浅谈过圆上一点求圆的切线的方法
浅谈过圆上一点求圆的切线的方法
近日在带领学生复习《圆的方程》一章时，遇到这样一个问题：已知圆的方程为x2+y2=25，求过点（3，4）的圆的切线方程。本人通过一种简易的方法通过口算即得出答案：3x+4y-25=0.求解圆的切线方程的问题，是高考的考点，也是平时学习的重点，求圆的切线过程比较复杂，运算麻烦，所以容易出错，是学生比较头疼的一个问题，在求圆的切线问题中有两种情况，一种是求过圆外一点求圆的切线，另一种种情况是求经过圆上一点求圆的切线方程问题，本人对第二种情况进行了归纳、推导，得出快速求解的方法，此方法针对高三学生应对高考中此类问题有实际意义，故介绍如下。
设圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，经过圆上一点（x0，y0）的切线方程是什么？，我们把圆的方程写成（x-a）（x-a）+（y-b）（y-b）=r2形式，把其中一个x换成x0，一个y换成y0，则得到（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2，然后整理成直线方程的一般形式即得到所求切线的方程。此法在学生高考中快速解决求圆上点的切线问题提供了一个途径，学生可应用此法快速解决选择题，填空题，或者用它来检验分析解答题的答案是否正确。此方法的特点是速度快，不易错，容易上手。
下面就上面介绍的方法的理论依据进行推导：先从简单情况入手，当a=0，b=0时，那么圆的圆心在原点上，圆的方程为x2+y2= r2，设点（x0，y0）在圆上，如上图所示，那么经过这个点的直径与切线互相垂直，两者斜率互为负倒数即K直径=y0/ x0，
K切线=—x 0/ y 0，又因为切线过点（x0，y0），根据点斜式直线方程得：
（y— y0）=—x 0/ y 0（x— x0），整理得方程x0 x+ y0 y=x02+ y 02，由于点（x0，y0）在圆上且圆心在原点，所以x02+ y 02=r2，由此我们得到所求切线方程为x0 x+ y0 y=r2，即我们所讨论的方法的特殊形式（圆心在原点）。在此基础上，我们又推想圆心不在原点的圆的切线方程的推导方法，设圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，求经过圆上一点（x0，y0）的切线方程，我们以（a，b）为坐标原点建立新坐标系x‘o‘y‘，新坐标系与原坐标系的坐标之间关系为x‘=x-a，y‘=y-b，则（x0，y0）在新坐标系中的坐标为（x0‘，y0‘），x0‘=x0-a，y0‘=y0-b，在新坐标系中圆的方程为x‘2+y‘2= r2，根据第一种情况推导出结论：经过（x0‘，y0‘）点的切线方程为x0‘x‘+y0‘y‘= r2，然后根据坐标之间的关系转换到原坐标系方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2。
以上推导方法的原理为过圆上点的切线与过该点的直径互相垂直，通过垂直直线间的斜率关系K1K2=-1可以得到切线的斜率，然后应用点斜式求解直线方程，第二种情况是在第一种情况的基础上，借助坐标变换得出的，在新坐标系中构建出第一种情况的模型，然后利用坐标变换还原到原来的坐标系中，这种方法化简了推导过程，解决了运算的困难，取得深入浅出的效果。
证明圆的切线方法
证明圆的切线方法 我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l 过⊙O 上某一点A ，证明l 是⊙O 的切线，只需连OA ，证明OA ⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F. 求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4. ∴BD=DE ，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF ≌△EOF （SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 ⌒ ⌒
例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E ∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA ⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切. 证明二：延长AD 交⊙O 于E ，连结OA ，OE. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴BE=CE ， ∴OE ⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE ， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD ， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠ BDE, ⌒ ⌒
圆的切线性质定理
