平抛运动常见题型及应用专题

平抛运动常见题型及应用专题

（一）平抛运动的基础知识

1. 定义：水平抛出的物体只在重力作用下的运动。

2. 特点：

（1）平抛运动是一个同时经历水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动。

（2）平抛运动的轨迹是一条抛物线，其一般表达式为c bx ax y ++=2。 （3）平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，加速度g a =恒定，所以竖直方向上在相等的时间内相邻的位移的高度之比为5:3:1::321=s s s …竖直方向上在相等的时间内相邻的位移之差是一个恒量2gT s s s s I II II III =-=-。

（4）在同一时刻，平抛运动的速度（与水平方向之间的夹角为?）方向和位移方向（与水平方向之间的夹角是θ）是不相同的，其关系式θ?tan 2tan =（即任意一点的速度延长线必交于此时物体位移的水平分量的中点）。 3. 平抛运动的规律

描绘平抛运动的物理量有0v 、y v 、v 、x 、y 、s 、?、t ，已知这

（二）平抛运动的常见问题及求解思路

关于平抛运动的问题，有直接运用平抛运动的特点、规律的问题，有平抛运动与圆周运动组合的问题、有平抛运动与天体运动组合的问题、有平抛运动与电场（包括一些复合场）组合的问题等。本文主要讨论直接运用平抛运动的特点和规律来求解的问题，即有关平抛运动的常见问题。

1. 从同时经历两个运动的角度求平抛运动的水平速度

求解一个平抛运动的水平速度的时候，我们首先想到的方法，就应该是从竖直方向上的自由落体运动中求出时间，然后，根据水平方向做匀速直线运动，求出速度。

[例1] 如图

过m x 5=有多大？

解析：g

h t 2==

在水平方向上，摩托车能越过壕沟的速度至少为

s m s m t x v /10/5

.050===

2. 从分解速度的角度进行解题

对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的速度方向，则我们常常是“从分解速度”的角度来研究问题。

[例

2] 如图2甲所示，以9.8m/s 的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为?30的斜面上。可知物体完成这段飞行的A.

33解析：（如图2度是始终

直，所以t v 与y v 间的夹角等于斜面的倾角θ。再根据平抛运动的分解可知物体在竖直方向做自由落体运动，那么我们根据y v gt =就可以求出时间t 了。则

y

x

v v =

θtan 所以s m s m v v v x y /38.9/3

18

.930tan tan 0==?

==

θ

根据平抛运动竖直方向是自由落体运动可以写出 gt v y = 所以s g v t y 38

.93

8.9==

=

所以答案为C 。

3. 从分解位移的角度进行解题

对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的位移方向（如物体从已知倾角的斜面上水平抛出，这个倾角也等于位移与水平方向之间的夹角），则我们可以把位移分解成水平方向和竖直方向，然后运用平抛运动的运动规律来进行研究问题（这种方法，暂且叫做“分解位移法”）

[例3] 在倾角为α的斜面上的P 点，以水平速度0v 向斜面下方抛出一个物体，落在斜面上的Q 点，证明落在Q 点物体速度α20tan 41+=v v 。

解析：设物体由抛出点P 运动到斜面上的Q 点的位移是l ，所用时间为t ，则由“分解位移法”可得，竖直方向上的位移为αsin l h =；水平方向上的位移为αcos l s =。

又根据运动学的规律可得

竖直方向上22

1gt h =，gt v y =

水平方向上t v s 0=

则0

0222

1tan v v t v gt s h y ===α，αtan 20v v y =

所以Q 点的速度

α202

20tan 41+=+=v v v v y

[例4] 如图3所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度0v 同时水平向左与水平向右抛出两个小球A 和B ，两侧斜坡的倾角分别

为?37和?53

球的运动时间解析：?37和?53都是物体落在斜面上后，位移与水平方向的夹角，则运用分解位移的方法可以得到

02221tan v gt

t v gt x y ===α

所以有0

1237tan v gt

=?

同理0

2

253tan v gt =

? 则16:9:21=t t

4. 从竖直方向是自由落体运动的角度出发求解

在研究平抛运动的实验中，由于实验的不规范，有许多同学作出的平抛运动的轨迹，常常不能直接找到运动的起点（这种轨迹，我们暂且叫做“残缺轨迹”），这给求平抛运动的初速度带来了很大的困难。为此，我们可以运用竖直方向是自由落体的规律来进行分析。 [例5] 某一平抛的部分轨迹如图4所示，已知a x x ==21，b y =1，c y =2，求0v

解析：A 是匀速直线运动，可设A 到B 、B 到C 的时间为T ，则

T v x x 021==

又竖直方向是自由落体运动， 则 212gT y y y =-=?

