如何求三角函数的最值

三角函数的最值问题

三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，也是高中数学中经常涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。解决这类问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图像和三角函数的恒等变形，而且还常涉及到函数、不等式、方程、几何等众多知识，其概念性强，具有一定的综合性和灵活性。而解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法：

一、 配方法： 形如y=asin 2x+bcosx+c 型的函数

特点是含有sinx, cosx ，并且其中一个是二次，处理方式是应用sin 2x+cos 2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用配方或换元法，转化成二次函数来求解。

例1 函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值为（ ）.

A ． 2

B . 0

C . 4

1- D . 6 [分析]本题可通过公式x x 22cos 1sin -=将函数表达式化为2cos 3cos 2+-=x x y ，因含有cosx 的二次式，可换元，令cosx=t ，则

,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得4

1232-??? ??-=t y , ∴≤≤-,11t 当t=1时,即cosx=1时，0min =y ,选B.

例2 求函数y=5sinx+cos2x 的最值

[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。

()

48331612,,221sin 68

3316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 222=+?-=∈+=∴=-=+?-=∈-=-=∴≤≤-+??? ?

?--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππ 二、 引入辅助角法： 形如y=asinx+bcosx 型的函数

特点是含有正余弦函数，并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可：

y=φ)，其中tan b a

φ= 例3求y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最小值，并求出y 取最小值时的x 的集合。

[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +?+=的三角函数求最值问

题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解。

解：y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+sin2x+2cos 2x=1+sin2x+1+cos2x

4

π)

当sin(2x+4

π)=-1时，y 取最小值2-此时x 的集合{x|x=k π-38π, k ∈Z}. 例4 已知函数())cos (sin sin 2x x x x f +=，求函数f(x)的最小正周期和最大值。

[分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式。

解：()??? ?

?-+=+-=+=42212sin 2cos 1cos sin 2sin 22πx sn x x x x x x f ∴ f(x)的最小正周期为π，最大值为21+。

三 、利用三角函数的有界性

在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。

例5求函数1

cos 21cos 2-+=x x y 的值域 [分析] 此为d

x c b x a y -+=cos cos 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解。或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解。

解法一：原函数变形为1cos ,1cos 221≤-+=x x y ，可直接得到：3≥y 或.3

1≤y 解法一：原函数变形为()()

∴≤-+∴≤-+=

,1121,1cos ,121cos y y x y y x 3≥y 或.31≤y 四 、引入参数法（换元法）

对于表达式中同时含有sinx+cosx ，与sinxcosx 的函数，运用关系式

(),cos sin 21cos sin 2x x x x ±=± 一般都可采用换元法转化为t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。

例6 求函数y=sinx+cosx+sinxcosx 的最大值。

[分析]解：().c o s s i n 21c o s s i n 2x x x x +=+令sinx+cosx=t ，则

[]()t t y t t x x +-=∴-∈-=21,2,221c o s s i n 22，其中[]

2,2-∈t 当.221,14sin ,2max +=∴=??? ?

?+=y x t π 五、 利用函数在区间内的单调性

例7 已知()π,0∈x ，求函数x x y sin 2sin +

=的最小值。 [分析] 此题为x

a x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。

设()t

t y t t x 1,10,sin +=≤<=，在（0，1）上为减函数，当t=1时，3min =y 。 六 、分类讨论法

含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论。

例 8 设()??? ??≤≤--

+-=20214sin cos 2πx a x a x x f ，用a 表示f(x)的最大值M(a). 解：().2

14sin sin 2+-+-=a x a x x f 令sinx=t,则,10≤≤t ()().21442214222+-+??

? ??--=+-+-==a a a t a at t x f t g （1） 当

12

≥a ，即()t g a ,2≥在[0，1]上递增， ()();21431-==a g a M （2） 当,120≤≤a 即20≤≤a 时，()t g 在[0，1]上先增后减，();2

14422+-=??? ??=a a a g a M （3） 当,02≤a 即()t g a ,0≤在[0，1]上递减，()().4

210a g a M -==

()????

?????≤-≤≤+-≥-=∴0,42120,2

1442

,21432a a a a a a a a M

以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见。解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在。