期望与方差例习题选讲(含详解)

期望与方差例习题选讲(含详解)
期望与方差例习题选讲(含详解)

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概率统计(理)典型例题选讲

(1)等可能性事件(古典概型)的概率:P (A )=)

()(I card A card =n

m ;

等可能事件概率的计算步骤:

① 计算一次试验的基本事件总数n ;

② 设所求事件A ,并计算事件A 包含的基本事件的个数m ;

③ 依公式()m P A n

=求值;

=6)=.=9)= .?? .???

则期望Eξ=6×+9×+12×=7.8,????

方差Dξ=(6-7.8)2+(9-7.8)2+(12-7.8)2=3.36.

2.(2010江西)某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门,系统会随机(即

等可能)为你打开一个通道.若是1号通道,则需要1小时走出迷宫;若是2号、3号通道,则分别需要2

小时、3

令ξ

(Ⅰ)求ξ

(Ⅱ)求ξ

解:(Ⅰ

(Ⅱ)(小时).

3 .(ξ的

诉2

ξ

A表示“两个月内有一个月被投诉2次,另

(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”事件

1

A表示“两个月内每月均被投诉12次”

外一个月被投诉0次”;事件

2

则由事件的独立性得

故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17

4.(浙江省温州市2010届高三八校联考(理))甲乙两队参加某知识竞赛,每队3人,每人回答一个

问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分?假设甲队中每人答对的概率均为3

2

,乙队中3人答

对的概率分别为2

1

,32,32且各人回答正确与否相互之间没有影响.用ξ表示乙队的总得分.

(Ⅰ)求随机变量ξ的分布列和数学期望;

(Ⅱ)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求)|(A B P ?

1

111

(2)(P η∴P 5.已知只有,且

表示6 .是2

5

线需要10秒钟,一辆左转去北向的车模驶出停车线需要20秒钟,求: (Ⅰ)前4辆车模中恰有2辆车左转行驶的概率;

(Ⅱ)该车模在第一次绿灯亮起时的1分钟内通 过该路口的概率(汽车驶出停车线就算通过路口). 【答案】(Ⅰ)设前4辆车模中恰有2辆左转行驶为事件A,

则 ()222432216()()5

5

625

P A C =?=

(Ⅱ)设该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口为

事件B,其中4辆车模均

直行通过路口为事件1B ,3辆直行1辆左转为事件2B ,则事件1B 、2B 互斥.

7.(2009高考(湖北理))一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片,分别标有数2,3,4,5;另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片,分别标有数3,4,5,6。现从一个盒子中任取一张卡片,其上面的数记为x ;再从另一盒子里任取一张卡片,其上面的数记为y ,记随机变量

η=x +y ,求η的分布列和数学期望。

【答案】:依题意,可分别取5η=、6、????11取,则有

E η8.(2012(1)n ∈N )(2)以方差;

解:所以y =??

?(2)①X 可能的取值为60,70,80,并且

P (X =60)=0.1,P (X =70)=0.2,P (X =80)=0.7, X 的数学期望为

E (X )=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76. (6分)

X 的方差为

D(X)=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44.(8分)

②答案一:

花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:

若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为

Y的数学期望为

E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.

Y

D(Y)=112.04.

虽然E(X

Y

E(Y)

枝时9.

篮.教师甲在A和B点投中的概率分别是1

2

1

3

,且在A,B两点投中与否相互独立.

(1)若教师甲投篮三次,试求他投篮得分X的分布列和数学期望;

(2)若教师乙与甲在A,B点投中的概率相同,两人按规则各投三次,求甲胜乙的概率.

答案(1)E(X)=3 (2)19 48

解析设“教师甲在A点投中”的事件为A,“教师甲在B点投中”的事件为B.

(1)根据题意知X 的可能取值为0,2,3,4,5,7.

P (X =0)=P (A B A )=(1-12)2×(1-13)=16

P (X =2)=P (A B A +A B A )=C 12×12×(1-13)×(1-12)=13

, P (X =3)=P (A B A )=(1-12)×13×(1-12)=112,

P (X =4)=P (A B A )=12×(1-13)×12=1

6

P (X P (X E (X )(2)P =13×10.(2013这4(1(2D ∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=32

44111(()222C ??+411(22?=364

.…6分

(Ⅱ)X 的可能取值为400,500,800,并且

P(X=400)=1-3344111()()222C ?-=1116,P(X=500)=116,P(X=800)=33

411()22C ?=14

……10分

EX=400×1116+500×116+800×1

4

=506.25 ……12分

11.(2011天津高考)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)

(Ⅰ)求在1次游戏中,

(i)摸出3个白球的概率;

(ii)获奖的概率;

(Ⅱ)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X).

解:(Ⅰ)(i)设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件A

i

(i=,0,1,2,3),

则P(A

3

)=,

(ii)设“在一次游戏中获奖”为事件B,则B=A

2∪A

3

又P(A

2)=,且A

2

、A

3

互斥,

所以P(B)=P(A

2)+P(A

3

)=;

(Ⅱ)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.

P(X=0)=(1﹣)2=,P(X=1)=C

2

1(1﹣)=,P(X=2)=()2=,

所以X的分布列是

X的数学期望E(X)=0×.

12.(2010四川)某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为。甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶

该饮料。

(1)求甲中奖且乙、丙没有中奖的概率;

(2)求中奖人数的分布列及数学期望E。

(1)P=?;

(2)

0 1 2 3

P

?服从二项分布,E=3×=?。

13.(2009北京高考)某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的

概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2min.

(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;?????????????

(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.

解:(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件A的概率为.

?? (2)由题意,可得可能取的值为0,2,4,6,8(单位:min).????

事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”(0,1,2,3,4),

∴,???

∴即的分布列是

0 2 4 6 8

∴的期望是.