代入已知量，联立可得

g

b

c T -=

b

c g a

v -=0 5. 从平抛运动的轨迹入手求解问题

[例6] 从高为H 的A 点平抛一物体，其水平射程为s 2，在A 点正上方高为2H 的B 点，向同一方向平抛另一物体，其水平射程为s 。

过，求屏们换一会很容易，顶点在y 轴上的抛物线，即可设A 、B 两方程分别为

c bx ax y ++=2，c x b x a y '+'+'=2

则把顶点坐标A （0，H ）、B （0，2H ）、E （2s ，0）、F （s ，0）分别代入可得方程组

???

???

?+-=+-=H x s H y H x s

H y 2242222 这个方程组的解的纵坐标H y 7

6=，即为屏的高。

6. 灵活分解求解平抛运动的最值问题

[例7] 如图6所示，在倾角为θ的斜面上以速度0v 水平抛出一小球，该斜面足

距离的达解析：将

虽然分运动比较复杂一些，但易将物体离斜面距离达到最大的物理本质凸显出来。

取沿斜面向下为x 轴的正方向，垂直斜面向上为y 轴的正方向，如图6所示，在y 轴上，小球做初速度为θsin 0v 、加速度为θcos g -的匀变速直线运动，所以有

θθcos 2)sin (202gy v v y -=- ①

t g v v y θθcos sin 0-=- ②

当0=y v 时，小球在y 轴上运动到最高点，即小球离开斜面的距离达到最大。

由①式可得小球离开斜面的最大距离

θ

θcos 2)sin (2

0g v y H ==

当0=y v 时，小球在y 轴上运动到最高点，它所用的时间就是小球从抛出运动到离开斜面最大距离的时间。由②式可得小球运动的时间为θtan 0

g

v t =

7. 利用平抛运动的推论求解

推论1：任意时刻的两个分速度与合速度构成一个矢量直角三角形。 [例8] 大小分间的夹

与竖角形如1v gt

2又因为?=+90βα，所以βαtan cot = 由以上各式可得gt v v gt 21=，解得211v v g

t = 推论2：任意时刻的两个分位移与合位移构成一个矢量直角三角

形

[例9] 宇航员站在一星球表面上的某高度处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为l ，若抛出时初速度增大到两倍，则抛出点与落地点之间的距离为l 3。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G ，求该星球的质量M 。

解析：设第一次抛出小球，小球的水平位移为x ，竖直位移为h ，如图8所示，构建位移矢量直角三角形有

222l h x =+

若抛出时初速度增大到2倍，重新构建位移矢量直角三角形，如图9所示有，

222)3()2(l h x =+

由以上两式得3

l h =

令星球上重力加速度为g '，由平抛运动的规律得22

1t g h '= 由万有引力定律与牛顿第二定律得

g m R

GMm

'=2

由以上各式解得2

2

332Gt lR M =

推论3：平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点。

证明：设平抛运动的初速度为0v ，经时间t 后的水平位移为x ，如图10所示，D 为末速度反向延长线与水平分位移的交点。根据平抛运动规律有

水平方向位移t v x 0=

竖直方向gt v y =和22

1gt y = 由图可知，ABC ?与ADE ?相似，则y

DE

v v y =

0 联立以上各式可得2x DE =

该式表明平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点。

[例10] 如

求在运动过解析：面的距离最示，图中A 求的最远gt v y =，t v x 0=和

θtan 0

=v y

由上述推论3知2

x OA =

据图9中几何关系得θsin AO AB =

即质推论4为α证明：如图13，设平抛运动的初速度为0v ，经时间t 后到达A 点的水平位移为x 、速度为t v ，如图所示，根据平抛运动规律和几何关系：

在速度三角形中0

tan v gt v v y =

=

α

2

[例11] 出时的初tan α又因为α

cos 0

v v t =

所以初动能J E mv E kB kA 1521

9

2120==

=

[例12] 如图15所示，从倾角为θ斜面足够长的顶点A ，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为1v ，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为1α，第二次初速度2v ，球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为2α，若12v v >，试比较1α和2α的大小。

A

B

1

v1

v2

C

α

α

2

θ

θ

图15

解析：根据上述关系式结合图中的几何关系可得

θ

θ

αtan

2

)

tan(=

+

所以θ

θ

α-

=)

tan

2

arctan(

此式表明α仅与θ有关，而与初速度无关，因此

2

1

α

α=，即以不同初速度平抛的物体落在斜面上各点的速度方向是互相平行的。

推论5：平抛运动的物体经时间t后，位移s与水平方向的夹角为β，则此时的动能与初动能的关系为)

tan

4

1(2

β

+

=

k

kt

E

E

证明：设质量为m的小球以

v的水平初速度从A点抛出，经时间t到达B点，其速度t v与水平方向的夹角为α，根据平抛运动规律可作出位移和速度的合成图，如图16所示。

图16

由上面推论4可知β

αtan

2

tan=

从图16中看出β

αtan

2

tan

v

v

v

y

=

=

小球到达B点的速度为

β

2

2

2

tan

4

1+

=

+

=v

v

v

v

y

t

所以B点的动能为

)

tan

4

1(

2

1

2

1

2

2

2β

+

=

=mv

mv

E

t

kB

)

tan

4

1(2

β

+

=

k

E

[例13]

