九年级-数学-知识点总结

一、选择题（3 分一题，共 18 分）

1．如图，平面中两条直线 l 1 和 l 2 相交于点 O ，对于平面上任意一点 M ，若 p 、q 分别是 M 到直线l 1 和l 2 的距离，则 称有序非负实数对（ p ， q ）是点 M 的“距离坐标”．根据上述定义，有以下几个结论： ①“距离坐标”是（0，1）的点有 1 个； ②“距离坐标”是（5，6）的点有 4 个；

③“距离坐标”是 (a , a ) ( a 为非负实数)的点有 4 个；其中正确的有（ ）

A.0 个

B. 1 个

C. 2 个

D. 3 个 2．如图，四边形 ABCD 中，AB=BC ，∠ ABC=∠ CDA=90°，BE ⊥AD 于点 E ，且四边形 ABCD

的面积为 9，则 BE=（ ）

A ．2

B ．3

C ．

D ．

3．已知整数 x 满足 0≤x ≤5，y 1=x ＋2，y 2=－2x ＋5，对任意一 个 x ，y 1 ，y 2 中的较大

值用 m 表示，则 m 的最小值是（

） （第 2 题） A. 2 B. 3

C. 5

D. 7

4．在直角三角形 ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝30°， 在直线 AC 或直线 BC 上找点 P ，使△PAB 是等腰三角形，

则满足条件的点 P 的个数有（ ）

A ．8 个

B ．7 个

C ．6 个

D ．4 个

l 1

M （ p ，q ）

l 2

O

（ 第 1 题）

? b ? 1 ?

5. 若 max{s 1 , s 2 ,Λ, s n } 表 示 实 数 s 1 , s 2 ,Λ, s n

中 的 最 大 者 ． 设 A = (a 1 , a 2 , a 3 ) ， B = b 2 ? ，记

? ? b 3 ?

? 1 ? ? A ? B = max{a 1b 1 , a 2b 2 , a 3b 3 }. 设 A = ( x - 1, x + 1,1) ，

B = x - 2 ? ，若

?

A ?

B = x - 1 ，则 x 的取值范围为（

）

? | x - 1 |?

A ．1 -

3 ≤ x ≤ 1

B ．1 ≤ x ≤ 1 + 2

C ．1 -

2 ≤ x ≤ 1

D ． 1 ≤ x ≤ 1 + 3

6． 如图，矩形纸片 ABCD 中，BC=4，AB=3，点 P 是 BC 边上的

P

动点(点 P 不与点 B 、 C 重合)．现将△PCD 沿 PD 翻折，得到△PC ’D ；作∠BPC ’的角

平分线，交 AB 于点

E ．设 BP= x,BE= y,则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是(

)

(A)

(C) (D)

（第6 题）

7．如图，在正方形ABCD 中，点O 为对角线AC 的中点，过点0 作射线OM、ON 分别交AB、BC 于点E、F，且∠EOF=900 ,BO、EF 交于点P．则下列结论中：(1)图形中全等的三角形只有两对；(2)正方形ABCD 的面积等于四边形OEBF 面积的4 倍；(3)BE+BF= 2 0A；(4)AE2+CF2=2OP ?OB，正确的结论有( )个．

A．1 8．2 C．3 D．4

8．如图，在Rt△ABC 中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC 折叠，使AB 落在AC 上，点B 与AC 上的点E 重合，展开后，折痕AD 交BO 于点F，连结DE、EF.下列结论：①tan∠ADB=2 ②图中有4 对全等三角形③若将△DEF 沿EF 折叠，则点 D 不落在AC 上④BD=BF ⑤S 四边形DFOE=S △AOF ，上述结论中正确的个数是（）

A 1 个

B 2 个

C 3 个

D 4 个

第7 题第8 题

9.如图，⊙O 的半径为5 ㎝，G 为直径AB 上一点，弦CD 经过G 点，CD＝6 ㎝，过点A 和点B 分别向CD 引垂线AE 和BF，则AE－BF＝( )

A、6 ㎝

B、8 ㎝

C、12 ㎝

D、16 ㎝

10．如图， MN 是 O 的直径， MN = 2 ，点 A 在 O 上，∠AMN = 30 ， B 为 AN 的中点， P 是直径 MN 上

一动点，则 PA + PB 的最小值为（

）

Ａ． Ｃ．1

Ｄ． 2

N

图（10）

（第 9 题）

二、填空题（4 分一题，共 40 分）

11、已知实数 x , y 满足x 2

+ 3x + y - 3 = 0, 则x + y 的最大值为

。

12．如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦 AB 切⊙P 于点 C ，且 AB ∥OP ．若阴影部分的面积为 10π，则弦 AB 的长为

.

