二次函数基础讲义.docx
二次函数
、基础知识
1?定义：一般地，如JU y = ax2 +bx + c{a,b,c是常数，d H 0）,那么y叫做兀的二
次函数.
2.二次函数的表示方法：数表法、图像法、表达式.
3.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
②y = ax1 +k； (a H 0)
③ y = a(x - /?)2 (a H 0)顶点式)；
? y = a(x - + k ； ( a 工0)
⑤y = 加+ c.它们的图像都是对称轴平行于（或重合）y轴的抛物线.
1.抛物线= ax2 +加+ c中的系数a,b,c
（1） Q决定开口方向：几个不同的二次函数，如果二次项系数G相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.当。＞0时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当。＜0吋，抛物线开口向下，顶点为其最高点.
（2）b和。共同决定抛物线对称轴的位置：当b = 0时，对称轴为y轴；当°、
b同号吋，对称轴在y轴左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴右侧.
(3)c决定抛物线与y轴交点位置：当c = 0时，抛物线经过原点；当c〉0时,
相交于y轴的正半轴；当c < 0吋,则相交于y轴的负半轴.
2.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法：y = 加+ c = °L + _L[+4dc —庆,顶点是(丄,4心"),
I 2d 丿4a 2a 4a
对称轴是直线X = ~—?
2a
(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线y = ax2^bx^c的解析式化为
y = a(x-h)2^k的形式，得到顶点为(h, k),对称轴是宜线x = h?其中“丄，“如土.
2a 4a
(3)运用抛物线的对称性：抛物线是轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线就是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点??
3.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式：y = ax2 +bx-\-c . B知图像上三点或三对兀、y的值，通常选择一
般式.
(2)顶点式：y = a(x-l^^k. L1知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(3)两点式：已知图像与x轴的交点坐标坷、x2 ,通常选用交点式:
y = a（x - x, X兀—兀2）?
4.抛物线与兀轴的交点
设二次函数y = ax2 +bx + c的图像与兀轴的两个交点的横坐标州、x2,是对
应一元二次方程ax2-^bx + c = 0的两个实数根?抛物线与兀轴的交点情况可以由
对应的一元二次方程的根的判别式来判定：
(1)b2-4ac>0 o抛物线与兀轴有两个交点；
(2)h2-4ac = 0 o抛物线与兀轴冇一个交点(顶点在兀轴上);
(3)b2-4ac<0 o抛物线与x轴没有交点.
典型例题y = ax2 + bx + c的性质
例1.已知二次函数y = kx2 - lx-1与x轴有交点，则1＜的取值范围是---------
例2.二次函数y = ax2 + bx + c的图象如图，则直线y = ax + be的图象不经过
第
例3.二次函数y = ax2 ^-bx + c的图象如图，试判断a、b、c和A的符
号。
巩固练习
4?二次函数y = ax2^bx + c的图象如图，下列结论(l)cVO； (2) b>0； (3) 4a+2b+c >0；
(4) (a+c) 2<0,其屮正确的是：( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
5. 二次函数y m'+bx + c的图象如图，那么obc、2a+b、a+b卜c、a-b+c这四个
代数式屮，值为正数的有( )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
6.己知直线)处+ b的图象经过笫一、二、三象限，那么y = ax2 +bx +1的图象为()
7.