圆的切线的判定与性质 【知识点精析】 1. 直线与圆有三种位置关系，其中直线与圆只有唯一的公共点，叫直线与圆相切，这个公共点叫切点。这条直线叫圆的切线。 2. 圆的切线的判定与性质： （1）判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 判定一条直线是圆的切线需要满足以下两个条件：①经过半径外端②垂直于半径 （2）圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。 注意：应用圆的切线性质时，需指出切线和切点，才可推出垂直的结论。 例如：已知如图，PO是∠APB的平分线，以O为圆心的圆与PA相切于点C。 3. 切线长定理： （1）切线长定义：从圆外一点向圆作切线，这点与切点的线段长叫切线长。 圆外一点向圆只能做两条切线，因此有两条切线长。 （2）切线长性质 从圆外一点向圆所引的两条切线长相等，并且这点与圆心的连线平分两条切线所夹的角。 例如：从圆外一点引圆的两条切线，若两切线的夹角为60°，两切点的距离为12求圆半径 （3）三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆 三角形外接圆的圆心叫三角形的外心 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 三角形的外心是三角形三边中垂线的交点 三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆 三角形内切圆的圆心叫三角形的内心 三角形的内心到三角形三边的距离相等 三角形的内心是三角形三角平分线的交点 【解题方法指导】 一切线长定理的计算 例1. 已知如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，点C在AC上，CD为⊙O直径，⊙O切AB于E，若BC=5，AC=12，求⊙O的半径 B C 2 在△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，AC=3，则内切圆半径为____________。 二等腰三角形在证明切线中的巧用 例3、如图7-53，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点切线互相垂直，垂足为D．
证明圆的切线的两种常用方法教案
证明圆的切线的两种常用方法 一、教学目的要求： 1.知识目的： （1）掌握切线的判定定理. （2）应用切线的判定定理证明直线是圆的切线，掌握圆的切线证明问题中辅助线的添加方法. ２.能力目的： （1）培养学生动手操作能力. （2）培养学生观察、探索、分析、总结、推理论证等能力. 3.情感目的： 通过直观教具的演示和指导学生动手操作的过程，激发学生学习几何的积极性。 二、教学重点、难点 1.重点：切线的判定定理. 2.难点：圆的切线证明问题中，辅助线的添加方法. 三、教学过程： （一）复习引入 回答下列问题：（口述） 1.直线和圆有哪三种位置关系？这三种位置关系是如何定义？如何判定的？ 2.什么叫做圆的切线？根据这个定义我们可以怎样来判定一条直
线是不是一个圆的切线？ ①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线. ②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. ③经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. （要求学生举手回答，教师用教具演示） （二）新课讲解 证明直线与圆相切是一类常见题目，解决这类问题常用的方法有两种。 方法一、连接半径，证明垂直 若图形中已给出直线与圆的公共点，但未给出过点的半径，则可先连结过此点的半径，再证其与直线垂直。 例1 如图（1）所示，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆交于BC于D，作DE⊥AC于E。求证：DE为⊙O的切线。 证明：连结OD ∵OB=OD ∴∠B=∠ODB ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∴∠ODB=∠C ∵DE⊥AC ∴∠C+∠CDE=90° ∴∠ODB+∠CDE=90°
∴∠ODE=90°，即DE⊥OD ∴DE是⊙O的切线。 例2 如图（2）所示，AB是⊙O的直径，过A点作⊙O的切线，在切线上任取一点C，连结OC交⊙O于D，连结BD并延长交AC 于E，求证：CD是△ADE外接圆的切线。 证明：取AE的中点F，连结FD。 ∵AB为直径， ∴AD⊥BD ∵FD=FE(=FA) ∴∠FED=∠FDE ∵∠CDE=∠BDO=∠B ∠FEB+∠B=90° ∴∠FDE+∠CDE=90° 即FD⊥CD ∴CD是△ADE的外接圆的切线。 方法二、作垂线，证明半径 若图形中未给出直线与圆的公共点，则需先过圆心作该直线的垂线，再证垂足到圆心的距离等于半径。 例3 如图（3）所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD ⊥L于D，且AC+BD=AB。求证：直线L与⊙O相切。 证明：过O作OE⊥L于E。 ∵AC⊥L，BD⊥L，
圆证明切线的练习题
圆证明切线的练习题 1. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点 于D，DE⊥AC，E是垂足. 求证：DE是⊙O的切线；如果AB=5,tan∠B=的长. 2．如图，△ABC中，AB=AE，以AB为直径作⊙O交BE 于C，过C作CD⊥AE于D， 1C ,求CE B DC的延长线与AB的延长线交于点P . 求证：PD是⊙O的切线；若AE=5，BE=6，求DC的长. 3.在Rt△ABC 中，∠C=90 ? ， BC=9， CA=12，∠ABC的平分线 BD交AC于点D， DE⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆， 交BC于点F 求证:AC是⊙O的切线; 联结EF，求 4.已知：如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BC于点E，EF⊥AC于F交AB的延长线于G. 求证：FG是⊙O的切线；求AD的长.
