全等三角形判定的综合应用

授课教案教学标

题全等三角形判定综合应用

教学目标

熟练掌握全等三角形的四种判定方法，在实际问题中能灵活应用. 教学重难点

重点掌握全等三角形证明的思路，有一定分析问题的能力. 上次作

业检查

授课内容：

一．热身训练

1.如图1，若△ABC ≌△ADE ，∠EAC=35°，则∠BAD=______度.

2.如图2，AB ∥CD ，AD ∥BC ，OE=OF,图中全等三角形共有______对.

3.已知：如图3，∠ABC ＝∠DEF ，AB ＝DE ，要说明△ABC ≌△DEF ，（1）若以“SAS ”为依据，还须添加的一个条件为______. （2）若以“ASA ”为依据，还须添加的一个条件为______. （3）若以“AAS ”为依据，还须添加的一个条件为______.

4.如图4，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则△_____≌△_____.

5.如图5,AB=CD ，AD=BC ，O 为BD 中点，过O 点作直线与DA 、BC 延长线交于E 、F ，若?=∠60ADB ，EO=10，则∠DBC= ，FO= . B C D

E C

D F

二．知识梳理

1．判定和性质

判定方法：边角边（SAS ）、角边角（ASA ）角角边（AAS ）、边边边（SSS ）

性质：对应边相等，对应角相等，对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等

注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；

② 全等三角形面积相等．

2．证题的思路：

?????????????????????????????????????）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）

找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）

找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 三．典型例题

例1．已知：如图AC=BD ，∠CAB=∠DBA 。求证：∠CAD=∠DBC 。

分析：由已知，再加上一组公共边等，可以得到

△ABC与△BAD全等，由性质得对应角相等，再由等量公理可得证。

例2．已知，如图，HI∥BC，

JI∥AB。求证：△BIH≌△IBJ

分析：从已知寻找三角形全等的条件：

由平行，可以得角等，又有一组公共

边，因此选择用角边角公理可证明。

例3．已知：如图，AB=DC，AE=DF，CE=FB，求证：AF=DE。

分析：要证AF=DE，可证△AFB与△DEC全等，但还缺少相关角相等的条件，所以先证△AEB与△DFC全等。

例4．已知：如图，AB=DE，BC=EF，CD=FA，∠A= ∠D。求证：∠B= ∠E。

四．课堂练习

1.如图ABD

?均为等边三角形，求证：DC=BE。

?和ACE

2.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中

点，求证：∠1=∠2

五．课后反思：根据已知的条件找残缺的条件证三角形全等，思路要开阔。

1.如图1，若△ABC ≌△ADE ，∠EAC=35°，则∠BAD=______度.

2.如图2，AB ∥CD ，AD ∥BC ，OE=OF,图中全等三角形共有______对.

4.如图4，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠A B C D E

F 2 1

全等三角形知识点及应用题

一.三角形的基础知识全等三角形 1、全等三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形对应角的平分线相等。全等三角形对应边上的高线、中线对应相等。 2、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS”）。 3、有两多角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA”）。 4、有两角和其中一角的对边相等的两个三角形全等（简写成“AAS”）。 5、有三条边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS”）。 6、有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）。 7、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。8、到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。等腰三角形 1、等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角． 2、等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形. （2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等. 3、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．等边三角形 1、等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形． 2、等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60° 3、等边三角形的判定方法（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．三角形中的边角不等关系（1）在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大.（简称为：大边对大角）

中考数学全等三角形的复习课教学设计(最新整理)

全等三角形的复习（第1 课时）泰安六中苏晓林一、教材分析：本节课是全等三角形的全章复习课，首先帮助学生理清全等三角形全章知识脉络，进一步了解全等三角形的概念，理解性质、判定和运用；其次对学生所学的全等三角形知识进行查缺补漏，再次通过拓展延伸以的习题训练，提高学生综合运用全等三角形解决问题的能力，并对中考对全等三角形考察方向有一个初步的感知，为以后的复习指明方向。在练习的过程中，要注意强调知识之间的相互联系，使学生养成以联系和发展的观点学习数学的习惯. 二、学情分析在知识上，学生经历全等三角形全章的学习，对全等三角形性质、判定以及应用基本掌握，初步具有整体认识，但由于间隔时间有点长所以遗忘较多，全等三角形是学习初中几何的基础和工具也是中考必考内容。对全等三角形的综合应用以及全章知识脉络的形成正是以上各种能力的综合体现，教学中要充分发挥学生的主体作用，通过复习学生在全等三角形的计算、证明对学生的推理能力、发散思维能力和概括归纳能力将有所提高. 三、教学目标 1.进一步了解全等三角形的概念，掌握三角形全等的条件和性质；会应用全等三角形的性质与判定解决有关问题. 2.在题组训练的过程中，引导学生总结出全等三角形解题的模型，培养学生归纳总结的能力，使学生体会数形结合思想、转化思想

