数学人教版八年级上册分式方程解法
15.3.1分式方程教学设计
单位:昌都市卡若区第二初级中学【教材分析】
本节课学生已掌握简单的整式方程的解法(一元一次方程及二元一次方程组),学习过分式的四则运算。这节课是分式方程的起始课,要求能从实际的生活情境中抽象出分式方程的概念,主要研究分式方程及其解法,分式方程与整式方程在概念上是不同的,但他们在解法上却有着一定的联系和区别,即分式方程最终要转化为整式方程来解,但最后要验根这是学生最容易忘记的,所以教学中要强调。讲解分式方程的解法时,鼓励学生从多角度思考问题,解释所获得结果的合理性。本节课的学习将为学生进一步学习数学打下坚实的基础【教学目标】
【知识技能】:
1.理解分式方程的意义
2.了解解分式方程的基本思路和解法
3.理解解分式方程时,可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根方法
【过程与方法】:
经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题,解决问题的能力,渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识。
【情感态度与价值观】:
在活动中培养学生乐于探究合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值。让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学,同时培养学生注重观察,勇于探索的创新能力。【教学重点和难点】
教学重点:解分式方程的基本思路和解法
教学难点:理解解分式方程时可能无解的原因
【学习者特征分析】
初中生年龄小,注意力不太集中,一些学生基础较差,这就要求初中数学教学,要千方百计激发学生学习好奇心和求知欲,变被动学习为主动学习,让学生在愉悦的氛围中体会学习的乐趣,感受数学来源于生活又应用于生活,从而提高教学的效率。
【教学方法】:本节应突出类比一元一次方程,通过自主探究,合作交流,教师引导的方式,鼓励学生从多角度思考问题建立分式方程的模型和解分式方程。
【教学过程】
(一)回顾旧知
师生在和谐的气氛之下共同回忆以下内容:
(1)大家还记得我们以前学过什么方程吗?
(2)你会解一元一次方程吗?
例如:3x+7=2 0.5x-0.7=6.5-1.3x
(3)解二元一次方程组的主要思想是什么?
设计意图:通过以上三个问题让学生投入到方程的世界,也为学生能够自己通过知识的迁移突破本节课的重点做一个铺垫.
(二)创设情景,引入新课
[活动1](情景图片)
问题:一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?
【教师提出问题,学生分组探究】:
1.这个问题中给出了哪些信息,等量关系是什么?
2.设江水的流速为V千米/时
轮船顺流航行速度为______千米/时,逆流航行速度为______千米/时,顺流航行100千米所用时间为______小时,逆流航行60千米所用时间为______小时,列方程_____
【师生行为】:教师提出问题,学生思考回答,在活动中教师关注:
(1)学生能否将实际问题转化为数学问题
(2)不同层次学生对实际问题抽象出数学模型的掌握情况
【设计意图】通过实际中的行程问题,引导学生从分析入手,列出含未知数的式子表示有关量,并列出方程,引发学生学习兴趣,提出问题引发思考,为探索分式方程及分式方程的解法作准备,自然引出学习课题。
(三)引导自学、合作探究
[活动2]
1.问题:
(1)方程 与以前所学的整式方程有何不同? (2)满足什么特点的方程叫分式方程?
板书:像这样分母中含有未知数的方程,叫做分式方程。
师生共同归纳:确定是不是分式方程,主要是看是否符合分式方程的概念,方程的分母中含有未知数,像这样的方程才属于分式方程。
2.练习 下列方程中,哪些是分式方程,哪些不
是分式方程?
(2)x + =1(3) x-131x 13x+2(4)
+ =0(5)
=2(6)=3 (x+1) 3x 42x+131y x+112
(1)2x-=6-4=0
【设计意图:通过让学生自己举例及判断哪些方程是分式方程,及时100 20+V = 60 20-V
归纳总结,巩固所学知识】 既然我们已经清楚了什么样的方程是分式方程,那么分式方程你会解吗?让我们来看这样一题:
如何解分式方程呢?例如:
【教师提出问题】:
1.这样的方程你以前解过吗?
2. 你以前解过什么方程?
3.那你能不能把这个方程转化为你会解的方程即整式方程呢?
4. 怎么转化呢?
5.你能结合上述探究活动归纳出解分式方程的基本思路和做法吗?
