9.9.3 棱柱与平行六面体
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动画复习：1、棱柱的分类
侧棱不垂直底面的棱柱叫做斜棱柱、侧棱垂直底面的棱柱叫做直棱柱、
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
斜棱柱、直棱柱、正棱柱
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动画复习：
2、棱柱的性质
（2）两个底面与平行底面的平面的截面是全等的多边形。
〔3）不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。
（1）侧棱都相等，侧面都是平行四边形。
直棱柱的各个侧面都是矩形；
正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。
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动画（如图），M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1
上的点，且CN =CC 1，求证AB 1⊥MN
4
1
N
B
C
A
M
B 1
C 1
A 1
变式训练：用坐标法重新证明例1
解：以MC 为x 轴，MA 为y 轴，MP 为z 轴(其中P 为B 1C 1的中点)建立空间直角坐标系。
x
y
P
z
则MN=AB 1=
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动画（如图），M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1
上的点，且CN =CC 1，求证AB 1⊥MN
4
1
变式训练：用坐标法求证：
(1)是平面B 1MA 的法向量。
(3) 求AC 与平面B 1MA 所成角的大小。
(4)求平面B 1MA 与平面ACC 1A 1
所夹锐角的大小。
提示：只需再证MN ⊥MB 1
(2) CA 1//平面B 1MA 。
提示：只需证MN ⊥CA 1
提示：先求< AC , MN > , 再求
提示：先求两面法向量所成角，再求
N
B
C
A
M
B 1
C 1
A 1
x
y
P
z
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动画四棱柱
平行六面体
长方体
直平行六面体
正四棱柱正方体
底面变为平行四边形
侧棱与底面
垂直
底面是矩形
底面为正方形
侧棱与底面边长相等
几种六面体的关系：
练习：P 58-1,2,3
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动画定理
平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分。
已知：平行六面体AC’（如图）
求证：对角线AC’、BD’、CA’、DB’交于一点，
且在点O 处互相平分。
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
O
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动画练习：P 58-4,5
定理
长方体的一条对角线的平方
等于一个顶点上三条棱长的平方和。
已知：长方体AC’中，AC’是一条对角线（如图）
求证：AC’2=AB 2+AD 2+AA’2
B
A
B'
C'
D'
A'
即：l 2 = a 2 + b 2 + c 2
a
b
l
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首
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动画2，长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，
则其对角线的长为＿＿＿。*3，长方体的长、宽、高分别为5，4，3，则从顶点A 沿长方体表面到对角线顶点C’的
最短距离是＿＿。
练习：
1，若长方体的三个面的面积分别是
则其对角线的长为＿＿＿。
6
32、、65
7443A
C
D A'
B'
D'
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首
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动画5，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，ABCD 为菱
形，边长为4，∠DAB ＝600＝∠B 1BC ，A 1A ＝6，
AA 1与底面ABCD 所成角是600。
(1)求底面ABCD 与底面A 1B 1C 1D 1的距离。(2)求A 到平面BCC 1B 1的距离。
练习：
4，若正方体的对角线长为27，则其边长为＿＿＿。
3
3
3
239
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动画小结回顾
1，坐标法解题
空间直角坐标系的建立。
2，法向量的性质及应用。
3，长方体的对角线
l 2 = a 2 + b 2 + c 2
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动画作业：P 63习题9.9 –5
P 81复习参考题九B 组第3题
棱柱、棱锥和棱台的结构特征
教案 教学过 （课前检测、预习新知、课 学、激励环节设计、随堂练习、课堂检测或课后巩固）【课前检测】 【预习新知】 【课堂导学】 [情境导学]观察下面四个几何体，这些几何体都是多面体．那么多面体有怎样的结构特征？本节我们就来研究这个问题． 探究点一多面体及多面体的有关概念
1．多面体 (1)多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体． (2)把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体． 探究点二棱柱的结构特征 2．棱柱 (1)棱柱的主要特征性质： ①有两个互相平行的面； ②其余各面都是四边形，并且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行． (2)棱柱的这两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两底面之间的距离叫做棱柱的高． (3)棱柱按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (4)侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． (5)底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体是长方体，棱长都相等的长方体是正方体． 例1下列命题中正确的是() A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面 D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