在解决问题中的作用. 3.培养学生把已有的知识建立在联系的思维习惯，并鼓励学生积极参与数学活动，在活动中学会思考、讨论、交流与合作。四、教学重难点重点：全等三角形性质与判定的应用. 难点：能理解运用三角形全等解题的基本过程。五、教法与学法以“自助探究”为主，以小组合作、练习法为辅；在具体的教学活动中，要给予学生充足的时间让学生自主学习，先形成自己的全等三角形知识认知体系，尝试完成练习；给予学生充足的空间展示学习结果，通过讨论交流、学生互评、教师最后点评方式实现本节课的教学目的. 六、教具准备多媒体课件，七、课时安排 2 课时八、教学过程本节课是全等三角形全章的复习课，本节课我主要采用学生“练后思”的模式，帮助学生搜整《全等三角形》全章知识脉络，建构知识网络，通过基础训练、概念变式练习、典例探究、拓展应用等活动进行查缺补漏和拓展延伸；借助“基础了题目-变式题目-典型题目- 拓展题目”五个梯次递进的教学活动达成教学目标，使用多媒体课件

专题研究：全等三角形证明方法归纳及典型例题

全等三角形的证明全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法： (1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． (4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．专题1、常见辅助线的做法典型例题找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：

全等三角形的判定综合复习(二)(人教版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：（1）全等三角形的性质：全等三角形的____________相等，____________相等．（2）一般三角形全等的判定：________，________，________，________．（3）直角三角形的判定：________，________，________，________，________．问题2：要证明两个三角形全等，需要找______组条件，其中必须有一组______．问题3：SSA能不能证明两个三角形全等？请画图说明．全等三角形的判定综合复习（二）（人教版）一、单选题(共12道，每道8分) 1.如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于( )

A.150° B.180° C.210° D.225° 答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定 2.已知：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，连接OA，若∠1=∠2，则图中全等的三角形共有( ) A.4对 B.3对 C.2对 D.1对

答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定 3.如图，已知∠α，∠β，线段a，求作△ABC，使BC=a，∠B=∠α，∠C=∠β．作法的合理顺序为( )（请用尺规作出对应的图形，保留作图痕迹，提交试卷后，我们将提供参考答案） ①以B为顶点，以BC为一边，作角∠DBC=∠α；②作一条线段BC=a； ③以C为顶点，以CB为一边，在BC的同一侧，作角∠ECB=∠β，CE交BD于点A；④△ABC 即为所求． A.①③④② B.①②③④ C.②①③④ D.①③②④ 答案：C 解题思路：

全等三角形在初中数学中的应用论文资料解读

曲靖师范学院本科生毕业论文论文题目: 全等三角形的证明在初中数学中的应用作者、学号：李发蝌2011111233 学院、年级：数学与信息科学学院2011级学科、专业：数学数学与应用数学指导教师：罗红英完成日期：2015年5月20日曲靖师范学院教务处

全等三角形的证明在初中数学中的应用摘要 “全等三角形的证明”是在初中数学平面几何中占重要内容之一，是研究图形性质的基础，而且在近几年的中考中都有出现，新课标的要求是“探索并掌握两个三角形全等的条件”，因此掌握三角形全等的证明及运用方法对初中生来说至关重要。其证明方法繁多，技巧性强，有一定的通法，所以研究范围极广，难度极大．论文整理和归纳了全等三角形证明的步骤及其注意事项，分别列举了几种常用的全等三角形的证明方法，让每一种方法兼有理论与实践性．旨在使学生对全等三角形证明及其应用问题有一个较为深入的了解，进而在解决相关全等三角形问题时能融会贯通、举一反三，达到事半功倍的效果，同时为从事教育的工作者提供参考．关键词：全等三角形；初中数学；方法；应用