14、(2014课标卷)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别是0.6, 0.5,0.5,0.4,各人是否使用设备相互独立,

(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;

(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用,若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1,求k的最小值.

(1)0.31?(2)3

样本方差的期望

方差: 方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。统计中的方差(样本方差)是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。在许多实际问题中,研究方差即偏离程度有着重要意义。 方差是衡量源数据和期望值相差的度量值。 历史: “方差”(variance)这一词语率先由罗纳德·费雪(Ronald Fisher)在其论文《The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance》中提出。 统计学意义: 当数据分布比较分散(即数据在平均数附近波动较大)时,各个数据与平均数的差的平方和较大,方差就较大;当数据分布比较集中时,各个数据与平均数的差的平方和较小。因此方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动就越小。 样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差;样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量,样本方差或样本标准差越大,样本数据的波动就越大。 最近进展:

方差不仅仅表达了样本偏离均值的程度,更是揭示了样本内部彼此波动的程度,也可以理解为方差代表了样本彼此波动的期望。当然,这个结论是在二阶统计矩下成立。 样本方差: 先求出总体各单位变量值与其算术平均数的离差的平方,然后再对此变量取平均数,就叫做样本方差。样本方差用来表示一列数的变异程度。样本均值又叫样本均数。即为样本的均值。 均值是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。 简介: 在许多实际情况下,人口的真实差异事先是不知道的,必须以某种方式计算。当处理非常大的人口时,不可能对人口中的每个物体进行计数,因此必须对人口样本进行计算。样本方差也可以应用于从该分布的样本的连续分布的方差的估计。

方差典型例题

方差典型例题 【例1】选用恰当的公式,求下列各数据的方差。 (1)-2,1,4 (2)-1,1,2 (3)79,81,82 分析:由于(1)中各数据及它们的平均数为较小整数,因此选用公式: 求方差较简便;(2)中各数据虽为较小整数,但 它们的平均数为分数,因此选用公式:求方差较简便;(3)中数据较大且接近80,因此取运用公式: 求方差较简便。 答案:(1);(2);(3) 【例2】甲、乙两人在相同条件下,各射靶10次,每次射靶的成绩情况如图所示, (1)请填写下表:

①从平均数和方差相结合看; ②从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些); ③从平均数和命中9环以上次数相结合看(分析谁的成绩好些); ④从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力) 解:(1)略; (2)①∵平均数相同,,∴甲的成绩比乙稳定; ②∵平均数相同,甲的中位数<乙的中位数,∴乙的成绩比甲好些; ③∵平均数相同,命中9环以上环数甲比乙少,∴乙的成绩比甲好些; ④甲成绩的平均数上下波动,而乙处于上升势头,从第四次以后就没有比甲少的情况发生,乙较有潜力。 【例3】某工人加工一种轴,轴的直径要求是20±5毫米,他先加工了8件,量得直径分别为(单位:毫米):19.7、20.2、19.6、19.8、20.2、20.3、19.8、20.0。当他加工完10件后,发现这10件的直径平均数为20毫米,标准差为0.3毫米,请问此工人最后加工的两件轴的直径符合要求吗?为什么? 分析:要想作出正确的判断,需首先根据已知的平均数和标准差求出最后加工的两件轴的直径。 解:此工人最后加工的两件轴中,只有一件的直径符合要求。 设最后加工的两件轴的直径分别为毫米,毫米(≤),令,,取,则。 由得: 由得: ∴有方程组,解得: ∴, 因此该工人最后加工的两件轴中有一件是符合要求的(直径为19.8毫米的),一件是不符合要求的(直径为20.6毫米的)。

期望与方差例题选讲含详解

概率统计(理)典型例题选讲 (1)等可能性事件(古典概型)的概率:P (A )=) ()(I card A card =n m ; 等可能事件概率的计算步骤: ① 计算一次试验的基本事件总数n ; ② 设所求事件A ,并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; ③ 依公式()m P A n =求值; ④ 答,即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率:P (A +B )=P (A )+P (B ); 特例:对立事件的概率:P (A )+P (A )=P (A +A )=1. (3)相互独立事件同时发生的概率:P (A ·B )=P (A )·P (B ); 特例:独立重复试验的概率:P n (k )=k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率,此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”: ① 求概率的步骤是: 第一步,确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种.

第二步,判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件. 第三步,运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件: 独立事件: n 次独立重复试验:求解 第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复. 典型例题分析 1.有10张卡片,其中8张标有数字2,有2张标有数字5.从中随机地抽取3张卡片,设3张卡片上的数字和为ξ,求Eξ与Dξ. 解:这3张卡片上的数字和ξ这一随机变量的可能取值为6,9,12,且“ξ=6”表示取 出的3张卡上都标有2,则P (ξ=6)=.“ξ=9”表示取出的3张卡片上两张为2, 一张为5,则P (ξ=9)= .?? “ξ=12”表示取出的3张卡片上两张为5,一张为 2,则P (ξ=12)=.??? 则期望Eξ=6×+9×+12×=,???? 方差Dξ= 2 + 2 + 2 =. 2.(2010江西)某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门,系统会随机(即等可能)为你打开一个通道.若是1号通道,则需要1小时走出迷宫;若是2号、

数据的分析知识点总结与典型例题

数据的分析知识点总结 与典型例题 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

目录 数据的分析知识点总结与典型例题 一、数据的代表 1、算术平均数: 把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商. 公式:n x x x n +???++21 使用:当所给数据1x ,2x ,…,n x 中各个数据的重要程度相同时,一般使 用该公式计算平均数. 2、加权平均数: 若n 个数1x ,2x ,…,n x 的权分别是1w ,2w ,…,n w ,则 n n n w w w w x w x w x +???+++???++212211,叫做这n 个数的加权平均数. 使用:当所给数据1x ,2x ,…,n x 中各个数据的重要程度(权)不同时, 一般选用加权平均数计算平均数. 权的意义:权就是权重即数据的重要程度. 常见的权:1)数值、2)百分数、3)比值、4)频数等。 3、组中值:(课本P128)

