上海市交大附中2018-2019学年上学期高一数学期末试卷(附解析)

2018-2019学年上海市交大附中高一（上）期末数学试卷

一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）

1．（4分）已知集合A＝{1，2，m}，B＝{2，3}，若A∪B＝{1，2，3}，则实数m＝．2．（4分）“成立”是“x＜2成立”的条件．（选择确切的一个填空：充分非必要、必要非充分、充要、非充分非必要）

3．（4分）函数的定义域为．

4．（4分）若函数的反函数是其本身，则实数a＝．

5．（4分）函数f（x）＝2|x﹣3|﹣1，则不等式f（x）＜1的解集为．

6．（4分）函数f（x）＝9x﹣3x+1﹣10的零点为．

7．（5分）已知x，y∈R+，且满足xy﹣x﹣2y＝0，则x+y的最小值为．

8．（5分）若定义在R上的函数（其中a＞0，a≠1）有最大值，则函数

的单调递增区间为．

9．（5分）集合A＝{x|x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0}，集合B＝{x|x2+lgx≤1000}，且满足A∩?R B ＝?，则实数a的取值范围是．

10．（5分）已知函数y＝f（x）的图象与函数y＝a x（a＞0且a≠1）的图象关于直线y＝x 对称，记g（x）＝f（x）[f（x）+f（2）﹣1]．若y＝g（x）在区间[，2]上是增函数，则实数a的取值范围是．

11．（5分）下列四个命题中正确的是．

①已知定义在R上是偶函数y＝f（1+x），则f（1+x）＝f（1﹣x）；

②若函数y＝f（x），x∈D，值域为A（A≠D），且存在反函数，则函数y＝f（x），x∈D与

函数x＝f﹣1（y），y∈A是两个不同的函数；

③已知函数，x∈N*，既无最大值，也无最小值；

④函数f（x）＝（2|x|﹣1）2﹣5（2|x|﹣1）+6的所有零点构成的集合共有4个子集．12．（5分）已知函数f（x）＝x2+e x（x＜0）与函数图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是．

二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）

13．（5分）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A?C，B??U C”是“A∩B＝?”的（）

A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

14．（5分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），[x]表示不超过x的最大整数，则下面关系式恒成立的是（）

A．B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）

C．D．[x]≥[y]

15．（5分）函数y＝﹣x4+x2+2的图象大致为（）

A．

B．

C．

D．

16．（5分）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）

A．B．

C．pq D．﹣1

三、简答题

17．（14分）解关于x的不等式kx2﹣（k+2）x+2＜0．

18．（14分）动物园需要用篱笆围成两个面积均为50m2的长方形熊猫居室，如图所示，以墙为一边（墙不需要篱笆），并共用垂直于墙的一条边，为了保证活动空间，垂直于墙的边长不小于2m，每个长方形平行于墙的边长也不小于2m．

（1）设所用篱笆的总长度为l，垂直于墙的边长为x．试用解析式将l表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；

（2）怎样围才能使得所用篱笆的总长度最小？篱笆的总长度最小是多少？

19．（14分）已知函数y＝f（x）是函数的反函数，函数的图象关于直线y＝x对称，记F（x）＝f（x）+g（x）．

（1）求函数f（x）的解析式和定义域；

（2）在F（x）的图象上是否存在这样两个不同点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直？

若存在，求A，B的坐标；若不存在，说明理由．

20．（16分）已知函数f（x﹣2）＝ax2﹣（a﹣3）x+a﹣2（a为负整数），y＝f（x）的图象经过点（m﹣2，0）（m∈R）．

（1）求f（x）的解析式；

（2）设函数g（x）＝bx+2，若g（x）≥f（x）在x∈[1，3]上解集非空，求实数b的取值范围；

（3）证明：方程有且仅有一个解．

21．（18分）若实数x、y、m（x≠m，y≠m）满足|x﹣m|＞|y﹣m|，则称y比x接近m．（1）若x2﹣1比1接近0，求x的取值范围；

（2）对正实数a，b，如果比接近2，求证：当x＞0时，比接近2；

（3）已知函数f（x）等于和|x﹣a|中接近0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的单调区间（结论不要求证明）．