证明： 1 A EF 的值. AC 5．如图，点A、B、F在?O上，?AFB?30?，OB的延长线交直线AD于点D，过点 B作BC?AD于C，?CBD?60?，连接AB. 求证：AD是?O 的切线； 若AB?6，求阴影部分的面积. 6．已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O上的一点，且AD平分∠FAE，ED⊥AF交AF 的延长线于点C．判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； A 若AF∶FC=5∶3，AE=16，求⊙O的直径AB的长． 7．如图，以等腰?ABC中的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作DE?AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线； 8.如图，已知R t△ABC，∠ABC＝90°，以直角边 AB为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD．
求圆的切线方程的几种方法
1 求圆的切线方程的几种方法 在直线与圆的位置关系中,相切是一个重要的位置关系.众所周知,在圆上的点可以作一条直线与该圆相切,过圆外一点可以作二条直线与该圆相切.本文就如何求圆的切线方程的方法展开讨论,供同学们参考. 1.利用几何性质来求切线方程 当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于半径.因此,利用点到直线的距离公式即可以求出切线方程. 例1 已知圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝4,圆外一点P (3,2),求经过点P 且与圆C 相切的直线方程. 解:当过P 的直线的斜率不存在时,显然不是圆的切线. 设所求的直线的斜率为k ,直线方程为y －2＝k (x －3), 化为一般形式为kx －y －3k ＋2＝0. 由于直线与圆相切,故圆心到直线的距离d 等于半径2,即 d ＝|－1－3k ＋2|k 2＋1＝|3k －1|k 2＋1 ＝2, 解得k ＝3±265 . 所以切线方程为y －2＝3±265 (x －3). 点评:求切线方程时,点到直线的距离公式相当重要,不能记错.设直线方程时,一定要考虑直线的斜率不存在时的情况,避免漏解. 2.利用方程的判别式来求切线方程 当直线与圆相切时,直线与圆只有一个公共点,此时圆的方程与直线联立,利用判别式等于零即可以求出切线方程. 例2 已知圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝4,圆外一点P (2,2),求经过点P 且与圆C 相切的直线方程. 解:当过P 的直线的斜率不存在时,直线x ＝2是圆的切线. 当过P 的直线的斜率存在时，设所求的直线方程为y －2＝k (x －2). 直线方程与圆的方程联立,整理,得(1＋k 2)x 2＋2k (1－2k )x ＋4k 2－4k －3＝0, 因为直线与圆只有一个公共点,故Δ＝4k 2(1－2k )2－4(1＋k 2)(4k 2－4k －3)＝0. 解得k ＝－34 . 所以所求的切线方程是x ＝2或y －2＝－34 (x －2). 点评:利用判别式求解时计算量比较大,本题注意不能漏解了x ＝2. 3.利用垂直关系求切线方程 当已知切点时,我们可以利用圆心与切点的连线与直线垂直、斜率之积为－1来求出切线方程. 例3 已知圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝4,求以P (3,2)为切点的切线方程. 解:由已知得圆心O (0,1),点P 在圆C 上,显然x ＝3不是圆的切线. 设切线方程为l :y －2＝k (x －3). 由直线OP ⊥l 得k ·k OP ＝－1,所以k ＝－1k OP ＝－3. 所以切线方程为y －2＝－3(x －3)即y ＝－3x ＋5. 点评:由直线垂直求出切线的斜率,可以避免繁杂的计算. 小结:在求圆的切线方程时,先判断切线方程有几条,再是注意特殊情况(如斜率不存在),三是注意使用哪种方法计算最简捷.
圆的切线的证明复习(教案)
专题复习----圆的切线证明教案 积石山县吹麻滩中学秦明礼 一、温习梳理 1、切线的定义:直线和圆有公共点时，这条直线叫圆的切线。 2、切线的性质:圆的切线于过切点的半径。 3、切线的判定:⑴和圆只有公共点的直线是圆的切线。 ⑵到圆心距离半径的直线是圆的切线。 ⑶经过半径的外端并且于这条半径的直线是圆的切线。 4、证明直线与圆相切，一般有两种情况： ⑴已知直线与圆有公共点，则连，证明。 ⑵不知直线与圆有公共点，则作，证明垂线段的长等于。
二、课前检测: 1.如图，AC为⊙O直径，B为AC延长线上的一点，BD交⊙O于点D， ∠BAD=∠B=30° （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）请问：BC与BA有什么数量关系？写出这个关系式，并说明理 由。 三、活动于探究: 1．如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点.求证：GE是⊙O的切线.
2．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于D ， DE ⊥AC 于E ．求证：DE 是⊙O 的切线． 3．如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与PA 相切于点C ． (1) 求证：直线PB 与⊙O 相切； (2) PO 的延长线与⊙O 交于点E ．若⊙O 的半径为3，PC=4．求弦CE 的长．
4．如图，RT ?ABC 中，∠ABC=90O ，以 AB 为直径作⊙O 交边于点D ，E 是BC 边的中点，连接DE ． （1）求证：直线DE 是⊙O 的切线； （2）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ， 求tan ∠ACO 的值． 四、反馈检测: 如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC ． 求证：DE 是⊙O 的切线． 五、小结回顾： 1、本节课我们学习了：圆的切线的判定。 2、证明圆的切线的基本思路是：如果切点已知，需连接圆心做半径，证明半径和要证的切线垂直即可。而要证明垂直则需三种方法——平行、互余、全等。 B C E B A O F D
证明圆的切线方法
证明圆的切线方法 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
证明圆的切线方法 我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 证明：连结OE，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ⌒⌒ ∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC.
∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切. 证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. 证明一：连结OD. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C. ∵OB=OD， ∴∠1=∠B.
圆的切线之经典练习题
圆的切线之----- A 班经典练习题 班级 姓名 一、选择题： 1、“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（ ） A 、经过半径外端点的直线是圆的切线； B 、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线； C 、垂直于半径的直线是圆的切线； D 、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2、如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝900，点O 在BC 上，以O 为圆心的⊙O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ， 若AB ＝a ，AC ＝b ，则⊙O 的半径为（ ） A 、ab B 、 ab b a + C 、b a ab + D 、2 b a + 3、如图，正方形ABCD 中，AE 切以BC 为直径的半圆于E ，交CD 于F ，则CF ∶FD ＝（ ） A 、1∶2 B 、1∶3 C 、1∶4 D 、2∶5 4、如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，连结AB ，在AB 、PB 、PA 上分别取一点D 、E 、F ，使AD ＝BE ，BD ＝AF ，连结DE 、DF 、EF ，则∠EDF ＝（ ） A 、900－∠P B 、900－ 21∠P C 、1800－∠P D 、450－2 1 ∠P ? 第3题图 O F E D C B A ? 第4题图 P O F E D B A ?第6题图 C O E D B A 二、填空题： 5、已知PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 是切点，∠APB ＝780，点C 是⊙O 上异于A 、B 的任一点，则∠ACB ＝ 。 6、如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，BC 与以AD 为直径的⊙O 相切于点E ，AB ＝9，CD ＝4，则四边形ABCD 的面积为 。 7、如图，⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，点D 、E 、F 为切点，若AD ＝6，BD ＝4，则△ABC 的面积为 。 8、如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是和⊙O 相切于点B 的切线，过⊙O 上A 点的直线AD ∥OC ， 若OA ＝2，且AD ＋OC ＝6，则CD ＝ 。
圆切线证明的方法
切线证明法 切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径 切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径． 【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o．求证：DC 是⊙O 的切线． 思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90o即可． 证明：连接OC ，BC ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o． ∵∠CAB ＝30o，∴BC ＝2 1 AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝ 2 1 OD ．∴∠OCD ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线． 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线． 【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接OC ，弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线． 思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90o即可． 图1 A 图2
证明圆的切线的七种常用方法
证明圆的切线的七种常用方法 类型1、有公共点：连半径，证垂直 方法1、勾股定理逆定理法证垂直 1.如图，⊙O的直径AB =12，点P 是AB 延长线上一点，且PB =4，点C是⊙O上一点，PC=8. 求证：PC是⊙O的切线. 方法2、特殊角计算法证垂直 2. 如图，△ABC内接于⊙O，∠B =60°，CD是⊙O 的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC. （1）求证：P A是⊙O的切线； （2）若PD=5，求⊙O的直径. 方法3、等角代换法证垂直 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E. 求证：DE是⊙O的切线. 方法4、平行线性质法证垂直 4.如图，已知四边形OABC的三个顶点A，B，C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB，AO的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF，且∠E=30°， 点B是︵ AC的中点. (1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由； (2)求证：CF=OC； (3)若⊙O的半径是6，求DC的长. A B P O C A C B P D O A E B D O C A O F E C D B
