高考理科数学考点解析不等式选讲
不等式选讲
一、 选择题
1.(2017·天津高考理科·T8)已知函数f (x )=23,12
,1
x x x x x x ?-+≤?
?+>??设a ∈R,若关于x 的不等式f (x )≥
2
x
a +在R 上恒成立,则a 的取值范围是 ( ) A.47,216??-???? B.4739,1616??-????
C.2??-??
D.3916?
?-???
?
【命题意图】本题考查不等式恒成立问题,题目综合了分段函数、绝对值不等式、二次函数最值、基本不等式等知识点.要求考生掌握分类讨论思想,具有较强的转化能力与综合运算能力.
【解析】选A.不等式f (x )≥2x a +可化为-f (x )≤2
x
+a ≤f (x ) ①, 当x ≤1,①式为-x 2+x-3≤2
x
+a ≤x 2-x+3, 即-x 2+
2x -3≤a ≤x 2-3
2
x+3, 又-x 2
+2x -3=-2
14x ?
?- ???-4716≤-4716, x 2-32x+3=2
34x ?
?- ??
?+3916≥3916,
所以,-
4716≤a ≤39
16
. 当x>1,①式为-x-2x ≤2x +a ≤x+2x ,所以-32x-2x ≤a ≤12x+2
x
,
又-
32x-2x =-3
22
x x ??-+ ???≤
-2,
12x+2
x
≥2,所以
-2≤a ≤2, 综上-4716
≤a ≤2.
2.(2017·天津高考文科·T8)已知函数f (x )=2,12
,1
x x x x x ?+
?+≥?? 设a ∈R,若关于x 的不等式 f (x )≥
2
x
a +在R 上恒成立,则a 的取值范围是 ( ) A.[-2,2] B.[
-22] C.[-2,
2 D .[
-2
2]
【命题意图】本题考查不等式恒成立问题,题目综合了分段函数、绝对值不等式等知识点.要求考生掌握分类讨论思想,具有较强的转化能力与数形结合思想.
【解析】选A.方法一:因为函数f (x )=2,1
2,1
x x x x x ?+
?+≥??所以,令g (x )= 2x a +=22x a +,当x=-2a 时,g (x )取最小值,最小值为0,g (x )是斜率为±
1
2
的一簇折线,当x ≥1时,函数f (x )的最小值在
x=时取到,最小值为
2,所以函数f (x )和g (x )的图象如图所示,所以要使f (x )≥
2x a +恒成立,当a>0时,
应满足2
22a a ≤??
?≤?
?0 方法二:满足题意时f (x )的图象恒不在函数y= 2 x a +下方, 当 ,函数图象如图所示,排除C ,D 选项; 当 a=-2,函数图象如图所示,排除B 选项, 二、填空题 1(2017·浙江高考·T17)已知a ∈R,函数f ()x =4 x a x +-+a 在区间[1,4]上的最大值是5,则a 的取值范围是 . 【命题意图】本题主要考查基本不等式和求解绝对值不等式. 【解析】当x ∈[]1,4时,x+ 4 x ∈[]4,5. (1)当a ≥5时,f (x )=a-x-4x +a=2a-x-4x ,函数的最大值2a-4=5,所以a=9 2(舍去). (2)当a ≤4时,f (x )=x+4x -a+a=x+4 x ≤5,此时符合题意. (3)当4 ()max f x ????=max {}4,5a a a a -+-+, 则4545a a a a a a ?-+≥-+??-+=?? 或4545a a a a a a ?-+<-+??-+=??解得a=92或a<92, 综上可得,实数a 的取值范围是9,2? ?-∞ ?? ?. 答案:9,2? ?-∞ ?? ? 三、简答题 1.(2017·全国丙卷·文科·T23)同(2017·全国丙卷·理科·T23)[选修4—5:不等式选讲](10分) 已知函数f (x )=│x+1│-│x-2│. (1)求不等式f (x )≥1的解集. (2)若不等式f (x )≥x 2-x +m 的解集非空,求m 的取值范围. 【解析】(1)当x ≤-1时, f (x )=-(x+1)+(x-2) =-3<1,无解; 当-1 综上所述,f (x )≥1的解集为[1,+∞). (2)原式等价于存在x ∈R,使f (x )-x 2+x ≥m 成立, 即[f (x )-x 2+x ]max ≥m , 设g (x )=f (x )-x 2+x , 由(1)知g (x )=22 2 3,131,123,2x x x x x x x x x ?-+-≤-??-+--< 当x ≤-1时,g (x )=-x 2+x-3, 其开口向下,对称轴为x=错误！未找到引用源。>-1, 所以g (x )≤g (-1)=-5; 当-1 其开口向下,对称轴为x=错误！未找到引用源。, 所以g (x )≤g 32?? ??? =错误！未找到引用源。, 当x ≥2时g (x )=-x 2+x+3, 其开口向下,对称轴为x=12 , 所以g (x )≤g (2)=1, 综上:g (x )max = 5 4 ,即m 的取值范围为错误！未找到引用源。. 2.(2017·全国乙卷理科·T23)[选修4—5:不等式选讲] 已知函数f (x )=-x 2+ax+4,g (x )=│x+1│+│x-1│. (1)当a=1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集. (2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[-1,1],求a 的取值范围. 【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法及恒成立问题的解决策略. 【解析】方法一:(1)当a=1时,f ()x =-x 2+x+4,是开口向下,对称轴x= 1 2 的二次函数.g ()x =1x ++1x -=2,12,112,1x x x x x >?? -≤≤??-<-? 当x ∈(1,+∞)时,令-x 2+x+4=2x ,解得 g ()x 在(1,+∞)上单调递增,f ()x 在(1,+∞)上单调递减, 所以此时f ()x ≥g ()x 解集为11,2?? ? ?? . 当x ∈[]1,1-时,g ()x =2,f ()x ≥f ()1-=2. 当x ∈(),1-∞-时,g ()x 单调递减,f ()x 单调递增, 且g ()1-=f ()1-=2. 综上所述,f ()x ≥g ()x 的解集为?-?? ?. (2)依题意得:-x 2+ax+4≥2在[]1,1-恒成立. 即x 2-ax-2≤0在[]1,1-恒成立. 则只需()()2 2 1120 1120 a a ?-?-≤??----≤??解得-1≤a ≤1. 故a 取值范围是[]1,1-. 方法二:将函数g (x )=|x+1|+|x-1|化简,可得g (x )=2,1 2,112,1x x x x x >?? -≤≤??-<-? (1)当a=1时,作出函数图象可得f (x )≥g (x )的范围在F 和G 点中间,联立2 24y x y x x =??=-++?可得点 G 112?? ? ???, 因此可得解集为11,2?? -???? . (2)即f (x )≥g (x )在[-1,1]内恒成立,故而可得-x 2+ax+4≥2?x 2-2≤ax 恒成立,根据图象可得:函数y=ax 必须在l 1,l 2之间,故而可得-1≤a ≤1. 3.(2017·全国乙卷文科·T23)[选修4—5:不等式选讲] 已知函数f (x )=-x 2+ax+4,g (x )=│x+1│+│x-1│. (1)当a=1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集. (2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[-1,1],求a 的取值范围. 【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法及恒成立问题的解决策略. 【解析】方法一:(1)当a=1时,f ()x =-x 2+x+4,是开口向下,对称轴x= 1 2 的二次函数.g ()x =1x ++1x -=2,12,112,1x x x x x >?? -≤≤??