7．正三棱柱ABC—A′B′C′的底面边长是4cm，过BC的一个平面交侧棱AA′于D，若AD的长是2cm，试求截面BCD的面积． 解如图，取BC的中点E， 探究点三棱锥的结构特征 思考1我们把下面的多面体取名为棱锥，据此你能给棱锥下一个定义吗？棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？你能作图加以说明吗？ (1)棱锥的主要结构特征： ①有一个面是多边形； ②其余各面都是有一个公共顶点的三角形． (2)棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面； 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点； 相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； 多边形叫做棱锥的底面； 顶点到底面的距离叫做棱锥的高． (3)棱锥按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……三个棱锥从左到右可分别表示为S－ABC，S－ABCD，P－ABCDE.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状是相似多边形． (4)如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高． 如图：
若四面体ABCD的三组对棱分别相等
若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB=CD,AC=BD，AD=BC，则 充值|设为首页|免费注册|登录 在线问答在线组卷在线训练移动APP课程直播菁优商城 菁优网 （2012?安徽）若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB=CD，AC=BD，AD=BC，则 ②④⑤ （写出所有正确结论编号） ①四面体ABCD每组对棱相互垂直 ②四面体ABCD每个面的面积相等 ③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180° ④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段互垂直平分 ⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长． 考点：棱锥的结构特征． 专题：压轴题；阅读型．
分析：①将四面体ABCD的三组对棱分别看作平行六面体的对角线，由于三组对棱分别相等，所以平行六面体为长方体．结合长方体的性质判断 ②四面体ABCD的每个面是全等的三角形，面积是相等的． ③由②，从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角能够等量代换为同一个三角形内的三个内角，它们之和为180°． ④连接四面体ABCD每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分 ⑤由①，设所在的长方体长宽高分别为a，b，c，则每个顶点出发的三条棱长分别为 22 + + 易知能构成三角形． 解答：解：①将四面体ABCD的三组对棱分别看作平行六面体的对角线，由于三组对棱分别相等，所以平行六面体为长方体．由于长方体的各面不一定为正方形，所以同一面上的面对角线不一定垂直，从而每组对棱不一定相互垂直．①错误 ②四面体ABCD的每个面是全等的三角形，面积是相等的．②正确 ③由②，四面体ABCD的每个面是全等的三角形，从四面体ABCD每个顶
专题18多面体的表面积和体积(解析版)
专题18 多面体的表面积和体积（解析版）多面体，因其具有考查直观想象、逻辑推理、数学抽象的素养的特性，越来越引起出题专家组的青睐。 易错点1：基础知识不扎实 （1）对立几中一些常见结论要做到了然于胸，如：关于三棱锥中顶点在底面三角形上的射影问题的相关条件和结论要在理解的基础上加以熟记； （2）在思维受阻时，要养成回头看条件的习惯，问一问自己条件是否都用了呢？ 易错点2：平面化处理意识不强，简单的组合体画不出适当的截面图致误 易错点3：“想图、画图、识图、解图”能力的欠缺，多面体与几何体的结构特征不清楚导致计算错误 易错点4：空间想象能力欠缺 题组一 1．（2016年全国III）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 A．18+B．54+C．90 D．81 【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为3的正方形，故面积都是9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为3、该边上的高为6，故面积都为18，左右 两个侧面是矩形，边长为3，故面积都为，则该几何体的表面积为2(9 +18+ 2．（2016全国II）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π 【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体， 设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ． 由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：()222234l =+=， 21π2 S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，故选C ． 3．（2015新课标Ⅰ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几 何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16 + 20π，则r = A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【解析】由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为 22222422016r r r r ππππ+++=+，所以2r =． 题组二 4．（2017新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视 图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为
30.四面体