A. x< 1
x的取值范围是(
-x-4,当函数值y随x的增大而减小时,
B. x>l
C. x>—2
D. -2 典型例题——函数图象综合 1、（2011 ill 东德州6,3分）已知函数y = （x - a ）（x - b ）（其中a>b ）的图象如下面图所 示，则函数y = ax+ b 的图象可能正确的是 3、（2011山东聊城，9, 3分）下列四个函数图象中，当x 〈0吋，函数值y 随自变量x 的增 大而减小的是（） 巩固 练习 2>（2011安徽芜湖，10,4分）二次函数y = ax 2 +/zx + c 的图象如图所示,则反比例函数y =— 典型例题--- ^答题 例1张大爷要围成i个矩形花1甫|.花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米.矩形ABCD的面积为S平方米. （1）求S与xZ间的函数关系式（不要求写出白变量x的取值范围）. （2）当x为何值时,S有最大值?并求出最大值. A 花圃 B ----------- 巩固练习 1、用一个长为6分米的铁比丝做成一个一条边长为x分米的矩形，设矩形面积是y平方分米，求①y关于x的函数关系式②当边长为多少时这个矩表面积最大? 2、.在一边靠墙的空地上，用砖墙围成三格的矩形场地（如下图）己知砖墙在地面上占地总长度160m,问分隔墙在地面上的长度x为多少小时所围场地总面积授大？并求这个授大面积。 典型例题y = ax2 +bx + c的最值 例1：心理学家发现，学生对概念的接受能力y和提出概念所用的时间x （单位：分）之间大体满足函数关系式：y = -0.2+2.6兀+ 43 （0WxW30）。y的值越大，表示接受能力越强。试根据关系式回答： （1）若提出概念用10分钟，学牛的接受能力是多少？ （2）概念提出多少时间时？学牛?的接受能力达到最强？ 例2、某地要建造一个圆形喷水池，在水池屮央垂頁于水面安装一个尼形柱T 0A, °恰在水血中心，安宜在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状和同的抛物线路径落下，口在过0A的任一平而上，抛物线形状如图(1)所示。图(2)建立直角坐标系，水流喷出的高度y (米)与水平距离x (米)Z间的关系是y = + #。请回答下列问题: (1)柱子0A的高度是多少米? (2)喷出的水流距水平血的最大高度是多少米? (3) 若不计其他因索，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落 在池外？ 巩固练习 (2008-巴中中考)王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，克飞行路线满足抛物线y = -l?+-x, K中y (m)是球的飞行高度，x (m)是球飞出的水平距离，结果球离? 5 5 ? 球洞的水平距离述有2m. (1)请耳出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴? (2)请求出球飞行的最人水平距离. (3)若土强再一次从此处击球，要想止球飞行的最人高度不变且球刚好进洞，则球飞 行路线应满足怎样的抛物线，求出英解析式. P(m) 典型例题——函数解析式的求法⑴ 1.某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图： （1）根据如图直角坐标系求该抛物线的解析式； （2）若菜农身高为1.60米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有儿米？ （粹确到0.01米） 2.根据下列条件求抛物线的解析式： （1）图象过点（-1, -6）、（1, -2）和（2, 3）； （2）图象的顶点坐标为（-1, -1）,且与y轴交点的纵坐标为-3； （3）图彖过点（1, -5）,对称轴是直线x=l, H图象与x轴的两个交点之间的距离为4。 作业 一、1 ?下列关系式中，属于二次函数的是仪为自变量）（） B.八庐71C”？ D.严兴 2.函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是（） A. （1, -4）2） C. （1, 2） D.（0, 3） 3?抛物线y=2（x?3）2的顶点在（） A.第一象限 B.第二象限 C. x轴上D?y轴上 y = -—4 4.抛物线 * 的对称轴是（） A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D? x=4 5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ A> ab>(), c>0 ab>0, c<0 C? abvO, c>0 y D.ab<0, c<0 6?二次函数y=ax?+bx+c 的图象如图所示, () A ?一 B ?二 C ?三 D ?四 7.如图所示，已知二次函数y=ax 2+bx+c(a^0)的图象的顶点P 的横坐标是4,图象交x 轴于点A(m, 0)和点B,且m>4,那么 AB 的长是() A. 4+m m 9.已知抛物线和直线？在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线 的对称 轴为直线x=-l, Pi(xi ，y) P 2(x 2, y2)是抛物线上的点,Psg y3)是直线/上的点,且-l 人丿=-2(定-D* +6 B y=-2(x —I)3 - 6 C 尸=—+6 ° 才=力—6 11. 二次函数y=x 2-2x+l 的对称轴方程是 __________________ ? 12. 若将二次函数y=x 2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式，则y= ___________ ? 13. 若抛物线y=x 2-2x-3与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 ____________ . 14. 抛物线y=x 2+bx+c,经过A(?l, 0), B(3, 0)两点，则这条抛物线的解析 式为 _______________ . 则点吟在第—象限 C. 2m-8 D. 8-2m &若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax 2+bx 的图象只可能是() 二次函数 一、二次函数的解析式 1. 二次函数解析式有三种： (1)一般式：y ax bx c a =++≠2 0() (2)顶点式：()y a x h k =-+2 顶点为() h k ， (3)交点式：()()y a x x x x =--12 ()()x x 12 0，，是图象与x 轴交点坐标。 2.根据不同的条件，运用不同的解析式形式求二次函数的解析式. 二、二次函数与一元二次方程 1. 二次函数()20y ax bx c a =++≠与一元二次方程 ()200ax bx c a ++=≠的关系。 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值 0y =时的特殊情况。 2.图像与x 轴的交点个数： ①当240b ac ?=->时，图像与x 轴交于两点 ()()()1212,0,,0A x B x x x ≠，其中12,x x 是一元二次方程 ()200ax bx c a ++=≠的两根； ②当0?=时，图像与x 轴只有一个交点； ③当0?<时，图像与x 轴没有交点。 1’ 当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y > 2’ 当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <。 