方法5、全等三角形法证垂直 5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF . 求证：BF 是⊙O 的切线. 类型2、无公共点：作垂直，证半径 方法6、角平分线性质法证半径 6.如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB 上一点，DE =DC ，以点D 为圆心，BD 长为半径作OD ，AB =5，EB =2. (1)求证：AC 是OD 的切线； (2)求线段AC 的长. 方法7、全等三角形法证半径 7.如图，四边形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AD +BC =CD ，以AB 为直径作⊙O . 求证：⊙O 与边CD 相切. A O B C D F A B C D E A O B C D
证明圆的切线经典例题1
证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l 过⊙O 上某一点A ，证明l 是⊙O 的切线，只需连OA ，证明OA ⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F. 求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4. ∴BD=DE ，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF ≌△EOF （SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD. ⌒ ⌒
求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E ∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA ⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切. 证明二：延长AD 交⊙O 于E ，连结OA ，OE. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴BE=CE ， ∴OE ⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE ， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD ， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900 ⌒ ⌒
中考数学专题复习圆压轴八大模型题-圆外一点引圆的切线和直径的垂线
圆压轴题八大模型题（六） 泸州市七中佳德学校 易建洪 引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题 的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。 类型5 圆外一点引圆的切线和直径的垂线 如图， 点P 是⊙O 外的一点，过点P 作PA 与⊙O 相切于点A ，PO ⊥BO 于点O ，交AB 于点C. (1)求证：CP ＝AP ； (2)延长BO 交⊙O 于点D ，连结AD ，过点P 作PE ⊥AB 于点E ，找出与△BOC 相似的三角形. (3)若⊙O ，OC ＝1，求PA 的长. 【分析】(1)如图3连接OA 得OA ＝OB ,∴∠OAB ＝∠B ,由等角的余角相等得∠PCA ＝∠PAC ,∴ PC ＝P A. (2)由∠APE ＝∠CPE ＝∠B 得：△BOC ∽△BAD ∽△PCE ≌△PAE . (3)在Rt △OPA 中，设PC ＝PA ＝x ，则有（x ＋1）2 ＝1＋x 2 .解得PA ＝x ＝2. 基本图形及其变式图 1. 如图1~6，PA 与圆O 相切于点A ，PD ⊥BO （或BO 的延长线）于点D ，直线AB 与PD 相 O P C B A P P A O C B 图1 图3 图2 D E A B C P O
交于点C ，求证：PA ＝P C. 【典例】 （2018湖北随州）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，CN 为⊙O 的切线，OM ⊥AB 于点O ，分别交AC 、CN 于D 、M 两点． （1）求证：MD ＝MC ； （2）若⊙O 的半径为5，AC ＝4，求MC 的长． 【分析】（1）连接OC ，利用切线的性质证明即可； （2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可． 解：（1）连接OC ，∵CN 为⊙O 的切线， ∴OC ⊥CM ，∠OCA ＋∠ACM ＝90°， ∵OM ⊥AB ，∴∠OAC ＋∠ODA ＝90°， ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ， ∴∠ACM ＝∠ODA ＝∠CDM ， ∴MD ＝MC ； E A B C P O O P C B A D A B C P O 图(3) 图(4) 图(5) 图(6) 图6-1 图a
浅谈过圆上一点求圆的切线的方法
浅谈过圆上一点求圆的切线的方法 近日在带领学生复习《圆的方程》一章时，遇到这样一个问题：已知圆的方程为x2+y2=25，求过点（3，4）的圆的切线方程。本人通过一种简易的方法通过口算即得出答案：3x+4y-25=0.求解圆的切线方程的问题，是高考的考点，也是平时学习的重点，求圆的切线过程比较复杂，运算麻烦，所以容易出错，是学生比较头疼的一个问题，在求圆的切线问题中有两种情况，一种是求过圆外一点求圆的切线，另一种种情况是求经过圆上一点求圆的切线方程问题，本人对第二种情况进行了归纳、推导，得出快速求解的方法，此方法针对高三学生应对高考中此类问题有实际意义，故介绍如下。 设圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，经过圆上一点（x0，y0）的切线方程是什么？，我们把圆的方程写成（x-a）（x-a）+（y-b）（y-b）=r2形式，把其中一个x换成x0，一个y换成y0，则得到（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2，然后整理成直线方程的一般形式即得到所求切线的方程。此法在学生高考中快速解决求圆上点的切线问题提供了一个途径，学生可应用此法快速解决选择题，填空题，或者用它来检验分析解答题的答案是否正确。此方法的特点是速度快，不易错，容易上手。 