四面体与平行六面体 一、一般四面体的性质 性质1.任意四面体六个二面角的平分面交于一点，这点到四面体四个面的距离相等，称该点为四面体内切球球心（简称四面体的内心）。内切球与四面体四个面内切。 若四面体ABCD 的体积为V ，顶点A 所对的侧面面积为A S ，类似的有,,B C D S S S ,则内切球半径 3A B C D V r S S S S = +++. 性质2.任意四面体六条棱的垂直平分面交于一点，这点到四面体顶点的距离相等，该点称为四面体外接球球心（简称四面体外心）。外接球通过四面体四顶点。 性质3.任意四面体的四条中线（每一顶点与其对面重心的连线）交于一点，而且该点是中线的四等分点。 性质4.四面体体积公式一：1111 3333A A B B C C D D V S h S h S h S h ==== 性质5.四面体体积公式之二：1 ||||sin ,6 V AB CD d AB CD =???<> （其中d 为AB 、CD 距离） 性质6.四面体体积公式二： 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 333333C D AB A D BC A B CD B C DA B D AC A C BD S S S S S S S S S S S S V AB BC CD DA AC BD θθθθθθ= ===== 二、特殊四面体的性质 （1） 正四面体：各边均相等； （2） （3） 等腰四面体：三组对边分别相等。 三、平行面体 像平行四边形是平面图几何的基础一样， 平行六面体是立体几何的基本图形。 性质1.平行六面体的四条体对角线交于一点，且在这一点互相平分，称该点为平行六面体的中心； 性质2.平行六面体的所有体对角线的平方和等于所有棱的平方和。 推论1:平行六面体的所有侧面对角线的平方和等于其所有体对角线平方和的两倍。 推论2：平行六面体的每一侧棱的平方和等于等于与这一侧共面的两侧面四条对角线的平方减去与这一侧棱不共面而共端点的两条侧面对角线平方和所得差的 14 。 性质 3.平行六面体的每一体对角线长的平方等于共一端点的三条棱长的平方和减去这三条棱中每两条棱长及其所夹余弦之积的两倍。 性质 4. 平行六面体的每一体对角线通过与该对角线共端点的三条棱的另一端点构成的三角形截面的重心，且被三角形截面分成三等分。 性质5. 平行六面体的每个由三条侧面对角线构成的三角形截面面积的平方4倍，等于这截面所截三个侧面面积的平方和减去这三个这三个侧面中每两个侧面面积及其所夹二面角余弦之积的二倍。 性质 6.设平行六面体的全面积为S ，体积为V ，四条体对角线长为1111,,,AC A C BD B D l l l l ,则 1 1 1 1222 2 2AC A C BD B D S l l l l ≤+++。1 111 32222 21()24AC A C BD B D V l l l l ≤+++，3 2(6)V ≤。 性质7.通过平行六面体中心的任何平面，将平行六面体分成体积相等的两部分。 推论1.以平行六面体任一顶点及这顶点出发的三条棱的端点构成的四面体体积是平行六面体体积的 16 。 推论 2.以平行六面体任一顶点及这顶点出发的三条侧面对角线端点构成的四面体体积是平行六面体体积的 13 。 性质8.平行六面体的体积等于底面面积与高的乘积，或任一侧面面积与相对面距离之积。 四、四面体与平行六面体的关系 四面体与平行六面体之间存在一种特殊的关系，即四面体可以补成一个平行六面体，且各棱恰好为平行六面体各面上的一条对角线。它们之间有如下性质：
高二数学最新教案-如何把四面体补成平行六面体 精品
如何把四面体补成平行六面体 任何一个四面体都可以补成一个平行六面体，使四面体的棱恰为平行六面体各面上 的一条对角线，并且下列重要性质： 1．任何四面体都可以补成一个平行六面体，使四面体的各棱为平行六面体各面上 的一条对角线，且V 四面体=3 1V 平行六面体. 2.若有一对相对棱长相等，则补成的平行六面体中一对相对的面为矩形；若三对相 对棱长分别相等，且有一个面为锐角三角形，则四面体可以补成一个长方体. 3.棱长为a 的正四面体可以补成一个棱长为a 2 2的正方体. 请读者自己完成这些性质的证明. 本文说明这些性质的应用. 例1如图1，四面体S —ABC 中，三组对棱分别相等，且依次为25、13、22，求四面体的体积. 图1 分析：由于底面△ABC 的三条边长都不相等，三条侧棱长SA 、SB 、SC 也都不相等， 所以如果按常规方法：V =hS 31去求体积，△ABC 面积的计算或者顶点S 到底面ABC 的 距离h 都很复杂，但根据性质（2），可以将它补成长方体，不妨令SB =AC =25， SC =AB =13，SA =BC =22，则四个面是全等的三角形，在△SBC 中，SB 最大，所以 ∠SCB 最大，而 cos SCB =2641 2213220 813=??-+>0， 所以△SCB 为锐角三角形，可以补成一个长方体，不妨令长方体的长、宽、高分别 为x 、y 、z ， 则有 x 2+y 2=13，y 2+z 2=20， z 2+x 2=8， 解得 x =.2 30,225,22==z y 所以 V 长方体= ,4305 V 四面体=31V 长方体=.12 305 例2.图2是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E 、F ，则线段EF 的长 _______. 分析：由性质（3）可知，正四面体可以补成一个正方体，正方体的体积为 3V 正四面体=3·72=216，
(试卷)奥赛经典-奥林匹克数学中的几何问题---第二十一章平行六面体的性质及应用
第二十一章平行六面体的性质及应用 【基础知识】 平行六面体是平行四边形的一个三维类比模型，平行四边形的一系列有趣性质可推证到平行六面体中去．平行四边形与三角形有着极为密切的关系，因而平行六面体与四面体也有着极为密切的关系，这些构成了平行六面体一系列既有趣又有重要应用的性质． 性质1平行六面体的四条对角线相交于一点，且在这一点互相平分，并称该点为中心． 推论称侧面对角线的交点为侧面中心，则相对侧面中心的连线也交于平行六面体的中心，且在这一点互相平分．（见例5） 性质2平行六面体所有对角线的平方和等于所有棱的平方和． 推论1平行六面体所有侧面对角线的平方和等于其所有（体）对角线平方和的两倍． 推论2平行六面体每一侧棱的平方等于与这侧棱共面的两侧面四条面对角线的平方和减去与这侧棱不共面而共端点的两条侧面对角线平方和所得差的四分之一． 推论3平行六面体的每一对角线长的平方等于过这条对角线一端点的三条侧面对角线的平方和减去过另一端点的三条棱的平方和． 性质3平行六面体的每一对角线长的平方等于共一端点的三条棱长的平方和减去这三条棱中每两条棱长及其所夹角余弦之积的两倍． 性质4平行六面体的每一对角线通过与该对角线共端点的三条棱的另一端点构成的三角形截面的重心，且被这三角形截面分成三等分． 性质5平行六面体的每个由三条侧面对角线构成的三角形截面面积平方的4倍，等于这截面所截三个侧面面积的平方和减去这三个侧面中每两个侧面面积及其所夹二面角余弦之积的两倍． 推论平行六面体的八个由三条侧面对角线构成的三角形截面面积的平方和等于六个侧面面积的平方和． 性质6设平行六面体的全面积为S ，四条对角线长为1AC l 、1A C l 、1BD l 、1BD l 、1B D l ，则 111122222AC A C BD B D S l l l l +++≤． 性质7通过平行六面体中心的任何平面，将平行六面体分成体积相等的两部分． 推论1以平行六面体任一顶点及这顶点出发的三条棱的端点构成的四面体体积是平行六面体体积的六分之一． 推论2以平行六面体任一顶点及这顶点出发的三条侧面对角线端点构成的四面体体积是平行六面体体积的三分之一． 性质8平行六面体的体积等于底面积与高的乘积，或任一侧面面积与相对面距离之积． 推论设共一顶点的三条棱长为a 、b 、c ，每两条棱的夹角为α、β、γ，则体积V 为 V abc == 若记()1 2 θαβγ= ++，则2V =． 性质9() 11113/2 2222 124 AC A C BD B D V l l l l +++≤； 3/2 6S V ?? ? ?? ≤． 推论l 表面积一定的平行六面体中，以正方体之体积为最大． 推论2在各个侧面面积为定值的平行六面体中，以长方体之体积为最大． 性质11由平行六面体的各顶点，至不截此体的一平面所引诸垂线段之和，等于由其对角线之交点至同平面所引垂线段之和的8倍．