13.（2007 淄博）如图，已知：△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于 D 点，且 AC =5，DC =3，AB = 4

直

径等于

。

2 ，则⊙O 的

第 12 题） （

?a x + y = c , ? x = n , ?a x - y = a + c , 14. 已知方程组 ? 1 1 ?a 2 x + y = c 2

c 1，a 2，c 2)．

的解是 ? ? y = m , 则关于 x ，y 的方程组 ?

1 1 1

?a 2 x - y = a 2 + c 2

的解是 (解中不含 a 1，

15. 已知 a ，b 是正整数，且满足 2 (

15 + a

15 ) 也是整数：（1）写出一对符合条件的数对是

；（2）所有满足

b

条件的有序数对（a ，b ）共有

对.

16、如图所示，在梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，CE 是∠BCD 的平分线，且 CE ⊥AB ，E 为垂足，BE=2AE ，若四边形 AECD 的面积为

1，则梯形 ABCD 的面积为 .

第 16 题 第 17 题 第 18 题

17．如图，有任意四边形 ABCD ， A '、B '、C '、D ' 分别是 A 、B 、C 、D 的对称点，设 S 表示四边形 ABCD 的面积，

S ' 表示四边形 A 'B 'C 'D ' 的面积，则 S ' 的值为

．

S

6

18. 如图，点 P 在双曲线 y = x 上，以 P 为圆心的⊙P 与两坐标轴都相切，E 为 y 轴负半轴上的一点，PF ⊥PE 交 x 轴 于点 F ，则 OF －OE 的值是

．

19．将抛物线 y 1＝2x 2 向右平移 2 个单位，得到抛物线 y 2 的图象 如图，P 是抛物线 y 2 对称轴上的一个动点，直线 x ＝t 平行于 y 轴，分别与直线 y ＝x 、抛物线 y 2 交于点 A 、B ．若△ABP 是以点 A 或点 B 为直角顶点的等腰直角三角形， 求满足条件的 t 的值，则 t ＝

．

x

第 21 题

A

E D

B

C

第 22 题

(第 23 题)

20、如图， n +1 个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一直线上，设△ B 2 D 1C 1 的面积为 S 1 ，△ B 3 D 2C 2 的面积为

S 2 ，…，△ B n +1D n C n 的面积为 S n ，则 S 4 = ▲

；

（第 20 题）

21.如图，将一块直角三角板 OAB 放在平面直角坐标系中，B(2，0)，∠AOB=60°，点 A 在第一象限，过点 A 的双曲

2 线为 y = k

.（x ﹥0）在 x 轴上取一点 P ，过点 P 作直线 OA 的垂线 l ，以直线 l 为对称轴，线段 OB 经轴对称变换后

x

的像是 O ′B′.（1）当点 O ′与点 A 重合时，点 P 的坐标是 ；（2）设 P(t ，0)，当 O′B′与双曲线有交点时，t

的取值范围是 .

22．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BA C ，∠EBC =∠E=60°，若 BE=6cm ，DE=2cm ，则

BC=

cm

23．如图，正方形 A 1B 1P 1P 2 的顶点 P 1 、 P 2 在反比例函数 y = 2

( x > 0) 的图象上，顶点 A 1 x

2

、

B 1 分别在 x 轴、 y 轴 的正半轴上，再在其右侧作正方形 P 2 P 3 A 2 B 2 ，顶点 P 3 在反比例函数 y =

正半轴上，则点 P 3 的坐标为 ．

( x > 0) 的图象上，顶点

A 2 在 x 轴的 x

三、解答题（共 62 分，每个题目需要有一定的解题过程，直接答案不得分，若题目要求直接写出答 案，则得全部分数。）

24．（本题 8 分）已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，以 AB 为直径在正方形内作半圆，P 是半圆上的动点（不与 点 A 、B 重合），连接 PA 、PB 、PC 、PD ．

(1)如图①，当 PA 的长度等于 时，∠PAB ＝60°；

当 PA 的长度等于 时，△PAD 是等腰三角形；

(2)如图②，以 AB 边所在直线为 x 轴、AD 边所在直线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系（点 A 即为原点 O ）， 把△PAD 、△PAB 、△PBC 的面积分别记为 S 1、S 2、S 3．坐标为（a ，b ），试求 2 S 1 S 3－S 2 的最大值，并求出此

时 a ，b 的值．

25、（本题 10 分）如图所示，已知在直角梯形 OABC 中， AB ∥OC ，BC ⊥x 轴于点C ，A (1，1)、B (3，1) ．动点 P

从 O 点出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度移动．过 P 点作 PQ 垂直于直．线．OA ，垂足为Q ．设

