光学透镜公式

§6 薄透镜

6.1 焦距公式

我们研究了单个球面的折射，反射成像的物象距公式。横向放大率公式及规定的符号法则 r n n s n s n -'=''+ n n nr f -'= 1=''+s f s f n n r

n f -''=

' n n f f '=' y y s n s n V '-=''-= 反射： r s s 211-='+

2r

f f -

='=

s s V '-

=

及共轴球面光具组成像用逐次成像的方法 下面我们研究薄透镜成像问题

图6-1 透镜：

如图：透镜是由两个折射球面组成的光具组，两球面间是构成透镜的媒质（通常是玻璃），其折射率为n L 。透镜前后媒质的折射率（物象方折射率）分别为n 和n '，在多数场合下，透镜置于空气中，则1='=n n . 在轴上一物点Q 经Σ1折射成像于Q 1, Q 1作为Σ2虚物经第二次折射成像于Q 2, 两次成像可分别写出两折射成像的物象公式

第一次 111

11=''+s f s f n n nr f L -=11

11

1s n ns V L '-=

n n r n f L L -='1

1 第二次 12222=''+s f s f

L L n n r n f -'=2

2 222s n s n V L ''-=

L n n r n f -''='22 21V V V =

设21A A =d 则

d s s -'=-12 d 为透镜的厚度，d 很小的透镜称为薄透镜

在薄透镜中A 1和A 2，几乎重合为一点，这个点叫透镜的光心记为O 薄透镜的物距S 和像距S '都是从光心算的。

于是，对薄透镜

'≈1s S ，'≈'2s S ，'-=12s s ，代入上式得 111

1='

'

+s f s f 2f ? 121

2='+'-s f

s f 1f ?

推出

2

1

1221f s f f s f f =''

+

'

=''+'-'1121

12f s f f s f f 两式相加消去'12,s s 得

122121f f s f f s f f '

+=''

'+ (6,1)

据焦距定义='=s f s ,∞或f s '=',s=∞

1221f f f f f '+= 122

1f f f f f '+''=' 推出

2

11

1f f n n f L

+

'=

n n f f L ='

11

121

1f f n n f L

'+

'

=

' L n n f f '='22 将单个球面焦距公式代入得 2

21r n n n f L L

-'=

1

11r n n n f L L -='

21r n n r n n n

f L

L -'+-=

21r n n r n n n f L

L -'+-'

=

' n n f f '='

这是薄透镜焦距公式

如果物象方折射率1≈'=n n ，则有 )11)(

1(121r r n f f L --=

'=

此式给出了薄透镜焦距与21,,r r n L 的关系，称为磨镜者公式。

磨镜者公式

)

1

1)(1(1

21r r n f f L --=

'= 正透镜或会聚透镜：

具有实焦点（f 和f '>0）的透镜叫正透镜。 负透镜或发散透镜：

具有虚焦点（f 和f '<0）的透镜叫负透镜。

画图用符号代表凸凹透镜

会聚透镜的共同特点：中央厚，边缘薄，这类透镜叫凸透镜。 发散透镜的共同特点：中央薄，边缘厚，这类透镜叫凹透镜。 如图6-2各种形状的透镜

图6-2

6.2 成像公式

将焦距公式代入（6.1）式中，则有 1=''+s f s f 这便是薄透镜的物象距公式 如f f n n '='=, 则有

f s s 111=

'+这便是薄透镜的物象距公式的高斯形式，按此式可绘出s s '-曲线，物像距关系

由图可见特点有几个。

对凸透镜，虚物不能成像，在2倍焦距出物象距相等。 对凹透镜，实物不能成实象，在2倍焦距处物象距相等。 s s ',符号规则与单个球面相同

入射光从左→右，s s ',从光心O 算起。 (Ⅰ) 若Q 在O 点之左，则s>0 （实物），否则

(Ⅱ)Q '在O 点之右，则s '>0 ； （实象）。s s ',也可以从F F ',算起 (Ⅲ) 当物点Q 在i F 之左，则x>0 (Ⅳ) 当象点Q '在i F '右，则x '>0