-<-? 当x ∈(1,+∞)时,令-x 2+x+4=2x ,解得 x= 1 2 g ()x 在(1,+∞)上单调递增,f ()x 在(1,+∞)上单调递减, 所以此时f ()x ≥g ()x 解集为11,2?? ? ?? . 当x ∈[]1,1-时,g ()x =2,f ()x ≥f ()1-=2. 当x ∈(),1-∞-时,g ()x 单调递减,f ()x 单调递增, 且g ()1-=f ()1-=2. 综上所述,f ()x ≥g ()x 的解集为?-??? . (2)依题意得:-x 2+ax+4≥2在[]1,1-恒成立. 即x 2-ax-2≤0在[]1,1-恒成立. 则只需()()22 1120 1120 a a ?-?-≤??----≤??解得-1≤a ≤1. 故a 取值范围是[]1,1-. 方法二:将函数g (x )=|x+1|+|x-1|化简,可得g (x )=2,1 2,112,1x x x x x >?? -≤≤??-<-? (1)当a=1时,作出函数图象可得f (x )≥g (x )的范围在F 和G 点中间,联立2 24y x y x x =??=-++?可得点 G 112?? ? ???, 因此可得解集为11,2??-??? ?. (2)即f (x )≥g (x )在[-1,1]内恒成立,故而可得-x 2+ax+4≥2?x 2-2≤ax 恒成立,根据图象可得:函数y=ax 必须在l 1,l 2之间,故而可得-1≤a ≤1. 4.(2017·全国甲卷文·T23)[选修4-5:不等式选讲](10分) 已知a>0,b>0,a 3+b 3=2,证明: (1)(a+b)(a5+b5)≥4. (2)a+b≤2. 【命题意图】不等式的证明、基本不等式的运用,意在考查学生的推理论证能力和转化与化归的思想方法. 【证明】(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2-b2)2≥4. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b) ≤2+ ()2 3 4 a b +(a+b)=2+()3 3 4 a b +, 所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2. 5.(2017·全国丙卷·理科·T23)[选修4—5:不等式选讲](10分)已知函数f(x)=│x+1│-│x-2│. (1)求不等式f(x)≥1的解集. (2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围. 【解析】(1)当x≤-1时, f(x)=-(x+1)+(x-2)=-3<1,无解. 当-1 f(x)=x+1+(x-2)=2x-1. 令2x-1≥1, 得x≥1, 所以1≤x<2. 当x≥2时, f (x )=x+1-(x-2)=3. 因为3>1, 所以x ≥2. 综上所述,f ()x ≥1的解集为[1,+∞). (2)原式等价于存在x ∈R,使f ()x -x 2+x ≥m 成立, 即()2 max f x x x ??-+?? ≥m. 设g (x )=f (x )-x 2 +x , 由(1)知g ()x =2223,1 31,123,2x x x x x x x x x ?-+-≤-? -+--< 当x ≤-1时,g ()x =-x 2+x-3, 其开口向下,对称轴为x=1 2>-1, 所以g ()x ≤g ()1-=-5. 当-1 32 , 所以g ()x ≤g 32?? ???=5 4 . 当x ≥2时g ()x =-x 2+x+3, 其开口向下,对称轴为x=1 2 , 所以g ()x ≤g ()2=1. 综上:g ()max x = 54,即m 的取值范围为5,4? ?-∞ ?? ?. 6.(2017·全国甲卷理科·T23).[选修4-5:不等式选讲](10分) 已知a>0,b>0,a 3+b 3=2, 证明:(1)(a+b )(a 5+b 5)≥4. (2)a+b ≤2. 【命题意图】不等式的证明、基本不等式的运用,意在考查学生的推理论证能力和转化与化归的思想方法. 【证明】(1)(a+b )(a 5+b 5)=a 6+ab 5+a 5b+b 6 =(a 3+b 3)2-2a 3b 3+ab (a 4+b 4) =4+ab (a 2-b 2)2≥4. (2)因为(a+b )3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 =2+3ab (a+b ) ≤2+错误！未找到引用源。(a+b )=2+错误！未找到引用源。, 所以(a+b )3 ≤8,因此a+b ≤2. 7.(2017·江苏高考·T21)D.[选修4-5:不等式选讲] 已知a ,b ,c ,d 为实数,且a 2+b 2=4,c 2+d 2=16,证明ac+bd ≤8. 【命题意图】主要考查不等式的证明方法,突出考查柯西不等式的应用,考查推理论证能力. 【证明】由柯西不等式可得:(ac+bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2), 因为a 2+b 2=4,c 2+d 2=16, 所以(ac+bd )2≤64, 因此ac+bd ≤8. 【反思总结】柯西不等式的一般形式:设a 1,a 2,…,a n ,b 1,b 2,…,b n 为实数,则 ()222 12n a a a ++ +()222 12n b b b +++≥(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2,当且仅当b i =0或存在一个数k ,使 a i =k b i (i=1,2,…,n )时,等号成立. 2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲................................................................................................................................. 9．解析几何（含解析） 一、选择题 【2019，10】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =， 1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154 x y += 【2018.8】抛物线C ：y 2=4x 焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为 23直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【2018.11】已知双曲线C ：2 213 x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN △为直角三角形，则|MN |= A ． 32 B ．3 C ． D ．4 【2017，10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 【2016，10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【2016，5】已知方程1322 22=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的 取值范围是（ ） A ．)3,1(- B ．)3,1(- C ．)3,0( D ．)3,0( 【2015，5】已知00(,)M x y 是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ?的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A B ．3 C D ．