第九章_空间轴对称问题

弹性力学空间问题

第十章弹性力学空间问题知识点空间柱坐标系空间轴对称问题的基本方程空间球对称问题的基本方程布西内斯科解分布载荷作用区域外的沉陷弹性球体变形分析热应力的弹性力学分析方法坝体热应力质点的运动速度与瞬时应力膨胀波与畸变波柱坐标基本方程球坐标的基本方程位移表示的平衡微分方程乐普位移函数载荷作用区域内的沉陷球体接触压力分析受热厚壁管道弹性应力波及波动方程应力波的相向运动一、内容介绍对于弹性力学空间问题以及一些专门问题，其求解是相当复杂的。本章的主要任务是介绍弹性力学的一些专题问题。通过学习，一方面探讨弹性力学空间问题求解的方法，这对于引导大家今后解决某些复杂的空间问题，将会有所帮助。另一方面，介绍的弹性力学专题均为目前工程上普遍应用的一些基本问题，这些专题的讨论有助于其它课程基本问题的学习，例如土建工程的地基基础沉陷、机械工程的齿轮接触应力等。本章首先介绍空间极坐标和球坐标问题的基本方程。然后讨论布希涅斯克问题，就是半无限空间作用集中力的应力和沉陷。通过布希涅斯克问题的求解，进一步推导半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷、以及弹性接触问题。另一方面，本章将介绍弹性波、热应力等问题的基本概念。二、重点 1、空间极坐标和球坐标问题； 2、布希涅斯克问题； 3、半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷；弹性接触问题；4、弹性波；5、热应力。

§10.1 柱坐标表示的弹性力学基本方程学习思路: 对于弹性力学问题，坐标系的选择本身与问题的求解无关。但是，对于某些问题，特别是空间问题，不同的坐标系对于问题的基本方程、特别是边界条件的描述关系密切。某些坐标系可以使得一些特殊问题的边界条件描述简化。因此，坐标系的选取直接影响问题求解的难易程度。例如对于弹性力学的轴对称或者球对称问题，如果应用直角坐标问题可能得不到解答，而分别采用柱坐标和球坐标求解将更为方便。本节讨论有关空间柱坐标形式的基本方程。特别是关于空间轴对称问题的基本方程。学习要点： 1、空间柱坐标系； 2、柱坐标基本方程； 3、空间轴对称问题的基本方程。 1、空间柱坐标系在直角坐标系下，空间任意一点M的位置是用3个坐标（x，y，z）表示的，而在柱坐标系下，空间一点M的位置坐标用（ρ，?，z）表示。直角坐标与柱坐标的关系为：x =ρ cos ?，y =ρ sin ? ，z = z 柱坐标下的位移分量为：uρ，u? ， w 柱坐标下的应力分量为：σρ，σ? ，σz，τρ?，τ? z，τzρ 柱坐标下的应变分量为：ερ，ε? ，εz，γρ?，γ? z，γzρ 以下讨论柱坐标系的弹性力学基本方程。 2、柱坐标基本方程

弹性力学空间问题

弹性力学空间问题知识点空间柱坐标系空间轴对称问题的基本方程空间球对称问题的基本方程布西内斯科解分布载荷作用区域外的沉陷弹性球体变形分析热应力的弹性力学分析方法坝体热应力质点的运动速度与瞬时应力膨胀波与畸变波柱坐标基本方程球坐标的基本方程位移表示的平衡微分方程乐普位移函数载荷作用区域内的沉陷球体接触压力分析受热厚壁管道弹性应力波及波动方程应力波的相向运动一、内容介绍对于弹性力学空间问题以及一些专门问题，其求解是相当复杂的。本章的主要任务是介绍弹性力学的一些专题问题。通过学习，一方面探讨弹性力学空间问题求解的方法，这对于引导大家今后解决某些复杂的空间问题，将会有所帮助。另一方面，介绍的弹性力学专题均为目前工程上普遍应用的一些基本问题，这些专题的讨论有助于其它课程基本问题的学习，例如土建工程的地基基础沉陷、机械工程的齿轮接触应力等。本章首先介绍空间极坐标和球坐标问题的基本方程。然后讨论布希涅斯克问题，就是半无限空间作用集中力的应力和沉陷。通过布希涅斯克问题的求解，进一步推导半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷、以及弹性接触问题。另一方面，本章将介绍弹性波、热应力等问题的基本概念。二、重点 1、空间极坐标和球坐标问题； 2、布希涅斯克问题； 3、半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷；弹性接触问题；4、弹性波；5、热应力。 §10.1 柱坐标表示的弹性力学基本方程学习思路: 对于弹性力学问题，坐标系的选择本身与问题的求解无关。但是，对于某些问题，特别是空间问题，不同的坐标系对于问题的基本方程、特别是边界条件的描述关系密切。某些坐标系可以使得一些特殊问题的边界条件描述简化。因此，