数据分组后,一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数,统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据. 4、中位数: 将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数. 意义:在一组互不相等的数据中,小于和大于它们的中位数的数据各占一半. 5、众数: 一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数. 特点:可以是一个也可以是多个. 用途:当一组数据中有较多的重复数据时,众数往往是人们所关心的一个量. 6、平均数、中位数、众数的区别: 平均数能充分利用所有数据,但容易受极端值的影响;中位数计算简单,它不易受极端值的影响,但不能充分利用所有数据;当数据中某些数据重复出现时,人们往往关心众数,但当各个数据的重复次数大致相等时,众数往往没有意义. ※典型例题: 考向1:算数平均数 1、数据-1,0,1,2,3的平均数是(C) A.-1 B.0 C.1 D.5

理财计算题目选讲

某公务员今年35岁,计划通过年金为自己的退休生活提供保障。经过测算,他认为到60岁退休时年金账户余额至少应达到60万元.如果预计未来的年平均收益率为8%,那么他每月末需投入( D ) (A )711元(B )679元(C )665元(D )631元 60000012%8112%8112%8112992=??? ???????? ??+++??? ??++??? ??++ A 300600000 6318%1211128%=????+-??? ??????? 某三年期证券未来每年支付的利息分别为200元、400元、200元,到期无本金支付,如果投资者要求的收益率为8%,那么该证券的发行价格应为( B ) (A )800元(B )686.89元(C )635.07元(D )685.87元 23200400200686.8872686.8918%(18%)(18%) P =++=≈+++ 软件设计师张先生最近购买了一套总价为50万元人民币的住房。由于他工作刚3年,积蓄不足,所以他按最高限向银行申请了贷款,20年期,贷款利率5.5%。如果采用等额本息还款方式,张先生每月需还款( A ) (A )3439.44元(B )2751.55元(C )2539.44元(D )2851.55元 50000012%5.5112%5.5112%5.51123921=??? ???????? ??+++??? ??++??? ??++--- A

2405.5%500000123439.445.5%1112-?=????-+?? ??????? 某后付年金每年付款2000元,连续15年,年收益率4%,则年金现值为( A ) (A )22236.78元(B )23126.25元(C )28381.51元(D )30000元 04.11104.11 104.11200004.1104.1104.1104.112000151532--??=??? ??++++ 15112000122236.774922236.780.04 1.04???-=≈ ??? 如果某股票的β值为0.8,当市场组合的期望收益率为11%,无风险利率为5%时,该股票的期望收益率为( B ) (A )13.8%(B )9.8%(C )15.8%(D )8.8% 5%0.8(11%5%)5% 4.8%9.8%+?-=+= 一高级证券分析师预测某股票今天上涨的概率是20%,同昨日持平的概率是10%,则这只股票今天不会下跌的概率是( B ) (A )10% (B )30% (C )20% (D )70% 假定上证综指以0.55的概率上升,以0.45的概率下跌。还假定在同一时间间隔内深证综指以0.35的概率上升,以0.65的概率下跌。再假定两个指数可能以0.3的概率同时上升。那么同一时间上证综指或深证综指上升的概率是( B ) (A )0.3 (B )0.6 (C )0.9 (D )0.1925

随机变量的数学期望与方差

第9讲随机变量的数学期望与方差 教学目的:1.掌握随机变量的数学期望及方差的定义。 2.熟练能计算随机变量的数学期望与方差。 教学重点: 1.随机变量的数学期望 For personal use only in study and research; not for commercial use 2.随机变量函数的数学期望 3.数学期望的性质 4.方差的定义 For personal use only in study and research; not for commercial use 5.方差的性质 教学难点:数学期望与方差的统计意义。 教学学时:2学时。 For personal use only in study and research; not for commercial use 教学过程: 第三章随机变量的数字特征 §3.1 数学期望 For personal use only in study and research; not for commercial use 在前面的课程中,我们讨论了随机变量及其分布,如果知道了随机变量X的概率分布,那么X的全部概率特征也就知道了。然而,在实际问题中,概率分布一般是较难确定的,而在一些实际应用中,人们并不需要知道随机变量的一切概率性质,只要知道它的某些数字特征就够了。因此,在对随机变量的研究中,确定其某些数字特征是重要的,而在这些数字特征中,最常用的是随机变量的数学期望和方差。

1.离散随机变量的数学期望 我们来看一个问题: 某车间对工人的生产情况进行考察。车工小张每天生产的废品数X 是一个随机变 量,如何定义X 取值的平均值呢? 若统计100天,32天没有出废品,30天每天出一件废品,17天每天出两件废品, 21天每天出三件废品。这样可以得到这100天中每天的平均废品数为 27.1100 213100172100301100320=?+?+?+? 这个数能作为X 取值的平均值吗? 可以想象,若另外统计100天,车工小张不出废品,出一件、二件、三件废品的 天数与前面的100天一般不会完全相同,这另外100天每天的平均废品数也不一定是 1.27。 对于一个随机变量X ,若它全部可能取的值是 ,,21x x , 相应的概率为 ,,21P P , 则对X 作一系列观察(试验)所得X 的试验值的平均值是随机的。但是,如果试验次数 很大,出现k x 的频率会接近于K P ,于是试验值的平均值应接近 ∑∞=1k k k p x 由此引入离散随机变量数学期望的定义。 定义1 设X 是离散随机变量,它的概率函数是 ,2 ,1,)()(====k P x X P x p K K k 如果 ∑∞ =1||k k k p x 收敛,定义X 的数学期望为 ∑∞ ==1)(k k k p x X E 也就是说,离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。 例1 某人的一串钥匙上有n 把钥匙,其中只有一把能打开自己的家门,他随意地 试用这串钥匙中的某一把去开门。若每把钥匙试开一次后除去,求打开门时试开次数 的数学期望。