空间几何体的表面积和体积讲解及经典例题
空间几何体的表面积和体积 一．课标要求： 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。 二．命题走向 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。 由于本讲公式多反映在考题上，预测2009年高考有以下特色： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式； （2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题； 三．要点精讲 1．多面体的面积和体积公式 长。 2．旋转体的面积和体积公式 12
下底面半径，R 表示半径。 四．典例解析 题型1：柱体的体积和表面积 例1．一个长方体全面积是20cm 2 ，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：? ??=++=++24)(420 )(2z y x zx yz xy )2()1( 由（2）2 得：x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2 =16 即l 2 =16 所以l =4(cm)。 点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、切）与面积、体积之间的关系。 例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD= 3 π。 （1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积。 图1 图2 解析：（1）如图2，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 。由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD 。∵∠A 1AM=∠A 1AN ， ∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA,∴A 1M=A 1N ， 从而OM=ON 。 ∴点O 在∠BAD 的平分线上。 （2）∵AM=AA 1cos 3 π =3×21=23 ∴AO=4 cos πAM =223 。 又在Rt △AOA 1中，A 1O 2 =AA 12 – AO 2 =9－ 29=2 9，
例谈构造平行六面体解立体几何题
例谈构造平行六面体解立体几何题 立体几何题的题设中若有“垂直”(包括线线垂直、线面垂直及面面垂直)可以试着构造长方体来求解，若没有“垂直”也可尝试构造平行六面体来求解.本文以普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版)(下简称教科书)中的题目及几道高考题来谈谈这种解题方法. 题1 (教科书第106页例2)如图1，甲站在水库底面上的点A 处，乙站在水坝斜面上的点B 处.从,A B 到直线l (库底与水坝的交线)的距离AC 和BD 分别为a 和b ，CD 的长为c ，AB 的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值. 图1 图2 解 可在如图2所示的平行六面体中求解：因为,//CD AC AC A D '⊥，所以CD A D '⊥.又CD BD ⊥，所以CD ⊥面A DB '，得AA A B ''⊥，所以222A B d c '=-. 在A BD '?中，由余弦定理可求得2222 cos 2a b c d A DB ab ++-'∠=，此即所求二面角的余弦值. 题 2 (教科书第107页练习第2题)如图3，60?的二面角棱上有,A B 两点，直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4,6,8AB AC BD ===，求CD 的长. 图3 图4 解 可在如图4所示的平行六面体中求解：在ACE ?中，6,6,60AC AE BD CAE ===∠=?，由余弦定理可求得252CE =.
可证BA ⊥面ACE ，所以有DE CE ⊥，在CDE ?中可求得217CD =. 题3 (教科书第113页第12题)一条线段夹在一个直二面角的两个半平面内，它与两个半平面所成的角都是30?，求这条线段与这个二面角的棱所成角的大小. 解 可在如图5所示的长方体中求解：30ADB DAE ∠=∠=?，可不妨设2AD =，得1,3,2DE CB AB AE BD BE CD =======，所以在Rt ACD ?中可求得45ADC ∠=?，即夹在直二面角A BE D --的线段AD 与棱BE 所成角的大小是45?. 图5 题 4 已知两平行平面,αβ的距离为23，点,A B α∈，点,C D β∈，且3,2AB CD ==，异面直线,AB CD 成60?角，求四面体ABCD 的体积. 解 可在如图6所示的平行六面体中求解： 图6 在图6所示的平行六面体中，60A CD '∠=?或120?， 133,23sin 322 A CD A C A B S A CD '?''===??∠=，所以13323332 A BCD A BCD V V '--===. 题 5 (2012·安徽·文·15) 若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即,,A B CD A C B D AD BC ===，则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号)。 ①四面体ABCD 每组对棱相互垂直 ②四面体ABCD 每个面的面积相等 ③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180° ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分 ⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱可作为一个三角形的三边长
等面四面体的内切球与外接球讲解