轴对称问题有限元法分析

轴对称问题的有限元模拟分析

一、摘要：轴对称问题是弹性空间问题的一个特殊问题，这类问题的特点是物体为某一平面绕其中心轴旋转而成的回转体。由于一般形状是轴对称物体，用弹性力学的解析方法进行应力计算，很难得到精确解，因此采用有限元法进行应力分析，在工程上十分需要，同时用有限元法得到的数值解，近似程度也比较好。轴对称问题的有限元分析，可以将要分析的问题由三维转化为二维平面问题来解决。先是结构离散，然后是单元分析，再进行总纲集成，再进行载荷移置，最后是约束处理和求解线性方程组。分析完成之后用ABAQUS 软件建模以及分析得出结果。关键字：有限元法轴对称问题 ABAQUS软件二、前言: 1、有限元法领域介绍：有限单元法是当今工程分析中获得最广发应用的数值计算方法，由于其通用性和有效性，受到工程技术

界的高度重视，伴随着计算机科学和技术的快速发展，现在已经成为计算机辅助设计和计算机辅助制造的重要组成部分。由于有限元法是通过计算机实现的，因此有限元程序的编制以及相关软件的研发就变得尤为重要，从二十世纪五十年代以来，有限元软件的发展按目的和用途可分为专用软件和大型通用商业软件，而且软件往往集成了网络自动划分，结果分析和显示等前后处理功能，而且随着时间的发展，大型通用商业软件的功能由线性扩展到非线性，由结构扩展到非结构等等，这一系列强大功能的实现与运用都要求我们对有限元法的基础理论知识有较为清楚的认识以及对程序编写的基本能力有较好掌握。 2、研究报告目的: 我们小组研究的问题是：圆柱体墩粗问题。毛坯的材料假设为弹塑性，弹性模量210000MPa，泊松比0.3，塑性应力应变为塑性应力塑性应变 2200

轴对称问题练习题

一．选择题（共12小题） 1．如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（）A．3B．10C．9 D．9 2．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（）A．B． C．5 D． 3．如图，在矩形ABCD中，AD=4，∠DAC=30°，点P、E分别在AC、AD上，则PE+PD的最小值是（）A．2 B．2 C．4 D． 4．如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（） A．（0，）B．（0，）C．（0，2） D．（0，） 5．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在边DC上，且DM=2，点N是边AC上一动点，则线段DN+MN的最小值为（）A．8 B．8 C．2D．10 6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，E为BC的中点，则对角线BD上的动点P 到E、C两点的距离之和的最小值为（）A． B．C．D． 7．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（）A．B．2C．D．2 8．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE 交AD于点F，则DF的长等于（）A．B．C．D．