2018-2019学年上海市交大附中高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）

1．【解答】解：∵集合A＝{1，2，m}，集合B＝{2，3}，A∪B＝{1，2，3}根据集合并集运算的定义，可知，集合A中元素最多和A∪B中元素一致，

∴m＝3

故答案为：3．

2．【解答】解：由得0＜x＜2，

则“成立”是“x＜2成立”的充分不必要条件，

故答案为：充分非必要

3．【解答】解：要使函数有意义，则≥0，

当x＝1时，不等式成立，

当x≠1时，不等式等价为≥0，

即x＞2或x≤﹣1，

综上x＞2或x≤﹣1或x＝1，

即函数的定义域为（﹣∞，﹣1]∪{1}∪（2，+∞），

故答案为：（﹣∞，﹣1]∪{1}∪（2，+∞）

4．【解答】解：由y＝得x＝，所以f（x）的反函数为f﹣1（x）＝，依题意可得a＝﹣2．

故答案为：﹣2．

5．【解答】解：不等式f（x）＜1即2|x﹣3|＜2，

故|x﹣3|＜1，解得：2＜x＜4，

故答案为：（2，4）．

6．【解答】解：由f（x）＝9x﹣3x+1﹣10＝0得（3x）2﹣3?3x﹣10＝0，

即（3x+2）（3x﹣5）＝0，

∵3x＞0，∴3x﹣5＝0，

即3x＝5，即x＝log35，

即函数零点为x＝log35，

故答案为：x＝log35

7．【解答】解：由题知x，y，满足xy﹣x﹣2y＝0，则xy＝x+2y，

同除xy，得＝1，

x+y＝（x+y）（）＝3+≥3+2，当且仅当x＝2+，y＝+1时取到等号．故答案为：3+2．

8．【解答】解：∵x2+1有最小值为1，定义在R上的函数（其中a＞0，a≠1）有最大值，

∴0＜a＜1．

则函数的单调递增区间，即函数t＝x2﹣2x＝x（x﹣2）＞0时的减区间，

为（﹣∞，0），

故答案为：（﹣∞，0）．

9．【解答】解：解不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0得：a＜x＜a+1即A＝[a，a+1]，解不等式x2+lgx≤1000得：（2+lgx）lgx﹣3≤0，即≤x≤10，即B＝[，10]，即?R B＝（﹣∞，）∪（10，+∞），

又A∩?R B＝?，

得，即，

即实数a的取值范围是[]，

故答案为：[]

10．【解答】解：∵函数y＝f（x）的图象与函数y＝a x（a＞0且a≠1）的图象关于直线y＝x对称，

∴f（x）＝log a x（x＞0）．

g（x）＝f（x）[f（x）+f（2）﹣1]＝log a x（log a x+log a2﹣1）

＝（log a x+）2﹣，

①当a＞1时，y＝log a x在区间[，2]上是增函数，∴log a x∈[log a，log a2]．

由于y＝g（x）在区间[，2]上是增函数，∴，化为log a2≤﹣1，解得a，舍去．

②当0＜a＜1时，y＝log a x在区间[，2]上是减函数，∴log a x∈[log a2，log a]．

由于y＝g（x）在区间[，2]上是增函数，∴，解得0＜a．综上可得：0＜a．

故答案为：（0，]．

11．【解答】解：①已知定义在R上是偶函数y＝f（1+x），设F（x）＝f（1+x），可得F（﹣x）＝F（x），

则f（1+x）＝f（1﹣x），故①正确；

②若函数y＝f（x），x∈D，值域为A（A≠D），且存在反函数，

则函数y＝f（x），x∈D与函数x＝f﹣1（y），y∈A，即y＝f﹣1（x），x∈A，由于A≠D 是两个不同的函数，故②正确；

③已知函数，x∈N*，由f（x）在1≤x＜3递减，x＞3递减，可得x＝2时，f

（2）取得最小值﹣1，

故③错误；

④函数f（x）＝（2|x|﹣1）2﹣5（2|x|﹣1）+6，由f（x）＝0，可得2|x|﹣1＝2或3，解得

x＝±log23或x＝±2，

f（x）的所有零点构成的集合中共有四个元素，共有16个子集，故④错误．

故答案为：①②．

12．【解答】解：由题意，存在x＞0，

使f（﹣x）＝g（x），即x2+ln（x+a）+＝x2+e﹣x，

即ln（x+a）+＝（）x，

即ln（x+a）＝﹣+（）x，

设h（x）＝﹣+（）x，h（0）＝﹣+1＝，

当y＝ln（x+a）经过点（0，）时，

则lna＝，得a＝＝，

作出y＝ln（x+a）和h（x）的图象，

要使两个图象恒有交点，

则a＜．

即实数a的取值范围是a∈（﹣∞，）．

故答案为：（﹣∞，）．

二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）

13．【解答】解：由题意A?C，则?U C??U A，当B??U C，可得“A∩B＝?”；若“A∩B＝?”

