矩阵理论第一二章 典型例题

《矩阵理论》第一二章 典型例题

一、 判断题

1．A n 为阶实对称矩阵，n R x 对中的列向量， ||x |A

x =定义, ||x||x 则为向量 的范数. ( )

2．设A n 为阶Hermite 矩阵，

12,,,n λλλ是矩阵A 的特征值，则2

2

21

||||n

m i i A λ==∑.

( )

3. 如果m n A C ?∈，且0A ≠，()H AA AA --=, 则2||||AA n -=. ( )

4. 若设n

x R ∈，则212||||||||||x x x ≤≤. ( ) 5. 设m n A R

?∈的奇异值为12n σσσ≥≥

≥，则2

22

1

||||n

i i A σ==∑. ( )

6. 设n n A C ?∈，且有某种算子范数||||?，使得||||1A <，则11

||()||1||||

E A A -->

-,

其中E 为n 阶单位矩阵. ( )

7. 设2H A E uu =-(其中，E 为n 阶单位矩阵，2||||1n u C u ∈=且)，则2||||m A =

( )

8. 设n n A C ?∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( )

9.设n

n C

A ?∈可逆，n

n C

B ?∈，若对算子范数有1

||||||||1A B -?<，则B A +可逆.

( )

10. 设A 为m n ?矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则PA 与A 有相同的奇异值. ( ) 11. 设n n

A C

?∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A ∞=. ( )

12. 如果12(,,

,)T n n x x x x C =∈，则1||||min i i n

x x ≤≤=是向量范数. ( )

13. 设,n n A C ?∈则矩阵范数m

A ∞

与向量的1-范数相容. ( )

14、设n n

A C

?∈是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数

有1I A -≥, 其中I 为单位矩

阵. ( )

二、 设m n

A C

?∈，,||

||||ij i j

A a =，证明:

(1)||||A 为矩阵范数; (2)||||A 为与向量2-范数相容.

三、 试证：如果A 为n 阶正规矩阵，且Ax x λ=和Ay y μ=，其中，λμ≠，那么x 与y

正交.

四、 (1) 设(1)n n

A C

n ?∈>为严格对角占优矩阵，1122(,,

,)nn D diag a a a =，其中

(1,2,

,)ii a i n =为A 的对角元，E 为n 阶单位矩阵，则存在一个矩阵范数||||?使得

1()1r E D A --<.

(2) 设n n

A C ?∈, ε为任意给定的正数，()r A 为矩阵的谱半径。证明：至少存在一个矩

阵范数||||A 使得||||().A r A ε≤+

五．设矩阵U 是酉矩阵, 12diag(,,

,)n A a a a =, 证明: UA 的所有特征值λ满足不等式

{||}||{||}max min i i i

i

a a λ≤≤.

六. 设||||a ?是n n

C

?上的相容的矩阵范数, 矩阵,B C 都是n 阶可逆矩阵, 且1

||||a B

-及

1||||a C -都小于或等于1, 证明: 对任意矩阵n n A C ?∈

||||||||b a A BAC =

定义了n n

C

?上的一个相容的矩阵范数.

七．设A 是可逆矩阵,

λ是A 的一个特征值, 对于任意的算子范数||||?, 证明1

1

||||||

A λ-≥

. 八. 设A 是Hermite 矩阵()H

A A =，且A 的特征值12n λλλ===，证明矩阵A 的

Rayleigh 商恒等于1λ.

九．已知n n C ?中的两种矩阵算子范数|| ||a 与|| ||b , 对于任意矩阵n n A C ?∈, 验证 ||||||||||||a b A A A =+是n n C ?中的相容矩阵范数.

十．设矩阵m n

r

A C ?∈的非零奇异值为12,,

,r σσσ(0r >), 求证

122

1

||||().r

F i i A σ==∑

十一. 设矩阵n n

A C

?∈可逆, 矩阵范数||||?是n

C 上的向量范数||||v ?诱导出的算子范数, 令

()L x Ax =, 证明:

||||11||||1

max ||()||||||||||min ||()||v v v

x v

y L x A A L y =-==?.

证明: 根据算子范数的定义, 有||||1

max ||()||||||x L x A ==,

1

11

00||||1||||1

0||||||||111||||max max ||||||||||||min ||||min ||()||min ||||

y A x x y y y y A x y A Ay x Ay Ay L y y --=-≠≠==≠=====,

结论成立.

十二. 设矩阵n n

A C ?∈为单纯矩阵, 证明: A 的特征值都是实数的充分必要条件是存在正定

矩阵n n

H C ?∈, 使得HA 为Hermite 矩阵.

十三. (1) 设矩阵()ij n n A a ?=, 则

,||||max ||a ij i j

A n a =?

是矩阵范数.

(2) 设,,,n x y p q C ∈, 矩阵H H A xp yq ,x y,p q =+⊥⊥其中，求2||||m A .