9．如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC 于点O，若AO=5cm，则AB的长为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 10．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0 B．k＞0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1 11．若方程x2﹣3x﹣4=0的两根分别为x1和x2，则+的值是（） A．1 B．2 C．﹣ D．﹣ 12．若α、β为方程2x2﹣5x﹣1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（） A．﹣13 B．12 C．14 D．15 13．如图，在对角线长分别为12和16的菱形ABCD中，E、F分别是边AB、AD的中点，H 是对角线BD上的任意一点，则HE+HF的最小值是． 14．如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，点C落在C'处，BC′交AD于点E．若AB=4cm，AD=8cm，则△BDE的面积等于． 15．若x1，x2是关于x的方程x2﹣2x﹣5=0的两根，则代数式x12﹣3x1﹣x2﹣6的值是．16．已知方程x2﹣2x﹣5=0的两个根是m和n，则2m+4n﹣n2的值为． 19．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC 于点E．（1）求证：△DCE≌△BFE；（2）若CD=，DB=2，求BE的长．

弹性力学试题及答案

《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分） 1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平衡微分方程，应力边界条件。 2．一组可能的应力分量应满足：平衡微分方程，相容方程（变形协调条件）。 3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D =?? 2?的物理意义是杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。 4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数?在边界上值的物理意义为边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩。 5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： 0,=+i j ij X σ ，)(2 1,,i j j i ij u u +=ε。二、简述题（每小题6分） 1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数?的分离变量形式。题二（2）图（a ）???=++= )(),(),(222θθ??f r r cy bxy ax y x （b ）? ??=+++= )(),(),(3 3223θθ??f r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。试求薄板面积的改变量S ?。

轴对称问题

轴对称应力状态分析当作用力对称分布于回转体时，其内部的应力状态称为轴对称应力状态，轴对称应力状态的特点是:(1)通过旋转体轴线的子午面在变形过程中始终不会扭曲，所以在θ面上没有剪应力，即 p θτ = Z θτ =0，所以 θ σ就是一个主应力。（2）各应力分量与θ坐标无光，对θ的偏导数为零。采用圆柱坐标系时，轴对称的应力张量为： ij 0 =0 00 P ZP P Z Z θ σσσσ?? ? ? ???ττ 设点a 的坐标为（P ,θZ)，应力状态为ij σ，a 1 的坐标为（p p d +，d θθ+，z z d +），应力状态为 ij ij d σσ+，即 z z z ij ij z z z z z z z z z =z z z z d d d d d d d d d d θθθ θθ θθθθθσσθθσσσσθθσθ σθ ???? ? +++ ? ??? ? ??? ?+++ + ???? ? ??? ?++ + ? ???? ?ρρ ρ ρ ρ ρ ρρρρτ τρτ τ ρ ττ τρ τρττ τρτ ρ 根据力的平衡条件=P ∑ρ0 ；=0 P θ∑ ；=0 Z P ∑ ，可得以下圆柱坐标系的平衡微分方程为： z z z z 0z 0 z θ σσσσ??-?+ + =? ???? ???++=????ρρ ρρρτ ρρ ττρ ρ 在有些轴对称问题（例如圆柱体的均匀镦粗、挤压和拉拔等）中，由于 =d d ρθ εε，由增量理论可知，当某两个正应变增量的分量相等时，其对应的应力也相等，所以=ρθ σσ。那么轴对称的平衡方程可简化为： z z z z =0 z =0z ρρ ρρσρσρ ρ???+ ? ??? ? ??? ++???? τ τ τ

轴对称问题

-轴对称问题

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轴对称问题轴对称物体:某一平面图形绕平面上某一轴旋转形成的回转体。此平面称子午面。这是轴对称物体吗？轴对称问题轴对称物体+轴对称约束＋轴对称载荷=轴对称系统对轴对称系统的应力分析＝轴对称问题 ?轴对称物体的离散形式

轴对称三角形单元的结点位移向量: T k k j j i i e v u v u v u } {}{=δ 轴对称三角形单元的结点力向量：T e kz e kr e jz e jr e iz e ir e F F F F F F F } {}{= 轴对称问题的力学基础 1．空间轴对称物体的几何方程在弹性力学中,空间轴对称体的几何方程为 ????? ???? ?? ?????? ? ??????+??????=??????????????r v z u r u z v r u rz z r γεεεεθ＝ (1） 2． ?物理方程及弹性矩阵