板块一 二次函数解析式 1.(1)把函数232 12++=x x y 化成它的顶点式的形式为_______________________； (2)把函数6422++-=x x y 化成它的交点式形式为 ____________________________； (3)把函数()2 324y x =-+化为它的一般式的形式为 __________________________； 一元二次函数解法讲义 【知识梳理】 1．定义：一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 都是常数，,那么的二次函数是x y 2。二次函数c bx ax y ++=2 ()0≠a 配方得:()k h x a y +-=2 的形式，其中 a b a c k a b h 44,22 -=-= 3。抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①的符号决定抛物线的开口方向： （1）当 时,开口向上;顶点是抛物线的最低点,在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大,当 a b x 2-= ,y 值最小，最小值为 a b ac 442- （2）当 时，开口向下;顶点是抛物线的最高点，在对称轴左侧，y 随ｘ的增大而减小，当 a b x 2-= ,y 值最大,最大值为 a b ac 442- （3）a 相等,抛物线的开口大小、形状相同。 ②平行于y 轴（或重合）的直线记作 ．特别地,ｙ轴记作直线 . 4.顶点决定抛物线的位置：几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、 开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 5.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1)公式法：a b a c a b x a c bx ax y 44)2(2 22 -++=++=, ∴顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线a b x 2-=． （２）配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为k h x a y +-=2 )(的形式，得到顶点为),(k h , 对称轴是直线 . (３）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失． 6.抛物线的作用中，c b a c bx ax y ,,2 ++= （１）决定开口方向及开口大小,这与2 ax y =中的完全一样. 二次函数 一．知识梳理 1、定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程叫做一元二次方。一元二次方程的标准式：ax2+bx+c=0 （a≠0） 其中：ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项 a是二次项系数，b是一次项系数 2、一元二次方程根的判别式（二次项系数不为0）： “△”读作德尔塔，在一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）中△=b2-4ac △=b2-4ac>0 <====> 方程有两个不相等的实数根，即：x1,x2 △=b2-4ac=0 <====> 方程有两个相等的实数根，即：x1=x2 △=b2-4ac<0 <====> 方程没有实数根。 注：“<====>”是双向推导，也就是说上面的规律反过来也成立，如：告诉我们方程没有实数根，我们便可以得出△<0 3、一元二次方程根与系数的关系（二次项系数不为0;△≥0），韦达定理。 ax2+bx+c=0 （a≠0）中，设两根为x1,x2,那么有： 因为：ax2+bx+c=0 （a≠0）化二次项系数为1可得，所以：韦达定理也描述为：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。 注意：（1）在一元二次方程应用题中，如果解出来得到的是两个根，那么我们要根据实际情况判断是否应舍去一个跟。 5、一元二次方程的求根公式： 注：任何一元二次方程都能用求根公式来求根，虽然使用起来较为复杂，但非常有效。 一、求二次函数的三种形式： 1. 一般式：y=ax 2 +bx+c ，（已知三个点） 顶点坐标（－2b a ，244ac b a -） 2.顶点式：y=a （x －h ）2 +k ，（已知顶点坐标对称轴） 顶点坐标（h ，k ） 3.交点式：y=a(x- x 1)(x- x 2)，（有交点的情况） 与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2 对称轴为2 2 1x x h += 二、a b c 作用分析 │a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，│a │越小，开口越大， a ， b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴x=－ 2b <0，即对称轴在y 轴左侧，当a ，b?异号时，对称轴x=－2b a >0， 即对称轴在y 轴右侧，c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置， c=0c<0时，与y?轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出． 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 第一讲 二次函数的定义 知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数， )0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0 考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式 例1、 函数y=（m ＋2）x 2 2-m ＋2x －1是二次函数，则m= ． 例2、 下列函数中是二次函数的有（ ） ①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2 ；④y=21 x ＋x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式． 例4 、如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ， 如果BP=x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ． 训练题: 1、已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数． 2、若函数y=(m 2 +2m －7)x 2 +4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。 3、已知函数y=(m －1)x 2m +1 +5x －3是二次函数，求m 的值。 4、已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系． 