Prove congruent triangles used in in junior high school mathematics Abstract：“Entire and so on the triangle proofs” are account for one of important contents in the junior middle school mathematics plane geometry, is studies the graph nature the foundation, moreover tests in recent years all has the appearance, the new class sign request is “explores and grasps two triangles entire and so on the condition”, therefore the grasping triangle entire and so on the proof and said since birth using the method to the junior middle school very important.Its proof method is many, skillful, has certainly certainly passes the law, therefore the research scope is extremely broad, the difficulty is enormous. The paper reorganized and has induced entire and so on the triangle proof steps and the matters needing attention, has enumerated several kinds separately commonly used entire and so on the triangle proof methods, let each method have at the same time the theory and the practicality. Is for the purpose of making the student to entire and so on the triangles to prove and the application question has a more thorough understanding, then is connected entire when the solution and so on the triangle questions can achieve mastery through a comprehensive study of a subject, extrapolate, achieved the twice the result with half the effort effect, simultaneously for the worker who is engaged in the education provides the reference. Key word: Entire and so on triangles; Junior middle school mathematics; Method; Using

八年级上册全等三角形单元综合测试(Word版含答案)

八年级上册全等三角形单元综合测试（Word 版含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在四边形ABCD 中，BC CD = ，对角线BD 平分ADC ∠，连接AC ，2ACB DBC ∠=∠，若4AB =，10BD =，则ABC S =_________________．【答案】10 【解析】【分析】由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD ∥BC ，然后根据平行线的性质和已知条件可推出CA=CD ，可得CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE 的长和BCF CDE ∠=∠，然后即可根据AAS 证明△BCF ≌△CDE ，可得CF=DE ，再根据三角形的面积公式计算即得结果．【详解】解：∵BC CD =，∴∠CBD =∠CDB ， ∵BD 平分ADC ∠，∴∠ADB =∠CDB ， ∴∠CBD =∠ADB ，∴AD ∥BC ，∴∠CAD =∠ACB ， ∵2ACB DBC ∠=∠，2ADC BDC ∠=∠，∠CBD =∠CDB ， ∴ACB ADC ∠=∠，∴CAD ADC ∠=∠， ∴CA=CD ，∴CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，则152 DE BD ==，12 BCF ACB ∠=∠， ∵12BDC ADC ∠=∠，ACB ADC ∠=∠，∴BCF CDE ∠=∠，在△BCF 和△CDE 中，∵BCF CDE ∠=∠，∠BFC =∠CED =90°，CB=CD ， ∴△BCF ≌△CDE （AAS ），∴CF=DE =5， ∴11451022 ABC S AB CF =?=??=．故答案为：10．

全等三角形的判定综合应用典型练习题分类汇编

【题型1】全等三角形判定的综合选择下列数据能确定形状和大小是（） A.AB=4，BC=5，∠C=60° B.AB=6，∠C=60°，∠B=70° C.AB=4，BC=5，CA=10 D.∠C=60°，∠B=70°，∠A=50° 【变式训练】 1.下列各条件中，能使△ABC ≌△DEF 的条件是（） A.AB=DE,∠A=∠D,BC=EF B.AB=BC,∠B=∠E,DE=EF C.AB=EF,∠A=∠D,AC=DF D.BC=EF,∠C=∠F,AC=DF 2.对于△ABC 与△DEF ，已知∠A=∠D ，∠B=∠E ，则下列条件①AB=DE ；②AC=DF ；③BC=DF ④AB=EF 中，判定它们全等的有（） A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 3.在△ABC 和△A /B /C / 中,AB=A /B / ,∠B=∠B / ,补充条件后仍不一定能保证△ABC ≌△A /B /C / ,则补充的这个条件是( ) A.BC=B /C / B.∠A=∠A / C.AC=A /C / D.∠C=∠C / 4.如图，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（） A.△ACE ≌△BCD B.△BGC ≌△AFC C.△DCG ≌△ECF D.△ADB ≌△CEA 5.如图1，已知△ABC 的六个元素，则图2甲、乙、丙三个三角形中和图1△ABC 全等的图形是 . 6.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明∠A /O /B / =∠AOB 的依据是 . 7.如图是打碎的玻璃，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（） A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①和②去第4题第7题第6题

(完整版)经典-全等三角形判定综合讲解-几个例题

全等三角形的判定-综合训练判定方法条件注意⑴边边边公理（SSS）三边对应相等三边对应相等 ⑵边角边公理(SAS) 两边和它们的夹角对应相等（“两边夹一角”）必须是两边夹一角，不能是两边对一角 ⑶角边角公理(ASA) 两角和它们的夹边对应相等（“两角夹一边”）不能理解为两角及任意一边 ⑷角角边公理(AAS) 两角和其中一角的对边对应相等例1. 已知：如图所示，AB=AC，，求证：.(方法指导：SAS) 证明：强调：证明两个三角形全等时要特别注意证明的正确书写格式，书写时应把对应顶点写在对应位置上。例2. 如图所示，已知：AF=AE，AC=AD，CF与DE交于点B。求证：。(方法指导SAS)