在有初应变情况下的物理方程为 (){}(){} (){} ()rz rz rz r z z r r r r z z z E E E E τμγγσσμσεεσσμσεεσσμσεεθθθθθ＋－＝－121 1 1 0000=-++-=-+-= - (２) 由此式解出应力，得到 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()() rz rz r r z z r r z z r r r z z z E E E E γμτεεεεμμεεμμ μμμσεεμμ εεεεμμμμμσεεμμ εεμμεεμμμσθθθθθθθ＋－－－－＋－＝－－－－＋－－－－－＋－12112111112111112111000000000= ?? ????+-+-?? ????+++-=?? ????+-+-= (３）这里初应变 []T rz r z 00000γεεεεθ＝式中,00=rz γ。写成矩阵形式为 ()0εεσ－＝D 式中D 是轴对称的弹性矩阵,其表达式为 ()()()()???? ? ? ??? ? ????μμλλλ λλ λμμμ－－－＋－＝12210000101012111E D （4） u -= 1μλ

第四章轴对称问题有限元法

第四章轴对称问题有限元法在工程问题中经常会遇到一些实际结构，它们的几何形状、约束条件和外载荷均对称某一固定轴，我们把该固定轴称为对称轴。则在载荷作用下产生的应力、应变和位移也都对称此轴。这种问题就称为轴对称问题。在离心机械、压力容器、矿山机械、飞行器中经常遇到轴对称问题。第一节轴对称问题弹性力学基本方程对于轴对称问题，宜采用圆柱坐标系（,,r z θ）。如果将 y 弹性体的对称轴作为Z 轴，则所有应力、应变和位移分量都只是r 和Z 轴的函数，而与θ无关，即不随θ变化。弹性体内任意一点只有两个位移：即沿r 方向的径向位移u 和沿Z 方向的轴向位移w 。由于轴对称，沿θ方向的环向（周向）位移v 等于零。因此轴对称问题是二维问题。在轴对称弹性体内用相距dr 的两个圆柱面和过轴线互

成d θ角的两个铅垂面切割出一个高为dz 的微元体，如图2所示。 (a) σ(b) 沿r 方向作用的正应力r σ称为径向应力沿θ方向作用的正应力θσ称为环向应力沿z 方向作用的正应力z σ称为轴向应力 rz 面内的剪应力 zr τ=rz τ

故轴对称弹性体内任意一点的应力分量 {}[]T r z rz θσσσστ= 对应的轴对称弹性体内任意一点的应变分量 {}[] T r z rz θεεεεγ= 其中 r ε ------ 沿r 方向径向线应变 θε ------ 沿θ方向环向线应变 z ε ------ 沿z 方向轴向线应变 rz γ------ rz 面内的剪应变与平面问题相比，轴对称问题多了一个环向应变θε。弹性体受载时，点（,,r z θ）产生径向位移u ，使过点（,,r z θ）的周长增加了2()2r u r ππ+-，因而产生相对伸长，即环向应变: 2()22r u r u r r θππεπ+-== 轴对称问题的几何方程（应变与位移之间的关系）为 ,,,r z zr u u w w u r r z r z θεεεγ????====+????

弹性力学基本概念和考点..

基本概念：（1）面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定（2）切应力互等定理：作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。（3）弹性力学的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。（4）平面应力与平面应变；设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。这时， 0,0,0z zx zy σττ===，由切应力互等，0,0,0z xz yz σττ===，这样只剩下平行于 xy 面的三个平面应力分量，即,,x y xy yx σσττ=，所以这种问题称为平面应力问题。设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，由对称性可知，0,0zx zy ττ==，根据切应力互等，0,0xz yz ττ==。由胡克定律， 0,0zx zy γγ==，又由于z 方向的位移w 处处为零，即0z ε=。因此，只剩下平行于xy 面的三个应变分量，即,,x y xy εεγ，所以这种问题习惯上称为平面应变问题。（5）一点的应力状态；过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。（6）圣维南原理；（提边界条件）如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受到的影响可以忽略不计。（7）轴对称；在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。一、平衡微分方程：