能推出存在集合C使得A?C，B??U C，

∴U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A?C，B??U C”是“A∩B＝?”的充分必要的条件．

故选：C．

14．【解答】解：当0＜a＜1时，由a x＜a y得x＞y，

A．当x＝1，y＝﹣1，满足x＞y但＝，故A错误，

B．当x＝1，y＝﹣1，满足x＞y，ln（x2+1）＝ln（y2+1），但ln（x2+1）＞ln（y2+1）不成立，故B错误，

C．当x＝1，y＝﹣1，满足x＞y，但x﹣y＝1+1＝2，﹣＝1+1＝2，则不

成立，故C错误，

D．∵x＞y，∴[x]≥[y]成立，故D正确

故选：D．

15．【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B．

函数的导数f′（x）＝﹣4x3+2x＝﹣2x（2x2﹣1），

由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0，

得x＜﹣或0＜x＜，此时函数单调递增，

由f′（x）＜0得2x（2x2﹣1）＞0，

得x＞或﹣＜x＜0，此时函数单调递减，排除C，

也可以利用f（1）＝﹣1+1+2＝2＞0，排除A，B，

故选：D．

16．【解答】解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，则（1+p）（1+q）＝（1+x）2，

解得x＝﹣1，

故选：D．

三、简答题

17．【解答】解：将原不等式化为（kx﹣2）（x﹣1）＞0，

（1）当k＝0时，有x＜1；

（2）当k＞0时，有k（x﹣）（x﹣1）＞0，∴（x﹣）（x﹣1）＞0，∵1﹣＝，

当k＞2时＜1，∴x＜或x＞1；

当a＝2时，＝1，∴x∈R，且x≠1；

当0＜k＜2时，有＞1，∴x＜1或x＞；

（3）当k＜0时，（x﹣）（x﹣1）＜0，有＜1，所以＜x＜1．

综上，k＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}；

0＜k＜2时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞}；

当k＝2时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；

当k＞2时，不等式的解集为{x|x＜或x＞1}；

当k＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜1}

18．【解答】解：（1）设垂直于墙的边长为x，则每个长方形平行于墙的边长，则l＝3x+，

∵x≥2且≥2，

∴2≤x≤25，

由x可得函数的定义域为[2，25]；

（2）l＝3x+≥2＝20，当且仅当3x＝，即x＝时取等号，故当垂直于墙的边长为m时，所用篱笆的总长度最小，篱笆的总长度最小是20m．

19．【解答】解：（1）由y＝﹣1得10x＝，x＝lg，∴f（x）＝lg，∵g（x）＝，∴g﹣1（x）＝，依题意得g（x）＝g﹣1（x），∴a＝1，∴g（x）＝，

∴F（x）＝lg+，定义域为（﹣1，1），

（2）设F（x）的图象上不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且﹣1＜x1＜x2＜1，则y1﹣y2＝F（x1）﹣F（x2）＝lg+﹣lg﹣

＝lg（?）+（﹣）

＝lg（?）+，

∵﹣1＜x1＜x2＜1，则＞1，＞1，x2﹣x1＞0，（x1+2）（x2+2）＞0，

∴lg（?）＞0，＞0，

∴y1＞y2，

故F（x）在（﹣1，1）上单调递减，

故不存在A，B两点，使AB与y轴垂直．

20．【解答】解：（1）在f（x﹣2）＝ax2﹣（a﹣3）x+a﹣2中令x＝m得f（m﹣2）＝am2﹣（a﹣3）m+a﹣2＝0，

∴a＝﹣，因为a为负整数，所以为正整数，

当≥2时，2m2﹣5m+4≤0，因为△＝（﹣5）2﹣4×2×4＝﹣7＜0，所以2m2﹣5m+4≤0无解，

所以＝1，解得m＝1．m＝3，所以a＝﹣1，

∴f（x﹣2）＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，

∴f（x）＝﹣x2+1

（2）g（x）≥f（x）在x∈[1，3]上解集非空?b≥﹣（x+）在[1，3]上有解，

令h（x）＝﹣（x+），则b≥h（x）min，

∵h′（x）＝﹣1+≤0在x∈[1，3]上恒成立，

所以x＝3时，h（x）min＝h（3）＝﹣，

故b≥﹣．

（3）证明：即证y＝与y＝﹣x2+1的图象有且只有一个交点，

当x＞0时，﹣（﹣x2+1）＝+x2﹣1＝++x2﹣1≥3﹣1＝3﹣1＝﹣1＞0，

即x＞0时，y＝与y＝﹣x2+1的图象无交点，

当x＜0时，令y＝+x2﹣1，y′＝﹣+2x＜0恒成立，所以y＝+x2﹣1在（﹣∞，0）上为递减函数，

又x＝﹣时，y＝﹣3+＜0，x＝1时，y＝1＞0，根据零点存在性定理知：+x2﹣1＝0在（﹣∞，0）上有且只有一个零点，

综上得﹣f（x）＝0有且只有一个解．

21．【解答】解：（1）由题意得，∴，∴x的范围为：（﹣，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，）；

（2）∵比接近2，

∴|a+﹣2|＜|b+﹣2|，

∵a＞0，b＞0，

∴a+≥2，b+≥2，

∴a+﹣2＜b+﹣2，即a+＜b+，

∴|a x+﹣2|＜|b x+﹣2|，

当x＞0时，比接近2；

（3）当a≤﹣1时，f（x）＝|x﹣a|，此时f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增；

a＞﹣1时，，

当﹣1＜a＜0时，f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增；

当a≥0时，f（x）在（﹣∞，a+2﹣2）上单调递减，在（a+2﹣2）上单调递增．