例3 .如图所示，AC=BD，AB=DC，求证：。(方法指导：SSS). 证法1：连结AD，证法2：连结BC，例4. 如图所示，，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，且，求证：BD=CE。(方法指导：AAS+ASA) 证明：总结：我们可以将前面探索得到的全等三角形判定方法归纳成下表：两边一角两角一边三角三边对应相等的元素三角形是否全等

F E D C B A 1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．求证△ACD ≌△CBE ．３．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB =DE ，AC =DF ，BE =CF ．求证∠A =∠D ．４．已知，如图，AB=AD ，DC=CB ．求证：∠B=∠D 。５．如图, AD ＝BC, AB ＝DC, DE ＝BF. 求证：BE ＝DF. C A A C E A D C B

(完整版)全等三角形的基础和经典例题含有答案

第十一章：全等三角形一、基础知识 1.全等图形的有关概念（1）全等图形的定义能够完全重合的两个图形就是全等图形。例如：图13-1和图13-2就是全等图形图13-1 图13-2 （2）全等多边形的定义两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。例如：图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。图 13-3 图13-4 （3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。（4）全等多边形的表示例如：图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE ≌五边形A ’B ’C ’D ’E ’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。图13-5 表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。（5）全等多边形的性质全等多边形的对应边、对应角分别相等。 A B D C E B ’ A ’ C ’ D ’ E ’

（6）全等多边形的识别多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。 2.全等三角形的识别（1）根据定义若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。（2）根据SSS 如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。（3）根据SAS 如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。（4）根据ASA 如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。（5）根据AAS 如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。 3.直角三角形全等的识别（1）根据HL 如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。（2）SSS、SAS、ASA、AAS对于直角三角形同样适用。判断两个直角三角形全等的方法可分为：已知一锐角和一边或已知两边。 4.证明三角形全等的方法证明三角形全等的一般方法有四种：“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”。每一种都有给出三个独立的条件，在具体问题中，题设往往只给出一个或两个条件，其余的需要我们自己去发掘和证明。判定方法的选择：具体地说，证明角相等的常用方法有：对顶角相等；两直线平行，同位角、内错

全等三角形判定综合训练

全等三角形——全等三角形的判定综合训练班别姓名学号一、学习目标：能够识别并熟练掌握全等三角形的几种判定方法。二、知识回顾：全等三角形有哪几种判定方法？ 1、如图：△ABC 与△DEF 中， ∵?? ???===__________________________________________________________ ∴△ABC ≌△DEF （） 2、如图：△ABC 与△DEF 中， ∵?? ? ??===__________________________________________________________ ∴△ABC ≌△DEF （） 3、如图：△ABC 与△DEF 中， ∵ ?? ? ??===__________________________________________________________ ∴△ABC ≌△DEF （） 4、如图：△ABC 与△DEF 中， ∵?? ? ??===__________________________________________________________ ∴△ABC ≌△DEF （） 5、如图：∠____=∠_____=90° Rt △ABC 与Rt △DEF 中， ∵?? ?==_________ ___________________ __________ ∴Rt △ABC≌Rt △DEF（）

三、练习： 1、已知AB=CD，BE=DF，AF=CE，则AB与CD有怎样的位置关系？ 2、已知O是AB中点，OC=OD，AOD BOC ∠=∠，求证：AC BD = 3、已知：如图, ∠1=∠2 , ∠3=∠4求证：AC=AB． 4、已知：如图, E、D、B、F在同一条直线上, AD∥CB , ∠BAD=∠BCD , DE=BF．求证：AE∥CF. 5、如图，△ABC中，D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别为垂足，且AE=AF，试说明：DE=DF，AD平分∠BAC.