初二轴对称图形难题总结新选

初二轴对称图形难题总结如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为_________．（2）知识拓展：如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程． 2．（1）观察发现如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为_________．（2）实践运用如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为_________．（3）拓展延伸如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？

对称问题经典例题

对称问题经典例题一、要点梳理 1. 对称问题的核心是点关于点的中心对称和点关于直线的轴对称，要充分利用转化的思想将问题转化为这两类对称中的一种加以处理. 2.解决最值问题最常用的方法是目标函数法和几何法。 3.求对称曲线的常用思想方法：代入转移法 4.许多问题中都隐含着对称性，要注意挖掘、充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等二、基础练习 1、已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为 ( ) A.(x ＋1)2＋y 2＝1 B.x 2＋y 2＝1 C.x 2＋(y ＋1)2＝1 D.x 2＋(y －1)2＝1 2、方程|2x+y|+|2x-y|=4表示的曲线曲线 ( ) A.关于x 轴对称但不关于y 轴对称 B.关于y 轴对称但不关于x 轴对称 C.关于原点对称 D.以上都不对 3、函数y ＝－e x 的图象 ( ) A.与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 B.与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称 C.与x y e -=的图象关于y 轴对称 D.与x y e -=的图象关于坐标原点对称 4、曲线x 2＋4y 2＝4关于点M （3，5）对称的曲线方程为___________. 5、光线从点A （-3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点B （-2，6），求射入y 轴后的反射线的方程。变式：已知直线l 1: x+my+5=0和直线l 2:x+ny+P=0，则l 1、l 2关于y 轴对称的充要条件是( ) A 、 n p m =5 B 、p=-5 C 、m=-n 且p= -5 D 、 n m 1 1-=且p=-5 6. 直线0632=-+y x 交x 、y 轴于A 、B 两点，试在直线x y -=上求一点P ，使B P A P 11+最小，则P 点的坐标是_______ 思考、已知函数3 21()3 f x x x x = ++的图象C 上存在一定点P 满足：若过点P 的直线l 与曲线C 交于不同于P 的两点1122(,),(,)M x y N x y ，且恒有12y y +为定值0y ，则0y 的值为（） A. 13- B. 23- C. 4 3 - D. 2- 7、已知点M （3，5），在直线：022=+-y x 和y 轴上各找一点P 和Q ，使MPQ ?的周长最小。 8、在直线:90l x y -+=上任取一点P ，过点P 且以椭圆22 1123 x y +=的焦点为焦点作椭圆。问：点P 在何处时，所作椭圆的长轴最短？并求具有最短长轴的椭圆的方程。 9、已知长方形的四个顶点A （0，0）、B （2，0）、C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.设P 4的坐标为（x 4，0）.若1

空间轴对称问题的基本微分方程

空间轴对称问题的基本微分方程在描述轴对称问题各分量时，用圆柱坐标r 、 θ、z 比用直角坐标x 、y 、z 方便得多，如以z 轴为对称轴，如图1所示则所有应力分量、应变分量和位移分量都将只是r 和z 的函数，不随θ而变。如图，取微小六面体。注意到应力分量是（r ，z ）将各面上的应力分量写出。单位体积内的体积力在r 、 z 方向的分量分别表示为r f 、z f 。根据单元体在r 和z 方向的平衡方程，略去高阶微量，同时除以 rdrd dz θ，因为d θ很小，近似认为()sin 22d d θθ≈，加以整理后得到r 方向和z 方向的平衡微分方程为：图1柱坐标下微小六面体 r r z 0r 0zr r rz rz z f z r f z r r θστσσσττ??-?+++=????????+++=???? 公式（1）进一步推导空间轴对称问题的几何变形方程：设u 、w 分别代表r 及z 轴方向的位移分量，由极坐标内位移与应变的关系以及直角坐标的关系式，很容易得到 r u r ??=ε，r u =θε，z w z ??=ε，0==z r θθγγ，r w z u rz ??+??=γ 公式（2）最后，根据广义胡克定律，可得出物理方程： 1[()]1[()]1[()]2(1)r r z r z z z r rz rz rz E E E G E θθθθεσμσσεσμσσεσμσστμγτ?=-+???=-+???=-+??+==?? 公式（3）或 ()()2112112()()2112112()()2112112()2(1)2(1)r r r z z z rz rz rz E E u e e e G r E E u e e e G r E E w e e e G z E E u w G z r θθθμμσελεμμμμμμσελεμμμμμμσελεμμμμτγγμμ??= +=+=+?+-+-???=+=+=+?+-+-????=+=+=+?+-+-?????==+=?++??? 公式（4）式中，r z u u w e r r z θεεε??==++??++为体积应变。上式中共有10个未知数，必须满足（1）（2）（3）或（4）等10个方程式。