概率分布以及期望和方差

概率分布以及期望和方差 上课时间: 上课教师: 上课重点:掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布及其期望和方差 上课规划:解题技巧和方法 一 两点分布 ⑴两点分布 如果随机变量X 的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p <<,1q p =-,则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布. 二点分布举例:某次抽查活动中,一件产品合格记为1,不合格记为0,已知产品的合格率为80%,随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果,则X 的分布列满足二点分布. X 1 0 P 0.8 0.2 两点分布又称01-分布,由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验,所以这种分布又称为伯努利分布. (2)典型分布的期望与方差: 二点分布:在一次二点分布试验中,离散型随机变量X 的期望取值为p ,在n 次二点分布试验中,离散型随机变量X 的期望取值为np . 1、在抛掷一枚图钉的随机试验中,令10X ?=? ? ,针尖向上; ,针尖向下.,如果针尖向上的 概率为p ,试写出随机变量X 的概率分布. 2、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球,用X 表示“取到的 知识内容 典例分析

白球个数”,即???=,当取到红球时, ,当取到白球时, 01X ,求随机变量X 的概率分布. 3、若随机变量X 的概率分布如下: X 1 P 29C C - 38C - 试求出C ,并写出X 的分布列. 3、抛掷一颗骰子两次,定义随机变量 ?? ?=)(,1)(,0的点数数等于第二次向上一面当第一次向上一面的点 面的点数数不等于第二次向上一当第一次向上一面的点 ξ 试写出随机变量ξ的分布列. 4、篮球运动员比赛投篮,命中得1分,不中得0分,已知运动员甲投篮命中率的概率为P . ⑴ 记投篮1次得分X ,求方差()D X 的最大值; ⑵ 当⑴中()D X 取最大值时,甲投3次篮,求所得总分Y 的分布列及Y 的期望与方差. 二 超几何分布

统计案例分析典型例题

统计案例分析及典型例题 §抽样方法 1.为了了解所加工的一批零件的长度,抽取其中200个零件并测量了其长度,在这个问题中,总体的一个样本是 . 答案 200个零件的长度 2.某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 004户,其中农民家庭1 600户,工人家庭303户,现要从中抽取容量为40的样本,则在整个抽样过程中,可以用到下列抽样方法:①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样中的 . 答案①②③ 3.某企业共有职工150人,其中高级职称15人,中级职称45人,初级职称90人.现采用分层抽样抽取容量为30的样本,则抽取的各职称的人数分别为 . 答案3,9,18 4.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品,其相应产品数量之比为2∶3∶5,现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本,样本中A型号产品有16件,那么此样本的容量n= . 答案80 例1某大学为了支援我国西部教育事业,决定从2007应届毕业生报名的18名志愿者中,选取6人组成志愿小组.请 用抽签法和随机数表法设计抽样方案. 解抽签法: 第一步:将18名志愿者编号,编号为1,2,3, (18) 第二步:将18个号码分别写在18张外形完全相同的纸条上,并揉成团,制成号签; 第三步:将18个号签放入一个不透明的盒子里,充分搅匀; 第四步:从盒子中逐个抽取6个号签,并记录上面的编号; 基础自测

第五步:所得号码对应的志愿者,就是志愿小组的成员. 随机数表法: 第一步:将18名志愿者编号,编号为01,02,03, (18) 第二步:在随机数表中任选一数作为开始,按任意方向读数,比如第8行第29列的数7开始,向右读; 第三步:从数7开始,向右读,每次取两位,凡不在01—18中的数,或已读过的数,都跳过去不作记录,依次可得到12,07,15,13,02,09. 第四步:找出以上号码对应的志愿者,就是志愿小组的成员. 例2 某工厂有1 003名工人,从中抽取10人参加体检,试用系统抽样进行具体实施. 解 (1)将每个人随机编一个号由0001至1003. (2)利用随机数法找到3个号将这3名工人剔除. (3)将剩余的1 000名工人重新随机编号由0001至1000. (4)分段,取间隔k= 10 0001=100将总体均分为10段,每段含100个工人. (5)从第一段即为0001号到0100号中随机抽取一个号l. (6)按编号将l ,100+l ,200+l,…,900+l 共10个号码选出,这10个号码所对应的工人组成样本. 例3 (14分)某一个地区共有5个乡镇,人口3万人,其中人口比例为3∶2∶5∶2∶3,从3万人中抽取一个300人 的样本,分析某种疾病的发病率,已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,问应采取什么样的方法并写出具体过程. 解 应采取分层抽样的方法. 3分 过程如下: (1)将3万人分为五层,其中一个乡镇为一层. 5分 (2)按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本. 300×153=60(人);300× 15 2 =40(人); 300×155=100(人);300×15 2=40(人); 300× 15 3=60(人), 10分 因此各乡镇抽取人数分别为60人,40人,100人,40人,60人. 12分 (3)将300人组到一起即得到一个样本. 14分

样本方差的期望

样本方差的期望 假设某百货超市现有一批快到期的日用产品急需处理,超市老板设计了免费抽奖活动来处理掉了这些商品。纸箱中装有大小相同的20个球,10个10分,10个5分,从中摸出10个球,摸出的10个球的分数之和即为中奖分数,获奖如下: 一等奖100分,冰柜一个,价值2500元; 二等奖50分,电视机一个,价值1000元; 三等奖95分,洗发液8瓶,价值178元; 四等奖55分,洗发液4瓶,价值88元; 五等奖60分,洗发液2瓶,价值44元; 六等奖65分,牙膏一盒,价值8元; 七等奖70分,洗衣粉一袋,价值5元; 八等奖85分,香皂一块,价值3元; 九等奖90分,牙刷一把,价值2元; 十等奖75分与80分为优惠奖,只収成本价22元,将获得洗发液一瓶; 分析:表面上看整个活动对顾客都是有利的,一等奖到九等奖都是白得的,只有十等奖才收取一点成本价。但经过分析可以知道商家真的就亏损了吗?顾客就真能从中获得抽取大奖的机会吗?求得其期望值便可真相大白。 摸出10个球的分值只有11种情况,用X表示摸奖者获得的奖励金