第六讲等面四面体的内切球与外接球 引理2任意四面体都有内切球及外接球。 引理3任意四面体的内切球在四个面上的切点与各面顶点连线给出切点处的周角的一个相同划分。 证明如图3—8，四面体ABCD的内切球在各面上的切点分别为O i、。2、O3、O4. 由于球外一点向球引的切线长相等，可得AO2=AO 3=AO 4, BO I=BO3=BO4,….于是△ O i BC◎△ O4BC , △ O2CD ◎△ O1CD，…. 可设/ CO I D= / C02D= ：DO I B= / D03B= 一：， / CO I B= / C04B= ，/ A0 3B= / A0 4B= X , / A0 2C= / A04C= y，/ A0 2D= / A0 3D= z.由周角360 ° , 图3— 得5 m360 ① x y = 360 ② y z - 360 ③ z —360 ④ 四式相加，除以2，得二；亠?亠’亠x ? y ? z =720 ⑤ ⑤式减①式，得x y ^360 ⑥式分别与②、③、④式联立，可解得x = ：? y二：z = 引理3得证。 定理5等面四面体的各顶点到内切球的切线长相等。 此定理的另一种叙述方式是：等面四面体内切球在各面上的切点是该面的外接圆圆心。 证明如图3—8,由于△ ABC ◎△ DCB ,可移动并翻转△ ABC ,使其与△ DCB重合（A、B、C分别与D、C、B重合）.现考察04与0i的位置关系. 假设04与0i不重合，则04在厶BO I D、△ BO I C、A CO I D中的某一个内部或边上。不失一般性，不妨设O4点在△ BO I内或在BO I上，则/ B04D> / BO I D, / B04D即是原△ ABC 中的/ CO4A。由引理3,得/ C04A= / BO I D，存在矛盾，因此04必与0i重合。于是O I B=O4C=O I C，同理O i D=O i C,即0i是厶BCD的外心。同理可证。2、O3、O4分别是各面上的外心。 定理6四面体的内切球球心与外接球球心重合的充要条件是该四面体是等面四面体。
不规则几何体体积计算中的三钟方法例析
体积计算中的常用方法 一、转换法 当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积． 例1 在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M N P ，，分别是棱11111A B A D A A ，，上的点，且满足1111 2 A M A B = ，112A N ND =，113 4 A P A A = （如图1） ，试求三棱锥1A MNP -的体积． 分析：若用公式1 3 V Sh = 直接计算三棱锥1A MNP -的体积，则需要求出MNP △的面积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出，但若将三棱锥 1A MNP -的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥1P A MN -的体积，便能很容易的求出其 高和底面1A MN △的面积，从而代入公式求解． 解： 1113111111111231 3323223424 A MNP P A MN A MN V V S h A M A N A P a a a a --===?=??=△·······． 评注：转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法，也是以后学习求点到 平面距离的一个理论依据． 二、分割法 分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法． 例2 如图2，在三棱柱111ABC A B C -中，E F ，分别为AB AC ，的中点，平面11EB C F 将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比． 分析：截面11EB C F 将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台 111AEF A B C -；另一部分是一个不规则几何体，其体积可以利用棱 柱的体积减去棱台的体积求得． 解：设棱柱的底面积为S ，高为h ，其体积V Sh =．
第十讲 特殊四面体及其性质2
[接上] 第十讲:特殊四面体及其性质 [直角四面体的应用] 例1． 求证判定 (3) 中O —ABC 是直角四面体。 证法一：设正四面体ABCD 的棱长为a ，则其高 DH= 3 ，而ＡＨ＝3a ，DO=OH ＝6 a ，在Rt AHO ?中?2 1 2 OA = a 2 ,同理 OB=OC=OA= 2 a,由勾股定理易证∠AOB=∠BOC=∠COA=90，故得证。 证法二：如图三，将正四面体ABCD 镶嵌在棱长为a 的正方体中， 则正四面体ABCD 中O 、H 是正方体对角线DE 的两个三等分点 [3] ，由定比分点公式得： O( 2,,333a a a )、Ｈ（22,,333a a a ）?AO OB ?=（22,,333a a a -）?（22,,333a a a ）＝０，即OA ⊥OB ，同理OB ⊥OC ，OC ⊥ＯＡ，得证。 例2． (2003年湖南省高中数学竞赛题) S —ABC 是三条棱两两互相垂直的三棱锥，Ｏ为底面ＡＢＣ内一点，若∠OSA=α,∠OSB=,β∠OSC=γ，则tan α?tan β?tan γ∈ ( ) A ． ［)+∞ Ｂ．（０， Ｃ． [1，] Ｄ．（1， 简析：由2．2 (1) I 有cos 2 a+cos 2 β+cos 2 γ=l ?sin 2 α=1–cos 2 α =cos 2 β+cos 2 γ≥2cos β?cos γ，同理有 sin 2β≥2cosacos γ，sin 2γ≥2cos αcos β 三式相乘 有tan 2αtan 2βtan 2γ≥8 ∴选(A) 或以SO 为对角线补成长、宽、高分别设为a 、b 、c 的长方体 ? tan α?tan β?tan γ≥ abc =例3．三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，三侧面与底面所成的二面角分别为30°、45°、60°，底 面积为1，则三棱锥的侧面积为 （ ） (A). 2123++ (B). 213+ (C). 212+ (D). 2 6 解：每一个侧面都是底面在这个侧面所在平面上的射影，由面积射影公式cos θ =S S ' ? S 侧 = S 底·（cos30°+cos45°+cos60°）= 2 1 23++ ∴选 ( A )
求体积的几种常用方
求体积的几种常用方法 体积的求解与计算是高考考查的重点和热点，其方法灵活多样，而分割、补性和等体积法转化是中学常见的几种求体积的方法，其中分割、补形也称为割补法。 1、分割法 对于给出的一个不规则的几何体，不能直接套用公式,常常需要运用分割法,按照结论的要求，将原几何体分割成若干个可求体积的几何体，然后再求和． 例1： 如图1，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，3EF=2 ，EF 与面AC 的距离为2，,则该多面体的体积为 （ ） . 图1 9 A 2 、 B 、5 C 、6 D 、152 解析：方法一： 图2 如图2，连接EB 、EC 、AC 。则四棱锥E-ABCD 的体积 2 E -A B C D 1V =32=63 ??。EAB BEF AB=2EF EF AB S =2S ??∴ ，