3m 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D 年高考真题理科数学解析分类汇编 12 统计 16 不等式选讲 选考内容 （二）不等式选讲 1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： （1）. （2）. （3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： . 2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明. （1）柯西不等式的向量形式： （2）. （3）. （此不等式通常称为平面三角不等式.） 3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形： 4．会用向量递归方法讨论排序不等式. 5．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题. 6．会用数学归纳法证明伯努利不等式： 了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立. 7．会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值. 8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 1．从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要以选考的方式，在解答题中出现，考查解绝对值不等式、证明不等式等. 2．从考查内容来看，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明，求最值问题等. 3．从考查热点来看，重点在于考查学生解不等式及利用不等式求解最值问题等，绝对值不等式与函数问题的综合是高考的趋势，值得关注. 考向一 绝对值不等式的求解 样题1 （2018新课标全国Ⅱ理科）设函数 ． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围． 样题2 （2018新课标全国Ⅲ理科）设函数 ． （1）画出()y f x =的图象； （2）当[)0x +∞∈，，，求a b +的最小值． 【解析】（1）()y f x =的图象如图所示． 专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科） 一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络 其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起 例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。 例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时， 专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且 ．若 ， 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则 ，令 得，所以当时， ，当 时， ，因此 ， 若公比 ，则 ，不合题意；若公比 ，则 但，即 ，不合题意；因此， ，选B. 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，. （I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有，故 . （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 专题八 直线 与圆 1.【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：2 2 4210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ） A 、2 B 、 C 、6 D 、 【答案】C 【解析】圆C 标准方程为2 2 (2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此 2110a +?-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===. 选C . 【考点定位】直线与圆的位置关系. 【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P 到 圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P 所作切线的长l = ． 2.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C 【解析】由已知得321143AB k -= =--，27 341 CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ?为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为 22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±-，所以MN =C ． 【考点定位】圆的方程． 【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC ?是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题． 3.【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆52 2 =+y x 相切的直线的方程是（ ） A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x 典型例题一 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或 0)( ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 （1）解：原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 （2）解法一：原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二：原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三 2017年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题）目录 专题一 集合 ............................................................................................................................................................................... 1 专题二 函数 ............................................................................................................................................................................... 