P 点移

动的时间为 t 秒（ 0 < t < 4 ）， △OPQ 与直角梯形 OABC 重叠部分的面积为 S ．

（1）求经过 O 、A 、B 三点的抛物线解析式； （2）直接写出 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量取值范围； （3）将△OPQ 绕着点 P 顺时针旋转 90°，是否存在t ，使得△OPQ 的顶点O 或 Q 在抛物线上？若存在，直接写 出 t 的值；若不存在，请说明理由．

3

26．(本题10 分)已知抛物线y＝a(x－m)2＋n 与y 轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B 关于原点O 的对称点分别为C、D．若A、B、C、D 中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD 为抛物线的伴随四边形，直线AB 为抛物线的伴随直线．

(1)如图1，求抛物线y＝(x－2)2＋1 的伴随直线的解析式．

(2)如图2，若抛物线y＝a(x－m)2＋n(m＞0)的伴随直线是y＝x－3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的

解析式．

(3)如图3，若抛物线y＝a(x－m)2＋n 的伴随直线是y＝－2x＋b(b＞0)，且伴随四边形ABCD 是矩形．

①用含b 的代数式表示m、n 的值；

②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBD 是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标(用

含b 的代数式表示)，若不存在，请说明理由．

图1 图2 图3

分）如图，已知一次函数y = - x +7 与正比例函数y =

4

x 的图象交于点A，且与x 轴交于点B.

（1）求点A 和点B 的坐标；

27．（本题12

（2）过点A 作AC⊥y 轴于点C，过点B 作直线l∥y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1 个单位长的速度，沿O—C—A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R，交线段BA 或线段AO 于点Q．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点

P 运动的时间为t 秒.

①当t 为何值时，以A、P、R 为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．

28、（10 分）如图，等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M 是BC 的中点．

（1）求证：△MDC 是等边三角形；

（2）将△MDC 绕点M 旋转，当MD（即M D′）与AB 交于一点E，MC（即MC′）同时与AD 交于一点F 时，点E，F 和点A 构成△AEF．试探究△AEF 的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF 周长的最小值．

29.（12 分）如图，在?ABC 中，AB =AC = 5, BC = 6 ，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、

B 重合），且保持DE∥B

C ，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG .

（1）试求?ABC 的面积；

（2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长；

（3）设AD =x ，?ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出x 取值

范围；

（4）当?BDG 是等腰三角形时，请直接写出AD 的长.

C

30、（本小题满分12 分）

如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0， B 在x 正半轴上，且∠A BO=30°，动点P 在线段AB 上从

点A 向点B 以每秒t 秒，在x 轴上取两点M,N 作等边△P MN

(1)求直线AB 的解析式

(2)求等边△P MN 的边长（用t 的代数式表示），并求出当等边△P MN 的顶点M 运动到与原点O 重合时t 的值 (3)如果取OB 的中点D，以OD 为边在Rt△A OB 内部作图2 所示的矩形ODCE，点C 在线段AB 上，设等边△PMN和矩形ODCE 重叠部分的面积为S，求出当0≤t≤2 秒时S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值。

31、（2011?广州）如图1，⊙O 中AB 是直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE 中∠DCE 是直角，点D 在线段AC 上．

（1）证明：B、C、E 三点共线；

（2）若M 是线段BE 的中点，N 是线段AD 的中点，证明：MN= 2 OM；

（3）将△DCE 绕点C 逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1 是线段BE1 的中点，N1 是线段AD1 的中点，M 1 N1= 2 OM1 是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由，

32、（2011?广州）已知关于x 的二次函数y=a x2 +bx+c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x 轴交于不同的两点A、B，点A 的坐标是（1，0）

（1）求c 的值；

（2）求a 的取值范围；

（3）该二次函数的图象与直线y=1 交于C、D 两点，设A、B、C、D 四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△

PCD 的面积为s1 ，△PAB 的面积为s2 ，当0＜a＜1 时，求证：s1 - s2 为常数，并求出该常数

33．（本题14 分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y =ax2 (a < 0) 的性质时，将一把30 度直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于A 、B 两点，若得OA =OB =1），请解答以下问题：

（1）） B 恰好是短直角边中点，求该直角三角板的面积

（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图2 所示位置时，过B 作BF ⊥x 轴于点F ，测得OF =1，直接写出此时点B 的坐标，并求点A 的横．坐．标．；

（3）若OF=m(m>0),求线段AB 所在直线的解析式（可用m 的代数式表示k 或b）

（4）对该抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，有关线段AB 始终存在几个正确的结论。

请你写出其中你认为正确的2 个结论。