【师生行为】:教师提出问题,学生思考,讨论后在全班交流探究结果。
教师在活动中关注:
(1) 学生能否观察出分式方程与整式方程的区别
(2) 学生是否有利用“转化思想”解决问题的意识
(3) 学生是否在参与合作交流的活动中获取知识,学生是否从多角度来研究分式方程的解法。
【设计意图】:主要让学生运用“转化思想”探讨解分式方程的方法,
鼓励学生从多角度思考问题,解释所获得结果的合理性,
培养学生的发散思维。
(四)应用迁移,巩固提高
100 20+V = 60 20-V
[活动3]
问题:(1)解分式方程:
(2) 上面两个方程中,为什么
去分母后所得整式方程的解是它的解,而
去分母所得整式方程的解却不是它的解呢?
(3)探究:
分式方程无解的原因是什么?
(分式方程去分母后的整式方程的解代入原分式方程分母中,分母为0无意义,所以分式方程无解)
(4)探究:
如何检验分式方程的解?
1.直接代入原方程(计算量大,很少用)
2.间接代入最简公分母(常用检验方法)
【设计意图】:主要让学生通过自己探索实践,找出分式方程无解的原因及验根的必要性.学生在教学活动中通过积极参与和有效参与,来达到知识与能力、过程和方法、情感态度与价值观的全面落实。
(五)典例讲解与课堂跟踪反馈
1 x-5 = 10
X 2-25
100 20+V = 60 20-V
1 x-5 = 10 X 2-25
1、课本例1、例2
探究:解分式方程有哪些误区警示?
失误一:解分式方程忘记检验
失误二:去分母时忘记加括号
失误三:去分母时漏乘不含分母的项
失误四:分母中有多项式忘记因式分解,后再找最简公分
(六)总结反思,拓展升华
探究:
解分式方程基本思路是什么?有哪些步骤?每一步的目的是什么?
解分式方程的基本思路是:分式方程通过去分母转化成整式方程。步骤:
步骤目的
1.去分母(关键找最简公分母)将分式方程转化为整式方程
2.解这个整式方程得到整式方程的解
3.检验(代入最简公分母看是否为
舍去增根
0,为0增根)
4.写出最终结果得到原方程的解
口诀:一化二解三检验
【设计意图】:通过探究,引发学生的思考,让学生在自主探究合作交流中归纳总结解分式方程的基本思路和步骤,在合作交流中获得成功的快乐
【师生行为】:教师提出问题,学生讨论探究,师生共同总结规律学生先独立解决问题,然后提出自己的看法在分组讨论,鼓励学生勇于
探索实践
教师关注:
(1)学生是否会用“去分母”办法解简单分式方程
(2)学生能否解释分式方程无解的原因
(3)学生理解验根的必要性
(4)学生是否与他人交流合作
(七)小结
[活动4]:学习小结
(1)在探索中遇到挫折,你是怎么办的?
(2)对自己在本节课的学习情况进行反思总结.
(3)本节课你和同伴一起提出什么问题?有什么收获?