6 专题三 三角函数...................................................................................................................................................................... 21 专题四 解三角形...................................................................................................................................................................... 32 专题五 平面向量...................................................................................................................................................................... 40 专题六 数列 ............................................................................................................................................................................. 48 专题七 不等式 ......................................................................................................................................................................... 68 专题八 复数 ............................................................................................................................................................................. 80 专题九 导数及其应用 .............................................................................................................................................................. 84 专题十 算法初步.................................................................................................................................................................... 111 专题十一 常用逻辑用语 ........................................................................................................................................................ 120 专题十二 推理与证明 ............................................................................................................................................................ 122 专题十三 概率统计 ................................................................................................................................................................ 126 专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何 .................................................................................................................... 149 专题十五 点、线、面的位置关系 ........................................................................................................................................ 185 专题十六 平面几何初步 ........................................................................................................................................................ 186 专题十七 圆锥曲线与方程 .................................................................................................................................................... 191 专题十八 计数原理 .............................................................................................................................................................. 217 专题十九 几何证明选讲 ...................................................................................................................................................... 220 专题二十 不等式选讲 .......................................................................................................................................................... 225 专题二十一 矩阵与变换 ........................................................................................................................................................ 229 专题二十二 坐标系与参数方程 .. (230) 专题一 集合 1.（15年北京文科）若集合{}52x x A =-<<，{} 33x x B =-<<，则A B =I （ ） A ．{} 32x x -<< B ．{} 52x x -<< C ．{} 33x x -<< D ．{} 53x x -<< 【答案】A 考点：集合的交集运算. 2.(15年广东理科) 若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =I A ．? B ．{}1,4-- C ．{}0 D ．{}1,4 全国高考理科数学历年试题分类汇编 （一）小题分类 集合 （2015卷1）已知集合A={x x=3n+2,n ∈N},B={6,8,10,12,14}，则集合A ?B 中的元素个（ ）（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 1. （2013卷2）已知集合M ＝{x|－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝( )． A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{－3，－2，－1} 2. （2009卷1）已知集合A=1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}，则A ?B= A ．