鲁棒故障诊断及容错控制方法研究--贾克明

鲁棒故障诊断及容错控制方法研究

第1章绪论

1.1 课题研究现状及意义

随着工业水平的快速提高，系统日益复杂化和大型化。这一类的系统一旦出现故障轻则导致系统无法正常运行、瘫痪，重则造成财产损失和安全事故，例如1986 年4 月26 日发生的切尔诺贝利核电站事故导致了大面积的核污染；2003 年2 月 1 日的美国哥伦比亚号航天飞机事故导致机毁人亡，7 名宇航员全部因此而丧生；2011 年 3 月日本福岛核电站事故……因此提高可靠性和安全性对一些大型的、复杂性的系统而言显得极为重要。如何提高复杂系统的可靠性和安全性成为人们关注的核心问题，容错控制为有效解决该问题提供了一条有效途径，因而得到了广泛的重视。“容错”这一概念最初出现于计算机系统，表示能够容忍故障的意思。当某个控制系统发生故障时，该系统的闭环稳定性及其他各项性能指标，如快速性，平稳性等都将会受到不同程度的影响，因此容错控制以满足系统稳定性和所要求的性能指标为指导前提，进而称满足该性能的闭环控制系统称为容错控制系统[1]。

近些年来卫星技术迅速发展，航天器的结构由简单走向复杂化，并且任务需求也开始多样化, 因此提高其稳定度和控制精度显得尤为重要。在众多的控制方法中，容错控制作为一种能够提高航天器的有效性、可维护性和可靠性的有效方法，发展为该领域的研究热点。20 世纪70 年代航天航空领域开始研究高性能航天器，容错控制作为保障航天器安全性的重要理论支撑迅速发展起来，由此各种容错控制技术如雨后春笋般开始涌现[2-4]。

人类开始太空探索之旅始于苏联的第一颗人造卫星。中国不甘其后，在航天事业上也大显作为，留下属于自己的印记。值得一提的是，早期的航天器结构和功能都相对简单，而且这些航天器的使用寿命短、控制精度比较低。随着时代的发展，技术的提高，我国的航空航天器的发展又迈上了一个台阶：目前，在航天器在轨控制与自主姿态确定方面我国的技术发展已经初具规模。以“资源一号”卫星为例，该卫星是目前国内第一颗能够真正进行自主故障诊断和重构的卫星。系统重构和故障诊断这一些智能化容错控制技哈尔滨工业大学工程硕士学位论文术在新型飞船和对地探测卫星等航天任务中已有许多成功应用实例，文献[5]指出，目前的这些航天器的轨道与姿态控制系统均具有自主定位、便于在轨维护、自主故障检测、自主系统重构等优良特性，是一系列可靠性好的高精度姿轨控制系统。

卫星作为航天器一种，种类多、用途广。卫星在太空环境中长时间在轨运行时，任务的多样化和强辐射，多干扰的运行环境极易造成卫星姿态控制系统故障，而在各种控制系统故障中，执行器失效故障占有很大一部分比例。如果卫星姿态控制系统发生故障，卫星将无法正常执行任务，甚至会出现脱轨，坠毁等一系列重大事故，以致带来某些安全隐患。由于完整性容错控制在控制系统正常工作状态和系统失效状态时都能够正常工作，而且不需要故障检测与诊断机构（FDD），具有快速性好，实时性强这些优点，因此对卫星姿态控制系统进行完整性容错控制问题研究对提高卫星的可靠性和安全性具有重大意义。值得一提的是，当卫星在常见的三正交反作用下如果处于执行机构部分失效时，在某种程度内还可以继

续控制，若其完全失效，系统将不可控而带来安全问题，因此有必要在考虑执行器失效故障时将执行机构完全失效故障考虑进去。为了使卫星能够长时间工作，并顺利完成各种航天任务，建立合适的容错机构以应对突发故障显得十分重要。

1.2 航天器的容错控制特点

相对于各种复杂设备而言，航天器元器件众多，需要多种高端技术支持，而且其造价昂贵，极小的疏忽就可能带来重大的损失。有调研报告指出有34%的故障来自于控制系统执行机构[6]，航天器作为一个明显区别与其他系统的精密复杂控制系统，其容错控制主要有以下几方面的不同：