弹性力学轴对称问题的有限元法

4. 弹性力学轴对称问题的有限元法本章包括以下内容： 4.1用虚功方程建立有限元方程 4.2三结点单元位移函数 4.3三结点单元刚度矩阵 4.4载荷移置 4.5轴对称分析举例 4.1用虚功方程建立有限元方程物体的几何形状、约束情况及所受的外力都对称于空间的某一根轴，因此在物体中通过该轴的任何平面都是对称面，所有应力、应变和位移也对称于该轴，这类问题称为轴对称问题。研究轴对称问题时通常采用圆柱坐标系（r ，θ，z ），以z 轴为对称轴。图4.1受均布内压作用的长圆筒如图4.1所示的受均布内压作用的长圆筒，通过Z 轴的一个纵截面就是对称面。由于对称性，轴对问题共有4个应力分量： ??? ???????????=zr z r τσσσσθ}{ （4-1）其中r σ表示沿半径方向的正应力，称为径向应力；θσ表示沿θ方向的正应力，称为环向应力或切向应力；z σ表示沿z 方向的正应力，称为轴向应力；zr τ表示在圆柱面上沿z 方向作用的剪应力。同样，轴对称问题共有4个应变分量：

??? ???????????=zr z r γεεεεθ}{ （4-2）其中r ε表示沿半径方向的正应变，称为径向正应变；θε表示沿θ方向的正应变，称为环向正应变或切向正应变；z ε表示沿z 方向的正应变，称为轴向正应变；zr γ表示沿r 和z 方向的剪应变。在轴对称问题中，弹性体内任意一点上，不存在切向位移，只存在径向位移u 和轴向位移w ，两个位移分量表示为， ? ?????=w u f }{ （4-3）在讨论弹性力学平面问题的有限元法时，我们先由将弹性体划分为有限个单元的组合体，由虚功方程得到单元刚度矩阵，集成后得到整体刚度矩阵。在这里，我们用虚功方程直接得到轴对称问题的有限元列式。由虚功方程可得，外力虚功等于内力虚功或虚应变能， ds p f dxdydz F f dxdydz T s T T }{}{}{}{}{}{***???????? +=σε （4-4）其中{F}为体力，{p}为面力。将弹性体离散后，作用在弹性体上的外载荷移置到节点上，在每个节点上外力只有径向分量n U U U ,...,,21，轴向分量n W W W ,...,,21， ????? ?????? ???????????=n n W U W U W U F ...}{2211 （4-5）每个节点的虚位移也只有径向分量**2*1,...,,n u u u ，轴向位移分量* *2*1,...,,n w w w 。

轴对称之翻折问题

轴对称之翻折问题如何处理翻折问题 1．全等 2．角平分线 3．角＋平＝等(铁三角) 4．勾股定理 5．利用勾股定理列方程典型例题【例1】如图，矩形ABCD沿CE对折，点B落在AD边上的F处，若∠DCF＝60°，则∠BCE＝_____。【例2】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边BC上A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝( ) A．40°B．30° C．20°D．10° 【例3】如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处。若AE＝a、AB＝b、BF＝c ，请写出a、b、c 之问的一个等量关系_____。【例4】如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC 沿AD对折，点C落在C′位置，则BC′与BC之间的数量关系为 _________。【例5】如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC 边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是( ) A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