5、请你分别给a ，b ，c 一个值，让c bx ax y ++=2 为二次函数，且让一次函数y=ax+b 的图像经过一、二、三象限 6．下列不是二次函数的是（ ） A ．y=3x 2＋4 B ．y=－31 x 2 C ．y=52-x D ．y=（x ＋1）（x －2） 7．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ） A ．m 、n 为常数，且m ≠0 B ．m 、n 为常数，且m ≠n C ．m 、n 为常数，且n ≠0 D ．m 、n 可以为任何常数 第1页共12页 二次函数 【知识点1】二次函数的图象和性质1.二次函数的定义与解析式 (1)二次函数的定义：形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝___ax 2＋bx ＋c (a ≠0)___. 已知三个点的坐标时，宜用一般式. ②顶点式：f (x )＝__a (x －m )2＋n (a ≠0)____.已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式. ③零点式：f (x )＝___a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)__.已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便. 点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.2.二次函数的图象和性质 图象函数性质 a >0 定义域 x ∈R (个别题目有限制的，由解析式确定) 值域 a >0 a <0 y ∈[4ac －b 24a ，＋∞) y ∈(－∞，4ac －b 2 4a ] a <0 奇偶性 b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数 单调性 x ∈(－∞，－ b 2a ]时递减，x ∈[－b 2a ，＋∞)时递增 x ∈(－∞，－ b 2a ]时递增， x ∈[－b 2a ，＋∞) 时递减 图象特点 ①对称轴：x ＝－ b 2a ；②顶点：(－b 2a ，4ac －b 2 4a ) 3.二次函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝b 2 －4ac >0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、 课题一元二次方程的解法 重点、难点熟练掌握一元二次方程的解法 教学内容 一元二次方程的解法： ①因式分解法： 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零. →因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 例题：用因式分解法解方程：3(x-3)=(x-3)2 练习：(2x+3)2=24x （2x-1）(3x+4)=x-4 1.2y-0.04=9y2 (2x-1)2+3(2x-1)=0 ②开平方法：方程的左边是完全平方式，右边是非负数x2=a（a》0） 例题：3x2－27=0; 练习：(x＋1)2=4 (2x－3)2=7 x2＋2x-3=0 ③配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 用配方法解一元二次方程的步骤: 1.变形:把二次项系数化为1 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 例题：x2-6x=-8 练习：(1)3x 2+6x-4=0 (2)2x 2-5x+2=0 ④公式法： 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax 2+bx+c=0(a ≠0). 2.b 2-4ac ≥0. 例题：X 2+2x-3=0 练习： -2m 2+4=-3m 23a 2-a-4 1=0 8y 2-2y-15=0 △ 用三种方法解方程：2532=-x x （1）用因式分解法解: 解:移项,得 3x2-5x-2=0 （ 使方程右边为零） 方程左边因式分解,得(x-2)(3x+1)=0 （方程左边因式分解成A`B=0的形式） 即 x-2=0或3x+1=0（A=0或B=0） 31 ,221-==∴x x （2）用配方法解: 解：两边同时除以3，得: 32352=-x x 左右两边同时加上 2 )65( ，得: .3625323625352+=+-x x 即 .3649652=??? ? ?-x 开平方，得:.36496 5±=-x .31,221-==∴x x （3）用公式法解: 解:移项,得02532=--x x （ 这里a=3,b=-5,c=-2） ())2(34542 2-??--=-∴ac b =49 6753249)5(±=?±--=∴x () .04a c b .2a 4a c b b x 22≥--±-= 第一讲二次函数的定义 知识点归纳 :二次函数的定义：一般地，如果y =aχ2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）,那么y叫做X的二次函数.二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为O 考点：二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式 例1、函数y= ( m + . 2 ) X m2 + 2x —1是二次函数，则m= __________ 例2、下列函数中是二次函数的有（) 1 2 2 2 1 ① y=x + :② y=3 (X —1) 2+ ③ y= (X + 3) —2x ;④ y= 2+ X X X A . 1个 B . 2个 C . 3个D. 4个 例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套.据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为X,请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式. 例4、如图，正方形ABCD的边长为4, P是BC边上一点，QP⊥AP交DC于Q,如果BP=X, △ ADQ的面积为y,用含X 的代数式表示y. A D B 训练题： 1、 已知函数y=aχ2+ bx + C （其中a , b , C 是常数），当a ____ 时，是二次函数；当 a_, b ______ 时，是一次函数; 当a ___ , b ___ , C ___ 时，是正比例函数. 2、 若函数y=（m 2+2m- 7）x 2+4x+5是关于X 的二次函数，贝U m 的取值范围为 __________ 。 2m +1 3、 已知函数y=（m — 1） X +5x - 3是二次函数，求 m 的值。 4、已知菱形的一条对角线长为 a ,另一条对角线为它的 3倍，用表达式表示出菱形的面积 S 与对角线a 的关系. 5、请你分别给a , b , C 一个值，让y = aχ2 ■ bx C 为二次函数，且让一次函数 y=ax+b 的图像经过一、 象限 6. 下列不是二次函数的是（ ） C . m 、n 为常数，且n ≠0 D . m 、n 可以为任何常数 8 .如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为 135°的两面墙，另外两边是总长为 30米的铁 栅栏.（1）求梯形的面积y 与高X 的表达式；（2）求X 的取值范围. 9. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=6cm , BC=12cm .点P 从点A 开始沿AB 方向向点B 以1cm∕s 的速度移动，同 时，点Q 从点B 开始沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动.如果 P 、Q 两点分别到达 B 、C 两点停止移动，设运动 开始后第t 秒钟时，五边形 APQCD 的面积为Scm 2,写出S 与t 的函数表达式，并指出自变量 t 的取值范围. A . y=3χ2+ 4 B . y=— C . y-.x^5 7 .函数y= （m — n ） x 2 + mx + n 是二次函数的条件是（ A . m 、n 为常数，且m ≠0 D . y= (X + 1) (X — 2) ) B . m 、n 为常数，且m ≠ n A D 5. 已知抛物线22 2n-1)1y x x n =+ +-（ (n 为常数)。 (1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式； (2)设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C. ①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长； ②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这 个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由。 三：【课后训练】 1．把抛物线y=－1 2 （x －2）2－1经平移得到（ ） A ．向右平移2个单位，向上平移1个单位； B ．向右平移2个单位，向下平移1个单位 C ．向左平移2个单位，向上平移1个单位； D ．向左平移2个单位，向下平移1个单位 2．某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年增长的百分数都是x ，那么y 与x 的函数关系是（ ） A ．y=x 2+a ； B ．y= a （x －1）2； C ．y=a （1－x ）2； D ．y ＝a （l+x ）2 3．设直线 y=2x —3，抛物线 y=x2－2x ，点P （1，－1），那么点P （1，－1）（ ） A ．在直线上，但不在抛物线上； B ．在抛物线上，但不在直线上 C ．既在直线上，又在抛物线上； D ．既不在直线上，又不在抛物线上 4．二次函数 y=2（x －3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） A ．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为（3，5） B ．开口向下，对称轴x ＝3，顶点坐标为（3，5） C ．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3，5) D ．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3，－5） 5．已知2 (3)21y a x x =-+-是二次函数；当a ______时，它的图 象是开口向上的抛物线，抛物线与y 轴的交点坐标 。 6．抛物线2 y ax bx c =++如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的解析式是 7．求下列函数的解析式 名思教育辅导讲义 学员姓名 张晓楠 辅导科目 数学 年级 初三 授课教师 刘琳琳 课题 二次函数 授课时间 教学目标 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 一、知识点梳理 一、定义与定义表达式 一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y =ax 2+bx +c （a ≠0），则称y 为x 的二次函数。 二、二次函数的三种表达式 一般式：y =ax 2+bx +c （a ≠0） 顶点式：y =a (x -h ) 2+k （a ≠0），此时抛物线的顶点坐标为P （h ，k ） 交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2)（a ≠0）仅用于函数图像与x 轴有两个交点时，x 1、x 2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A （x 1，0）和 B （x 2，0）），对称轴所在的直线为x= 2 x x 2 1+ 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系： h =-a 2b ，k =a 4b -4ac 2 ； x 1, x 2=a 24ac -b b -2± ；x 1+x 2=-a 2b 三、二次函数的图像 从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。 四、抛物线的性质 1．抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 x = - a 2b ，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点P 。特别地，当b =0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x =0） 2．抛物线有一个顶点P ，坐标为P （-a 2b ，a 4b -4ac 2）。 当x =-a 2b 时，y 最值=a 4b -4ac 2，当a >0时，函数 y 有最小值；当a <0时，函数y 有最大值。 当- a 2b =0时，P 在y 轴上（即交点的横坐标为0）；当Δ= b 2-4ac =0时，P 在x 轴上（即函数与x 轴只有一个交点）。 3．二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小（即形状）。 当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下。|a |越大，则抛物线的开口越小。 对于两个抛物线，若形状相同，开口方向相同，则a 相等；若形状相同，开口方向相反，则a 互为相反数。 4．二次项系数a 和一次项系数b 共同决定对称轴的位置，四字口诀为“左同右异”，即： 当对称轴在y 轴左边时，a 与b 同号（即ab ＞0）； 当对称轴在y 轴右边时，a 与b 异号（即ab ＜0）。 5．常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置，抛物线与y 轴交于点（0，c ）。 6．抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交点个数与方程ax 2+bx +c=0的根的判定方法： Δ= b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根； Δ= b 2-4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。 Δ= b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点，对应方程没有实数根。 