（1）运行环境严峻

在轨运行的航天器其所受的不确定因素是多方面的，其运行环境要比地面苛刻得多，会不可避免地会受到来自太空的各种的影响, 而且还会受到电磁干扰，环境温差变化时低温、高温的影响，还可能遭到流星体撞击以及空间粒子辐射、，空中的噪声、空间环境化学污染以及来自各个星体的杂光的干扰、振动等其它方面的影响也不可忽略，这些因素将导致航天器上的元器件极容易受到影响和出现故障，因此设计过程中不可当成一般地面状况对待，在仿真试验中要将这些环境因素纳入在内。

（2）故障后果严重

众所周知，任何一个系统出现故障的情景都是人们所不愿意见到的，航天器作为复杂大系统的一种，对系统及元件的精密度和可靠度要求极高。在高精度航天器的研制和发射过程中，需要巨大的人力、物力和财力支持，而且耗时长久，任何一个微小元件的故障都不能容忍其出现，否则会造任务失败，甚至出现坠毁和人员伤亡，带来巨大的经济损失这些故障所带来的后果都是人们难以承受的。以“哥伦比亚号”和“挑战者号”失事事故为例，两次失事均造成了宇航员全部罹难, 过亿元财产顷刻化为乌有，给人们造成沉重的心里阴霾。这些故障的发生都给了我们深刻的教训：航天器的任何故障都不容忽视，否则后患严重。

（3）可维护性差

区别于地面上的大型控制系统，航天器的人为控制力有限，具有升空过程速度极快、运行过程中可监控性较差这一特点。这些加剧了人们对其展开观测的难度。另外航天器不同于在地面上工作的其他系统，不方便人工对其进行维护及检修，一旦失去控制，在短时间内便有可能带来严重后果，例如爆炸。而且即便能够在轨或带回地面修理，但昂贵的修理费用令人忘而却步，甚至有些无法带回成为太空垃圾，对其他的飞行器造成干扰，甚至影响

到其他飞行器的飞行安全问题。

（4）星载条件有限

作为一种人为控制能力有限的航天器，考虑到星上的能源的储量、元器件配置都是有限的，因此进行容错控制设计时需要将这些限制因素考虑在内，因此其容错方法越简单有效越好，要尽量避免复杂的容错算法以免降低软件可靠性。所以在容错算法上要尽量的从工程适用、简洁的角度出发，另外在控制效果上以快速性和准确性最为重要，以此来提高能源利用率，避免过多消费能源和燃

料，在这方面的设计上可以对能量和时间进行优化以达到目的。

1.3 容错控制及其相关理论的发展概况

1.3.1 容错控制的发展

容错技术作为一门顺应时代需求而发展起来的新兴学科，它以实用要求为前提，在解决实际系统的可靠性与安全性上起到了极大地帮助作用，它将理论的发展与实践系统中的需求相结合，提出了许多建设性的研究的成果。尤其是最近几年，随着信息技术飞速地发展，除了航天器以外，许多复杂过程都需要用到庞大的计算机系统来进行数据处理，这对计算机的运算量及工作量明显要求增高，除此之外，系统还需要具备各种故障应付能力，因此系统的可靠性和安全性作为一个致关重要的问题亟待解决[7]。

图1-1 容错控制发展历程

1971 年，完整性的概念被提出，1980 年可靠镇定的文章[8]开始出现，直到1986 年9 月，容错控制这一概念才在控制界的会议报告中被正式提出来。总的来看，可以将容错控制技术的发展历程大致上分成四个阶段，见图1-1。1.3.2 容错控制的分类

容错控制的分类方法有多种，见图1-2。

图1-2

目前广泛采用的是按设计原理的不同，即按是否具有故障检测与诊断机构或故障的先验知识来进行区分的被动及主动两大类容错控制方法。

1.3.