全等三角形六种常见的实际应用

专训1六种常见的实际应用名师点金：利用三角形全等解决实际问题的步骤： (1)明确应用哪些知识来解决实际问题；(2)根据实际问题抽象出几何图形； (3)结合图形和题意分析已知条件；(4)找到已知与未知的联系，寻求恰当的解决途径，并表述清楚．利用三角形全等测量能到两端的距离 1．如图，为了测量出池塘两端A，B之间的距离，在地面上找到一点C ，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC 的延长线上确定点D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度就得到了A，B两点之间的距离．你能说明其中的道理吗 (第1题) 利用三角形全等求两端的距离 2．【中考·宜昌】杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下，| 如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC ，BD相交于O，OD⊥CD垂足为D.已知AB＝20米．请根据上述信息求标语CD的长度． (第2题) 利用三角形全等测量物体的内径 3．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，动手制作一个简单的工具，利用三角形全等的知识，求出x. (第3题) 利用三角形全等解决工程中的问题 4．如图，工人师傅要在墙壁的点O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚35 cm，点B与点O的垂直距离AB长20 cm，在点O 处作一直线平行于地面，再在直线上截取OC＝35 cm，过点C作OC的垂线，在垂线上截取CD＝20 cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出，这是什么道理 ` (第4题) 利用三角形全等解决面积问题 5．育新中学校园内有一块直角三角形(Rt△ABC，∠BAC＝90°)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了一串红，在△ACD区域内种植了鸡冠花，并量得两直角边AB＝20 m，AC＝10 m，求两种花草的种植面积各是多少． (第5题) 利用角平分线的判定和性质设计方案 6．如图，湖边的三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有多少处【导学号：】 (第6题) 答案 1．解：因为∠ACB＝90°，所以∠ACD＝180°－∠ACB＝90°. 在△ABC和△ADC中，、

八年级数学上册全等三角形单元综合测试(Word版含答案)

八年级数学上册全等三角形单元综合测试（Word版含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在_____．【答案】AD的中点【解析】【分析】【详解】分析：过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质或线段垂直平分线的性质得出 AC=PC′，从而根据两点之间线段最短，得出这时的P点使BP+PC的之最短. 详解：如图，过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质可得：PC=PC′，CD=C′D ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD ∴△ABP≌△DC′P ∴AP=PD 即P为AD的中点. 故答案为P为AB的中点. 点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键． 2．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有_____个．

【答案】4 【解析】【分析】由A点坐标可得OA=22，∠AOP＝45°，分别讨论OA为腰和底边，求出点P在x轴正半轴和负半轴时，△APO是等腰三角形的P点坐标即可. 【详解】（1）当点P在x轴正半轴上， ①如图，以OA为腰时， ∵A的坐标是（2，2）， ∴∠AOP＝45°，OA＝22，当∠AOP为顶角时，OA=OP=22，当∠OAP为顶角时，AO=AP， ∴OPA=∠AOP=45°， ∴∠OAP=90°， ∴OP=2OA=4， ∴P的坐标是（4，0）或（22，0）. ②以OA为底边时， ∵点A的坐标是（2，2）， ∴∠AOP=45°， ∵AP=OP， ∴∠OAP=∠AOP=45°， ∴∠OPA=90°， ∴OP=2， ∴P点坐标为（2，0）.

全等三角形在生活中的应用

全等三角形在生活中的应用在全等图形中，全等三角形是最基本，应用最广泛的一类图形，利用全等三角形的有关知识，不仅可以帮助我们进行决策，还可以帮助我们制作一些仪器，现举例说明这个问题，供同学们学习时参考．一、仪器我也会做例1 如图1是小亮做的一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线 AE ，AE 就是角平分线．你能说明其中的道理吗？分析：由已知条件易得△ABC 和△ADC 全等，由全等三角形的对应角相等，可知∠BAC=∠DAC ，即AE 是角平分线．解：已知AB=AD ，BC=DC ，又因为AC 是公共边，所以△ABC ≌△ADC ，所以∠BAC=∠DAC ．所以AE 是角平分线．评析：利用三角形全等的知识，常常可以说明两个角相等的问题．二、巧测内口直径例2 小红家有一个小口瓶（如图2所示），她很想知道它的内径是多少？但是尺子不能伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有办法了．她拿来了两根长度相同的细木条，并且把两根长木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动，这样只要量出AB 的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少．你知道这是为什么吗？请说明理由．（木条的厚度不计）分析：只要量出AB 的长，就知道内径是多少？显然只需要说明AB 和CD 相等就行．解：连结AB ，CD ，因为AO=DO ，BO=CO ，图 1 图2

