排列组合解题的技巧

排列组合解题的技巧

排列组合问题历来是高中数学教学的一个难点,其思考方法独特,求解思路灵活,因而在解题中极易出现“重复”或“遗漏”的错误.虽然近几年高考将侧重点放在两个计数原理的考察上,但当对问题类型把握准确时,解答的准确性上将会有很大的提升,解答速度也会大大提高.以下介绍几类典型排列组合问题的解答技巧:

1、相邻问题捆绑法

例1 6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( )种。

A、720

B、360

C、240

D、120

解:因甲、乙两人要排在一起,故将甲乙两人捆在一起视作一人有种排法,与其余四人进行全排列有种排法,由乘法原理可知,共有 =240种不同排法,故选(C)。

训练: 3名男教师,3名女教师,6名学生站成一排,要求男教师和女教师必须站在一起,且教师不站在两端,则一共有多少种站法?

2、相隔问题插空法

例2 排一张5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单

(1) 任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种?

(2) 舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有多少种?

解:(1)先排歌唱节目有种,歌唱节目及两端有6个空位,从

这6个空位中选4个放入舞蹈节目,共有种方法,所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有种。

(3)先排舞蹈节目有种排法,在舞蹈节目和两端有5个空位,恰好供5个歌唱节目放入,所以舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有种。

训练:若将例题当中的“4个舞蹈节目”改

为“5个舞蹈节目”,求舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方

法有多少种?

3、限定问题优限法

例3 由数字0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的四位偶数?

解:因所求是偶数,所以个位必须是0,2,4中的任何一个,又首位不能为0,所以分个位为0时有种,个位不为0时有种。所以共有种。

训练本例条件不变,问题改为“求能组成多少个无重复数

字且比2019大的四位偶数?”,应如何求解?

4、多元问题分类法

例4 三边长均为整数,且最大边长为11的三角形有多少个? 解:设三角形的另外两个边分别为x和y,且不妨设 ,要构成三角形,必有则分类讨论如下:

当y为11时,x可以为:1,2,3,…,11,可有11个三角形;

当y为10时,x可以为:2,3,4,…,10,可有9个三角形;

当y为9时,x可以为:3,4,5,…,9,可有7个三角形;

当y为8时,x可以为:4,5,6,7,8,可有5个三角形;

当y为7时,x可以为:5,6,7,可有3个三角形;

当y为6时,x可以为:6,只有1个三角形;

训练某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分,如图,现要栽4种不同颜色的花,每一部分栽种一种且相邻部分不能栽同种颜色的花,不同的栽种方法有多少种?

5、标号排位问题分步法

例5 同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡,则四张贺年卡的分配方式有( )

A. 6种

B. 9种

C. 11种

D. 23种

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p; 解:此题可以看成是将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,且每个方格的标号与所填数

不同的填法问题。所以先将1填入2至4号的3个方格里有种填法;第二步把被填入方格的对应数字,填入其它3个方格,又有种填法;第三步将余下的两个数字填入余下的两格中,只有1种填法。故共有3×3×1=9种填法,而选B。

训练: 将标有1,2,...10的10个小球投入同样标有1,2, (10)

的圆筒中,每个圆筒都不空,且所投小球与圆筒标号均不相

同的投法共有多少种?

6 自由选择问题住店法

例6 现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同的选法的种数是( ) A B C D

解:6名同学每人都可以在5个课外知识讲座中任选一种,所以均有5种选法,故总共有种,选 A 。

训练:某同学要将标有1,2,3,4,5,6的6封信投递出去,现有三个不同的信箱供选择,则有多少种不同的投递方法?

7 分配问题隔板法

例7 高一年级7个班级要组成篮球队,共需10名队员,每个班级至少要出一名,则不同的组成方法共有多少种?

解: 由于10名队员来自于7个不同的班级,每一个班级至少要一名,所以问题相当于将10名队员分成7组,10名队员并排站立中间有9个空格,在这9个空格中插入6个隔板就将10名队员分成了7组,每一组来自于一个班级,即得到了不同的组成方法共计种.

训练: 将10个相同的小球装入3个编号分别为1,2,3的盒子当中,每次将10个球装完,每个盒子里的球的个数都不小于合资的编号数,则不同的装法共有多少种?

8 定序问题缩倍法

例8 A、B、C、D、E五个人并排站成一排,如果B必须站在A 的右边(A、B可以不相邻),那么不同的排法的种数是()

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