2.1 主动容错控制分类

控制系统在发生故障后，需要要在整个系统闭环稳定的条件下，按照所期望的动态特性以及其他性能要求对控制系统进行重新设计。当然，与原控制系统相比，重新设计的控制系统在性能方面在一定程度上会有所降低。就目前来看，主动容错控制方法主要分为以下几类。

（1）重组容错控制方法

这种容错控制方法的思想主要体现在调整控制器的参数上，在文献[9]中，作者将重组技术应用在防空自动化系统中，并对几种主要重组方式和具体实现做了介绍。重组可以分为“离线重组”和“在线重组”这两种方式。

（2）重构容错控制方法

该方法与重组的不同支出在于它不仅调整控制系统参数，同时还对系统的结构进行调整，使之以最佳状态来适应当前系统的工作状况。重构容错控制方法主要有模型跟随重构方法、伪逆建模重构法和反馈线性化重构法。模型跟随重构方法的思想是是故障系统在某种程度上尽量的与原系统相接近。伪逆建模重构法是通过修改或调节系统中的常数反馈增益量让重构系统在要求的性能方面（比如

渐近跟踪误差、动态响应等）与原系统相接近。反馈线性化容错控制方法可以用来对非线性动态特性的影响进行补偿，该法以递推最小二乘估计方法来对离散时间形式的状态参数进行估计，并所得的估计结果对控制器的参数进行更新。

（3）控制律再调度方法

该方法是主动容错控制中原理最简单方法，它直接利用计算机中存储的控制增益对系统的控制律增益进行调度。目前，该容错控制方法在化学过程控制、航天、航空控制等方面已有许多应用实例。

（4）鲁棒容错控制方法

图1-3 鲁棒容错控制系统

该方法建立在鲁棒控制器基础之上，要求容错控制器对对象特性的变化满足一定的鲁棒性，另外作为主动容错控制方法的一种，系统还必须充分利用到FDD 所获得的一系列信息。包含了模型不确定性的鲁棒容错控制系统的结构框图如图1-3 所示。

（5）人工智能容错控制方法

目前许多学者将人工智能方法用到容错控制上，该类容错控制方法主要有以下两大类。

1)神经网络的主动容错控制

由于基于神经网络的控制器在结构上具有功能冗余特性，因此人们将其用在了容错这一挑战性课题上。基于该方法的容错控制方法目前已取得一些成果[10-14]，但考虑到稳定这一关键指标下，该理论自身还不具备完善条件(如稳定性分析困难、影响无法明确获得、鲁棒性能较差等)；而且系统要的对突发故障具有快速响应能力，以确保系统的安全性，神经网络容错控制在实时响应速度上难以满足需求；另外该容错控制器在离线训练后对事先设定

故障有效，处理突发故障能力不够，这些方面的缺点导致了神经网络容错方法在航天器中应用受阻。

2)专家系统的主动容错控制

图1-4 基于专家系统的容错系统

基于专家系统的容错控制系统设计主要包含了故障的减弱、抑制和完全消除以及其它故障补偿规则等方法。该方法主要借助容错控制推理器来实现对故障的处理，该控制器能够通过判断故障特征和故障源来选取合适的控制措施，在尽量满足性能指标的前提下，完成系统所规定的任务，并且在一定程度上具有智能特性。其容错原理如图1-4 所示。

1.3.

2.2 被动容错控制分类

被动容错设计作为容错控制领域中的热点所在，有以下几个优点：

（1）具有对故障处理实时性强、快速性好等优点，和主动容错控制相比，它不存在因FDI 或FDD 中延时而导致的控制品质降低问题。

（2）控制器结构是形式固定的，不需要重构或重组，不但在所有控制元器件正常工作时而且在传感器、执行器或其余元器件失效时都能够保障稳定性条件并尽量使性能品质优良。

（3）具有鲁棒性，能够消除闭环系统对设定故障的敏感作用，将故障和模型不确定性一样对待，以此保证容错控制器对设定故障的“鲁棒性”和闭环系统的稳定性。在鲁棒控制的理论的支撑下，被动容错控制系统设计取得了大量理论成就，例如基于空间参数法[2]、解Riccati 方程或Lyapunov 方程[15]、基于LMI

或2H [17-21]以及互质分解[22]等方法设计的具有容错性能的鲁法[16]、基于H

棒控制器。

被动容错控制的主要类型：

（1）完整性

如果在出现传感器或执行器故障(尤其指断路故障)，或者两者同时发生故障时，闭环系统仍然能够持续稳定，则称此闭环系统满足完整性条件，对应的控制器称为完整性控制器，主要用于处理传感机构和执行机构故障问题。

（2）可靠镇定

该方法的指导思想是利用多个的补偿器同时的镇定控制同一个被控对象。因此当任意一个甚至多个控制器出现故障时(断路)，闭环控制系统仍然能够在其余正常工作的补偿器的控制作用下保持闭环稳定，称这样的系统为可靠镇定系统，其对应的控制器为可靠镇定控制器。这是专门针对控制器失效故障而设计的容错控制。