【例6】如图，矩形纸片ABCD，AB＝3，BC＝4，沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，求△ABD和△EBD重叠部分的面积。【例7】矩形纸片ABCD的边长AB＝4，AD＝2。将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色(如图)，则着色部分的面积为( ) A．8 B．11 2 C．4 D．5 2 课后作业 1．如图所示图案中有且只有三条对称轴的是( ) A ． B ． C ． D ． 2．如图，将边长为9cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，且CD＝3CN，则线段BE 的长是( ) A．6cm B ．9- C．3cm D ． 3．如图，在矩形ABCD中，3 AB=，1 AD=，点P在线段AB上运动，设AP x =，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF(点E、F为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原．则当0 x=，折痕EF的长为( ) A．1 B．2 C．3 D． 4 B E N M F C D A A B C D E F P O

ANSYS轴对称问题

关于 ANSYS 轴对称应力问题 1. 什么是轴对称应力问题弹性力学中将廻转体对称于转轴而变形的问题定义为轴对称问题。根据铁摩辛柯《弹性理论》一书，公式 (169)(P.322) 与 (178) (P.360)可以看到，在轴对称情况，只有径向和轴向位移，不能有周向位移。轴对称分析要求，除了结构是轴对称的外，载荷和约束也必须是轴对称的。由上面的说明可见，在轴对称分析中不能有周向变形，因而也不能有周向的载荷。即不能有扭矩之类的载荷和扭转变形。对于轴对称结构，如果承受轴对称约束，而载荷是非轴对称的，但该载荷可以分解为旋转角θ的三角函数，可以使用“轴对称谐波单元–Plane25，Shell61，Plane75，Plane78，Plane83，Shell208, Shell209 等”进行求解，不过本文不涉及。 2. ANSYS 对轴对称模型的基本要求在 ANSYS 中分析轴对称问题时，要求： (1) 分析模型 (轴对称) 必须位于整体坐标系的 X-Y 平面中，Y 轴为旋转轴，模型中的所有实体 (Keypoint,Line,Area,Volume,Node, Element等) 都必须位于 X >= 0 的范围中。 (2) 所有的载荷、约束都必须是轴对称的。为此： a. 只能施加 XY 平面内的载荷和约束，不能施加垂直于 XY 平面的载荷 (如扭矩，会产生法向的位移，对于轴对称单元不存在该位移，故不能施加)； b. 根据轴对称理论，在旋转轴上 (X=0) 应该有 Ux ＝0，因此在旋转轴上不能施加非零的径向 (X 方向) 位移约束，也不能施加径向的载荷 (否则会破坏结构 Ux ＝0 的条件)。 3.ANSYS 中如何施加轴对称载荷对于约束、面载荷、体载荷、Y 方向的加速度、X 方向的角速度等，定义方式与非轴对称结构相同；对集中力载荷则有所不同。对于集中力，要求输入载荷作用点处，360 度圆周上的合力。例如：在实际结构直径 d = 10 mm 的圆周上作用 p = 1500 N/mm 的 Y 向载荷，则应输入为 (见图 1)：

弹性力学轴对称问题的有限元法

4.弹性力学轴对称问题的有限元法本章包括以下内容： 4.1用虚功方程建立有限元方程 4.2三结点单元位移函数 4.3三结点单元刚度矩阵 4.4载荷移置 4.5轴对称分析举例4.1用虚功方程建立有限元方程物体的几何形状、约束情况及所受的外力都对称于空间的某一根轴，因此在物体中通过该轴的任何平面都是对称面，所有应力、应变和位移也对称于该轴，这类问题称为轴对称问题。研究轴对称问题时通常采用圆柱坐标系（r, 0, z）,以z轴为对称轴。如图4.1所示的受均布内压作用的长圆筒，通过对称性，轴对问题共有4个应力分量： Z轴的一个纵截面就是对称面。由于r { } z zr (4-1) 其中r表示沿半径方向的正应力，称为径向应力; 表示沿0方向的正应力，称为环向应力或切向应力；z表示沿z方向的正应力，称为轴向应力; zr表示在圆柱面上沿z方向作用的剪应力。同样，轴对称问题共有4个应变分量: 图4.1受均布内压作用的长圆筒