又因为∠AOB=∠DOC，所以△ABO≌△DCO（SAS）．所以AB=CD，也就是AB的长等于内径CD的长．评析：利用三角形全等的知识，可以说明线段长相等的问题．三、距离相等的解释例3 如图3，从小丽家（C处）到学校A和菜市场B的夹角∠C是锐角，又知道从小丽家到学校、菜市场的距离相等，小丽说学校到路段BC的距离AD与菜市场到路段AC的距离BE相等，你认为她说的有道理吗？请说明理由．分析：只要能说明AD与BE相等，就说明她说的有道理．解：小丽说的有道理，理由如下：图3 已知AC=BC，因为∠ADC=∠BEC=90°，又因为∠C是公共角，所以△ACD≌△BCE，所以AD=BE．即学校到路段BC的距离与菜市场到路段AC的距离相等．你还知道全等三角形有哪些应用，说出来和同学们交流交流！应把握的两种模型利用三角形全等测距离，主要有以下两种模型：一、视线模型当需要测量距离的两个点中有一个点无法接近时，常采用这种方法. 视线法简便易行，但有一定的误差，一般在仅适应于目测的情况下使用. 如：例1如图1所示，在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为用炮火实施定点轰炸，需要测量我军阵地与敌军碉堡隔的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的

全等三角形的综合应用题

初三数学作业 1. （2011广东东莞，13，6分）已知：如图，E,F 在AC 上，AD ∥CB 且AD=CB ，∠D ＝∠B. 求证：AE=C F. 2、在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90o,F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,且AE=CF. (1)求证:Rt △AB E ≌Rt △CBF; (2)若∠CAE=30o,求∠ACF 度数. 3、如图19，点D ，E 分别在AC ，AB 上，BD =CE ，CD=BE ，求证：AB=AC ； 4、如图6,AB BD ⊥于点B ,ED BD ⊥于点D ,AE 交BD 于点C ,且BC DC =. 求证AB ED =. 5、如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连结BE 、EC ．试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想． A B C D E A 图6 B C D E A C E F

6、如图，C 是线段AB 的中点，CD 平分∠ACE ，CE 平分∠BCD ，CD=CE ． (1)求证：△ACD ≌△BCE ； (2)若∠D=50°，求∠B 的度数． 7、如图，已知ABC △中，45ABC ∠= ， F 是高AD 和BE 的交点，4CD =，则线段DF 的长度。 8、已知：如图，点C 是线段AB 的中点，CE=CD ，∠ACD=∠BCE, 求证：AE=BD ． 9、如图10，已知ADE Rt ABC Rt ???，?=∠=∠90ADE ABC , BC 与DE 相交于点F ，连接EB CD ,．求证：EF CF =． 10、如图10，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连结AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F. 求证：（1）FC=AD ；（2） AB=BC+AD

全等三角形判定基础练习(有答案)

全等三角形判定基础练习（有答案）一．选择题（共3小题） 1．如图，已知AD=AE，添加下列条件仍无法证明△ABE≌△ACD的是（） A．AB=AC B．∠ADC=∠AEB C．∠B=∠C D．BE=CD 2．判定两个三角形全等，给出如下四组条件：①两边和一角对应相等；②两角和一边对应相等；③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等；④三个角对应相等；其中能判定这两个三角形全等的条件是（） A．①和②B．①和④C．②和③D．③和④ 3．如图，下列各组条件中，不能得到△ABC≌△BAD的是（） A．BC=AD，∠ABC=∠BAD B．BC=AD，AC=BD C．AC=BD，∠CAB=∠DBA D．BC=AD，∠CAB=∠DBA 二．解答题（共6小题） 4．如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．

5．如图所示，有两个直角三角形△ABC和△QPA按如图位置摆放C，P，A在同一条直线上，并且BC=PA．当QP与AB垂直时，△ABC能和△QPA全等吗，请说明理由． 6．如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，CF、BE相交于点D，且BD=CD．求证：AD平分∠BAC． 7．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过B作BE ⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．求证：△ABC≌△BDE．

8．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且BD=CE．求证：△ABE≌△ACD． 9．如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABE≌△ACD．

全等三角形的应用学案

全等三角形的应用复习学案班级姓名例1 电线杆MN 直立在水平的地面上，缆绳AB ，AC 将它加固（如图）。小民测得BN ＝CN 后，就说缆绳AB ，AC 的长一定相等。你能说明理由吗？例2 如图，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，你能帮他想个办法吗？例3已知线段a 及∠1， ①用尺规作△ABC ，使得AC=a,AB=2a, ∠A=∠1 ②作AC 边上的高线BD 。（例4 如何量河两岸相对两点A 、B 的距离？ A B B C N B A 1

