期望与方差例习题选讲(含详解)

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概率统计（理）典型例题选讲

(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝)

()(I card A card ＝n

m ;

等可能事件概率的计算步骤：

① 计算一次试验的基本事件总数n ;

② 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ;

③ 依公式()m P A n

=求值;

=6)=.=9)= .?? .???

则期望Eξ=6×+9×+12×=7.8,????

方差Dξ=(6-7.8)2+(9-7.8)2+(12-7.8)2=3.36.

2.（2010江西）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即

等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2

小时、3

令ξ

(Ⅰ)求ξ

(Ⅱ)求ξ

解：(Ⅰ

，

(Ⅱ)（小时）．

3 ．（ξ的

诉2

ξ

∴

A表示“两个月内有一个月被投诉2次,另

(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”事件

1

A表示“两个月内每月均被投诉12次”

外一个月被投诉0次”;事件

2

则由事件的独立性得

故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17

4．（浙江省温州市2010届高三八校联考（理））甲乙两队参加某知识竞赛,每队3人,每人回答一个

问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分?假设甲队中每人答对的概率均为3

2

,乙队中3人答

对的概率分别为2

1

,32,32且各人回答正确与否相互之间没有影响.用ξ表示乙队的总得分.

(Ⅰ)求随机变量ξ的分布列和数学期望;

(Ⅱ)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求)|(A B P ?

1

111

(2)(P η∴P 5．已知只有,且

表示6 ．是2

5

线需要10秒钟,一辆左转去北向的车模驶出停车线需要20秒钟,求: (Ⅰ)前4辆车模中恰有2辆车左转行驶的概率;

(Ⅱ)该车模在第一次绿灯亮起时的1分钟内通 过该路口的概率(汽车驶出停车线就算通过路口). 【答案】(Ⅰ)设前4辆车模中恰有2辆左转行驶为事件A,

则 ()222432216()()5

5

625

P A C =?=

(Ⅱ)设该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口为

事件B,其中4辆车模均

直行通过路口为事件1B ,3辆直行1辆左转为事件2B ,则事件1B 、2B 互斥.

7．（2009高考(湖北理)）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6。现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x ；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y ，记随机变量

η＝x ＋y ，求η的分布列和数学期望。

【答案】：依题意，可分别取5η=、6、????11取，则有

E η8．(2012(1)n ∈N )(2)以方差；

解：所以y ＝??

?(2)①X 可能的取值为60,70,80，并且

P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7， X 的数学期望为

E (X )＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76. (6分)

X 的方差为

D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.(8分)

②答案一：

花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：

若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为

Y的数学期望为

E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.

Y

D(Y)＝112.04.

虽然E(X

Y

E(Y)

枝时9.

篮．教师甲在A和B点投中的概率分别是1

2

和

1

3

，且在A，B两点投中与否相互独立．

(1)若教师甲投篮三次，试求他投篮得分X的分布列和数学期望；

(2)若教师乙与甲在A，B点投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率．

答案(1)E(X)＝3 (2)19 48

解析设“教师甲在A点投中”的事件为A，“教师甲在B点投中”的事件为B.

(1)根据题意知X 的可能取值为0,2,3,4,5,7.

P (X ＝0)＝P (A B A )＝(1－12)2×(1－13)＝16

，

P (X ＝2)＝P (A B A ＋A B A )＝C 12×12×(1－13)×(1－12)＝13

， P (X ＝3)＝P (A B A )＝(1－12)×13×(1－12)＝112，

P (X ＝4)＝P (A B A )＝12×(1－13)×12＝1

6

，

P (X P (X E (X )(2)P ＝13×10.(2013这4（1（2D ∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=32

44111(()222C ??+411(22?=364

.…6分

（Ⅱ）X 的可能取值为400,500,800，并且

P(X=400)=1-3344111()()222C ?-=1116，P(X=500)=116，P(X=800)=33

411()22C ?=14

，

……10分

EX=400×1116+500×116+800×1

4

=506.25 ……12分

11.（2011天津高考）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）

（Ⅰ）求在1次游戏中，

（i）摸出3个白球的概率；

（ii）获奖的概率；

（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．

解：（Ⅰ）（i）设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件A

i

（i=，0，1，2，3），

则P（A

3

）=，

（ii）设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B=A

2∪A

3

，

又P（A

2）=，且A

2

、A

3

互斥，

所以P（B）=P（A

2）+P（A

3

）=；

（Ⅱ）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2．

P（X=0）=（1﹣）2=，P（X=1）=C

2

1（1﹣）=，P（X=2）=（）2=，

所以X的分布列是

X的数学期望E（X）=0×．

12.（2010四川）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为。甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶

该饮料。

（1）求甲中奖且乙、丙没有中奖的概率；

（2）求中奖人数的分布列及数学期望E。

(1)P=?；

（2）

0 1 2 3

P

?服从二项分布，E=3×=?。

13.（2009北京高考）某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的

概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2min．

（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;?????????????

（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望．

解：（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件A的概率为．

?? （2）由题意,可得可能取的值为0,2,4,6,8（单位:min）．????

事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”（0,1,2,3,4）,

∴,???

∴即的分布列是

0 2 4 6 8

∴的期望是．

14、(2014课标卷)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别是0.6， 0.5,0.5,0.4，各人是否使用设备相互独立，

（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；

(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.

（1）0.31?（2）3