额数,计算得到E(X)=-10.098,表明商家在平均每一次的抽奖中将获得10.098元,而平均每个抽奖者将花10.098元来享受这种免费的抽奖。 从而可以看出顾客真的就站到大便宜了吗?相反,商家采用这种方法不仅把快要到期的商品处理出去了,而且还为超市大量集聚了人气,一举多得。 此百货超市老板运用数学期望估计出了他不会亏损而做了这个免费抽奖活动,最后一举多得,从中可看出了数学期望这一科学的方法在经济决策中的重要性。 体育比赛问题: 乒乓球是我们的国球,上世纪兵兵球也为中国带了一些外交。中国队在这项运动中具有绝对的优势。现就乒乓球比赛的安排提出一个问题:假设德国队(德国队名将波尔在中国也有很多球迷)和中国队比赛。赛制有两种,一种是双方各出3人,三场两胜制,一种是双方各出5人,五场三胜制,哪一种赛制对中国队更有利? 分析:由于中国队在这项比赛中的优势,不妨设中国队中每一位队员德国队员的胜率都为60%,接着只需要比较两个队对应的数学期望即可。 参考资料来源:百度百科-数学期望 期望值:

典型例题分析

典型例题-G-方差分析-2 某企业准备用三种方法组装一种新的产品,为确定哪种方法每小时生产的产品数量最多,随机抽取了30名工人,并指定每个人使用其中的一种方法。通过对每个工人生产的产品数进行方差分析,得到如下表所示的结果。 每个工人生产产品数量的方差分析表 (2)若显著性水平为α=0.05,检验三种方法组装的产品数量之间是否有显著差异。 解: (1)完成方差分析表,以表格中所标的①、②、③、④、⑤、⑥为顺序,来完成表格,具体步骤如下: ①求k -1 根据题目中“该企业准备用三种方法组装一种新的产品”可知,因素水平(总体)的个数k =3,所以第一自由度df 1=k -1=3-1=2,即SSA 的自由度。 ②求n -k 由“随机抽取了30名工人”可知,全部观测值的个数n =30,因此可以推出第二自由度df 2=n -k =30-3=27,即SSE 的自由度。 ③求组间平方和SSA 已知第一自由度df 1=k -1=3-1=2,MSA =210 根据公式 1-= = k SSA MSA 自由度组间平方和 所以,SSA =MSA ×(k -1)=210×2=420 ④求总误差平方和SST 由上面③中可以知道SSA =420;此外从表格中可以知道:组内平方和SSE =3836,根据公式SST =SSA +SSE 可以得出SST =420+3836=4256,即总误差平方和SST=4256 ⑤求SSE 的均方MSE 已知组内平方和SSE =3836,SSE 的自由度n -k =30-3=27 根据公式 0741 .142273836 ==-== k n SSE MSE 自由度组内平方和 所以组内均方MSE =142.0741 ⑥求检验统计量F 已知MSA =210,MSE =142.0741 根据 4781.10741.142210 === MSE MSA F 所以F=1.4781

数理统计典型例题分析

典型例题分析 例1.分别从方差为20和35的正态总抽取容量为8和10的两个样本,求第一个样本方差是第二个样本方差两倍的概率的范围。 解 以21 S 和22 S 分别表示两个(修正)样本方差。由22 22 12σσy x S S F =知统计量 22 2 1222175.13520S S S S F == 服从F 分布,自由度为(7,9)。 1) 事件{}2 2 212S S =的概率 {}{}05.32035235 20222221222122 2 1 ===??? ????==??????===F P S S P S S P S S P 因为F 是连续型随机变量,而任何连续型随机变量取任一给定值的概率都等于0。 2) 现在我们求事件{}二样本方差两倍第一样本方差不小于第=A 的概率: {} {}5.322 221≥=≥=F P S S P p 。 由附表可见,自由度9,721==f f 的F 分布水平α上侧分位数),(21f f F α有如下数值: )9,7(20.45.329.3)9,7(025.005.0F F =<<=。 由此可见,事件A 的概率p 介于0.025与0.05之间;05.0025.0<

解 由随机变量2χ分布知,随机变量σ/12S n )(-服从2χ分布,自由度 1-=n v ,于是,有 {}{}95.0)1(5.1)1(5.1)1(2,05.0222 2=≤≥-≤=? ?????-≤-=v v v P n P n S n P χχχσ 其中2v χ表示自由度1-=n v 的2χ分布随机变量,2 ,05.0v χ是自由度为1-=n v 的水 平05.0=α的2χ分布上侧分位数(见附表)。我们欲求满足 2,05.015.1v n χ≥-)( 的最小1+=v n 值,由附表可见 2 26,05.0885.3839)127(5.1χ=>=-, 22505.0652.375.401265.1,)(χ=<=-。 于是,所求27=n 。 例3.假设随机变量X 在区间[]1,+θθ上有均匀分布,其中θ未知: )(1n X X ,, 是来自X 的简单随机样本,X 是样本的均值,{} n X X X ,,min 1)1( =是最小观察值。证明 21?1-=X θ 和 11?12+-=n X ) (θ 都是θ的无偏估计量。 解 由X 在[]1,+θθ上均匀分布,知2/)12(+==θEX EX i 。 1) 由 θθθθ=-+=-+=-=∑∑==2 121212221211?111n i n i i n EX n E , 可见1?θ是θ的无偏估计量。 2) 为证明2?θ是θ的无偏估计。我们先求统计量)1(X 的概率分布。