例5 如图，太阳光线AC 与A ’C ’是平行的，同一时刻两根木杆在太阳光照射下的影子一样长就能说这两根木杆一样长吗？说说你的理由？例6 如图(12)：已知AB=AC,在什么条件下，AD ⊥BC ? 验证你的判断（只需验证一种情况即可）例7 如图(13)：已知AB ⊥BD, ED ⊥BD, AB=CD ,BC=DE , 请你判断AC 垂直于CE 吗？并说明理由。例8、如图(14)，已知AB=DC , DE=BF, ∠B=∠D ,试说明（1）DE ∥BF (2)AE=CF A B C (12) A B E C (13) F D C E

作业：一、填空 1、如图1，△ABC 沿BC 边折叠，A 与D 重合，则△ABC △DBC ，其中对应角为。对应边为。 2、如图2，已知△ABC ≌△EFC ，且CF=3cm ，∠EFC=52O ，则∠A= O ；BC= cm 。 3、如图3，已知OA=OB ，OC=OD ，AD 、BC 相交于E ，则图中全等三角形有对。 4、如图4，已知AB = AC ，AD = BD = BC ，那么，是等腰三角形的三角形有 5、如图5，AB ∥CD ，∠A=380 ，∠C=800，那么∠M= 。 6、如图6，补充条件，能够说明△ABD ≌△ADC 二、选择 1、将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC BD ，为折痕，则 CBD ∠的度数为（） A ．60° B ．75° C ．90° D ．95° 2．根据下列已知条件，能惟一画出△ABC 的是（） A ．A B ＝3，B C ＝4，CA ＝8 B ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30° C ．∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4 D ．∠C ＝90°，AB ＝6 3．如图，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，且PD ＝PE ，则△APD 与△APE 全等的理由是（）．（A ）SAS （B ）AAS （C ）SSS （D ）HL 4．在下列条件中，不能说明△ABC ≌△A’B’C 的是（）．（A ）∠A ＝∠A ’，∠C ＝∠C ’，AC ＝A ’C ’ （B ）∠A ＝∠A ’，AB ＝A ’B ’，BC ＝B ’C ’ （C ）∠B ＝∠B ’，∠C ＝∠C ’，AB ＝A ’B ’ （D ）AB ＝A ’B ’， BC ＝B ’C ，AC ＝A ’C ’ 5．在下列说法中，准确的有（）． ①三角对应相等的两个三角形全等 ②三边对应相等的两个三角形全等 ③两角、一边对应相等的两个三角形全等 ④两边、一角对应相等的两个三角形全等图1B C A 图2F E B 图3D B B E A C A B C D 图4 D B C A M E 图5 图6 A B D B P D E

寒假七年级第13讲：全等三角形的综合应用

第13讲全等三角形的综合应用（1）一、新知探索证明思路：几何命题都可以表述成这种形式：A （条件） B （结论） 1、分析法：B （结论） C D …… A （条件） 2、翻译法： a b A （条件） c B （结论） …… z 二、典例剖析考点一：基本型的应用例1. 已知：E 是正方形ABCD 边AD 上任意一点，FG⊥BE。求证：FG=BE 。证明：设FG 和BE 交于O 做FM ⊥CD 交BE 于N ∵ABCD 是正方形 ∴AD=AB=FM (1) ∠BAE=∠FMG=90° (2) ∵FG ⊥BE ∴∠FON=∠FMG=90° ∵∠OFN=∠MFG ∴△OFN ∽△MFG ∴∠FGM=∠FNO ∵FM ∥AD ∴∠BEA=∠FNO=∠FGM (3) ∴△ABE ≌△MFG(AAS) ∴BE=FG 【变式】如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ．求证：① AE ＝CD ； ② 若AC ＝12 cm ，求BD 的长．（1）证明：∵DB ⊥BC ，CF ⊥AE ， ∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°． ∴∠D=∠AEC ．又∵∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA ， ∴△DBC ≌△ECA （AAS ）． ∴AE=CD ；（2）解：由（1）得AE=CD ，AC=BC ， ∴△CDB ≌△AEC （HL ）， ∴BD=EC=BC=AC ，且AC=12． ∴BD=6．例2.在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90o,F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,且AE=CF. (1)求证:Rt △ABE ≌Rt △CBF;(2)若∠CAE=30o,求∠ACF 度数. A B C D E F G