F -E B C -E F B -A B E E -A B C E -A B C D 1 1113V =V =V =V =V =2222 2 ∴??Ｃ Ｃ E-ABCD F-EBC 315V=V +V =62 2 ∴=－ 方法二： 图3 如图3，设G 、H 分别为AB 、DC 的中点，则EG ∥FB ，GH ∥BC ，得棱柱EGH-FBC.由题意，得 E-AGHD AGHD 111 V =S 2=332=3332 ∴????? EGH-FBC B-EGH E-BGH E-GBCH E-AGHD 11339 V =V =3V =3V =V =3=.32222 ∴??? E-AGHD EGH-FBC 915 V=V +V =3+=.22 方法三： 有方法一知，E-ABCD V =6∴，故多面体的体积大于6，四个选项只有D 适合。
高考数学例谈构造平行六面体解立体几何题
§2 例谈构造平行六面体解立体几何题 立体几何题的题设中若有“垂直”(包括线线垂直、线面垂直及面面垂直)可以试着构造长方体来求解，若没有“垂直”也可尝试构造平行六面体来求解.本文以普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版)(下简称教科书)中的题目及几道高考题来谈谈这种解题方法. 题1 (教科书第106页例2)如图1，甲站在水库底面上的点A 处，乙站在水坝斜面上的点B 处.从,A B 到直线l (库底与水坝的交线)的距离AC 和BD 分别为a 和b ，CD 的长为c ，AB 的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值. 图1 图2 解 可在如图2所示的平行六面体中求解：因为,//CD AC AC A D '⊥，所以 CD A D '⊥.又CD BD ⊥，所以CD ⊥面A DB '，得AA A B ''⊥，所以222A B d c '=-. 在A BD '?中，由余弦定理可求得2222 cos 2a b c d A DB ab ++-'∠=，此即所求二面角的余弦值. 题 2 (教科书第107页练习第2题)如图3，60?的二面角棱上有,A B 两点，直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4,6,8A B A C B D ===，求 CD 的长.
图3 图4 解 可在如图4所示的平行六面体中求解：在ACE ?中，6,6,6A C A E B D C A E ===∠=? ，由余弦定理可求得252CE =. 可证BA ⊥面ACE ，所以有DE CE ⊥，在CDE ?中可求得CD =. 题3 (教科书第113页第12题)一条线段夹在一个直二面角的两个半平面内，它与两个半平面所成的角都是30?，求这条线段与这个二面角的棱所成角的大小. 解 可在如图5所示的长方体中求解：30ADB DAE ∠=∠=?，可不妨设2AD =， 得1,DE CB AB AE BD BE CD =======，所以在Rt ACD ?中可求得45ADC ∠=?，即夹在直二面角A BE D --的线段AD 与棱BE 所成角的大小是45?. 图5 题 4 已知两平行平面,αβ的距离为，点,A B α∈，点,C D β∈，且3,2AB CD ==，异面直线,AB CD 成60?角，求四面体ABCD 的体积. 解 可在如图6所示的平行六面体中求解： 图6 在图6所示的平行六面体中，60A CD '∠=?或120?， 1 3,23sin 2A CD A C AB S A CD '?''===??∠=，所以
第二十一章 平行六面体的性质及应用答
第二十一章 平行六面体的性质及应用 习题A 1．连1AD ，AC ，设E 为OA 的中点，则11O E D O ∥，于是1EO B ∠即为1D O 与1BO 所成的角，且111 2 O E D O =．不妨设正方体棱长为1， 则11BO D O == ，1O E =， BE = ．在△1BO E 中15 cos 6 BO E =∠为所求． 2．问题的难度在于不易确定该平面与正方体的位置．由条件，设正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，AC ，AD 与所给平面的夹角相同，可知所给平面与面BCD 平行．进一步，面BCD 与此正方体的12条棱的夹角都相同，因而，只需求出棱AD 与面BCD 所成的角．为此，过A 作AH ⊥面BCD ，H 为在面BCD 上的射影，连DH ，就有ADH α=∠．注意到△BCD 为正三角形，可证H 为△BCD 的外心，重心．设正方体棱长为a ， 则2sin 603DH CD = ???，而90AHD =?∠，于 是cos cos DH ADH AD α=== ∠， 故α=． 3．可以用一个平面截正方体得截面为凸五边形．设点I 为正方体1111ABCD A B C D -的棱1BB 延长线上一点，使得11 2 IB BB = ，E 为11A D 的中点，F 为1A A 上的点， 113AF A F =，则由△EAF ∽△11C B I ，知1EF C I ∥，从而1C ，E ，F ，I 共面．设此截面交AB 于G ，交BC 于H ，连GH ，则截面1C EFGH 为凸五边形． 用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形．若截面可以为一个正五边形，则 此五边形的五条边分属于此正方体的五个不同的面，过相对的两个面的截线平行，而正五边形中没有平行的边．结论获证． 4．由第3题，知截面交棱1BB 的延长线于I ，则112BI BB =，可证1 2AG AF GB BI ==， 11113BH BI B C B I ==，于是23BG =，14BH = ，从而可求得GH = 1C H =，512FG = ，EF = 1C E = 512+． 5．将正方体PQRS P Q R S ''''-的各个面依次展开，从正方形PQQ P ''出发，依次为PP Q Q ''， Q QRR ''，Q R S P ''''，R S SR ''，S SPP ''，PSRQ ．从上述展开图可知截面六边形的周长AA '≥， 而AA '= 6．作出正方体AS BC A SB C ''''-，则图中三棱锥S ABC -符合题设条件．连S C '''，则 EF SS '∥，EF 与SA 所成的角即为SS '与SA 所成的角，而45S SA '=?∠，故异面直线EF 与SA 成45?的角． 7．将题给直三棱柱补成正方体1111ABPC A B PC -．分别取BP ，1CF 的中点E ，H ，连1EF ，
高一数学空间几何体的表面积和体积知识点及题型例题
空间几何体的表面积和体积例题解析 一．课标要求了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆，理解为主）。二．命题走向----用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式； 三．要点精讲 1．多面体的面积和体积公式 表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。2．旋转体的面积和体积公式 表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。 四．典例解析 题型1：柱体的体积和表面积