（3）联立镇定

不妨设有N 个被控对象G1，G2，...，G N寻找某个定常控制器，使其作用下的任意一个上述被控对象,G i( i=1,2, , N)都能稳定，称这样的系统满足联立镇定条件，其对应的控制器为联立镇定控制器。这种容错控制器主要针对被控对象出现故障的情况。

从总体上来看，被动容错中使用具有固定形式的控制器来适应故障状况，以此确保故障状态下闭环系统的稳定性，这种方法通常会降低其他的一些性能。而主动容错控制方法大多数情况下要解决故障的“诊断”与“容错”两个方面的问题，会带来时延方面的问题。但故障诊断能够获得故障的详细信息，能够处理的故障类型更加全面。从当前的发展情况来看，两者之间的相辅相成，共同促进和发展。

1.3.3 容错控制面对的挑战

虽然目前的容错理论产生的成果众多，但是，容错控制还面临着以下方面的问题。

①自适应在容错控制中的研究还亟待加深。考虑到其本身在本质上属于非线性范畴，并且包含了FDI、参数辨识和重构方面的问题，加大了该方向的容错控制的研究难度。就目前研究状况来看该技术基本上发展到仿真级和实验级的水平，以理论应用为主。

②针对时滞、时变、高维的多变量控制系统尚无完善的容错控制方法。当前的容错控制方法对这几方面的控制能力还十分有限，对时滞系统的容错控制主要以数值算法和完整性设计居多。

③非线性系统方面的容错控制理论尚不成熟。非线性容错制由于非线性系统理论的制约，成果十分有限，没有成型的控制方法来处理非线性系统，因此其容错问题也尚未解决完全，目前主要采取线性化方法和其他智能控制方法对其处理后再进行容错控制设计。

总的来看，在目前关于容错控制的理论和方法仍在不断的摸索和发展之中，许多新的容错理念、方法及理论仍旧不断被提出。值的强调的是，虽然人们对于许多系统（线性、非线性、连续、离散等）的容错控制问题进行了深入研究，但仍旧存在一系列问题亟待更深的探索。关于非线性系统方面的容错控制问题还存在着很大的发展空间。

1.4 主要研究内容

本课题以零动量三轴稳定小卫星为研究对象，采用了三正交+斜装结构形式的反作用飞轮作为执行机构，通过对反作用飞轮的转速进行调控，达到与星体间进行角动量交换的目的，从而实现卫星的转角控制。考虑到在实际的控制系统中，由于环境变化、建模误差和元器件老化等一系列因素产生的影响，导致控制系统中的不确定性是无法通过任何手段能够避免的。因此，本文在考虑了卫星姿态控制系统具有参数不确定性的情况下，针对所考虑的故障模型，对卫星姿态控制系

统中出现的执行器故障进行了合理的容错控制设计，并对其所适用的故障情况进行了深入研究。

第二章、故障模型及自适应基本理论

2.1故障描述

考虑线性定常控制系统

x{t) = Ax{t) + Bu{t)

y{t) = Cx{t)

式中,为状态矢量;u{t) = [u1 u2..u.m ]T R m为控制矢量,在系统运行过程中可能发

生故障; y{t)R p为输出矢量;A,B,C为相应维数的常数矩阵。

不失一般性,考虑最多m-1个执行器故障,即在系统m个运行的执行器中,任

意m-l个执行器都有可能发生故障,而且无法得到故障的任何先验知识。我们仅考虑一个传感器或执行器故障的情况。常见的传感器或执行器故障行为有卡死、增益变化、恒偏差三种,下面分别描述其故障发生时的模型。

2.1.1故障描述

虽然我们所要设计的自适应执行器故障补偿控制器无需任何有关系统参数以及故障的信息，但首先要对系统进行模型匹配控制设计，所以这里给出了相应的执行器故障模型。

在本论文中，我们考虑执行器的故障包括执行器卡死和执行器恒增益变化。

(1)执行器卡死

第i个执行器卡死的故障模型可以描述为

u i(t)=u si

式中，u si为常数;i=1,2,...m。一般在实际的系统中，执行器的输出存在限制范围，

即

u i≤u i(t)≤u i

故有

u i≤u si≤u i

如果u si=u i或者u si=u i，我们称之为执行器开路失效。

(2)执行器恒增益变化

第i个执行器恒增益变化的故障模型可以描述为

u i(t)=ρ(t)v(t)