不难看出

f x s +=

f x s '+'=', 代入物象距公式得xx '=ff ',这便是薄透镜公式的牛顿公式。

焦距公式： 物象距公式： 横向放大率公式：

薄透镜的横向放大率分别为：

s n s n V L 11'-= 22s n s n V L

''-= 12s s '-= 所以

s f s f s n s n V V V ''

-

=''-==21 或

f x x f V ''-

=-= 如果1='=n n ，即，透镜置于空气中 s s V '-

= (f f n n '='=,) 这便是薄透镜的横向放大率公式

6.3 密接薄透镜组

在实际中，我们往往需要将两个或更多的透镜组合起来使用，透镜组合最简单的情形是两个薄透镜紧密接触在一起，有时还用胶将它们粘和起来，成为复合透镜，下面讨论这种复合透镜与组成它的每个透镜焦距之间的关系，我们用逐次成像方法，两次用高斯公式 111111f s s ='+ 222111f s s ='+ 1

221s s s s s s '-='

== (密接) ∴ 211111f f s s +

='+

≈'s ∞ ,f s =

∴ 21111f f f

+=

即 密接复合透镜焦距的倒数是组成它的透镜焦距倒数之和。

通常把焦距的倒数f 1

称为透镜的光焦度P 。

如果物象方折射率为n n ',。则

f n f n P ''==

单个折射球面的光焦度定义为

f n

f n r n n P '==-'=

可见密接复合透镜的光焦度是组成它的透镜光焦度之和。 21111f f f += or 21P P P +=

光焦度单位为屈光度记为D(diopter)[( f 1)or 米1

]

例：透镜焦距以m 为单位，则D=m 1

f= 0.50- cm 的凹透镜的光焦度

D f P 00.21

-==

,

眼镜的度数→是屈光度的100倍，上面的凹透镜作眼镜片是200度。

6.4 焦面

入射光线从左→右入射

物方焦面——（第一焦面，前焦面）记F

像方焦面——（第二焦面，后焦面）记 F '

通过物方焦点F 与光轴垂直的平面叫物方焦面。 焦面的共轭平面

因焦点与轴上无穷远点共轭 焦面的共轭也在无穷远处

焦面上轴外点的共轭在轴外无穷远

即 以物方焦面上轴外一点P 发出的同心光束转化为与光轴成一定倾角的出射平行光束。

同样，与光轴成一定倾角的入射平行光束转化为像方焦面F '上轴外一点P '为中心的出射同心光束。

倾斜的平行光束的方向可由P 或P '与光心O 的连线来确定，这连线叫副光轴。相应的对称轴称主光轴。 画出图6-5 P 63

6.5 作图法

除利用物象公式外，求物象关系的另一方法是作图法。 作图法依据：是共轭点之间同心光束转化的性质。 每条入射光线经光具组后转化为

一条出射线，这一对光线称为共轭光线。

按照成像的含义：通过物点每条光线的共轭光线都通过像点 “通过”指光线本身或其延长线。

因此只需选两条通过物点的入射光线，画出它们的出射光线，即可求的像点。 在薄透镜的情形里，对轴外物点P 有三种特殊的共轭光线可共选择。

（1）n n '=,通过光心O 的光线，经透镜后方向不变。 （2）通过物方焦点F 的光线，经透镜后平行与光轴。

（3）平行与光轴的光线经透镜后的出射光线一定通过像方焦点F ' （以上3条光线可用于凹透镜）

以上三条光线中任选两条做图，出射后的交点即为像点P '