五、二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数（以下称函数）y =ax 2+bx +c （a ≠0），当y =0时，二次函数为关于x 的一元二次方程，即ax 2+bx +c =0，此时，函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x 轴交点的横坐标即为方程的根。（参考四-6） 二、考点分析 考点一、图象 1、根据二次函数图象提供的信息，判断与a 、b 、c 相关的代数式是否成立 例1、已知二次函数y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的图象如图1所示，有下列5个结论： ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，（ 的实数）其 中正确的结论有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第一讲 二次函数的定义 欧阳光明（2021.03.07） 知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0 考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式 例1、函数y=（m ＋2）x 22-m ＋2x －1是二次函数，则m=． 例2、下列函数中是二次函数的有（） ①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21x ＋x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式． 例4 、如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP=x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ． 训练题: 1、已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数． 2、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为。 3、已知函数y=(m －1)x 2m +1+5x －3是二次函数，求m 的值。 4、已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系． 5、请你分别给a ，b ，c 一个值，让c bx ax y ++=2为二次函数，且让一次函数y=ax+b 的图像经过一、二、三象限 6．下列不是二次函数的是（） A ．y=3x 2＋4 B ．y=－31x 2 C ．y=52-x D ．y=（x ＋1）（x －2） 7．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（） 二次函数 【知识清单】 ※一、网络框架 ※二、清单梳理 1、一般的，形如2 (0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数的函数叫二次函数。例如 22221 2,26,4,5963 y x y x y x x y x x =-=+=--=-+-等都是二次函数。注意：系数a 不能为零，,b c 可以为零。 2(0)0=00=0000000y ax a y a y a y a x y x x y x a x y x x y x ?=≠???? ><>???? <<>??最小值最大值概念：形如的函数简单二次函数图像：是过（0,0）的一条抛物线 对称轴：轴性质最值：当时，；当时，当时，在对称轴左边（即）,随的增大而减小。在对称轴右边（即）,随的增大而增大。 增减性当时，在对称轴左边（即）,随的增大而增大。在对称轴右边（即）,随的增大而减小。二次函数2222(0)004242440=0=440y ax bx c a a a b ac b a a b x a ac b ac b a y a y a a a ???????? ??????????=++≠?><>最小值最大值概念：形如的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。开口方向：，开口向上；，开口向下。图像：是一条抛物线顶点坐标：（-,）对称轴：-最值：当时，，当时，一般二次函数性质：当时，在对称轴左增减性：22022b b x y x x y x a a b b a x y x x y x a a ????????????? ?? ?????????????????<>??????????<<>????????????????边（即-）,随的增大而减小。在对称轴右边（即-）,随的增大而增大。当时，在对称轴左边（即-）,随的增大而增大。在对称轴右边（即-）,随的增大而减小。待定系数法求解析式应用与一元二次方程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题???? ???? ??????????????????? ?? ???? 复习 集合的概念，集合的特点，区间的表示 定义域，值域，映射 初中知识回顾 〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向 〖大纲要求〗 1． 理解二次函数的概念； 2． 会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象； 3． 会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象，了解 特殊与一般相互联系和转化的思想； 4． 会用待定系数法求二次函数的解析式； 5． 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。 增加内容：一定区间上的最值问题，根的分布 主要思想：分类讨论 二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值2 44ac b a -，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 【例1】当22x -≤≤时，求函数2 23y x x =--的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =． 第1-3讲 二次函数全章综合提高 【知识清单】 ※一、网络框架 ※二、清单梳理 1、一般的，形如2 (0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数的函数叫二次函数。例如 22221 2,26,4,5963 y x y x y x x y x x =-=+=--=-+-等都是二次函数。注意：系数a 不能为零，,b c 可以为零。 2、二次函数的三种解析式（表达式） 2(0)0=00=0000000y ax a y a y a y a x y x x y x a x y x x y x ?=≠???? ><>???? <<>??最小值最大值概念：形如的函数简单二次函数图像：是过（0,0）的一条抛物线 对称轴：轴性质最值：当时，；当时，当时，在对称轴左边（即）,随的增大而减小。在对称轴右边（即）,随的增大而增大。 增减性当时，在对称轴左边（即）,随的增大而增大。在对称轴右边（即）,随的增大而减小。二次函数2222(0)004242440=0=440y ax bx c a a a b ac b a a b x a ac b ac b a y a y a a a ???????? ??????????=++≠?><>最小值最大值概念：形如的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。