式中，v(t)表示控制器给出的执行器的输入，u(t)表示执行器的输出，ρ(t)为恒增益变化的比例系数。当ρ(t)=0时，相当于第i个执行器完全失效，即执行器卡

死

模型中的us i= 0;当ρ(t)=1时，第i个执行器正常工作。

(3)执行器恒偏差失效

第i个执行器恒偏差失效的模式可描述为

u i(t)=v(t)+?i

式中，?i为常数。

(4)系统状态故障模型

当第i个状态故障时，对于系统式(2.1)，可以用状态方程增加一项来表示该故障，即

x(t)=A[x(t)+?x i(t)I i]+Bu(t)

=Ax(t)+Bu(t)+AI i?x i(t)

式中，I i =[0...1...0]，?x i(t)表示该故障的函数，对于不同类型的故障，煞(t)将

以不同的函数形式给出。显然，第i个状态故障的模型与第i个执行器故障的模型相似。

2.1.2执行器故障建模

我们可以把上述执行器故障模型归结为以下模型

u F i(t)=ρi(t)v i(t)+σi u si，i=1,2,...,m

式中ρ

i (t)表示未知的时变恒增益变化的比例系数,假设ρ

i

和ρ

i

是已知的,分别

代表ρ

i

(t)的上界和下界,即0<ρi≤ρi(t)≤ρiσi表示一个未知常数,定义如下:

因此,对于执行器故障的模型可用下表来描述

上述模型也可以表―呆另

[]

u )()(,...,,)(21i T F m F F

F t u t t u u u u σρ+== 式中

其中,

，i=1，2，3，...，m 基于以上模型的执行器故障我们也可以用以下方式描述。

设集合

对于所有可能的执行器故障可以一致表示为

u F

(t)=ρ(t)u(t)+σu s

其中ρ(t)=Δ考虑执行器扰动的情况

u F (t)=ρ(t)u(t)+σu s +ζ

其中,ζ=[ζ1,...,ζm]i= l,2,...,m,ζ(t)为第i 个执行器的扰动。 2.2 Hinf 理论

2.2.1 线性矩阵不等式 LMI

一个 LMI 即是具有

F （x ）= F 0+ x 1F 1+ ...+ x m F m < 0 （2-1） 形式的表达式。

式中 F ( x )——F i = F T i ∈R m*n ，为给定的一组对称矩阵；

x i (i= 0，1，...m)——待确定量，LMI 里的决策变量；

x ——即 [ x 1...x m ]T ，决策向量。

大多数LMI 中的待求变量极少具有（2-1）这种简单的形式，往往都是

具有矩阵的形式，例如不等式（2-2）

A T X + XA + Q<0 (2-2)

其中矩阵 A和Q均已知且为常数，并且Q还满足Q = Q T， X 为待求的矩阵变

量。

一般来讲，标准 LMI 求解问题分成三类

（1）可行性问题 ( LMIP)

F ( x ) < 0 (2-3)

对于式(2-3)描述的 LMI，希望能够找到一个x ∈ R n，使 F ( x ) < 0的问

题成立，即 LMI 系统有可行解，这即是 LMI 中的可行性问题。如果有满足（2-3）的 x 存在，则称此 LMI 可行。这个问题的求解命令为 feasp。

（2）特征值问题/线性目标最小化问题 ( EVP)

在处于某个LMI约束条件下， A(x)的 EVP 问题可描述为

minλ

s.t.A(x)<λI (2-4)

H (x)<0

值的指出的是该问题 LMI 无法求解，需要对其通过相应转化变成如下的等

价问题

Min C T x

s.t.F(x)<0 (2-5)

才能求解，(2-5)是LMI工具进行 EVP 问题求解的标准形式。求解此类问题

的命令为 mincx

（3）广义特征值问题 (GEVP)

设 A (x)和 B (x)均是 x的仿射函数，某个 LMI 的约束条件下，对 A (x)和 B(x)的最大广义特征值进行最小化的求解问题可描述为

minλ

s.t.C (x)

A(x)<λB(x)