12练习题解答:第十二章 方差分析分析

第十二章 方差分析 练习题: 1. 现今越来越多的外国人学习汉语,某孔子学院设计了3种汉字的讲授方法, 随机抽取了28名汉语基础相近的学生进行试验,试验后对每一个学生汉字理解记忆水平进行打分,满分为10分,28名学生的分数如下: 表12-3 三种汉字讲授方法下的学生得分 汉字讲授方法 9.1 6.6 6.2 8.6 7.0 7.4 9.0 8.0 7.8 8.1 7.4 7.9 9.4 7.6 8.2 9.2 8.1 8.1 8.8 7.4 6.7 9.4 7.9 6.9 7.5 1y = 2y = 3y = y = (1) 请分别计算3种汉字讲授方法下学生相应分数的平均值1y 、2y 与 3y 以及所有参加试验的学生的平均得分y ,并填入上表。 (2)请根据上表计算总平方和(TSS ),组间平方和(BSS ),组内平方和(WSS ), 组间均方(MSS B ),组内均方(MSS W ),以及各自对应的自由度并填入下表。 B B W 组内 WSS : n-k: MSS W : —————— —— ———— 总和 TSS : n-1: ———— —————— —— ———— (3)根据上表计算出F 值,并查附录中的F 分布表,看P 是否小于0.05。 (4)若显著性水平为0.05,请查附录中的F 分布表找出F 临界值,并填入上表。 (5)若显著性水平为0.05,请根据P 值或F 临界值判断三种汉字的讲授方法对 学生汉字的理解和记忆水平是否有显著性影响。 解: (1)1y =8.9222≈8.92,2y =7.5667≈7.57,3y =7.3800≈7.38,y =7.9357≈7.94.

样本方差的期望

样本方差的期望和方差沉义义(上海工程技术大学基础教学学院,上海201620)摘要在实际应用中,样本均值珔X和样本方差s 2,x I珔X和计算XJ珔X有必要计算协方差和相关系数。本文给出了相应的计算公式,并提供了一些简单的计算方法。关键词:样本均值样本方差期望;方差;协方差研究生入学数学考试中的相关系数,样本均值X的期望和方差和样本方差s 2是非常重要的测试点。但是,在概率论和数理统计的教学过程中,很少涉及如何计算样本方差S2的方差。其次,对于简单的随机样本x 1,x 2如何计算协方差cov(x I,珔x),相关系数ρx I珔x,yi = x I-X和YJ = x J-xx,协方差cov(y I,y J)以及x I和XX的相关系数ρy I y J使学生感到困惑。本文对以上知识进行了系统分析,并给出了一些简单的计算方法。1,课本中样本均值和样本方差的期望值和方差,样本均值珔X和样本方差s 2的性质由以下定理给出:定理:让总体x?n(μ,σ2),x 1,x 2如果xn(n> 1)是一个简单的随机样本,X是一个样本均值,s 2是一个样本方差,则(1)x?nμ,σ2()n; (2)x和S 2是独立的;(3)(n-1)S2σ2?χ2(n-1)。推论1 e (x)=μ,D(x)=σ2n; E(S2)=σ2,D(S2)= 2σ4N-1。上述推论的前三个结论的证明

见教科书[1]。D(s 2)= 2σ4N-1的证明如下。从定理(3)的结论中,我们可以得出D (n-1)s 2σ()2 = 2(n-1),即(n-1)2σ4D(s 2)= 2(n-1),所以D(s 2)= 2σ4N-1。2,2 cov(x I,x)=σ2n,ρx I珔x = 1 = n(I = 1,2,n)。证明x I?n(μ,σ2)独立于彼此(I = 1,2然后cov(x I,XJ)=σ2,I = J0,I≠{J(I = 1,2,...))因此,cov(x I,珔x)= 1ncov(x I,x 1 + ...)+ X i +…+ X n)= 1ncov(X i,X 1)+…+ 1ncov(X i,X i)+…+ —8 1 —1ncov(X i,X n)= 0 +…+σ2n +…+0 =σ2n(i = 1,2,…,n),ρx I珔x = cov(x I,珔x)d(xi)d (xx槡)=σ2nσ2·σ2槡n = 1槡n(I = 1,2,n)。3,yi = x I-X的性质是推论3 E(yi)= 0,D (yi)= 1-1()nσ2; cov(y I,y J)=-σ2n(I≠J),ρy I y J =-1n-1(I≠J)(I = 1,2,n)。证明了e(yi )= e(x ixx)= e(x ixx)= e(x ixx)= e(x IX)=u-μ= 0,D(yi)= D(x ixx)= D(xi)+ D(x(x)珔(x I,x,x)=σ2 +σ2 +σ2n-2,σ2n = 1-1(nσ2),cov (y I,y J)= cov(x I ,y J)= cov(x IX,x,J)x,jx jx,jxx,xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx-x-= cov(x I,XJ)-CoV(x I,XJ)-CoV(xx,XJ)+ cov (x,x,x)= 0-σ2n-σ2n +σ2n =-σ2n,ρy I,y J = cov(yi)YJ)d(yi)d(y J槡)=-σ2n1 -1()nσ2 =-1n-1。这里我们必须指出

样本方差的期望

样本方差的期望 (1)样本(背景知识):由学过的概率论的知识可以知道,若在总体个数有限的情况下,抽取出一些个体,总体的分布可能会发生变化,所以个体的分布可能反映不了总体的分布。后一句不太好理解,所以举个经典例子:若N个产品中有M个废品,在抽样调查其废品率时,正常抽取样本(随机抽不放回),则样品的废品率服从超几何分布;而产品中的废品率服从二项分布。这样由样品得到的估计,统计性质就与总体不同。而且当产品数量不是很大时,这种分布差异无法忽视。然而只有在总体中包含的个体极多或包含无限多个个体时,不放回的抽取才对总体的分布影响极少或者毫无影响,这种例子才不成立,此时可以用样本估计总体。这种情形在应用中最为常见,数理统计学在理论上对其研究得也最深入。此时称抽出的若干数据独立同分布,称这组数据为从某总体抽出的独立随机样本,简称为从某总体中抽出的样本。【1】 (2)样本均值/方差:顾名思义,样本均值就是样本的均值,样本方差就是样本数据的方差。 (3)总体均值/方差:同上。。 (4)样本均值/方差的期望:样本数据均为我们抽取得来(是已知量)