开口方向：，开口向上；，开口向下。图像：是一条抛物线顶点坐标：（-,）对称轴：-最值：当时，，当时，一般二次函数性质：当时，在对称轴左增减性：22022b b x y x x y x a a b b a x y x x y x a a ????????????? ?? ?????????????????<>??????????<<>????????????????边（即-）,随的增大而减小。在对称轴右边（即-）,随的增大而增大。当时，在对称轴左边（即-）,随的增大而增大。在对称轴右边（即-）,随的增大而减小。待定系数法求解析式应用与一元二次方程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题???? ???? ??????????????????? ?? ???? 第一讲 二次函数的定义 知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的 二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0 考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式 例1、 函数y=（m ＋2）x 2 2-m ＋2x －1是二次函数，则m= ． 例2、 下列函数中是二次函数的有（ ） ①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2 ；④y=21x ＋x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式． 例4 、如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP=x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ． 训练题: 1、已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数． 2、若函数y=(m 2 +2m －7)x 2 +4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。 3、已知函数y=(m －1)x 2m +1 +5x －3是二次函数，求m 的值。 4、已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系． 5、请你分别给a ，b ，c 一个值，让c bx ax y ++=2 为二次函数，且让一次函数y=ax+b 的图像经过一、二、三象限 6．下列不是二次函数的是（ ） A ．y=3x 2＋4 B ．y=－3 1x 2 C ．y=52-x D ．y=（x ＋1）（x －2） 7．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ） A ．m 、n 为常数，且m ≠0 B ．m 、n 为常数，且m ≠n C ．m 、n 为常数，且n ≠0 D ．m 、n 可以为任何常数 8．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y 与高x 的表达式；（2）求x 的取值范围． 9．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ．点P 从点A 开始沿AB 方向向点B 以1cm/s 的速度移动，同时，点Q 从点B 开始沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 两点分别到达B 、C 两点停止移动，设运动开始后第t 秒钟时，五边形APQCD 的面积为Scm 2，写出S 与t 的函数表达式，并指出自变量t 的取值范围． 二次函数系数的意义讲义 一．【知识点拨】 (1)a,b,,c 符号判别 二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0） 中a 、b 、c 的符号判别： ①a 的符号判别由开口方向确定：当开口向上时，a ＞0；当开口向下时，a ＜0； ②c 的符号判别由与Y 轴的交点来确定：若交点在X 轴的上方，则c ＞0；若交点在X 轴的下方，则C ＜0； ③b 的符号由对称轴来确定：对称轴在Y 轴的左侧，则a 、b 同号；若对称轴在Y 轴的右侧，则a 、b 异号； （2）抛物线与x 轴交点个数 ①Δ= b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。这两点间的距离： () ()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ? =-=-??? ??-=--=-=-=4442 2 212 212 2121 ②Δ= b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点。 顶点在x 轴上。 ③Δ= b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。 （3）二次函数图像的特殊情况： ①二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）与X 轴只有一个交点或二次函数的顶点在X 轴上，则Δ=b 2-4ac=0； ②二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点在Y 轴上或二次函数的图象关于Y 轴对称，则b=0； ③二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过原点，则c=0； (4)平移、平移步骤： ①将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； 教师寄语： 钉子有两个长处：一个是“挤”劲，一个是“钻”劲。我们在学习上，也要提倡这种“钉子”精神，善于挤和钻。 二次函数讲义 §2.1 二次函数所描述的关系 知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函 数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0 典型例题：例1、 函数y=（m ＋2）x 2 2-m ＋2x －1是二次函数，则m= ． 例2、 下列函数中是二次函数的有（ ） ①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2 ；④y=21 x ＋x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式． 例4 、如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP=x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ． 训练题:1．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一 次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数． 2．当m 时，y=（m －2）x 2 2-m 是二次函数． 3．已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系． 4．