r z zr 其中r表示沿半径方向的正应变，称为径向正应变；表示沿B方向的正应变，称为环向正应变或切向正应变；z表示沿z方向的正应变，称为轴向正应变；zr表示沿r和z 方向的剪应变。在轴对称问题中，弹性体内任意一点上，不存在切向位移，只存在径向位移u 和轴向位移w ，两个位移分量表示为， 4-3) 在讨论弹性力学平面问题的有限元法时，我们先由将弹性体划分为有限个单元的组合体，由虚功方程得到单元刚度矩阵，集成后得到整体刚度矩阵。在这里，我们用虚功方程直接得到轴对称问题的有限元列式。由虚功方程可得，外力虚功等于内力虚功或虚应变能， * T * T * T { *}T{ } dxdydz { f * }T { F} dxdydz { f*}T{p}ds （4-4） s 其中{F} 为体力，{p} 为面力。将弹性体离散后，作用在弹性体上的外载荷移置到节点上，在每个节点上外力只有径向分量U1,U2,...,U n ，轴向分量W1,W2,...,W n， u；,u2，...,u；，轴向位移分量W；,w2，...,W；。 {F} U1 W1 U2 W2 4-5) {} 4-2) {f} 每个节点的虚位移也只有径向分量

(完整版)同济大学弹性力学往年试题

同济大学本科课程期终考试（考查）统一命题纸 A 卷 2006—2007学年第一学期课程名称：弹性力学课号：任课教师：专业年级：学号：姓名：考试（√）考查（）考试（查）日期： 2007 年1月 22 日出考卷教师签名：朱合华、许强、王君杰、李遇春、陈尧舜、邹祖军、赖永瑾、蔡永昌教学管理室主任签名： 1．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分) （1）薄板小挠度弯曲时，体力可以由薄板单位面积内的横向荷载q 来等代。 ( ) （2）对于常体力平面问题，若应力函数),(y x ?满足双调和方程02 2 =???，那么由) ,(y x ?确定的应力分量必然满足平衡微分方程。（）（3）在求解弹性力学问题时，要谨慎选择逆解法和半逆解法，因为解的方式不同，解的结果会有所差别。（）（4）如果弹性体几何形状是轴对称时，就可以按轴对称问题进行求解。（）（5）无论是对于单连通杆还是多连通杆，其截面扭矩均满足如下等式： ??=dxdy y x F M ),(2,其中),(y x F 为扭转应力函数。（）（6）应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。（）（7）平面应力问题和平面应变问题的应变协调方程相同，但应力协调方程不同。（）（8）对于两种介质组成的弹性体，连续性假定不能满足。 ( ) （9）位移变分方程等价于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的静力边界条件。（）（10）三个主应力方向一定是两两垂直的。 ( ) 2．填空题（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。）（共20分，每小题2分） (1)弹性力学是研究弹性体受外界因素作用而产生的的一门学科。 (2)平面应力问题的几何特征是：。 (3)平衡微分方程则表示物体的平衡，应力边界条件表示物体的平衡。 (4) 在通过同一点的所有微分面中，最大正应力所在的平面一定是。 (5)弹性力学求解过程中的逆解法和半逆解法的理论基础是：。 (6)应力函数()4 2 2 4 ,cy y bx ax y x ++=Φ如果能作为应力函数，其c b a ,,的关系应该是。 (7)轴对称的位移对应的一定是轴对称的。 (8)瑞利－里兹法的求解思路是：首先选择一组带有待定系数的、满足的位移分量，由位移求出应变、应力，得到弹性体的总势能，再对总势能取极值。 (9)克希霍夫的直法线假设是指：变形前垂直于薄板中面的直线段（法线）在变形后仍保持为直线，并垂直于变形后的中面，且。 (10)一般说来，经过简化后的平面问题的基本方程有个，但其不为零的应力、应变和