【师生行为】:学生对本课学习进行反思总结在全班交流
【设计意图】:让不同层次同学发表意见培养学生语言表达和总结知识能力
(八)布置作业
1. 把本节课的内容用思维导图进行复习归纳
2.预习下一节分式方程的应用
3.教科书32页1、(1)(2)(3)(4),2
(九)板书设计
(十)教学反思
八年级上册数学-分式的概念
1.1 分式 1.1.1分式的概念 (第1课时) 教学目标 1 了解分式的概念。 2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。 教学重点、难点: 重点:分式的概念和性质难点:理解分式的性质。 教学过程 一创设情境,导入新课 探究: 1把三个一样的苹果分给4位小朋友,每位小朋友分到多少苹果?你怎么分给他们?(交流讨论) (1)每位小朋友分3 4 (2)分法: ①每个苹果切成四个相等的小块,共12块,每人分3块,这3块占一个苹果的3 4 ②为了每个小朋友吃起来方便,每个苹果切成8块,共24块,每人分6块,这 六块占一个苹果的6 8 。 想想这两种分法分得的是否一样多?(36 = 48 ,即: 3326 == 4428 ? ? )由此表明了什 么? 分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数,分数的值不变。 分数的分子与分母约去共因数,分数的值不变。 这就是分数的基本性质。 2 (1)把上面问题变为:把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友,每位小朋友分到多少苹果? 用除法表示:3n ÷,用分数表示为:3 n , 3 3n n ÷、相等吗?( 3 3= n n ÷)这里的n
可以是实数吗?(n不能为0) (2) 33 4n 与有什么区别?(后者分母含有字母)我们把前者叫分数,后者叫分 式,什么叫分式呢?分式有没有和分数一样的性质? 这节课我们来学习-----分式的基本性质。(板书课题) 二合作交流,探究新知 1 分式的概念填空: (1 )如果小王用a元人民币买了b袋相同的瓜子,那么每袋瓜子的价格是______元。 (2)一个梯形木板的面积是6 2 m,如果梯形上底是am,下底是bm,那么这个梯形的高是________m. (3) 两块面积分别为a亩,b亩的稻田m kg,n kg,这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式: 12 a m n b a b a b + ++ 、、这些代数式有什么共同点特点?(分子分母都是整 式,分母含有字母) 一般地,如果f、g分别表示两个整式,并且g中含有字母,那么代数式f g 叫分 式。 说明:分式的分子分母一般是多项式,单项式可以看成是只有一项的多项式。分母一定含有字母。 2 分式的基本性质 思考:33a 44a 与分式相等吗? 2 2 a b a ab b 分式与分式相等吗? 如果a≠0, 那么33a = 44a ,只要 2 2 a b a ab b 与都意义,那么 2 2 = a b a ab b 。 你认为分式和分数具有相同的性质吗? 分式的分子和分母都乘以或除以一个不等非零多项式,分式值不变。分式的分子与分母约去共因式,分式的值不变。 用式子表示为:设h≠0,则f f h g g h ?= ?
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15 . 1分式 第 1 课时从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课一课一名师( 设计者:) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h,它沿江以最大船速顺流航行100 km所用时间, 与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ● 自主学习指向目标 1.自学教材第 127 至 128 页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一分式的概念 S V10060 活动一:阅读教材思考问题:式子a ,S以及式 子20+ v 和 20- v 有什么共同特点?它们与 分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果 A,B 表示两个 ________( 整式 ) ,并且 B 中含有 ________( 字母 ) ,那么式A 子B叫做分式.
小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别?
反思小结: 判断一个式子是否为分式,可根据:①具有分数的形式;②分子、分母都是整式;③分母中含有字母,分式与整式的区别在于:分式的分母中含有字母,而整式的分母中不含字母. 针对训练: 见《学生用书》相应部分 探究点二 分式有意义的条件 活动二: (1) 当 x ≠0时,分式 2 有意义; 3x (2) 当 x ≠1时,分式 x 有意义;x - 1 5 1 (3) 当 b ≠3时,分式 5- 3b 有意义; x + y (4)x , y 满足 __x ≠y __时,分式 x - y 有意义. 展示点评: 教师示范解答的一般步骤,强调分母不为零. 小组讨论: 归纳分式有意义的条件. 反思小结: 对于任何分式,分母均不能为零,即当分母不为零时,分式有意义;反之,分母为零时,分式无意义. 针对训练: 见《学生用书》相应部分 四、总结梳理,内化目标 1.知识小结—— (1) 学习了分式, 知道了分式与分数的区别. (2) 知道了分式有意义和值 为零的条件. 2.思想方法小结——类比、转化等数学思想. 五、达标检测,反思目标 2 x + y 1 x 1.下列各式① x ,② 5 ,③ 2- a ,④ π- 1中,是分式的有 ( C ) A .①② B .③④ C .