在物理学内容中，如果某一物体质量为m ，它运动时的能量E 与它的运动速度v 之间的关系是E=2 1 mv 2（m 为 定值）． （1）若物体质量为1，填表表示物体在v 取下列值时，E 的取值： v 1 2 3 4 5 6 7 8 E （2）若物体的运动速度变为原来的2倍，则它运动时的能量E 扩大为原来的多少倍？ 龙文教育教师辅导讲义 课题一元二次方程的解法 教学目标掌握一元二次方程的四种解法，以及学会根据实际问题列出方程及灵活运用四种方法解出方程 重点、难点熟练掌握一元二次方程的四种解法 教学内容 一元二次方程的解法： ①因式分解法： 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零. →因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 例题：用因式分解法解方程：3(x-3)=(x-3)2 练习：(2x+3)2=24x （2x-1）(3x+4)=x-4 1.2y-0.04=9y2 (2x-1)2+3(2x-1)=0 ②开平方法：方程的左边是完全平方式，右边是非负数x2=a（a》0） 例题：3x2－27=0; 练习：(x＋1)2=4 (2x－3)2=7 x2＋2x-3=0 ③配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一 元二次方程的方法叫做配方法. 用配方法解一元二次方程的步骤: 1.变形:把二次项系数化为1 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 例题：x 2-6x=-8 练习：(1)3x 2+6x-4=0 (2)2x 2-5x+2=0 ④公式法： 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax 2+bx+c=0(a ≠0). 2.b 2 -4ac ≥0. 例题：X 2+2x-3=0 练习： -2m 2+4=-3m 23a 2-a-4 1=0 8y 2-2y-15=0 △ 用三种方法解方程：2532 =-x x （1）用因式分解法解: 解:移项,得 3x2-5x-2=0 （ 使方程右边为零） 方程左边因式分解,得(x-2)(3x+1)=0 （方程左边因式分解成A`B=0的形式） 即 x-2=0或3x+1=0（A=0或B=0） 31 ,221-==∴x x （2）用配方法解: 解：两边同时除以3，得: () .04a c b .2a 4a c b b x 22≥--±-= 二次函数与几何综合（讲义） 课前预习 1. 如图，直线1 12 y x = +经过点A (1，m )，B (4，n )，点C 的坐标为(2，5)，则△ABC 的面积为__________． C O A B x y 提示：利用点坐标求面积，需要将点坐标转化为横平竖直的线段长，常考虑作横平竖直的线来对图形进行割补． 具体操作： ①过点C 作CD ∥y 轴，交AB 于点D ； ②借助C ，D 坐标求解CD 长； ③以CD 为底，则A ，B 两点间的水平距离为高，即 1 ()2 ABC ADC DBC B A S S S CD x x =+=??-△△△． 扫一扫 看视频 对答案 2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3 34 y x =-+与x 轴， y 轴分别交于点A ，B ，点C 的坐标为(0，-2)．若点D 在直 线AB 上运动，点E 在直线AC 上运动，当以O ，A ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形时，点D 的坐标为__________． y x C B A O 提示： （1）分析定点（A ，O ），动点（D ，E ），属于两定两动的平行四边形存在性问题． （2）连接两定点得定线段，考虑：①若定线段作为平行四边形的边，则通过平移确定点的坐标；②若定线段作为平行四边形的对角线，则绕定线段中点旋转，利用中点坐标公式确定点的坐标． （3）利用函数特征和几何特征求解后，结合图形进行验证． 知识点睛 1. “函数与几何综合”问题的处理原则：_________________， _____________________． 2. 研究背景图形： ①研究函数表达式．二次函数关注____________，一次函数关注__________． ②___________________________．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息． 3. 二次函数之面积问题的常见模型 ①割补法——铅垂法求面积： x B -x A x B -x A B A M P P M A B 1()2APB B A S PM x x =??-△ 1 () 2APB B A S PM x x =??-△ ②转化法——借助平行线转化： P A B Q Q B A P 若S △ABP =S △ABQ ， 若S △ABP =S △ABQ ， 当P ，Q 在AB 同侧时， 当P ，Q 在AB 异侧时， PQ ∥AB ． AB 平分PQ ． 初三数学：二次函数考点分析 二次函数的图像考点： 开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点． 二次函数：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0） 一般式：y=ax 2+bx+c ，三个点 顶点式：y=a （x －h ）2+k ，顶点坐标对称轴 顶点坐标（－2b a ，244ac b a -）． 顶点坐标（h ，k ） a b c 作用分析 │a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，│a │越小，开口越大， a ， b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴x=－2b a <0，即对称轴在y 轴左侧，当a ，b?异号时，对称轴x=－2b a >0，即对称轴在y 轴右侧，（左同右异y 轴为0） c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y 轴交于正半轴；c<0时，与y?轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出． 交点式：y=a(x- x 1)(x- x 2)，（有交点的情况） 与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2 对称轴为2 21x x h += 一、二次函数解析式及定义型问题(顶点式中考要点) １.把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为 ２.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与抛物线y= - 2x 2相同，这个函数解析式为________。 ３.如果函数1)3(2 32++-=+-kx x k y k k 是二次函数,则k 的值是______ ４.已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线21y x =-上，下列说法中正确的是（ ） A ．若12y y =，则12x x = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y > D ．若120x x <<，则12y y >初三数学-二次函数讲义-详细
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