{3，5} B ．{3，6} C ．{3，7} D ．{3，9} 3. （2008卷1）已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }， N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ ） {A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 复数 1. （2015卷1）已知复数z 满足(z-1)i=1+i ，则z=（ ） （A ） -2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i 2. （2015卷2）若a 实数，且 i ai ++12=3+i,则a= （ ） A.-4 B. -3 C. 3 D. 4 3. （2010卷1）已知复数() 2 313i i z -+= ，其中=?z z z z 的共轭复数，则是（ ） A= 4 1 B= 2 1 C=1 D=2 向量 1. （2015卷1）已知点A(0,1),B(3,2)，向量AC =(-4,-3)，则向量BC = ( ) （A ） (-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4) 2. （2015卷2）已知向量=(0,-1),=(-1,2),则() ?+2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. （2013卷3）已知两个单位向量，的夹角为60度，()0,1=?-+=t t 且，那么t= 程序框图 （2015卷2）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A . 0 B. 2 C. 4 D.14 最新新课标2013年全国高考理科数学试题分类汇编6：不等式 一、选择题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设正实数 ,,x y z 满足 22340x xy y z -+-=,则当xy z 取得最大值时,212x y z +- 的最大值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．94 D ．3 【答案】B 2 ．（2013年高考陕西卷（理））设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有 （ ） A ．[-x ] = -[x ] B ．[2x ] = 2[x ] C ．[x +y ]≤[x ]+[y ] D ．[x -y ]≤[x ]-[y ] 【答案】D 3 ．（2013年高考湖南卷（理））若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤?? +≤??≥-? ,2x y +则的最大值是 （ ） A ．5- 2 B ．0 C ． 53 D ． 52 【答案】C 4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关 于x 的不等式() ()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22 A ?? -????? , 则实数a 的取值范围是 （ ） A ． ????? B ．? ???? C ． ?? ????? ?? D ．?- ?? ∞ 【答案】A 5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知0a >,,x y 满足约 束条件1 3(3)x x y y a x ≥?? +≤??≥-? ,若2z x y =+的最小值为1,则a = （ ） A ． 14 B ． 12 C ．1 D ．2 【答案】B 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设变量x , y 满足约束条件360,20, 30,x y y x y ≥--≤+-?-≤? ???高考数学试题分类大全
2011—2019年新课标全国卷1理科数学分类汇编——9.解析几何
高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
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全国高考理科数学试题分类汇编—统计
1. 【 高 考 上 海 理 17 】 设 10 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 10 4 ， x5 ? 10 5 ， 随 机 变 量 ?1 取 值
x1、x 2、x 3、x 4、x 5 的 概 率 均 为 0.2 ， 随 机 变 量 ? 2 取 值
x1
? 2
x2
、x2
? 2
x3
、x3
? 2
x4
、x4
? 2
x5
、x5
? 2
x1
的概率也均为 0.2
，若记
D?1、D? 2
分别为
?1、?2 的方差，则（ ）
A． D?1 ? D?2
B． D?1 ? D?2
C． D?1 ? D?2
D． D?1 与 D? 2 的大小关系与 x1、x2、x3、x4 的取值有关
【答案】A
【 解 析 】 由 随 机 变 量 ?1,?2 的 取 值 情 况 ， 它 们 的 平 均 数 分 别 为 ：
1 x1 ? 5 (x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ),
，
x2
?
1? 5 ??
x1
? 2
x2
?
x2
? 2
x3
?
x3
? 2
x4
?
x4
? 2
x5
?
x5
? 2
x1
? ??
?
x1,
且随机变量?1 ,? 2 的概率都为 0.2 ，所以有 D?1 ＞ D? 2 . 故选择 A.
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提 和基础，本题属于中档题. 2.【高考陕西理 6】从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机，对其销售额进行统计，
统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 ， x乙 ，中位数分
别为 m甲 ， m乙，则（
）
A. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
B. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
C. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
D. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
【答案】B.
【解析】根据平均数的概念易计算出
x甲
?
x乙
，又 m甲
?
18 ? 22 2
?
20 ，m乙
?
27 ? 31 2
?
29
故选 B.
3.【高考山东理 4】采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编
号为 1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32
人中，编号落入区间?1, 450?的人做问卷 A ，编号落入区间?451, 750? 的人做问卷 B ，其余不等式选讲-2019年高考理科数学解读考纲
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