求轴上物点的像或任意入射光线的共轭线，可利用焦面的性质

这种作图一般用于联合光具组中间成像时作图用，（目的为了保证入射光线经光具组的路径连续）

物：

1区实物——5区缩小的倒立的实象（在2倍焦距处成等大倒立实像）

2区实物——6区放大的倒立的实象

3区实物——1，2，3区放大的正立的虚象

4区虚物——4区缩小的正立的实象

5区…

6区…

（同学们可总结凹透镜成像规律，用作图法）

6.6 透镜组成像

利用逐次成像物象距公式或逐次成像作图法即可求透镜组最后成像的性质，性质包括

（像的位置，缩放，倒正虚实等）

举例说明：

例题1（投影膜）

凸透镜L1和凹透镜L2的焦距分别为20.0CM和40.0CM，L2在L1之右40.0CM，傍轴小屋放在L1之左30.0CM，求它的像。

解：（1）作图法

第一次成像用特殊光作图，第二次以后成像利用焦面性质，这样可保证入射的两光线与出射光线共轭，光线在透射组中是连续的。

（2）高斯公式

第一次对成像 s 1=30.0cm f 1=20.0cm 计算起点为O 1

111111f s s ='+ ∴ 1

s '=60.0cm （实象）

21

1

1-='-

=s s V （放大）

第2次对成像 s 2= - 20.0cm f 2= - 40.0cm 计算起点O 2

22

2111f s s ='+ ∴ 0.402

='s cm （实象） 2

2

2

2='-=s s V （放大）

∴ 421-==V V V （放大的，倒立的） ∴ 最后成像在O 2右侧距离40.0cm 处，成放大的倒立的实象。 （3）用牛顿公式

第1次对成像x 1=10.0cm ，f 1=20.0cm

2

11

1f x x =' ∴ 1x '=40.0cm （实象）

21

1111-=-='-

=x f

f x V （倒立，放大）

第2次对L 2成像 x 2= 20.0cm ， f 2= - 40.0cm

2

222f x x ='，∴ 2

x '=80cm （实象） 2

222=''-=f x V

∴ 421-==V V V （倒立，放大）

∴ 最后成像在F '右侧，距离80.0cm 处，成倒立放大的实象 由上面可以看出用三种方法得到的结果相同。

例题2凸透镜L1和L2及其焦点的位置示图6-9中，将傍轴小物PQ放在L1的第一焦面上，用作图法求它的像。

薄透镜成像的规律

用直观图解总结一下薄透镜的成像的规律，以凸透镜为例，取物高为1单位，则纵坐标大小表示横向放大率V 的大小，横坐标代表光轴，O 为光心，F,F '为焦点，

将由∞向光心O 靠近，并通过光心O 成为虚物。 像点轨迹为通过直线如图 如果

实物 2f

s=∞ f f s ='='

f s 2=' f s 2='等大倒立实象，在O 右侧

f

0

§8 光学仪器

几何光学仪器有投影仪，摄影仪（照相机），目视仪（放大镜，显微镜，望远镜等），棱镜分光仪等。

8.1 投影仪

投影仪就是将照明的平面物成实像于大屏幕上，这就是一种投影仪（课堂上用的），还有幻灯机，电影放映机，印象放大机，映谱仪等。

图8-1

照明系统（光源+聚光镜）──要求投影仪得到足够强的均匀照明，高效率地利用光能。

投影物镜──是将被照明的物成一明亮清晰的实像在大屏幕上，且由于物镜与屏幕距离（即像距s ′比物镜的f 大得多，所以画片总在物方焦面外侧附近，即 s ∽f 。

f s s s V '-

≈'-= ∝ s ' 屏幕越远，像越大。

照明系统可分为临界照明和柯勒照明两大类。 1． 1． 临界照明：

特点：是用照明系统将光源成像于投影画片上。

这种照明系统的优点是光能利用率高，它适用于画片面积较小的情况，如电影放映机。

缺点：不易得到均匀照明。 2． 2． 柯勒照明：

特点：是聚光镜将光源像成在投影物镜上。

优点：易得到均匀照明，常用于大投影物面系统，如投影仪。

8.2 照像机（属于摄影仪器）

摄影仪器的成像系统刚好与投影仪器相反，它是把空间物体成像于感光底片上如

图8--2

它是将较远空间物成一缩小的实像于底片上 因此 s(物距)》f

像平面（感光底片）应在物镜的像方焦平面外侧附近，s ′≈f.