下面就上面介绍的方法的理论依据进行推导：先从简单情况入手，当a=0，b=0时，那么圆的圆心在原点上，圆的方程为x2+y2= r2，设点（x0，y0）在圆上，如上图所示，那么经过这个点的直径与切线互相垂直，两者斜率互为负倒数即K直径=y0/ x0， K切线=—x 0/ y 0，又因为切线过点（x0，y0），根据点斜式直线方程得： （y— y0）=—x 0/ y 0（x— x0），整理得方程x0 x+ y0 y=x02+ y 02，由于点（x0，y0）在圆上且圆心在原点，所以x02+ y 02=r2，由此我们得到所求切线方程为x0 x+ y0 y=r2，即我们所讨论的方法的特殊形式（圆心在原点）。在此基础上，我们又推想圆心不在原点的圆的切线方程的推导方法，设圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，求经过圆上一点（x0，y0）的切线方程，我们以（a，b）为坐标原点建立新坐标系x‘o‘y‘，新坐标系与原坐标系的坐标之间关系为x‘=x-a，y‘=y-b，则（x0，y0）在新坐标系中的坐标为（x0‘，y0‘），x0‘=x0-a，y0‘=y0-b，在新坐标系中圆的方程为x‘2+y‘2= r2，根据第一种情况推导出结论：经过（x0‘，y0‘）点的切线方程为x0‘x‘+y0‘y‘= r2，然后根据坐标之间的关系转换到原坐标系方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2。 以上推导方法的原理为过圆上点的切线与过该点的直径互相垂直，通过垂直直线间的斜率关系K1K2=-1可以得到切线的斜率，然后应用点斜式求解直线方程，第二种情况是在第一种情况的基础上，借助坐标变换得出的，在新坐标系中构建出第一种情况的模型，然后利用坐标变换还原到原来的坐标系中，这种方法化简了推导过程，解决了运算的困难，取得深入浅出的效果。
专题：《切线的证明技巧》
专题：《切线的证明技巧》 [方法技巧]连半径，证垂直或作垂直，证半径是证明直线是圆的切线的常用方法。 -、有公共点→连半径，证垂直 1、已知△ABC为⊙O的内接三角形，∠BCE=∠BAC，求证：CE是⊙O的切线。 方法点拔：借助角度转换证垂直 2、如图，⊙O的弦AD=4，BD=8，AD⊥BD,C是BD延长线上一点，CD=2，求证：AC是⊙O的切线。 方法点拔：借助角度转换证垂直 C
3、如图，AB 是⊙O 的直径，AE 是⊙O 的切线，切点为A ，OE 平行于弦BC 。求证：CE 是⊙O 的切线。 方法点拔：借助全等证垂直 O E A B C 二、无公共点→作垂直，证半径 方法点拔：借助角平分线性质证d=R 4、如图△ABC 中，CA=CB ，D 为AB 中点，以 D 为圆心的圆与 AC 相切于点E ，求证：BC 与⊙O 相切。 D A B C E
5、如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD+BC=CD，求证：以AB为直径的圆与CD相切。 D A O B C
[课后练习] 1．（2015?湖北模拟）如图，已知R t△ABC，∠ABC=90°，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连接BD．取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切． 2.如图,PA为⊙O的切线,A为切点,过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E.求证:PB为⊙O的切线; D C O B P E A 3．（2015?武汉校级模拟）如图所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．A是切点．B 是⊙O上一点．且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．求证：PB是⊙O的切线；
过圆锥曲线外一点作圆锥曲线的切线及原理
过双曲线外一点作双曲线的切线及原理 作法：① P 为双曲线外任一点，以P 为圆心2PF 为半径作圆1C ，以1F 为圆心 2a 为半径作圆2C ，圆12,C C 交于点M ；（12,F F 为双曲线的两焦点，2a 为双曲线的实轴长） ② 取2F M 的中点D ，连PD 交1MF 于T 。 同样道理可以作出双曲线另一条切线。下面证明PD 是双曲线的切线，T 是切点。 证明：首先证明T 在双曲线上：在圆1C 上，D 是弦2MF 的中点，则2PD MF ⊥，所以 2TM TF =； 在圆2C 上，112F M TM FT a =-=，则212TF TF a -=，所以 T 在双曲线上。 再证T 是切点：过T 引PD 的垂线TS ，则2//TS MF ，所以2NTS TF M ∠=∠， 12STM F MF ∠=∠， 又由于22TMF TF M ∠=∠，所以MTS NTS ∠=∠，有双曲线的光学性质知TS 是双曲线在T 点处的法线，由于PD ⊥TS ，因此PD 是双曲线的切线，T 是切点。
过椭圆外一点作椭圆的切线及原理 作法：① P 为椭圆外任一点，以P 为圆心2PF 为半径作圆1C ，以1F 为圆心 2a 为半径作圆2C ，圆12,C C 交于点,M N ； （12,F F 为椭圆的两焦点，2a 为椭圆的长轴长） ② 取2F M 的中点D ，连PD 交1MF 于T 。 同样道理可以作出另一条切线。下面证明PD 是椭圆的切线，T 是切点。 证明：首先证明T 在椭圆上：在圆1C 上，D 是弦2MF 的中点，则2PD MF ⊥，所以2TM TF =；在圆2C 上，112F M FT TM a =+=，那么122TF TF a +=，所以 T 在椭圆上。 再证T 是切点：过T 引PD 的垂线TS ，则2//TS MF ，所以1 2FTS TMF ∠=∠， 22STF TF M ∠=∠，又由于22TMF TF M ∠=∠，所以12FTS F TS ∠=∠，有椭圆的光学性质知TS 是椭圆在T 点处的法线，由于PD ⊥TS ，因此PD 是椭圆的切线，T 是切点。
圆的切线证明(终审稿)
圆的切线证明 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