全等三角形的判定综合练习题

全等三角形的判定巩固与提高 A:学习篇（一）全等三角形的特征 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=，AC= BC= ， ∠A=，∠B=，∠C=；（全等三角形的对应边）（二）三角形全等的识别方法 1、如图：△ABC与△DEF中 2、如图：△ABC与△DEF中 ∵∵ ∴△ABC≌△DEF（）∴△ABC≌△DEF （） 3、如图：△ABC与△DEF中 4、如图：△ABC与△DEF中 ∵∵

∴△ABC≌△DEF（）∴△ABC≌△DEF （） 5、如图：Rt△ABC与Rt△DEF中，∠____=∠_____=90° ∵ ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（） ①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；②全等三角形面积相等． 2．证题的思路： B:运用篇一.理解运用 1、下列条件能判断△ABC和△DEF全等的是（） A）、AB=DE，AC=DF，∠B=∠E B）、∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF C）、∠A=∠F，∠B=∠E，AC=DE D）、AC=DF，BC=DE，∠C=∠D 2、在△ABC和△DEF中，如果∠C=∠D，∠B=∠E，要证这两个三角形全等，还需要的条件是（） A）、AB=ED B）、AB=FD C）、AC=DF D）、∠A=∠F 3、在△ABC和△A’B’C’中，AB=A’B’，A C=A’C’，要证△ABC≌△A’B’C’，有以下四种思路证明 : ①BC=B’C’；②∠A=∠A’；③∠B=∠B’；④∠C=∠C’，其中正确的思路有（） A）、①②③④B）、②③④C）、①② D）、③④

4．如图,已知AC和BD相交于O,且BO＝DO,AO＝CO,下列判断正确的是（） A．只能证明△AOB≌△COD B．只能证明△AOD≌△COB C．只能证明△AOB≌△COB D．能证明△AOB≌△COD和△AOD≌△COB 5．已知△ABC的六个元素,下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（） A．甲和乙Ｂ．乙和丙Ｃ．只有乙Ｄ．只有丙 6．如图,已知MB＝ND,∠MBA＝∠NDC,下列不能判定△ABM≌△CDN的条件是（）A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN 7．某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是（） A．带①去B．带②去 C．带③去 D．带①和②去第6题第7题 8．下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（） A．两条直角边对应相等 B．两个锐角对应相等 C．一条直角边和它所对的锐角对应相等 D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等二、解答题 1、已知：如图，AE=CF,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足，CD=AB,求证:DE=BF

在生活中应用全等三角形测距离

在生活中应用全等三角形测距离在现实生活中，有很多问题需要用全等三角形的知识来解决。下面，我们举例谈谈怎样构造全等三角形，测量两地的距离，看看在实际生活中的应用。例1：有一池塘，要测池塘两端A、B间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA，连结BC并延长到E，使CE=CB，连结DE，量出DE的长，这个长就是A、B之间的距离。（1）按题中要求画图。（2）说明DE=AB的理由，并试着把说明的过程写出来。解：（1）如图1。（2）因为在△ABC和△DEC中， CA CD ACB DCE CB CE 所以△ABC≌△DEC 所以DE=AB 例2、如图2，某同学把一块三角形的玻璃摔成了三块，现要到玻璃店去配一块大小、形状完全相同的玻璃，那么他可以（） A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①和②去。析解：怎样做一个三角形与已知三角形全等，可以依据全等三角形的判定方法进行具体分析，题目中的一块三角形的玻璃被摔成三块，其中①仅留一个角，仅凭一个角无法做出全等三角形；而②没边没角；③存在两角和夹边，

于是根据“ASA”不难做出与原三角形全等的三角形。故应选C。例3、如图3、小红和小亮两家分别位于A、B两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案。分析：本题的测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，使一个三角形在河岸的同一边，通过测量这个三角形中与AB相等的线段的长，就可求出两家的距离。方案：如图3，在点B所在的河岸上取点C，连结BC并延长到D，使CD=CB，利用测角仪器使得∠B=∠D，A、C、E三点在同一直线上。测量出DE的长，就是AB的长。因为∠B=∠D，CD=CB，∠ACB=∠ECD，所以△ACB≌△ECD 所以AB=DE。例4、如图4，点C是路段AB的中点，两人从C点同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到过D、E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E到路段AB 的距离相等吗？为什么？分析：因为两人是以相同的速度从点C同时出发，且同时到达D、E两点，所以CD=CE。要说明DA与EB是否相等，则只需说明△ADC和△BEC全等。解：D、E到路段AB的距离相等。