例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：? ??=++=++24)(420 )(2z y x zx yz xy )2()1( 由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16所以l =4(cm)。 点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。 例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD= 3 π 。 （1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积。 图1 图2 解析：（1）如图2，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 。由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD 。∵∠A 1AM=∠A 1AN ， ∴Rt△A 1NA≌Rt△A 1MA,∴A 1M=A 1N ，从而OM=ON 。∴点O 在∠BAD 的平分线上。
在平行六面体中巧解四面体问题
O A B C D E C B A S F z 四面体问题求解中的“嵌”与“补” 江苏省姜堰中学 张圣官（225500） 四面体（即三棱锥）是立体几何中最基本的一个几何体，而它又是与平行六面体密切相关的。有些四面体问题，若将之放到平行六面体背景中，则往往能显现其中隐含的线面关系，从而使问题获得优解。本文通过事例重点说明在正方体或长方体中如何巧解相关的四面体问题。 1． 将四面体“嵌入”到平行六面体中 我们知道，任何一个四面体都可以“嵌入”到一个平行六面体中，而使四面体的六条棱分别是平行六面体六个面的一条面对角线。例如，在证明“四面体顶点到对面三角形重心的四条连线交于一点”（此即为四面体重心）时，实施这种“嵌入”后，问题就转化为论证“平行六面体四条体对角线交于一点”，这就容易多了，而且易得四面体重心把四条连线都 分成3：1的两部分。下面看几例这种“嵌入”的应用。 例1（2000年全国高中数学联赛题）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积是____________________。 分析：将正四面体ABCD “嵌入”到正方体中，使正四 面体的六条棱分别是正方体六个面的面对角线（如图1），则 球O 与正四面体的六条棱都相切等价于球O 与正方体的六个 面都相切。易知正方体棱长为 a 2 2，所以球半径为 a 4 2，故 （图1） 球的体积为36 3334 a R ππ= 。 例2（1990年全国高考题）正三棱锥S-ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） A 900 B 600 C 450 D 300 分析：本题的正三棱锥S-ABC 即为正四面体，将正 四面体SABC “嵌入”到正方体中，使正四面体的六条棱 分别是正方体六个面的面对角线（如图2），易知EF 在正 方体的两底面中心连线上，与正方体的一条侧棱平行。而 SA 与该侧棱所成角是450 ，故异面直线EF 与SA 所成的 角等于450，选（C ）。 （图2） 例3 四面体ABCD 中，AB=CD=5，BC=AD=41，BD=AC=34，求此四面体的 体积。 分析：本题四面体ABCD 的面积可求，但高的位置 不易确定，直接求体积有一定困难。注意到四面体ABCD 的相对棱相等的条件，联想到长方体相对表面的对角线相等这一性质，故可补成长方体解题。 解：将四面体ABCD “嵌入”到长方体中，设长方体 的长、宽、高分别为x 、y 、z ，则有 （图3）
三角形体积计算公式
关实际问题. 教学重点：运用公式解决问题. 教学难点：理解计算公式的由来. 教学过程： 一、复习准备： 1. 讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→ 正方体、长方体的表面积计算公式？ 2. 讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？ → 圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？ 二、讲授新课： 1. 教学表面积计算公式的推导： ① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和） ② 练习：求各面都是边长为10的等边三角形的正四面体S-ABC 的表面积. 一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积. ③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表） 圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S 圆柱侧=2rl π，S 圆柱表=2()r r l π+，其中为r 圆柱底面半径，l 为母线长。 圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面 周长，侧面展开图扇形中心角为0 360r l θ=?，S 圆锥侧=rl π， S 圆锥表=()r r l π+，其中为r 圆锥底面半径，l 为母线长。 圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆 台下底周长，侧面展开图扇环中心角为0 360R r l θ-= ?，S 圆台侧=()r R l π+，S 圆台表=22()r rl Rl R π+++. ④ 练习：一个圆台，上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60°，求圆台的表面积. （变式：求切割之前的圆锥的表面积） 2. 教学表面积公式的实际应用： ① 出示例：一圆台形花盆，盘口直径20cm ，盘底直径15cm ，底部渗水圆孔直径1.5cm ，盘壁长15cm.. 为美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，涂200个这样的花盘要多少油漆？ 讨论：油漆位置？→ 如何求花盆外壁表面积？ 列式 → 计算 → 变式训练：内外涂 ② 练习：粉碎机的上料斗是正四棱台性，它的上、下底面边长分别为80mm 、440mm ，高是200mm, 计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积. 3. 小结：表面积公式及推导；实际应用问题 三、巩固练习： 1. 已知底面为正方形，侧棱长均是边长为5的正三角形的四棱锥S-ABCD ，求其表面积. 2. 圆台的上下两个底面半径为10、20, 平行于底面的截面把圆台侧面分成的两部分面积之比为1：1，求截面的半径. （变式：r 、R ；比为p:q ） 3. ，求这个圆锥的表面积. *4. 圆锥的底面半径为2cm ，高为4cm ，求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值. 5. 面积为2的菱形，绕其一边旋转一周所得几何体的表面积是多少？ 6. 作业：P30 2、P32 习题1、2题.
