北邮概率论与随机过程_2010—2011学年第2_学期期末A卷

北京邮电大学2010——2011学年第2 学期

3学时《概率论与随机过程》期末考试（A ）

一． 填空题

.1 设随机事件,A B 满足()( )P AB P A B =, 且()P A p =, 则()P B = 1-p

2. 设每次实验中事件A 出现的概率为p ,在三次独立重复试验中, A 至少出现一次的概

率为

19

27

, 则p = 1/3 3. 随机变量X 服从参数为1的泊松分布(1)π,则2(())P X E X ==

112

e - 4. 设随机变量X 服从正态分布2

(10,0.02)N ，记2

2

()

u x

x du -Φ=

?

，且已知(2.5)0.9938Φ=，则((9.95,10.05))P x ∈= ０．９８７６

5. 已知随机变量X 服从均匀分布(1,6)U ，则矩阵20001010A X

??

?

=- ? ?-?

?

的特征值全为实根的概率为 ４／５

6. 已知随机变量X 的密度函数为||

1(),2

x f x e x -=

-∞<<+∞，则(01)P X <<= 11

(1)2

e -- 7. 设连续型随机变量X 的分布函数为()F x ，则0y >时，2ln(())Y F X =-的概率密度

函数()Y f y ＝ 212

y e - 8. 已知随机变量X 服从均值为１的指数分布，则min{,2}Y X =的分布函数()F y ＝

0,

0,1,02,1, 2.x

x e x x -≤??-<

9. 已知随机变量(,)X Y 服从二维正态分布22(1,2,1,2,0.5)，则21Z X Y =++的概率密

度函数()f z 2

(5)

x --

10. 设,X Y 的联合概率密度为(2)2,0,0,

(,)0,

x y e x y f x y -+?>>=??其它，, 则概率

(1,2)P X Y ><

=

14(1)e e --- 11. 设随机过程2()X t X Yt Zt =++, 其中,,X Y Z 是相互独立的随机变量, 且均值都为

零, 方差都为1, 则相关函数(,)X R s t = 22

1st s t ++

12. 设{(),0}W t t ≤<+∞是参数为2

σ的维纳过程, 则[((3)(1))((4)(1))]E W W W W --=

22σ

13. 设平稳高斯过程{().0}X t t ≥的均值为零, 相关函数为2||

1()4

X R e ττ-=

, 则对任意固定的

0t , 0()X t 的概率密度函数()f x 2

2x - 14. 设离散时间离散状态齐次马尔可夫链{}n X 的状态空间是{0,1,2},平稳分布为

111,,244π??=????

, 若000111

(0),(1),(2)244

P X P X P X ======, 则方差100()D X = 11/16

15. 设}),({+∞<<-∞t t X 为平稳随机过程，功率谱密度为2

12

)(ωω+=

X S , 则其平均

功率为 1

二. （１5分）

设某餐厅每天接待300名顾客, 并设每位顾客的销费额(元)服从均匀分布(40,100)U , 且顾 客的消费相互独立. 求:

(1) 该餐厅的日营业额的期望和方差; (2) 平均每天有多少位顾客消费额超过50元;

(3) 用中心极限定理估计该餐厅日营业额超过21750的概率. 解. (1) 设,1,2,...,300i X i =是第i 位顾客的消费额, 则由题意,

1

,40100,

()60

0,

i

x X f x ?<

X

表示该餐厅的日消费额, 则300

1

.

i

i X X ==

∑ 因为 ()70i E X =, 则

21300300(60/12)90000.DY DX =?==21000EX =

(5’) (2 ) 设Y 是消费额超过50元的顾客数. 则1(300,(50))(300,5/6)Y

B P X B >=, 所以

300(5/6)250.EY =?= (5’)

(3) 由中心极限定理得

12300(...21750)1(2.5)0.0062.

P X X X P +++>??=>

=-Φ= (5’) 三．（１5分）

设二维随机变量(,)X Y 具有概率密度

(1)

, 0,0,(,)3

x y k e

x y f x y -+?>>?=?

求(1)系数k ; (2)边缘概率密度(),()X Y f x f y ，并问,X Y 是否独立, 为什么? (3)求条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y . 解.(1) 0,0

1(,)3x Y f x y dxdy k >>=

?=??

(3’)

(2) (1)0,0,()(,)0,0,x y x X xe

dy e x f x f x y dy x +∞

-+-+∞

-∞

?=>?=

=?

?≤?

??

(1)

2

01,0,

(1)()(,)0,0,

x y Y xe dx y y f y f x y dx y +∞-++∞

-∞

?=>?+=

=?

?≤?

??

(6’)

由于(,)()()X Y f x y f x f y ≠,所以不独立.

(3) 当0x >时, (1)

|(,)(|)()x y xy Y X x

X f x y xe f y x xe f x e

-+--===, 当0y >时, (1)

2(1)|2

(,)(|)(1)1()

(1)x y x y X Y Y f x y xe f x y y xe f y y -+-+===++ (6’)

四．（１5分）

设齐次马氏链}0,{≥n X n 的状态空间为}2,1,0{=E ，一步转移概率矩阵为

1

1

0221

10221102

2P ???????

?=?????????

?

， 初始分布为0001

{0}{1}{2}3

P X P X P X ====== (1) 求124 {1,1,2}P X X X ===; (2) 求02,X X 的相关系数02X X ρ;

(3) 证明马氏链}0,{≥n X n 具有遍历性，并求其极限分布．

解 (1) 2

11

1244111(2)4241114

4

2P P ???????

?==??????????

,

124 {1,1,2}P X X X ====2

0111120

()(2)0i i P X i p p p ===∑ (5’)

(2) 2X 的分布率(2)(0)(2)(1/3,1/3,1/3)p p P ==

02,X X 的联合分布率

02021,2/3EX EX DX DX ==== 027/6EX X =

1/4ρ=

= (5’)

(3) 由P(2)知马氏链遍历,

由01210,0,1,2,i

P i ππππππ=??

++=??≥=?得平稳分布为(1/3,1/3,1/3). (5’)

五．（１0分）

设某线性系统的脉冲响应函数为22,0()0,

0t e t h t t -?≥=?

{})()(∞+-∞∈，，t t X 输入到该系统后, 输出平稳过程{})()(∞+-∞∈，，t t Y 的谱密度为

424

()1336

Y S ωωω=

++，求：(1)输入平稳过程的{})()(∞+-∞∈，，t t X 的谱密度

)(ωX S ； (2)自相关函数)(τX R ； (3)输入与输出的互谱密度)(ωXY S ．

解： 222

2,024

()(),|()|240,0t e t h t H H i t ωωωω-?≥=?==?++

(1) 22()1

(),|()|(9)

Y X S S H ωωωω=

=+ (4分)

(2) 3||1

1()(),26i X X R S e d e ωτ

ττωωπ

+∞

--∞

=

=? (3分) (3) 22

()()()(2)(9)

XY X S H S i ωωωωω==

++． (3分)