力不计

减

v0

v t

A B

v0

θ

解析：当物体做平抛运动的末速度方向平行于斜面时，物体距斜面的距离最远，此时末速度的方向与初速度方向成?30角，如图17所示

由βαtan 2tan =可得αβtan 2

1tan =

所以当物体距斜面的距离最远时的动能为 J J E E k kt 12)30tan 1(9)tan 41(220=?+?=+=β 根据物体在做平抛运动时机械能守恒有 J J E E k p 3)912(=-=?=?

即重力势能减少了3J

平抛运动是较为复杂的匀变速曲线运动，有关平抛运动的命题也层出不穷。若能切实掌握其基本处理方法和这些有用的推论，就不难解决平抛问题。因此在复习时应注意对平抛运动规律的总结，从而提高自己解题的能力。

【模拟试题】

1. 关于曲线运动，下列叙述正确的是（ ）

A. 物体之所以做曲线运动，是由于物体受到垂直于速度方向的力（或者分力）的作用

B. 物体只有受到一个方向不断改变的力，才可能做曲线运动

C. 物体受到不平行于初速度方向的外力作用时，物体做曲线运动

D. 平抛运动是一种匀变速曲线运动

2. 关于运动的合成，下列说法中正确的是（ ） A. 合速度的大小一定比每个分速度的大小都大 B. 合运动的时间等于两个分运动经历的时间

C. 两个匀速直线运动的合运动一定也是匀速直线运动

D. 只要两个分运动是直线运动，合运动一定也是直线运动

3. 游泳运动员以恒定的速率垂直河岸横渡，当水速突然增大时，对运动员横渡经历的路程、时间发生的影响是（ ）

A. 路程增加、时间增加

B. 路程增加、时间缩短

C. 路程增加、时间不变

D. 路程、时间均与水速无关

4. 从同一高度、同时水平抛出五个质量不同的小球，它们初速度分别为v 、v 2、v 3、v 4、v 5。在小球落地前的某个时刻，小球在空中的位置关系是（ ）

A. 五个小球的连线为一条直线，且连线与水平地面平行

B. 五个小球的连线为一条直线，且连线与水平地面垂直

C. 五个小球的连线为一条直线，且连线与水平地面既不平行，也不垂直

D. 五个小球的连线为一条曲线

5. 如图1所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体与圆筒一起运动，物体相对桶壁静止。则（ ）

A. 物体受到4个力的作用

B. C. D.

6. 间间隔为t ?，那么（ ）

A. 1v 和2v 的方向一定不同

B. 若2v 是后一时刻的速度，则21v v <

C. 由1v 到2v 的速度变化量v ?的方向一定竖直向下

D. 由1v 到2v 的速度变化量v ?的大小为t g ??

7. 一个物体在光滑水平面上以初速度v 做曲线运动，已知物体在运动过程中只受到水平恒力的作用，其运动轨迹如图2所示，那么，物体在由M 点运动到N 点的过程中，速度大小的变化情况是（ ）

A. 逐渐增大

B. 逐渐减小

B. 物体做匀速圆周运动的周期一定与角速度成反比

C. 不计空气阻力，水平抛出的物体的运动是匀变速运动

D. 汽车关闭发动机后，继续滑行时的加速度方向与速度方向相同

9. 如图3

的速度必须是（A. 加速拉 10. 将正确的是（ A. 甲和乙一定同时落地 B. 乙和丙一定同时落地

C. 甲和乙水平射程一定相同

D. 乙和丙水平射程一定相同

11. 一辆汽车的质量为M ，当它通过拱形桥时，可能因为速度过快而飞离桥面，导致汽车失去控制。所以为了车内车外人的安全，我

处车12. 点，轨为度大小13. 速度v 做匀速直线运动，突然悬点遇到障碍物停下来，小球将做 运动。此刻轻绳受到小球的拉力大小为 。（2/8.9s m g ） 14. 某同学在做“研究平抛物体运动”的实验中，忘记了记录小球

的半径R为何值时小球的水平射程最大？求此水平射程。

【试题答案】

1. ACD

2. BC

3. C

4. A

5. C

6. ABCD

7. D

8. BC

9. B 10. A

11. Rg 12. 19.6；9.8 13. 圆周；l

v m mg 2

+ 14. 2.0

15.（1）m s 20= （2）s m /1.14

16.（1）Rg 5 （2）mg 6

17. 2

H

R =时，S 有最大值；H S =max 18.（1）mg F T 09.1= （2）mg F T 15.1='