我们利用它算出样本参数(例如样本均值),假装它是总体的参数(例如总体均值,是未知量),这就是用样本估计总体的过程;由样本的定义,用样本估计得到的总体的参数不是完美的,有时和真正的总体的参数之间可能有一个偏移。那么接下来一个很自然的想法就是,由于我们对样本参数计算式已知,除去不可控的抽样随机性,从计算方法的角度上来说,我们可以知道这个偏移量是多少吗?更进一步地,我们可以在计算方法上对这个偏移加以修正吗?自然地,类似前述在定义样本时举过的例子,我们还可以假设对总体的数据和参数已知,这样就可以用总体的数据和参数模拟抽样,反算出样本参数,并与真实的总体参数加以对比,达到修正偏移的目的了!而这样反算出的样本参数,就叫做样本参数(例如样本均值、样本方差)的期望。 从正面的/科学的(也是教材上的)角度来说,我们是用总体反过来估计了样本,得到的当然就是样本参数的期望值啦。 若样本参数经修偏后,在某种算法下与真实的总体参数达到一致,该样本参数为总体参数的一个无偏估计量。一个参数往往有不止一个无偏估计,我们需要在一个对估计的整体的优良性准则下视情况讨论。

高考数学百大经典例题离散型随机变量的期望与方差

开锁次数的数学期望和方差 例 有n 把看上去样子相同的钥匙,其中只有一把能把大门上的锁打开.用它们去试开门上的锁.设抽取钥匙是相互独立且等可能的.每把钥匙试开后不能放回.求试开次数ξ的数学期望和方差. 分析:求)(k P =ξ时,由题知前1-k 次没打开,恰第k 次打开.不过,一般我们应从简单的地方入手,如3,2,1=ξ,发现规律后,推广到一般. 解:ξ的可能取值为1,2,3,…,n . ;12112121)111()11()3(;111111)11()2(,1)1(n n n n n n n n n P n n n n n n P n P =-?--?-=-?--?-===-?-=-?-====ξξξ n k n k n k n n n n n n n k n k n n n n k P 111212312111)211()211()111()11()(=+-?+-+---?--?-=+-?+----?--?-== ξ;所以ξ的分布列为: 2 31211=?++?+?+?=n n n n n E ξ; n n n n n k n n n n n n D 1)21(1)21(1)213(1)212(1)211(22222?+-++?+-++?+-+?+-+?+- = ξ ?? ?????+++++++-++++=n n n n n n 22222)21()321)(1()321(1 1214)1(2)1()12)(1(611222-=?? ????+++-++=n n n n n n n n n 说明:复杂问题的简化处理,即从个数较小的看起,找出规律所在,进而推广到一般,方差的公式正确使用后,涉及一个数列求和问题,合理拆项,转化成熟悉的公式,是解决的关键. 次品个数的期望 例 某批数量较大的商品的次品率是5%,从中任意地连续取出10件,ξ为所含次品

《财务管理》第二章重难点讲解及例题:组合的方差与风险系数

《财务管理》第二章重难点讲解及例题:组合的方差与风险系数两项证券资产组合的收益率的方差 (1)计算公式 两项证券资产组合的收益率的方差 =第-项资产投资比重的平方×第-项资产收益率的方差+第二项资产投资比重的平方×第二项资产收益率的方差+2×两项资产收益率之间的相关系数X第-项资产收益率的标准差X第二项资产收益率的标准差×第-项资产投资比重×第二项资产投资比重 或: 两项证券资产组合的收益率的方差 =第-项资产投资比重的平方X第-项资产收益率的方差+第二项资产投资比重的平方×第二项资产收益率的方差+2×两项资产收益率的协方差X第-项资产投资比重×第二项资产投资比重 (2)相关结论 ①当两项资产收益率之间的相关系数=1时,两项证券资产组合的收益率的标准差达到最大,等于单项资产收益率标准差的加权平均数,表明组合的风险等于组合中各项资产风险的加权平均,换句话说,当两项资产的收益率完全正相关时,两项资产的风险完全不能互相抵消,所以这样的组合不能降低任何风险。 ②当两项资产收益率之间的相关系数=-1时,两项证券资产组合的收益率的标准差达到最小,甚至可能是零。因此,当两项资产的收益率具有完全负相关关系时,两者之间的非系统风险可以充分地相互抵消,甚至完全消除。因而,由这样的两项资产组成的组合可以最大程度地抵消风险。 【例题21.计算题】沿用例题19资料,假设A、B资产收益率的协方差为-1.48%,计算A、B资产收益率的相关系数、资产组合的方差和标准差。 【答案】 4.证券资产组合的风险