(1) (1) 照像时，我们通过调节镜头（在小范围内）改变镜头与感光底片之间距离s ',可以使不同距离以外的物体成清晰的实像于底片上

（由直观图可见小范围改变s ',s 变化范围很大。） 照像机镜头上都附有一个大小可改变的光阑。

（2） 光阑的作用有2：(Ⅰ)影响底片上的照度，从而影响暴光时间的选择。 (Ⅱ)影响景深。

光圈数或者f 数等于相对孔径f d 的倒数d f

。

相对孔径：f d

其中d 为入瞳直径，f 为物镜焦距。 相邻两个光圈数对应照度相差一倍。

E ∝2

?

??? ??f d ∴=

2f

d 光圈数

2

????

??=

D B

E τπ

2.8 4

5.6 8 11 16 d f

2.8

2.82

42

5.62

82

112

值

光阑（光圈）的大小用光圈数表示，标在照相机镜头上，数值越小，光圈越大。相对孔径的标记值为相对孔径的倒数。

光圈数倒数即物镜的相对孔径──是指入瞳直径D 与物方焦距f 之比值F D

。 （3）影深：照相机镜头只能使某个平面π上的物点成像在底片上（傍轴条件），在此平面前后的点成像在底片前后，如在底片上接收，应是一个圆斑。

图8-3

如果这些圆斑的线度小于底片能够分辨的最小距离，还可以为它们在底片上的像是清晰的，对于给定的光阑，只有平面π前后一定范围内的物点，在底片上形成的圆斑才会小于这个限度。

物点的这个可允许的前后范围称为景深。

影响景深的因素有二个（Ⅰ)光阑

(Ⅱ)f,x(物距)

（Ⅰ）光阑──当光阑直径缩小时，光束变窄，离平面π一定距离的物点在底片上形成的圆斑变小，从而景深加大）

（Ⅱ）f一定时，越小，则景深越小。

因此拍摄不太近的物体时，很远的背景可以很清晰拍摄近物时（景深小）稍远的物体就变得模糊了。

8.3 眼睛

助视仪器──如放大镜，望远镜，显微镜都是用眼睛看的，因此，先了解一下眼睛结构及成像原理。

人类眼睛是一个相当复杂的天然光学仪器。

从结构上看类似于照相机

(Ⅰ) 眼球的结构

图8-4

图8—4 为眼球在水平方向上的剖面图，其中

(1)布满视觉神经的网膜──相当于照相机中的感光底片。 (2)虹膜（或程虹采，采帘）──相当于照相机中的可变光阑。

(3)瞳孔──虹膜中间的圆孔可虽环境亮度变化自动调节调节范围从2mm__8mm. (4)晶状体（或称眼球）──它是一个折射率不均匀的透镜相当于照机中的镜头。 (5)角膜，巩膜──包在眼球外面的坚韧的膜，最前面透明的部分称为角膜，其余

部分称为巩膜。

(6)前房──角膜与晶状体之间的部分称为前房，其中充满水状液（前房液）。 (7)后房──晶状体与网膜之间眼球的内腔称为后房，其中充满玻璃状液。 (8)有毛肌──可以改变晶状体的曲率。

眼睛是一个物像方媒质折射率不相等的例子。f f '≠

mm f 1.17max =

mm f 8.22max

='

在照相机中f 一定，通过镜头和底片间距离s ′的改变来调节聚焦的。 而眼睛是靠改变晶状体的曲率（即改变f ）来实现的。 (9)黄斑──网膜中有一直径约2mm 的微凹部分叫黄斑，黄斑中央直径约0.25mm 区域叫中心窝，是网膜上视觉最灵敏的地方，观看景物时，眼球会本能得转动，使中心窝对正目标，同时调焦，使像成在黄斑上，只有成在黄斑上的像才能被清晰地感觉到。 (10)盲点

了解了结构及成像原理，以后画图时用眼睛的简化图表示 正常视力的眼睛：

当肌肉完全松弛的时候，无穷远的物体成像在网膜上，为了观察较近物体，肌肉压缩晶状体，使焦距缩短。

眼睛这种调节聚焦的能力有一定的限度，小于一定距离的物体无法看清楚。 儿童的这个极限距离在10cm 以下，随着年龄的增长，眼睛的调焦能力逐渐衰退，这个极限距离因之而加大，造成老花眼的原因就在于此。