此问题相应的求解命令是 gevp。

对于一个 LMI 而言，包含多个变量的情况时常可见。为了使其求解问题更加方便、容易，有时候需要将一个 LMI 通过等价变换的数学手段化成一个或多

个只包含较小变量的不等式，为本小节此给出了一些关于处理LMI 时常用到的结论。

引理 5.1 Z 为对称阵且满足Z = Z T ，且能表示成 3 行 3 列形式的分块阵，如若存在对称阵X = X T 使线性矩阵不等式

0332313232221131211

Z Z T T T T (5-7)

成立，当且仅当不等式组

此时满足(5-7)的一个解为 X=Z T

13 Z 11-1 Z 12 -Z 23 (5-9)

引理 5.2 对于给定的矩阵 P 、Q 、H （其中H = H T 为对称阵），N P 和N O 表示核

空间ker(P)和ker(Q)中的任意一组基所构成的矩阵，如若存在某个矩阵 X 满足不等式

H+P T X T Q+Q T XP<0 (5-10) 成立，当且仅当

N T

P HN P <0 ，N Q T HN Q <0 (5-11)

引理 5.3（Schur 补引理）考虑具有对称形式的分块阵S=S T ∈R （n+m ）*(n+m) 可以表示成

的形式，其中S 11 ∈R （n+m ） S 12∈R （n+m ）S 13∈R （n+m ）

以下的三种描述是等价的

（1） S < 0；

（2）

(3)

Schur 补引理常用来将鲁棒控制问题中的非线性矩阵不等式通过等价转 化变成线性的，给问题的求解带来了极大的方便。

5.2.2 H ∞控制问题

H ∞控制思想于 1981 年，由 Zames 首先提出。经过 20 多年的发展历程，H ∞控制取得一系列理论成就 ，并形成一个比较完整的体系，在鲁棒控制中的影响地位很高。其发展大致分为四阶段，如图 5-1。

控制的发展

∞

控制问题进行介绍：考虑广义控制系统（图 5-2）

下面将简略的对H

∞

G ( s )表示某个时不变线性系统的广义被控对象，包括标称对象和描述

性能指标的加权函数、评价量等，其状态空间模型为

x=Ax+B1w+B2u

z=C1x+D11w+D12u (5-13)

y=C2x+D21w+D22u

其中 x——状态向量；

w ——外部输入信号，包含噪声、干扰和参考输入等；

y ——量测输出信号；

z——评价输出向量；

K ( s )——所设计的控制器。

u——执行器的指令向量

A B1 B2 C1 C2 D11 D12 D21 D22——与各向量相对应的矩阵。

式（5-8）还可以表示为

因此从干扰 w到评价输出 z 的闭环传函为

范数为

若定义闭环传函Tzw(s )的 H

∞

||T||

=sup|T (jω)| (5-15)

∞

的最优控制问题）对广义被控对象 G(s)，求取反馈控制器

定义 5.1 （ H

∞

K ( s )，若满足系统内部是稳定的且||Tzw(s)||

最小，即使

∞

=γ0 (5-16)

min ||Tzw(s)||

∞

式中γ

为一常数。

的次优控制问题）对广义被控对象 G(s)和常数γ 1 ,γ 1 定义 5.2 （ H

∞

≥γ0，求取反馈控制器 K ( s )，若满足系统内部是稳定的且||Tzw(s)||

满

∞

足条件

<γ1(5-17) ||Tzw(s)||

∞

定义 5.3 （ H

的标准控制问题）对广义被控对象G(s)，求取反馈控制器

∞

满足条件

K(s)，若满足系统内部是稳定的且||Tzw(s)||

∞

<1(5-18) ||Tzw(s)||

∞

引理 5.4 （有界实引理）考虑由式(5-19)描述的时不变的线性连续系统状态

方程

x(t)=Ax(t)+Bw(t)

z(t)=Cx(t)+Dw(t) (5-19) 式中各向量 x 、w 、z 及矩阵 A 、 B 、 C 、 D 的定义与前面的一样。对于（5-19）描述的系统，不妨设γ为一给定常数且满足γ> 0，并且

( A，B，C，D)是系统 G(s)的最小实现。则 ||G ||<γ

，且闭环系统稳定（即

A为稳定阵）的充分必要条件是：存在某个正定对称阵 P > 0，满足以下矩阵不等式

(5-20)