①③ D .①②③④ 2.当 x 为任意实数时,下列分式中,一定有意义的是( C ) x - 1 x + 1 x - 1 x - 1 A. x 2 B. x 2- 1 C. x 2+1 D. x + 2 3.某食堂有煤 m t ,原计划每天烧煤 a t ,现每天节约用煤 b(b 八年级上册分式方程应用题分类讲解与训练 一、【行程中的应用性问题】 例1 甲、乙两个车站相距96千米,快车和慢车同时从甲站开出,1小时后快车在慢车前12千米,快车比慢车早40分钟到达乙站,快车和慢车的速度各是多少? 分析: 等量关系:慢车用时=快车用时+ (小时) 例2 甲、乙两地相距828km ,一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地,直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍.直达快车比普通快车晚出发2h ,比普通快车早4h 到达乙地,求两车的平均速度. 分析:这是一道实际生活中的行程应用题,基本量是路程、速度和时间,基本关系是路程= 速度×时间,应根据题意,找出追击问题总的等量关系,即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等. 解:设普通快车车的平均速度为x km /h ,则直达快车的平均速度为1.5x km /h ,依题意,得 x x 6828-=x 5.1828 ,解得46x =, 经检验,46x =是方程的根,且符合题意. ∴46x =,1.569x =, 即普通快车车的平均速度为46km /h ,直达快车的平均速度为69km /h . 评析:列分式方程与列整式方程一样,注意找出应用题中数量间的相等关系,设好未知数,列出方程.不同之处是:所列方程是分式方程,最后进行检验,既要检验其是否为所列方程的解,要要检验是否符合题意,即满足实际意义. 例3 A 、B 两地相距87千米,甲骑自行车从A 地出发向B 地驶去,经过30分钟后,乙骑自行车由B 地出发,用每小时比甲快4千米的速度向A 地驶来,两人在距离B 地45千米C 处相遇,求甲乙的速度。 分析: 等量关系:甲用时间=乙用时间+ (小时) 例4 一队学生去校外参观.他们出发30分钟时,学校要把一个紧急通知传给带队老师,派一名学生骑车从学校出发,按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍行进速度的2倍,这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米,问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间? 解: 设步行速度为x 千米/时,骑车速度为2x 千米/时,依题意,得: 603060 分式 一 下列各有理式中,哪些是整式,哪些是分式。 1x , 2x π, 23a b , 20.5xy y +, b c a +, 32y -+, 5x z y -, 18- 二 x 等于什么数时,分式的值为零。 (1) 3289x x -+ (2) 26412x x x -+- (3) 33x x -+ 三 当x 满足什么条件时,分式 211x x +-满足 (1)分式的值为零 (2)分式没有意义 (3)分式的值是1 四 不改变分式的值,把下列各式分子和分母中各项的系数都化为整数,并且使各项系数 最小。 (1)11231134 a b a b +- (2) 0.3 1.20.051 x x +- (3)22230.41010.64x y x y + - 五 不改变分式的值,使下列各式的分子与分母的最高次项的系数为正数。 (1)2 2311a a a a --+- (2)211x x -- (3)3 211 a a a ---+ 六 约分 (1)322222x x y x y xy -- (2)()()()()32 247474x y a b x y a b -+-+ (3)33222 y y y y y +-+- 分式的计算 一 先化简再求值 (1)2 232712 x x x x +--+ 其中13x =- (2)22 26362x xy y x x y xy ----+ 其中9x =-, 13y =- (3)22222222a b c bc c a b ab --+--+ 其中3a =, 7b =,2c =- 二 计算 (1)232231049x y a b ab xy ? (2)22346b a a b -? (3)322243x z xz y y ÷- (4)3 4224189xy x y x y ÷- (5)22212221 a a a a a a -+-+?+- (6)222233a b a a b a b a b ++÷-- (7)()22 22 4442x xy y x y x y -+-÷- (8)23222222x y x x x y x xy y x y x xy y -+÷?++--+ 2.5.1可化为一元一次方程的分式方程 一 教学目标: (一) 知识教育点 1. 理解分式方程的意义,掌握分式方程的一般解法. 2. 了解解分式方程时可能产生增根的原因,并掌握验根的方法. (二) 能力训练点 1. 培养学生的分析能力. 2. 训练学生的运算技巧,提高解题能力. (三) 德育渗透点 转化的数学思想. (四) 美育渗透点. 通过本节的学习,进一步渗透化归的数学美. 二 学法引导: 1. 教学方法: 演示法和同学练习相结合,以练习为主. 2. 学生学法:选择一个较简单的题目入手,总结归纳出解分式方程的一般步骤.. 三 重点 难点 疑点及解决办法: (一) 重点 分式方程的解法及把分式方程化为整式方程求解的转化思想的渗透. (二) 难点 了解产生增根的原因,掌握验根的方法. (三) 疑点 分式方程产生增根的原因. (四) 解决办法 注重渗透转化的思想,同时要适当复习一元一次方程的解法. 