中国矿业大学计算方法实验四：龙格现象

专业 机械工程 序号03150951 姓名 杨闰清 日期 5.01

实验四 龙格现象的发生、防止和插值效果的比较

【实验目的】

1．学会使用计算机观察拉格朗日插值的龙格现象

2．通过学习和使用计算机利用线性插值防止龙格现象的发生

【实验内容】

4

5(0,1...,),10/,50.25(0,1,...40) 1 2 y=arctgx 1 I n=10,20II n=10,20i k x ih i n h n x h k x y x =-+===-+==

+对下列函数分别按给定方案进行插值，计算在其点上的值，并绘出插值函数的图形。

（）；（）方案分别取作拉格朗日插对区间[-5,5]作值 方等距划案分别取分：作分段线性日插值

【程序如下】:

拉格朗日插值函数程序：

function yp=mlagr(x,y,xp)

n=length(x); m=length(xp);

yp=zeros(1,m);c1=ones(n-1,1);c2=ones(1,m);

for i=1:n

xb=x([1:i-1,i+1:n]);

yp=yp+y(i)*prod((c1*xp-xb'*c2)./(x(i)-xb'*c2));

end

分段插值函数程序：

function yy=mpiece(x,y,xx)

n=length(x);

for j=1:length(xx)

for i=2:n

if xx(j)<=x(i)

yy(j)=y(i-1)*(xx(j)-x(i))/(x(i-1)-x(i))+y(i)*(xx(j)-x(i-1))/(x(i)-x(i-1)); break;

end

end

end

【运行结果如下】：

方案I ： 41 1x y x =

+（）；

调用程序如下：

x0=[-5:0.01:5];

>> y0=x0./(1+x0.^4); >> xx=[-5:0.01:5];

>> x1=[-5:1:5];

>> y1=y0=x1./(1+x1.^4); >> y1 = x1./(1 + x1.^4); >> x2=[-5:0.5:5];

>> y2=x2./(1+x2.^4); >> yy1=mlagr(x1,y1,xx); >> yy2=mlagr(x2,y2,xx); >> plot(x0,y0);

>> hold on;

>> plot(x1,y1);

>> hold on;

>> plot(x0,y0);

>> hold on;

>> plot(xx,yy1);

>> hold on;

>> plot(xx,yy2);

绘图：

）

2 y=arctgx

（

方案II ：

41 1x y x =

+（）；

调用程序：

xx=[-5:0.1:5];

>> yy1=mpiece(x1,y1,xx);

>> plot(xx,yy1)

>> yy2=mpiece(x2,y2,xx);

>> plot(x0,y0);

>> hold on;

>> plot(xx,yy1);

>> hold on;

>> plot(xx,yy2);

>> y1=atan(x1);

>> y2=atan(x2);

>> yy1=mpiece(x1,y1,xx);

>> yy2=mpiece(x2,y2,xx);

>> plot(x0,y0);

>> y0=atan(x0);

>> plot(x0,y0);

>> hold on;

>> plot(xx,yy1);

>> hold on;

>> plot(xx,yy2);

>> y0=atan(x0);

>> plot(x0,y0);

>> hold on;

>> plot(xx,yy1);

>> hold on;

>> plot(xx,yy2);

>>

【结果分析】：

通过对上述过程和结果的分析，我们可以得出，随着所选步长的增加，在方案I 拉格朗日插值中，出现了龙格现象越来越严重的现象。而后我们就在方案II 因而使用了分段插值的方法使得龙格现象得到消除，可以看出插值函数与原函数更为接近。要使所得插值函数与原函数更为接近，前提要分段插值所取的分段区间越小。

2 y=arctgx （

）