C E A B O P 圆的切线证明 1（2011中考）.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作 OP的垂线AB，垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交 于点D，与PA的延长线交于点E,(1)求证：PB 为⊙O的切 线； 2 已知⊙O 中，AB是直径，过B 点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC交⊙O于 D，求证：CD是⊙O的切线。 3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相 切. 4(2008年厦门市)已知：如图，中，，以为直径的交于 点，于点． D
（1）求证：是的切线； 5已知：如图⊙O是△ABC的外接圆，P为圆外一点，PA∥BC，且A为劣弧的中点，割线PBD过圆心，交⊙0于另一点D，连结CD． (1)试判断直线PA与⊙0的位置关系，并证明你的结论． (2)当AB=13，BC=24时，求⊙O的半径及CD的长． 6如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)求弦BD的 长；(3)求图中阴影部分的面积． 7.（2010北京中考）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一 点，圆O过D、B、C三点，DOC=2ACD=90。 (1) 求证：直线AC是圆O的切线； (2) 如果ACB=75，圆O的半径为2，求BD的长。
8、（2011?北京）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点 D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线； 9 已知⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC＝CD。 10（2013年广东省9分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦 BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E. （1）求证：∠BCA=∠BAD；（3）求证:BE是⊙O的切线。
圆的切线专题(好)
直线与圆的位置关系 这条半径垂直于切线. (2) 要证明一条直线是圆的切线：①如果直线经过圆上某一点，则需要连接这点和圆心得到辅助线半径，在证明所作半径垂直于这条直线，（已知公共点，连半径证垂直）；②如果条件中直线与圆的公共点没有确定，那么应过圆心做直线的垂线，得垂线段，在证明这条垂线段的长等于半径. (未知公共点，作垂线证半径) 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等.这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角. 三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆. 三角形的内心：三角形内切圆的圆心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.三角形的内心是三角形三条 内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等. 精品例题展示 1. 已知，如图，?ABC 内接于⊙O ，AB 是一条非直径的弦，∠CAD=∠B,试判断AD 与⊙O 的位置关系，并说明理由.【反之成立吗】 2.已知：如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点是A 、B ，Q 为弧AB 上一点， 过Q 点作⊙O 的切线，交PA 、PB 于E 、F 点，已知PA=12 cm ,∠P ＝700（1）求?PEF 的周长；（2）求∠EOF 的度数. 3. ?ABC 的内切圆的半径为r ，?ABC 的周长为l ，求?ABC 的面积S. 变式题：如图，在?ABC 中，I 是内心，∠BIC ＝1100，求∠A. 4. 如图，等腰梯形ABCD 的上底为4，下底为10，⊙O 是该梯形的内切圆，与
各边的切点分别为M 、N 、G 、H ，内切圆⊙O 的半径为2，P 为⊙O 上的一点， EF 是过P 的⊙O 的切线，分别交AB 于E ，BC 于F ，求?BEF 的周长 5. 已知：如图，⊙O 是ABC Rt ?的内切圆，∠C ＝900. （1）若AC ＝12cm ，BC=9cm,求⊙O 的半径r ； （2）若AC=b,BC=a ,AB=c,求⊙O 的半径r. 6. 已知：如图，⊙O 内切于等腰梯形ABCD ，切点分别是E 、H 、F 、G ，AB ∥DC,AD=BC. (1) 求证：线段EF 是⊙O 的直径； (2) 求证：∠AOD ＝900 ； （3）若AB=a 2，DC=2b ，求此梯形的面积S. 练习： 1．如图，⊙O 内切于△ABC 三边与E,D,F,若∠EOF=70°，则∠A= . 2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC=BC=4,则△ABC 的内心和外心的距离为 。 3.如图，一圆内切四边形ABCD,且AB=16,CD=10,则四边形的周长为 。 4.如图梯形ABCD 中，AD ∥BC,DC ⊥BC,AB=8,BC=5,若以AB 为直径的⊙O 与DC 相切于E ，DC= . 5. ⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，当d 、R 是关于x 的方程0862 =+-x x 的两根， 直线l 与⊙O 的位置关系是 ；若⊙O 的圆心到直线l 的距离d 与⊙O 的半径R 为关于x 的方程022 =+-m x x 的根，且直线l 与⊙O 相切，则m 的值是 . 6．（2005年山西省）如图，⊙O 的半径为1，圆心O 在正三角形的边AB?上沿图示方向移动． 当⊙O 移动到与AC 边相切时，OA 的长为多少？ 7．（武汉市）如图5，BC 为半⊙O 的直径，点D 是半圆上一点，过点D 作⊙O 的切线AD ，BA⊥DA 于A ，BA 交半圆于E ，已知BC=10，AD=4，那么直线CE 与以点O 为圆心，52 为半径的圆的位 置关系是________． 8.已知一正方形的内切圆半径为1，那么这个正方形与它的内切圆及外接圆的面积的比为［ ］ A.4∶π∶2π B.4∶2π∶π C.4∶2π∶1 D.4∶1∶2 9.在圆外切四边形ABCD 中，AB ∶BC ∶CD ∶AD 只可能是［ ］ A.2∶3∶4∶5 B.3∶4∶6∶5 C.5∶4∶1∶3 D.3∶4∶2∶5 10. 如图，两个圆的圆心都为O ，大圆的弦AB 、AC 分别和小圆相切于点D 和E.
