2.1ICP算法原理 ICP算法主要用于三维物体的配准问题,可以理解为:给定两个来至不同坐标系的三维数据点集,找出两个点集的空间变换,以便它们能进行空间匹配。假定用{}表示空间第一个点集,第二个点集的对齐匹配变换为使下式的目标函数最小[3]。 ICP算法的实质是基于最小二乘法的最优匹配算法,它重复进行“确定对应关系点集—计算最优刚体变换”的过程,直到某个表示正确匹配的收敛准则得到满足。ICP 算法的母的是找到目标点集与参考点之间的旋转R和平移T变换,使得两匹配数据中间满足某种程度 度量准则下的最优匹配。假设目标点集P的坐标为{}及参考点集Q的坐标为