北大附中高考数学专题复习简单几何体
学科：数学 教学内容：简单几何体 【考点梳理】 一、考试内容 1．棱柱（包括平行六面体）。棱锥。多面体。 2．球。 3．体积的概念与体积公理。棱柱、棱锥的体积。球的体积。 二、考试要求 1．理解棱柱、棱锥、球及其有关概念和性质。 掌握直棱柱、正棱锥、球的表面积和体积公式，并能运用这些公式进行计算。 3．了解多面体的概念，能正确画出棱柱、正棱锥的直观图。 对于截面问题，只要求会解决与几种特殊的截面（棱柱、棱锥的对角面，棱柱的直截面，球的截面）以及已给出图形或它的全部顶点的其他截面的有关问题。 三、考点简析 1．棱柱 2．棱锥 正棱锥是底面正多边形的中心 顶点在底面上的射影 棱锥- --- -- 3．棱柱、棱锥的侧面积与体积 S 正棱柱侧=C h ′ S 正棱锥侧= 21C h ′ V 柱体=S h ′ V 锥体=3 1 S h ′ 4．球
S 球=4πR 2 V 球= 3 4 πR 3 四、思想方法 1．割补法。它是通过“割”与“补”等手段，将不规则的几何体转化为规则的几何体，是一种常用的转化方法。 2．正棱锥的计算问题。应抓住四个直角三角形和两个角。四个直角三角形，即正棱锥的高、侧棱及其在底面上的射影、斜高及其在底面上的射影、底面边长的一半组成的四个直角三角形。两个角，即侧棱与底面所成的线面角，侧面与底面所成的二面角。四个直角三角形所围成的几何体称之为“四直角四面体”，它是解决棱锥计算问题的基本依据，必须牢固掌握。 3．正棱锥的侧面积与底面积的关系。 正棱锥：S 底=S 侧cos α 4．多面体中表面上两点的最短距离。 多面体中表面上两点的最短距离，就是其平面展开图中，连结这两点的线段长度，这是立体几何中求最短距离的基本依据（球面上两点间的距离除外）。 5．关于组合体体积的计算问题。 有很多的几何体，都由一些简单几何体所组成，这样的几何体叫做组合体。 构成组合体的方式一般有两种：其一是由几个简单几何体堆积而成，其体积就等于这几个简单几何体体积之和；其二是从一个简单几何体中挖去几个简单几何体而成，其体积就等于这个几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积。 因此，组合体体积的求法，即为“加、减”法，关键是合理的分割，可使计算简化。 6．关于等积变换问题。 等积变换的依据是等底等高的棱锥体积相等。 等积变换求体积或求点到平面的距离，都是在基本几何体——四面体和平行六面体中进行的。这是因为这些几何体变换底面后，计算体积的方法不变，几何体仍为四面体和平行六面体，这样，我们就可以选择适当的面为底面，使计算简单、易行。 若几何体本身不是四面体或平行六面体，则需先将其分成几个四面体或平行六面体之后，再施行等积变换。 用等积变换求点到平面的距离，是用两种不同的体积计算方法，来建立所求距离的方程，使问题得解。 异面直线间的距离，可转化为点到平面的距离，因此也可用等积变换求解。 用等积变换求距离，可绕过距离的作图，从而降低了题目的难度。 【例题解析】 例1 如图8－1，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是直角三角形，AC ⊥CB ，∠ABC=30°，侧面A 1ABB 1是边长为a 的菱形，且垂直于底面，∠A 1AB=60°，E 、F 分别是AB 1、BC 的中点。 （1）求证：EF ∥侧面A 1ACC 1； （2）求四棱锥A ——B 1BCC 1的体积； （3）求EF 与侧面A 1ABB 1所成角的大小。