(完整版)证明切线的两种方法
证明切线的两种方法 朱元生 判定直线与圆相切是有关圆的问题中经常会遇到的问题,现将常用的两种思路与方法说明如下： 一、运用判定定理是证明切线最常用的方法,即如果直线与圆有交点,则连接交点与圆心得半径,只要证明这条半径与该直线垂直即可.这种方法可简单概括为:连半径,证垂直. 例1 如图1,在△ABC 中,AB=AC,以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D,过点D 作DE ⊥AC 于E. 求证:DE 是⊙O 的切线. 分析:由题设可知,DE 与⊙O 有交点D,要证明DE 是⊙O 的切线,只要连接OD,证明OD ⊥DE 即可. 证明:连接OD. ∵OB=OD, ∴∠OBD=∠ODB. ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB. ∴∠ODB=∠ACB. ∴OD ∥AC. ∴∠ODE=∠DEC. ∵DE ⊥AC, ∴∠DEC=900. ∴∠ODE=900, 即OD ⊥DE . ∴DE 是⊙O 的切线. 二 、当不明确直线与圆的交点个数或交点的位置时,可以经过圆心作直线的垂线,然后证明圆心到直线的距离等于圆的半径即可.这种方法可简单概括为:作垂线,证半径. 例2 如图2,在Rt △AOB 中,AO=53,BO=56,以点O 为圆心,6为半径作⊙O. 求证:AB 是⊙O 的切线. 分析:由题设知,⊙O 与直线AB 是独立的,既没有指明交点个数,也没有指明交点位置,这时要证明AB 是⊙O 的切线,只能证明圆心O 到直线AB 的距离等于圆的半径6即可. 证明:过点O 作OC ⊥AB 于点C. 在Rt △AOB 中,AO=53,BO=56,由勾股定理,得 AB=()()1556532222=+=+OB OA . 根据三角形面积公式,得OB OA OC AB ?=?2 121. ∴OC=615 5653=?=?AB OB OA . ∴点O 到直线AB 的距离等于⊙O 的半径. ∴AB 是⊙O 的切线. [牛刀小试] 如图3,,点O 是等腰三角形ABC 底边BC 的中点,若AB 是⊙O 的切线,试证明AC 也是⊙O 的切线. 提示: 设点D 为AB 与⊙O 的切点,连接OD,过点O 作OE ⊥AC 于点E,证明OE=OD 即可. 图3
过圆外一点的切线方程的几种求法
过圆外一点的切线方程的几种求法 摘要过圆x-a■+y-b■=r■外一点px■，y■作圆的切线有两条，求切线方程可从五个方面入手：相切的定义；相切的几何意义；转化与化归；三角参数；坐标平移转化。 关键词圆；切线；转化；化归；参数；平移 众所周知过已知圆圆上一点有且只有一条切线，而且可以利用公式直接写切线方程。那么，过圆x-a■+y-b■=r■ 外一点px■，y■作圆的切线有两条，如何求切线方程呢？下面以一道习题来分析： 例：从点p-2，-1向圆x■+y■-4x+2y+1=0引切线，求切点坐标与切线方程。 解法一：判别式法。不妨设切线的斜率存在，记作k ， 那么过点p-2，-1 的直线方程为：y+1=kx+2， 由y+1=kx+2 x■-4x+y+1■=0，得1+k■x■+4k■-1x+4k■=0 由直线与圆相切有，△=16k■-1-16k■1+k■=0，解得k=±■ 此时切点的横坐标为x=-■=1，将x=1代入圆的方程，解得y=-1+■， 即切点坐标为1，-1+■，1，-1-■ 。 将k=±■代入，得两条切线方程为：x-■y+2-■=0，x+■y+2+■=0。 点评：此法从相切的定义得到（有且只有一个公共点）。但要注意，若求得的k值只有一个，再验证斜率不存在且过点p-2，-1的直线是否为切线。 解法二：几何法。圆的方程化为x-2■+y+1■=4，圆心C（2，-1）。设切线的斜率为k （存在时），则过点p-2，-1的直线方程为y+1=kx+2，即y-kx-2k+1=0。由平面几何知识，圆心C（2，-1）到切线的距离等于圆半径，所以d=■=2。解得k=±■。将k=±■代入切线方程，得两条切线方程为x-■y+2-■=0，x+■y+2+■=0。将切线方程y+1=±■（x+2）代入圆的方程，得x-2■+■x+2■=4，解得x=1，再代入切线方程，得y=-1±■ ，所以切点坐标为-1，-1+■，1，-1-■。 点评：利用相切的几何意义（圆心到直线距离等于半径）。若求得的值只有一个，再验证斜率不存在且过点p-2，-1的直线是否为切线。就求切线方程而言，较解法一可减少运算量，值得重视。当然法一，法二都是我们最容易想到的方法。 解法三：转化与化归法。设切点坐标为A（x1，y1），为圆上一点那么利用