四 课时安排: 一课时 五 教具准备: 投影仪 六 教学过程: (一) 课堂引入 1.回忆一元一次方程的解法,并且解方程16 3242=--+x x 2.提出P53的问题 李老师的家离学校3千米,某一天早晨7点30分,她离开家骑自行车去学校.开始以每分钟150米的速度匀速行驶了6分钟,遇到交通堵塞,耽搁了4分钟;然后她以每分钟v 米的速度匀速行驶到学校.设她从家到学校总共花的时间为t 分钟. 问: (1) 写出t 的表达式; (2) 如果李老师想在7点50分到达学校,v 应等于多少? 分析:① 李老师在遇到交通堵塞时,已经走了多少米?还剩下多少米? ② 剩下的这一段路需要多少分钟? ③ 如果李老师想在7点50分到达学校,那么她从家到学校总共花的时间t 等于多少? 由此可以得出: 第八讲 分式方程 考点综述: 中考对于分式方程的主要要求包括分式方程的概念以及解法,会检验分式方程的根,分式方程的应用也是中考考查的重点和热点。 典型例题: 例1:解方程: (1)(2007连云港) 11322x x x -=--- (2)(2007德州)解方程:120112x x x x -+=+- (3)(2007宁波)解方程21124x x x -=-- 解:(1)方程两边同乘(2)x -,得1(1)3(2)x x =----. 解这个方程,得2x =. 检验:当2x =时,20x -=,所以2x =是增根,原方程无解 (2)两边同乘以(1)(12)x x +-, 得(1)(12)2(1)0x x x x --++=; 整理,得510x -=; 解得 15 x = . 经检验,15x =是原方程的根. (3)方程两边同乘(x-2)(x+2),得 x(x+2)-(x 2-4)=1, 化简,得2x=-3 x=-3/2, 经检验,x=-3/2是原方程的根. 例2:(2007沈阳)甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程,乙队先单独做2天后,再由两队合作10天就能完成全部工程.已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队 单独完成此项工程所需天数的45 ,求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天? 解:设甲施工队单独完成此项工程需x 天, 则乙施工队单独完成此项工程需45 x 天, 根据题意,得 10x +1245x =1 解这个方程,得x =25 经检验,x =25是所列方程的根 当x =25时,45 x =20 答:甲、乙两个施工队单独完成此项工程分别需25天和20天. 实战演练: 1.(2008安徽)分式方程112 x x =+的解是( ) A . x=1 B . x =-1 C . x=2 D . x =-2 2.(2008荆州)方程21011x x x -+=--的解是( ) A .2 B .0 C .1 D .3 3.(2008西宁)“5·12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏.为抢修其中一段120米的铁路,施工队每天比原计划多修5米,结果提前4天开通了列车.问原计划每天修多少米?某原计划每天修x 米,所列方程正确的是( ) A .12012045x x -=+ B . 12012045x x -=+ C .12012045x x -=- D .12012045x x -=- 4.(2008襄樊)当m = 时,关于x 的分式方程213 x m x +=--无解. 5.(2008大连)轮船顺水航行40千米所需的时间和逆水航行30千米所需的时间相同.已知水流速度为3千米/时,设轮船在静水中的速度为x 千米/时,可列方程为_________________________________. 6.(2008泰州)方程 22123=-+--x x x 的解是=x __________. 7.解方程: (1)(2008赤峰)2112323x x x -=-+ (2)(2008南京)22011 x x x -=+- 8.(2008咸宁) A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料,A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20千克,A 型机器人搬运1000千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时间相等,两种机器人每小时分别搬运多少化工原料? 15.1 分 式 第1课时 从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者: ) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h ,它沿江以最大船速顺流航行100 km 所用时间,与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ●自主学习 指向目标 1.自学教材第127至128页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一 分式的概念 活动一:阅读教材思考问题:式子S a ,V S 以及式子10020+v 和6020-v 有什么共同特点?它们与分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果A ,B 表示两个________(整式),并且B 中含有________(字母),那么式子A B 叫做分式. 小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别?八年级上册分式方程应用题分类讲解与训练(直接打印版)
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