【提示】市场组合收益率(实务中通常用股票价格指数的平均收益率来代替)的方差代表了市场整体的风险,由于包含了所有的资产,因此,市场组合中的非系统风险已经被完全消除,所以市场组合的风险就是市场风险或系统风险。 5.β系数(系统风险系数) (1)单项资产的β系数 单项资产的β系数是指可以反映单项资产收益率与市场平均收益率之问变动关系的-个量化指标,它表示单项资产收益率的变动受市场平均收益率变动的影响程度,换句话说,就是相对于市场组合的平均风险而言,单项资产系统风险的大小。 β系数的定义式如下: 单项资产的β系数 =该资产收益率与市场组合收益率之间的协方差÷市场组合收益率的方差 =该资产收益率与市场组合收益率的相关系数×该资产收益率的标准差÷市场组合收益率的标准差 【提示】从上式可以看出,单项资产β系数的大小取决于三个因素:该资产收益率和市场资产组合收益率的相关系数、该资产收益率的标准差、市场组合收益率的标准差。 (2)证券资产组合的β系数 证券资产组合的β系数是所有单项资产β系数的加权平均数,权数为各种资产在证券资产组合中所占的价值比例。 【提示】 (1)β系数衡量的是系统风险,资产组合不能抵消系统风险,所以,资产组合的β系数是单项资产β 系数的加权平均数。 (2)单项资产的β系数的计算公式也适用于证券资产组合β系数的计算: 证券资产组合的β系数 =证券资产组合收益率与市场组合收益率的相关系数×证券资产组合收益率的标准差÷市场组合收益率 的标准差 (3)市场组合的β系数=市场组合收益率与市场组合收益率的相关系数×市场组合收益率的标准差÷市场组合收益率的标准差=市场组合收益率与市场组合收益率的相关系数=1 【例题22.多选题】在下列各项中,能够影响特定资产组合β系数的有()。

样本方差与总体方差的区别

样本方差与总体方差的区别 之前一直对于样本方差与总体方差的概念区分不清,对于前者不仅多了样本”两个字,而且公式中除数是N-1 ,而不是N。现在写下这么写东西,以能彻底把他们的区别搞清楚。 总体方差: 也叫做有偏估计,其实就是我们从初高中就学到的那个标准定义的方差,除数是N。女0果实现已知期望值,比如测水的沸点,那么测量 立的(期望值不依测量值而改变,随你怎么折腾,温度计坏了也好,看反了也好,总之,期望值应该是100度),那么E『(X-期望)人2』,就有10个自由度。事实上,它等于(X- 期望)的方差,减去(X-期望)的平方。”所以叫做有偏估计,测量结果偏于那个”已知的期望值“。样本方差: 无偏估计、无偏方差(unbiased varianee )。对于一组随机变量,从中随机抽取N个样本, 这组样本的方差就是Xi^2平方和除以N-1。这可以推导出来的。如果现在往水里撒把盐, 水的沸点未知了,那我该怎么办?我只能以样本的平均值,来代替原先那个期望100度。同 样的过程,但原先的(X-期望),被(X-均值)所代替。设想一下(Xi-均值)的方差,它 不在等于Xi的方差,而是有一个协方差,因为均值中,有一项Xi/n是和Xi相关的,这就 是那个”偏"的由来 刊屮)二 Ei a.—-£(A;-W) f=l 9 =rr 一 证明: 10次,测量值和期望值之间是独

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高三数学统计习题精选精讲

一.抽样方法: 1.简单随机抽样: 设一个总体的个数为N ,如果通过逐个抽样的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率都相等,就称这样的抽样为简单随机抽样。 抽签法和随机数表法是实施简单随机抽样的两种常用的方法。 2。分层抽样: 当已知总体由差异明显的几部分组成时,常常总体分成几部分,然后按照各部分所占的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样,其中所分成的各个部分叫做层。 二、利用样本频率估计总体分布: 由于总体分布通常不易知道,我们往往用样本的频率分布估计总体分布。一般地,样本容量越大,这种估计就越精确。 1、频率分布条形图: 当总体中的个体取不同数值很少时,其频率分布表由所取的样本的不同数值及相应的频率表示,其几何表示就是相应的条形图。 2、频率分布直方图: 当总体中的个体取不同数值很多时或者可以在实数区内取值时,用频率分布直方图表示相应样本的频率分布。 注:频率分布条形图和频率分布直方图不同。频率分布直方图的纵轴(矩形的高)表示频率,而频率分布直方图的纵轴(矩形的高)表示频率与组距的比值,其相应组距上的频率等于该组距上的矩形的面积。 三.期望与方差: 1.期望:123,,,n a a a a 的期望:12n a a a x n ++ +=; 2.方差: 123,,, n a a a a 的方差为:2222121[()()()]n S a x a x a x n =-+-++- 3.均方差:123,,, n a a a a 的均方差:????? ?-++-+-= )(...)()(122 221x a x a x a n n s 注:对于“已知123,,,n a a a a 的期望为多少,求12,,,n a a b a a b a a b ?+?+?+的期望和方差分别是多少?”问题,关键是利用 上述公式变形、整理得到所求的结果。 平均数、众数和中位数 这里说的“三数”是指平均数、众数和中位数.要描述一组数据的集中趋势,最重要也是最常见的方法就是用这“三数”来说明.学习平均数、众数和中位数应注意以下几个问题: 一、正确理解平均数、众数和中位数的概念 1.平均数 平均数是反映一组数据的平均水平的特征数,反映一组数据的集中趋势.平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系,任何一个数据的变化都会引起平均数的变化. 2.众数 在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数.一组数据中的众数有时不唯一.众数着眼于对各数出现的次数的考察,这就告诉我们在求一组数据的众数时,既不需要排列,又不需要计算,只要能找出样本中出现次数最多的那一个(或几个)数据就可以了.当一组数据中有数据多次重复出现时,它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势. 3.中位数 中位数就是将一组数据按大小顺序排列后,处在最中间的一个数(或处在最中间的两个数的平均数).一组数据中的中位数是唯一的. 二、注意区别平均数、众数和中位数三者之间的关系 平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量,但它们描述的角度和适用的范围又不尽相同.在具体问题中采用哪种量来描述一组数据的集中趋势,那得看数据的特点和我们要关注的问题. 三、能正确选用平均数、众数和中位数来解决实际问题 由于平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量,所以利用平均数、众数和中位数可以来解决现实生活中的问题.下面举几例说明.

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